CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
estudiaremos aquí el movimiento de rotación
alrededor de un eje y el movimiento de rotación
traslación.
CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
DE UN CUERPO RÍGIDO
La cantidad de movimiento angular de una partícula
respecto a un punto es
→
→
→
→
→
L = r×
p = r×
m v
En coordenadas polares:
→ → dr
r = rrˆ
, v = rˆ
+ rω&t
&
dt
→ ⎛ dr ⎞
L = rrˆ
× m⎜
rˆ
+ rω
tˆ
⎟
⎝ dt ⎠
→
2
L = mr rˆ
ω × tˆ
rˆ× tˆ
tiene la dirección y sentido de
→
→
2
→
ω
L = mr ω
Si consideramos al cuerpo rígido como n partículas
que giran alrededor de un eje, la cantidad de
movimiento angular de éste será la suma de la
cantidad de movimiento angular de cada una de las
partículas.
→
→
→
→
2
2
2
L total m1
r1
ω+
m2r2
ω+
........ + mnrn
= ω
1 1 + 2 2 + ........ + n n ω r m
r m r m
n ⎛ →
2 ⎞
= ⎜∑
miri
⎟ω
⎝ i=
1 ⎠
La cantidad entre paréntesis es el MOMENTO DE
INERCIA DEL CUERPO RÍGIDO alrededor de un
eje.
I =
= ( ) →
2 2
2
n
∑
i=
1
mir
2
i
Es importante darse cuenta que el momento de
inercia depende de la distribución de la masa del
cuerpo.
En el caso de un cuerpo rígido continuo,
los m i tienden a dm y
∑ se transforma en ∫ , de aquí:
M
2
I = ∫ r dm
M
Como m = ρV
, donde ρ es la densidad y V el
volumen del cuerpo:
dm = ρdV
2
Tenemos: I = ∫ ρ r dV
V
Para muchos cuerpos de forma geométrica simple
ésta integral puede evaluarse fácilmente.
Dos teoremas que simplifican los cálculos del
momento de inercia son:
2
I) El teorema de Steiner o de los ejes paralelos.
“El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje
es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a
un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro
de masa es el producto de la masa del cuerpo por el
cuadrado de la distancia entre los ejes”.
I = I CM + Md
0
2
Demostración. La figura siguiente representa la
sección de un cuerpo en el plano del papel, CM es
el eje normal al plano del papel a través del centro
de masa y O es un eje paralelo. Escogiendo un
elemento diferencial de masa dm , escribamos la
expresión para los momentos de inercia con
respecto a los dos ejes.
I r dm
M CM =
2
I 0 =
2
r dm
M
usando la ley de los cosenos, obtenemos:
2
r
2 2
= rCM
+ d − 2rCM
d cosθ
reemplazando
2 2
I = ( r + d − 2r
d cosθ
)dm
CM ∫
0
∫
∫
M
CM
∫
= + −
M CM
M M
CM 2
2
I0 r dm d dm 2d
r cosθdm
El primer término
CM
M CM 2
∫ r dm = I
El segundo término
2
2
d ∫ dm = Md
M
El tercer término es cero porque es la suma en todo
el cuerpo d los productos del elemento de masa y
sus distancias al eje a través del centro de masa, de
aquí:
2
I = I CM + Md
0
∫
CM
II. El teorema de la figura plana.
El momento de inercia de una figura plana con
respecto a un eje perpendicular a la misma es igual
a la suma de los momentos de inercia de la figura
plana con respecto a dos ejes rectangulares en el
plano de la figura los cuales se intersecan con el eje
dado
Demostración:
En la figura siguiente el eje z pasa por O
perpendicular al piano y. Elegimos un elemento
diferencial de masa dm y escribimos los momentos
de inercia de la figura para cada uno de los tres ejes.
∫