Ejercicios repaso trigonometria - IES Jovellanos
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Trigonometría: actividades de <strong>repaso</strong><br />
1.- Justifica mediante la correspondiente figura cada una de las siguientes igualdades:<br />
a) sen (a + 1801) = - sen a<br />
b) cos (- a) = cos (2 π - a) = cos a<br />
c) tg ( 1801 - a) = - cot ( 901 - a)<br />
d) sec (2 π - a) = cosec ( π /2 - a).<br />
2.- Hallar un ángulo a que verifique:<br />
a) es del segundo cuadrante y tal que cos a = - sen 251.<br />
b) Halla todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes que verifiquen:<br />
c) Su tangente es igual a la tangente de - π/6.<br />
d) Su coseno es igual a - sen (π/4).<br />
e) Su seno es igual a cos 1831.<br />
f) Su cotangente es igual tg (-641).<br />
3.- Halla los ángulos a del segundo cuadrante que verifiquen:<br />
(i) cos a = - cos 251 (ii) cos a = - sen 251<br />
(iii) tg a = - tg 151 (iv) cot a = - tg 651<br />
4.- Halla todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes que verifiquen:<br />
a) Su tangente es igual a la tangente de - π/6 b) Su coseno es igual a - sen (π/4)<br />
c) Su seno es igual a cos 183º d) Su cotangente es igual tg (-64º).<br />
e) Su coseno es igual a -sen 3.<br />
5.- Determinar por procedimientos gráficos las razones trigonométricas directas e inversas<br />
de los siguientes ángulos:<br />
a) 0º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º<br />
)Alguna de ellas no existe?. Justifica la respuesta.<br />
6.- Si sólo disponemos de la tabla indicada abajo, )Cuáles de las siguientes razones<br />
trigonométricas podríamos calcular ?. Indica cómo.<br />
a) sen 74º 50' b) cos 65º 40' c) tg 94º 10'<br />
d) cos 335º 40' e) sen 195º 10' f) cos 155º 40'<br />
1
15º 10'<br />
24º 20'<br />
85º 50'<br />
seno<br />
0'2616<br />
0'4120<br />
0'9974<br />
coseno<br />
0'9652<br />
0'9112<br />
0'0727<br />
tangente<br />
0'2711<br />
0'4522<br />
13'727<br />
7.- Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. Explica cómo las calculas.<br />
a) 37π /3 radianes b) 1030º<br />
8.- Completa las siguientes igualdades, tomando como modelo el ejemplo resuelto en a):<br />
a) sen 2580º = sen 60º = 3<br />
2<br />
b) cos 29801 = cos = - cos =<br />
c) tg 23601 = tg = tg =<br />
d) cos 25 π /6 = cos ( 4 + /6) = cos /6 =<br />
e) sen (14π + π /4) = sen =<br />
9.- Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:<br />
a) El seno de un ángulo puede ser mayor que 1.<br />
b) El seno de un ángulo es siempre menor que 1.<br />
c) El seno de un ángulo puede ser igual a 1.<br />
d) El seno de un ángulo siempre es mayor que 0.<br />
10.- Si sen x =3/4, calcula cos x y tg x sin utilizar la calculadora.<br />
11.- Si tg x = 5, calcula sen x y cos x sin hacer uso de la calculadora.<br />
12.- )Puede haber un ángulo a de un triángulo rectángulo cuyas razones trigonométricas<br />
verifiquen:<br />
3 1<br />
a) sen a = ; tg a =<br />
2 2 b)<br />
3 1<br />
cos a = ; sen a =<br />
3 2<br />
2 2<br />
c) sen a = ; cos a =<br />
2 2 d)<br />
5<br />
tg a = 2 ; cos a =<br />
5<br />
13.- Responde en tu cuaderno, razonando las respuestas, las siguientes cuestiones:<br />
a) Si hacemos crecer un ángulo de 01 a 901 )Qué ocurre con su seno, su coseno y su<br />
tangente, aumentan o disminuyen? ) y si crece de 901 a 1801? )y de 1801 a 2701?.<br />
b) Las funciones seno, coseno y tangente )Pueden tener por valor cualquier número<br />
real? )y las funciones secante, cosecante y cotangente?.<br />
c) )Existe algún ángulo que tenga iguales el seno el coseno y la tangente?.<br />
d) )Queda determinado un ángulo menor que 2, conociendo una de sus razones<br />
trigonométricas (por ejemplo el seno) ?.<br />
2
14.- Si x es un ángulo del primer cuadrante tal que sen x = 1/3. Calcula:<br />
a) sen (-x) b) sen ( π /2 + x) c) tg ( 180º + x) d) cos ( 360º- x)<br />
15.- Sin utilizar calculadora, resuelve las ecuaciones trigonométricas siguientes:<br />
a) sen x = 1/2 b) cos 2x = 1/2 c) tan 3x = 1<br />
16.- Halla todas las soluciones de la ecuación<br />
obtienes?<br />
3<br />
sen(x + π ) = - . )Qué conclusiones<br />
2<br />
17.- En cada uno de los siguientes casos, y siempre que sea posible, halla qué ángulos<br />
comprendidos entre 01 y 3601 verifican las condiciones indicadas. Si no existe ningún<br />
ángulo explica por qué.<br />
a) El seno es el doble del coseno.<br />
b) La tangente es la mitad del coseno<br />
c) La tangente es la mitad del seno.<br />
d) El coseno es el triple del seno.<br />
e) El coseno del suplementario coincide con el cuadrado del seno.<br />
18.- Calcular en función de las razones trigonométricas de ángulos conocidos las razones<br />
de: 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º.<br />
Sol: sen120º=sen60º, cos120º=-cos60º; sen135º=sen45º, cos135º=-cos45º;<br />
sen150º=sen30º, cos150º=-cos30º; sen180º=sen0, cos180º=-cos0; sen210º=-sen30º,<br />
cos210º=-cos30º; sen225º=-sen45º, cos225º=-cos45º; sen240º=-sen60º, cos240º=- cos60º;<br />
sen270º=-sen90º, cos270º=-cos90º; sen300º=-sen60º, cos300º=cos60º; sen315º=-sen45º,<br />
cos315º=cos45º; sen330º=-sen30º, cos330º=cos30º<br />
19.- Simplifica las siguientes expresiones:<br />
1<br />
a) sen a<br />
tg a<br />
⎛ 1 ⎞<br />
b) sen a. cos a ⎜tg a + ⎟=<br />
⎝ tg b ⎠<br />
3 2<br />
c) sen α + senα<br />
⋅ cos α<br />
2 2<br />
2cos x − sen x + 1<br />
e)<br />
cos x<br />
2 2<br />
sen x − cos x<br />
d) 4 4<br />
sen x − cos x<br />
20.- Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:<br />
2<br />
1 + tg α tgα<br />
= 2 α α<br />
-<br />
cot cos<br />
- tg α + cot α = sec α.cosec α<br />
sen α cos β sen β cos α<br />
tg a + tg b<br />
= tg a.tg b<br />
cot a + cot b<br />
2 2 2 2<br />
- - = -<br />
-<br />
3
-<br />
-<br />
1 - sen a cos a<br />
=<br />
cos a 1 + sen a<br />
2 1<br />
cos x = 2<br />
1+ tg x<br />
21.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo cuya tangente es igual a dos veces su<br />
seno.<br />
22.- Para el triángulo rectángulo de la<br />
figura, sabiendo que β es el complementario<br />
del ángulo α, se pide:<br />
Hallar la medida del ángulo α<br />
Calcular la medida del cateto desconocido.<br />
Hallar el valor de la expresión:<br />
sen α + cos β + tan α<br />
23.- Hallar los ángulos del triángulo rectángulo que tiene por lados 9, 7 y 6 cm<br />
respectivamente.<br />
24.- Dibuja un triángulo rectángulo que tenga por catetos 69 unidades y 92 unidades de<br />
longitud. Calcula la medida de la hipotenusa y de sus ángulos agudos.<br />
25.- El ángulo que forma una carretera con la horizontal en determinado tramo es de 18º.<br />
¿Cuál es el desnivel en tanto por ciento?<br />
26.- La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192 m. Si en el<br />
mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2,5 m. de altura mide 1,5 m.,<br />
¿cuál es la altura del rascacielos?<br />
27.- La sombra que proyecta Juan al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo<br />
que forman los rayos solares con el suelo es de 37º. ¿Cuánto mide Juan?<br />
28.- Dos hombres que andan a razón de tres kilómetros por hora parten al mismo tiempo<br />
de un cruce de dos caminos rectos, que forman entre sí un ángulo de 15º. Los dos van en el<br />
mismo sentido. ¿A qué distancia se encontrarán uno del otro al cabo de dos horas?<br />
29.- Dos amigos separados 800 m., ven un globo que está entre los dos bajo ángulos de 35º<br />
y 55º, respectivamente. Calcula la altura a la que se encuentra el globo.<br />
30.- Un hombre está situado al oeste de una torre y desde ese punto la observa con un<br />
ángulo de elevación de 451. Camina 50 m. hacia el sur y observa con un ángulo de<br />
elevación de 301. )Cuál es la altura de la torre.<br />
31.- Pedro ve la torre de una antena de emisora de radio desde su casa con un ángulo de<br />
451, María ve desde su casa esa misma torre con un ángulo de 601. Las casa de Pedro y<br />
María están a una distancia de 120 m. )Cuál es la altura de la torre.<br />
4
32.- Desde un punto del espacio un satélite puede observar la tierra bajo un ángulo de 201<br />
9' 48''. Sabiendo que el radio de la tierra es de 6370 km., halla la distancia a que se halla<br />
dicho satélite de la tierra.<br />
33.- La superficie de un terreno en forma de trapecio es de 1.200 m2. Sabiendo que tiene<br />
dos ángulos de 45º y que la base menor es de 65 metros, calcula la base mayor y la<br />
distancia entre las bases.<br />
34.- Determina la expresión del área de un polígono regular cualquiera en función de la<br />
medida de uno de sus lados y del número de éstos.<br />
35.- Las diagonales de un paralelogramo miden 30 y 20 cm. y se cortan formando un<br />
ángulo de 40º. Calcula sus lados y su área.<br />
36.- Luís vive en el campo en una casa situada sobre una carretera recta. Fuera de la<br />
carretera hay una iglesia a 100 m. de distancia. La línea visual que une la casa y la iglesia<br />
forma un ángulo de 40º con la carretera. Avanza por la carretera determinada distancia y<br />
ahora ve la iglesia formando un ángulo de 25º con la carretera. ¿A qué distancia se<br />
encuentra de la iglesia?<br />
37.- Calcular la longitud de una correa de transmisión que enlaza dos ruedas de radios 0,5<br />
y 0,2 m., siendo la distancia entre sus centros de 1 metro.<br />
38.- Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden<br />
4 y 8 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.<br />
39.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 10 y 20 cm. ¿Cuánto puede medir<br />
el tercero? ¿Existe más de una solución?<br />
c= 5<br />
B<br />
A<br />
h = 4<br />
C<br />
40.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo C<br />
del triángulo ABC cuyas medidas vienen dadas en<br />
cm.<br />
41.- Calcula el lado y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de<br />
radio 10 cm.<br />
42.- Desde un faro colocado a 40 m. sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo<br />
de 55º. ¿A qué distancia del faro se halla el barco?<br />
43.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo<br />
de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el pie de la torre, ese ángulo mide<br />
60º. Halla la altura de la torre.<br />
5
44.- El observador que aparece en la ilustración observa, desde un punto, la parte superior<br />
de la torre con un ángulo de elevación de<br />
30º. Avanza 30 metros hacia la torre y,<br />
desde esta nueva posición, observa su parte<br />
superior con un ángulo de 45º. Se pide:<br />
a) Calcular la altura de la torre.<br />
b) Hallar a que distancia de la torre estaba<br />
el observador en la posición inicial.<br />
45.- Calcular las dimensiones y el perímetro del rectángulo de la figura.<br />
46.- Calcular los ángulos de un rombo sabiendo que su lado mide 13 cm y una de las<br />
diagonales 10 cm.<br />
47.- De un triángulo isósceles conocemos su base que mide 58 cm y la altura<br />
correspondiente al vértice opuesto que mide 30 cm. Hallar los elementos restantes.<br />
48.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide el doble que el otro. Calcular las<br />
razones trigonométricas de los ángulos agudos.<br />
49.- Para medir la anchura de un río se ha trazado un triángulo rectángulo como el que<br />
aparece en la ilustración y se ha medido el<br />
ángulo de vértice A = 15º y la distancia<br />
entre los puntos A y B que es de 150 m.<br />
Con estos datos se pide:<br />
a) Hallar la anchura del río.<br />
b) Determinar la distancia del punto B a la<br />
base del árbol.<br />
50.- En un círculo de 86 cm de radio, trazamos una cuerda que une los extremos de un arco<br />
de 1101. Hallar la distancia del centro a la cuerda.<br />
51.- Calcular el ángulo que forman entre si dos tangentes a una circunferencia de radio 15<br />
cm trazadas desde un punto que dista 27 cm del centro.<br />
6
52.- Desde el punto P de un edificio se<br />
ve la copa de un árbol con un ángulo<br />
de elevación de 20º y la base del<br />
mismo con un ángulo de depresión de<br />
35º. La distancia entre P y el árbol es<br />
de 5 metros. Halla la altura del árbol.<br />
53.- Dos lados de un triángulo rectángulo miden 28 cm. y 18 cm. y el ángulo que forman<br />
estos lados mide 57º. ¿Cuánto mide el área?<br />
54.- Calcula el área de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 10 y 15 cm. y que<br />
los otros dos ángulos distintos al comprendido entre ellos miden 80º y 70º.<br />
55.- Un octógono regular está inscrito en una circunferencia de radio 1 m. Hallar su área.<br />
56.- Observa el método que empleó Aristarco (280 a.C.) para calcular la distancia de la<br />
Tierra al Sol. Esperó hasta que la mitad del disco lunar estuviese iluminado, pues pensó,<br />
con razón, que en ese momento el ángulo Sol-Luna-observador sería recto. Como conocía<br />
la distancia de la Tierra a la Luna que él mismo había calculado, le bastó con medir el<br />
ángulo T y, aunque con un error considerable, resolvió el problema. Hazlo tú con los<br />
siguientes datos:<br />
57.- Una circunferencia tiene 100 cm de diámetro. Desde un punto P de la circunferencia,<br />
se traza una cuerda perpendicular al diámetro AB que divide a este en dos segmentos: AC<br />
y CB, siendo 20 cm. la longitud de AC. Se pide:<br />
a) Dibujar la correspondiente figura y hallar la medida de la cuerda.<br />
b) Aplicar el teorema del cateto para hallar los lados del triángulo APB y hallar su área.<br />
c) Determinar los ángulos de APB.<br />
58.- Una persona observa en un día de verano que la sombra que proyecta un poste vertical<br />
es la mitad de su altura. Determina qué ángulo forman en ese instante los rayos del Sol con<br />
el horizonte.<br />
7
= 22<br />
C<br />
ejemplo resuelto:<br />
59.- El triángulo que aparece en la figura<br />
NO ES un triángulo rectángulo.<br />
Sabiendo que h es la altura trazada desde<br />
el vértice A, se pide:<br />
a) Calcular la medida del lado c.<br />
b) Se designa por " al ángulo de vértice<br />
C, hallar su medida en grados y radianes.<br />
c) Completar la siguiente tabla<br />
expresando las razones en función de las<br />
del ángulo " como se indica en el<br />
tg(90º + ") sen (90º - ") cos (180º + ")<br />
1<br />
−<br />
tg α<br />
tg(270º + ") sen (- ") cos (180º - ")<br />
60.- Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda CD perpendicular al diámetro lo<br />
divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 20<br />
cm. (Ver la figura). Se pide:<br />
A B<br />
20<br />
O<br />
N<br />
m = 10<br />
C<br />
D<br />
r<br />
30º<br />
A<br />
A<br />
C R<br />
S<br />
h<br />
a = 30<br />
c<br />
B<br />
a) Hallar la longitud de la cuerda CD.<br />
b) Resolver el triángulo ACB determinando las<br />
longitudes de sus lados y sus ángulos.<br />
c) En esa misma circunferencia se inscribe un<br />
pentágono regular. Calcular su lado y su área.<br />
61.- a) Calcula el radio (r) del paralelo cuya latitud es 30º N<br />
sabiendo que el radio de la tierra mide 6371 km.<br />
b) Halla la distancia entre dos ciudades cuyas coordenadas<br />
geográficas son:<br />
A(10º E, 30º N); B(20º E, 30º N)<br />
8
62.- Las ciudades A y B están sobre el mismo paralelo de latitud a 45º N. La ciudad A<br />
tiene longitud 35º W y la ciudad B: 55º E. Hallar la distancia entre ambas ciudades. (Dato:<br />
radio de la tierra • 6371 km)<br />
9