Tema: “Calculo mecánico: Flechas y Tensiones”. Facultad de ...
Tema: “Calculo mecánico: Flechas y Tensiones”. Facultad de ...
Tema: “Calculo mecánico: Flechas y Tensiones”. Facultad de ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Tema</strong>:<br />
<strong>“Calculo</strong> <strong>mecánico</strong>: <strong>Flechas</strong> y <strong>Tensiones”</strong>.<br />
I. OBJETIVOS.<br />
Que el estudiante simule la influencia <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong> las condiciones ambientales en los valores <strong>de</strong><br />
la tensión mecánica <strong>de</strong> los conductores y cables <strong>de</strong> tierra.<br />
Que el estudiante se familiarice con la <strong>de</strong>terminación y el uso <strong>de</strong> la plantilla <strong>de</strong> flechas, principalmente<br />
para las condiciones extremas <strong>de</strong> operación.<br />
II. INTRODUCCIÓN.<br />
<strong>Facultad</strong> <strong>de</strong> Ingeniería.<br />
Escuela <strong>de</strong> Eléctrica.<br />
Asignatura: “Diseño <strong>de</strong><br />
Líneas <strong>de</strong> Transmisión”.<br />
Los conductores <strong>de</strong> las líneas eléctricas generalmente son cables, en su mayor parte heterogéneos, es <strong>de</strong>cir,<br />
que están formados por grupos <strong>de</strong> conductores <strong>de</strong> diferentes materiales (combinación <strong>de</strong> conductores <strong>de</strong><br />
aluminio y acero, cobre y acero, etc.).<br />
Por tanto, el cálculo <strong>mecánico</strong> <strong>de</strong> éstos conductores <strong>de</strong>be hacerse en función <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong> elasticidad y <strong>de</strong>l<br />
coeficiente <strong>de</strong> dilatación, correspondientes a la proporción en que se encuentren el aluminio y el acero (éstos<br />
valores son proporcionados por el fabricante).<br />
Las influencias atmosféricas que <strong>de</strong>terminan el comportamiento <strong>mecánico</strong> <strong>de</strong> los cables (modificando la tensión<br />
mecánica que se dio a los mismos cuando se tensaron) son principalmente:<br />
Las variaciones <strong>de</strong> la temperatura ambiente, que por efecto <strong>de</strong> contracción o dilatación alteran la<br />
longitud <strong>de</strong> éstos, haciéndola mayor o menor.<br />
• Si la temperatura aumenta, la longitud <strong>de</strong>l cable se alarga (aumentando su flecha) y su tensión<br />
mecánica disminuye.<br />
• Si la temperatura disminuye, la longitud <strong>de</strong>l cable disminuye (disminuyendo su flecha) y su<br />
tensión mecánica aumenta.<br />
La fuerza que ejerce el viento sobre los conductores, que actúa como una sobrecarga, ya que al<br />
sumarse con el propio peso <strong>de</strong>l cable hace que el efecto sea el <strong>de</strong> un aumento aparente <strong>de</strong> dicho peso.<br />
La fuerza que ejerce la escarcha (hielo) sobre los conductores, supone otra sobrecarga, <strong>de</strong> acción<br />
vertical, que se superpone al peso propio <strong>de</strong>l cable, ésta condición se aplica a zonas geográficas <strong>de</strong><br />
baja temperatura.<br />
Resulta, por tanto, indispensable tomar en cuenta las modificaciones que sufre el conductor por temperatura o<br />
sobrecarga para conocer si para cualquier situación se han <strong>de</strong> cumplir las prescripciones reglamentarias <strong>de</strong><br />
aislamiento y montaje.<br />
Todas las modificaciones que se <strong>de</strong>ban prever en el funcionamiento <strong>mecánico</strong> <strong>de</strong> las líneas se reflejan en una<br />
relación entre ellas, que se llama “Ecuación <strong>de</strong> Cambio <strong>de</strong> Estado”.<br />
Dos criterios generales se utilizan para el cálculo <strong>de</strong> tensiones y flechas:<br />
La curva <strong>de</strong> la catenaria, en don<strong>de</strong> se asume que la masa <strong>de</strong>l conductor está uniformemente distribuida<br />
a lo largo <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>scrito por dicho conductor la tensión mínima en el cable está en el<br />
GUÍA 5 Pág. 1
punto más bajo y la tensión máxima está en los puntos <strong>de</strong> apoyo. La tensión en cualquier punto <strong>de</strong>l<br />
cable consta <strong>de</strong> dos componentes: una horizontal (que es uniforme a lo largo <strong>de</strong>l cable) y una vertical<br />
(que varia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cero en el punto más bajo <strong>de</strong>l cable hasta un valor máximo en los soportes). Lo<br />
anterior significa que la tensión total en el cable es variable.<br />
La curva <strong>de</strong> la parábola, se asume que la masa <strong>de</strong>l cable está uniformemente distribuida a lo largo <strong>de</strong><br />
una línea horizontal que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> soporte <strong>de</strong>l cable. La ecuación matemática <strong>de</strong>l cable<br />
es la <strong>de</strong> una parábola.<br />
Los resultados <strong>de</strong> ambos métodos son similares cuando la relación flechavano es pequeña, sin embargo, la<br />
diferencia en los resultados llega a ser consi<strong>de</strong>rable a medida que la flecha aumenta. Por tanto, para vanos<br />
largos en don<strong>de</strong> la flecha es más gran<strong>de</strong>, se tendrá una diferencia entre ambos métodos.<br />
El método <strong>de</strong> la parábola, más sencillo, se limita a relaciones flechavano menores que 0.05 y el método <strong>de</strong> la<br />
catenaria para relaciones entre 0.05 y 0.20. Difícilmente se encontrarán relaciones mayor a 0.20.<br />
La Ecuación <strong>de</strong> Cambio <strong>de</strong> Estado se <strong>de</strong>fine como:<br />
α θ2 θ1 t2 t [ 1 a2<br />
=<br />
E φ 24 w 2<br />
2<br />
2<br />
t 2<br />
w 2<br />
1<br />
t1 Ecuación 5.1: “Ecuación <strong>de</strong> Cambio <strong>de</strong> Estado”.<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
α: coeficiente <strong>de</strong> dilatación lineal <strong>de</strong>l conductor [ °C ].<br />
θ2: temperatura final <strong>de</strong>l conductor [ °C ].<br />
θ1: temperatura inicial <strong>de</strong>l conductor [ °C ].<br />
t2: tensión final en el conductor [ kg ].<br />
t1: tensión inicial en el conductor [ kg ].<br />
E: módulo <strong>de</strong> elasticidad <strong>de</strong>l conductor [ kg / mm 2 ].<br />
φ: sección transversal <strong>de</strong>l conductor [ mm 2 ].<br />
a: longitud <strong>de</strong>l vano [ m ].<br />
w2: peso por unidad <strong>de</strong> longitud final <strong>de</strong>l conductor [ kg / m ].<br />
w1: peso por unidad <strong>de</strong> longitud inicial <strong>de</strong>l conductor [ kg / m ].<br />
Una plantilla <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong> flechas es utilizada para <strong>de</strong>terminar gráficamente en un plano <strong>de</strong> planta y perfil la<br />
localización y altura <strong>de</strong> las estructuras, puesto que a través <strong>de</strong> ésta es posible:<br />
Mantener el libramiento a tierra a<strong>de</strong>cuado, lo mismo que el libramiento en cruzamientos.<br />
Prever el balanceo excesivo <strong>de</strong> los aisladores y el levantamiento <strong>de</strong> las estructuras.<br />
El uso a<strong>de</strong>cuado <strong>de</strong> las limitaciones mecánicas <strong>de</strong> las estructuras <strong>de</strong> soporte.<br />
Lograr economía en el diseño.<br />
La plantilla <strong>de</strong> flechas consta <strong>de</strong> las siguientes curvas como mínimo:<br />
Curva fría o curva <strong>de</strong> flechas mínimas verticales.<br />
Generalmente se elabora para temperatura <strong>de</strong> 15 °C sin sobrecargas y para condiciones <strong>de</strong> flecha<br />
inicial. Ésta curva se utiliza para revisar el levantamiento <strong>de</strong> las estructuras (tensión vertical) y el<br />
balanceo en la ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> aisladores.<br />
Curva caliente o curva <strong>de</strong> flechas máximas verticales.<br />
2 ]<br />
GUÍA 5 Pág. 2
En forma general se elabora a 60 °C sin sobrecargas, es <strong>de</strong>cir, sin hielo y sin viento y para condiciones<br />
<strong>de</strong> flecha final. Ésta curva se utiliza para localizar la posición <strong>de</strong> las estructuras, revisar libramientos,<br />
revisar balanceo en la ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> aisladores y altura <strong>de</strong> las estructuras en los planos <strong>de</strong> planta y perfil.<br />
Curva <strong>de</strong> tierra.<br />
Consiste en una curva paralela a la curva caliente, <strong>de</strong>splazada <strong>de</strong> ésta la distancia <strong>de</strong>l libramiento a<br />
tierra.<br />
Curva <strong>de</strong> pie <strong>de</strong> apoyo.<br />
Ésta se traza paralela a la curva caliente, <strong>de</strong>splazada una distancia igual a la altura que hay <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
suelo hasta el punto <strong>de</strong> engrape <strong>de</strong>l conductor interior y es utilizada para <strong>de</strong>terminar la ubicación <strong>de</strong> las<br />
estructuras.<br />
Planteamiento <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> la flecha.<br />
Un conductor <strong>de</strong> peso uniforme, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la misma altura, forma<br />
una curva llamada catenaria. La distancia f entre el punto más bajo situado en el centro <strong>de</strong> la curva y la<br />
recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre <strong>de</strong> flecha. Se llama vano a la distancia "a" entre los dos<br />
puntos <strong>de</strong> amarre A y B.<br />
Figura 5.1.<br />
Los postes <strong>de</strong>berán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos <strong>de</strong> amarre.<br />
La tensión T = TA = TB <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong>l vano, <strong>de</strong>l peso <strong>de</strong>l conductor, <strong>de</strong> la temperatura y <strong>de</strong><br />
las condiciones atmosféricas.<br />
Para vanos <strong>de</strong> hasta unos 500 metros po<strong>de</strong>mos equiparar la forma <strong>de</strong> la catenaria a la <strong>de</strong> una parábola, lo cual<br />
ahorra unos complejos cálculos matemáticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud más que suficiente.<br />
La catenaria <strong>de</strong>berá emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros <strong>de</strong> longitud, ya que<br />
cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la catenaria y la parábola.<br />
Calculamos a continuación la relación que existe entre la flecha y la tensión. Para ello representamos el<br />
conductor <strong>de</strong> un vano centrado en unos ejes <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas:<br />
GUÍA 5 Pág. 3
Figura 5.2.<br />
Consi<strong>de</strong>ramos un trozo <strong>de</strong> cable OC que tendrá un peso propio PL aplicado en el punto medio y estará sometido<br />
a las tensiones TO y TC aplicadas en sus extremos.<br />
Tomando momentos respecto al punto C tendremos:<br />
x<br />
PL 2<br />
Ecuación 5.2<br />
= TO y<br />
Por lo tanto el valor <strong>de</strong> y será:<br />
y = Ecuación 5.3<br />
Si llamamos P al peso unitario <strong>de</strong>l conductor, el peso total <strong>de</strong>l conductor en el tramo OC, que hemos llamado PL,<br />
será igual al peso unitario por la longitud <strong>de</strong>l conductor.<br />
x P L<br />
2 TO Por lo tanto admitiendo que:<br />
P Ecuación 5.4<br />
L = P x<br />
y = x2 y sustituyendo esta expresión en la Ecuación 5.3, resulta que:<br />
P<br />
2 T Ecuación 5.5<br />
O<br />
y = f ; x = a<br />
Si ahora consi<strong>de</strong>ramos el punto A correspondiente al amarre <strong>de</strong>l cable en vez <strong>de</strong>l punto C, tendremos que:<br />
Ecuación 5.6<br />
2<br />
Por lo tanto al sustituir queda:<br />
P a2<br />
f = Ecuación 5.7<br />
8 TO GUÍA 5 Pág. 4
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>spejar el valor <strong>de</strong> la tensión TO y tendremos que :<br />
P a2<br />
T O = Ecuación 5.8<br />
8 f<br />
La Ecuación 5.7 nos relaciona la flecha f en función <strong>de</strong> la tensión TO, <strong>de</strong>l peso unitario <strong>de</strong>l conductor P y <strong>de</strong> la<br />
longitud <strong>de</strong>l vano a.<br />
Si comparamos la Ecuación 5.7 con la ecuación <strong>de</strong> la catenaria:<br />
f = T [<br />
O a P<br />
Cosh<br />
P 2 TO 1 ]<br />
Ecuación 5.9<br />
Podremos observar la complejidad <strong>de</strong> ésta y como se <strong>de</strong>mostrara en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> la guía, los resultados<br />
serán prácticamente iguales (para ciertos valores <strong>de</strong> vanos).<br />
Nos interesa trabajar con la tensión TA en lugar <strong>de</strong> la empleada hasta ahora TO. Observamos el triángulo <strong>de</strong><br />
fuerzas compuesto por TO, TA y PL:<br />
Y aplicando el Teorema <strong>de</strong> Pitágoras tenemos:<br />
2<br />
2 2 a<br />
T A=<br />
TO<br />
P Ecuación 5.10<br />
2 <br />
Figura 5.3.<br />
En los casos prácticos que se nos presentan en las líneas aéreas <strong>de</strong> alta tensión, el valor <strong>de</strong>l ángulo formado<br />
por TO y TA es muy pequeño, por lo que po<strong>de</strong>mos asegurar que TO ≅ TA. Esto equivale a afirmar que la tensión a<br />
lo largo <strong>de</strong>l conductor es constante.<br />
GUÍA 5 Pág. 5
III. MATERIAL Y EQUIPO.<br />
IV. PROCEDIMIENTO.<br />
No. Cantidad Descripción<br />
1 1 Computadora con MATLAB 5.3<br />
2 1 Disco flexible<br />
3 1 Guía <strong>de</strong> laboratorio<br />
Tabla 5.1.<br />
Paso 1. Con un conductor HAWK calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente <strong>de</strong> seguridad<br />
<strong>de</strong> 4. El conductor HAWK presenta una tensión <strong>de</strong> rotura <strong>de</strong> 8820 kg y un peso unitario <strong>de</strong> 0.975 kg/m. Las<br />
ecuaciones a utilizar son las correspondientes al calculo <strong>de</strong> flecha por el método <strong>de</strong> la parábola (Ecuación 5.7) y<br />
por el método <strong>de</strong> la catenaria (Ecuación 5.9).<br />
P a2<br />
f =<br />
8 TO f = T [<br />
O a P<br />
Cosh<br />
P 2 TO Ecuación 5.7<br />
Ecuación 5.9<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
f: es la flecha.<br />
P: es el peso <strong>de</strong>l cable por unidad <strong>de</strong> longitud.<br />
TO: es la tensión <strong>de</strong> diseño.<br />
a: es el vano.<br />
Los valores que sustituimos son:<br />
Paso 2. Elabore un programa en MATLAB que calcule la flecha por los métodos <strong>de</strong> la catenaria y parábola para<br />
diferentes valores <strong>de</strong> distancia entre apoyos (vano), a<strong>de</strong>más que calcule su respectivo porcentaje <strong>de</strong> error<br />
(tomando como referencia la flecha obtenida con la catenaria). Los diferentes valores <strong>de</strong> vano que utilizara<br />
aparecen en la Tabla 5.2.<br />
% Calculo <strong>de</strong> flechas %<br />
disp('Calculo <strong>de</strong> flecha por el metodo <strong>de</strong> la parabola y <strong>de</strong> la catenaria')<br />
b=input('Cual es la tension <strong>de</strong> rotura <strong>de</strong>l cable a utilizar [ kg ]: ');<br />
P=input('Cual es el peso <strong>de</strong>l cable por unidad <strong>de</strong> longitud [ kg / m ]: ');<br />
n=input('Cual es el factor <strong>de</strong> seguridad a utilizar en su diseño: ');<br />
T=(b/n);<br />
1 ]<br />
T = Q<br />
n =8820 = 2205 kg ; P = 0 .975 kg / m<br />
4<br />
a=input('Cual es el valor <strong>de</strong>l vano: ');<br />
GUÍA 5 Pág. 6
fp=((P*a*a)/(8*T));<br />
fc=((T/P)*(cosh((a*P)/(2*T))1));<br />
c=((fc/fp)1)*100;<br />
disp('La flecha por el metodo <strong>de</strong> la parabola es igual a:'),fp<br />
pause(7)<br />
disp('La flecha por el metodo <strong>de</strong> la catenaria es igual a:'),fc<br />
pause(7)<br />
disp('El porcentaje <strong>de</strong> error en el calculo es <strong>de</strong>:'),c<br />
Paso 3. Con los valores obtenidos con la ejecución <strong>de</strong>l programa anterior, proceda a llenar la Tabla 5.2:<br />
Vano ( m )<br />
100<br />
200<br />
400<br />
600<br />
800<br />
1000<br />
1200<br />
1400<br />
1600<br />
1800<br />
2000<br />
Flecha por el<br />
Método <strong>de</strong> la parábola ( m )<br />
Tabla 5.2.<br />
Flecha por el<br />
Método <strong>de</strong> la catenaria ( m )<br />
% <strong>de</strong> error<br />
Paso 4. Sabemos que si la temperatura aumenta, la longitud <strong>de</strong>l cable se alarga (aumentando su flecha) y su<br />
tensión mecánica disminuye y si la temperatura disminuye, la longitud <strong>de</strong>l cable disminuye (disminuyendo su<br />
flecha) y su tensión mecánica aumenta.<br />
Paso 5. Hacer un programa en MATLAB que nos ayu<strong>de</strong> a verificar la influencia <strong>de</strong> las condiciones ambientales<br />
(en este caso la temperatura 1 ) sobre la tensión a la cual esta sometida el conductor. Asuma un factor <strong>de</strong><br />
seguridad <strong>de</strong> 3 y un vano <strong>de</strong> 200 metros.<br />
% Calculo <strong>de</strong> la tension %<br />
disp('Calculo <strong>de</strong> la tension <strong>de</strong>l conductor')<br />
f=input('Cual es el valor <strong>de</strong> la flecha [ m ]: ');<br />
P=input('Cual es el peso <strong>de</strong>l cable por unidad <strong>de</strong> longitud [ kg / m ]: ');<br />
n=input('Cual es el factor <strong>de</strong> seguridad a utilizar en su diseño: ');<br />
a=input('Cual es el valor <strong>de</strong>l vano: ');<br />
T=((P*a*a)/(8*f));<br />
1 El análisis se hará <strong>de</strong> manera indirecta, es <strong>de</strong>cir, se utilizara la ecuación <strong>de</strong>l calculo <strong>de</strong> flecha por el método <strong>de</strong> la Parábola<br />
para el calculo <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong>l conductor.<br />
GUÍA 5 Pág. 7
Q=(T*n);<br />
disp('El valor <strong>de</strong> la tension en kg es <strong>de</strong>:'),T<br />
if Q < 8820<br />
else<br />
end<br />
disp('El cable que ha escogido en su diseño es el i<strong>de</strong>al')<br />
disp('P R E C A U C I O N')<br />
disp('El conductor que ha elegido en su diseño cumple con las caracteristicas electricas')<br />
disp('pero no con las caracteristicas mecanicas')<br />
disp('E L I J A O T R O C O N D U C T O R')<br />
Flecha<br />
Tension ( kg )<br />
( m )<br />
0.25<br />
0.50<br />
0.75<br />
1<br />
1.25<br />
1.50<br />
1.75<br />
2<br />
Tabla 5.3.<br />
V. INVESTIGACIÓN Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS.<br />
1. Grafique y explique la variación <strong>de</strong> la flecha con respecto al vano (para ambos métodos).<br />
2. Para que valores <strong>de</strong> vanos es admisible utilizar el método <strong>de</strong> la parábola como una buena aproximación<br />
<strong>de</strong>l método <strong>de</strong> la catenaria.<br />
3. Explique una alternativa para el calculo <strong>de</strong> la tensión en función <strong>de</strong> la variación <strong>de</strong> la temperatura <strong>de</strong><br />
forma directa y no <strong>de</strong> forma indirecta como la realizada en el laboratorio.<br />
4. ¿Qué significa el número 8820 en el segundo programa <strong>de</strong>l calculo <strong>de</strong> la tensión?.<br />
5. Grafique y explique la variación <strong>de</strong> la tensión con respecto a la flecha.<br />
6. ¿Cuáles son los valores permitidos para flechas y vanos?. Comente acerca <strong>de</strong> los resultados obtenidos<br />
en la Tabla 5.2.<br />
7. ¿Qué suce<strong>de</strong> con el análisis en cuanto a calculo <strong>de</strong> flechas y tensiones cuando los apoyos no se<br />
encuentran al mismo nivel?.<br />
8. ¿Cómo se distribuyen los esfuerzos en los apoyos cuando éstos no se encuentran al mismo nivel?.<br />
Presentar los programas realizados en un disco.<br />
GUÍA 5 Pág. 8
VI. BIBLIOGRAFÍA.<br />
Luis Maria Checa.<br />
“Líneas <strong>de</strong> Transporte <strong>de</strong> Energía”.<br />
1988 Marcombo Boixareu Editores.<br />
José Miguel Valencia & Otto Tévez.<br />
“Elaboración <strong>de</strong> una herramienta asistida por computadora para el diseño eléctrico y el calculo <strong>de</strong><br />
tensiones”.<br />
Tesis <strong>de</strong> Ingeniería Eléctrica.<br />
Harper, Gilberto Henríquez.<br />
“Técnicas Computacionales en Sistemas Eléctricos <strong>de</strong> Potencia”.<br />
Limusa, 1986.<br />
GUÍA 5 Pág. 9