Control de IG. Noviembre de 2009. Tiempo del examen: 90 ... - DAC

Control de IG. Noviembre de 2009. Tiempo del examen: 90 minutos
Pregunta 1 (3 puntos)
Se piden calcular las ecuaciones de la interpolación de Hermite que
cumple las siguientes condiciones:
– La curva pasa por P0(0,0) con pendiente m0=1
– La curva pasa por P1(1,0)
– La curva pasa por P2(2,1) con pendiente m2=0
Determinar la pendiente en el punto intermedio por el algoritmo de
Catmull-Rom. Esbozar un gráfico del resultado obtenido y comentar sus
principales propiedades.
Solución:
Apartado a)
Calculamos la pendiente en P1, m1, por el algoritmo de Catmull-Rom:
m1 = x2− x0 1−0
=
2 2 =0,5
Sabemos que para cada tramo entre Pi y Pi+1, el polinomio interpolador se
expresa de la forma:
H i s=2s 3 −3s 2 1 x i s 3 −2s 2 sm i −2s 3 3s 2 x i1 s 3 −s 2 m i1
siendo s la variable auxiliar: s= t−t i
t i1−t i
con s∈[0, 1]
Calculamos el primer tramo del polinomio interpolador:
H 0 s=2s 3 −3s 2 1· 0 s 3 −2s 2 s·1−2s 3 3s 2 ·0s 3 −s 2 · 0,5
H 0s=1,5 s 3 −2,5 s 2 s
Como en este caso se tiene s= t−0
1−0 =t la expresión final es:
H 0t=1,5 t 3 −2,5 t 2 t , con t∈[0,1]
Análogamente, para el segundo tramo tenemos:
H 1 s=2s 3 −3s 2 1·0 s 3 −2s 2 s·0,5−2s 3 3s 2 ·1 s 3 −s 2 · 0
H 1 s=−1,5 s 3 2s 2 0,5 s

Puesto que en este caso s= t−1
2−1 =t−1 la expresión final es:
H 1t=−1,5t−1 3 2 t−1 2 0,5t−1 , con t∈[1,2]
Apartado b)
Representando gráficamente el resultado:
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
x
H 0
0.5 1.0 1.5 2.0
Vemos como la curva cumple las condiciones del enunciado (interpola los
puntos y las pendientes) y además es suave en el punto de empalme P1. Es
fácil comprobar que la suavidad en P1 es C 2 , es decir, la curva es continua y
también lo son sus 2 primeras derivadas.
H 1
t

Pregunta 2
Se parte de 3 puntos en el espacio, A(1,1,1), B(3,0,0) y C(0,0,0).
a) Describir cualitativamente la transformación de sólido rígido que
coloca a B en el origen, a A en el eje Y y a C en el plano YZ. (3 puntos)
b) Deducir de forma razonada la expresión matricial de la transformación
resultante (4 puntos)
Observaciones: Utilizar dibujos que ayuden a aclarar los distintos pasos
en el apartado a). Es conveniente efectuar las multiplicaciones entre
matriz y vector en cada paso del apartado b). No efectuar las
multiplicaciones entre matrices al expresar la transformación final en el
apartado b).
Solución:
Apartado a)
La solución consta de 4 pasos:
– Traslación de -3 unidades a lo largo del eje X para llevar B al origen
– (usando vista de perfil): rotación de α grados negativos en torno al eje X
para llevar el triángulo al plano XY, sin variar la posición del punto B'
– (usando vista de planta): rotación de β grados positivos en torno al eje Y
para llevar todo el triángulo al plano YZ
– (usando vista de perfil): rotación de γ grados negativos en torno al eje X
para llevar a A al eje Y sin que B deje de estar en el origen ni C en el
plano YZ
Nota: la solución no es única, se dará como válido cualquier procedimiento que
lleve a la solución correcta.
Apartado b)
Paso 1: traslación de -3 unidades a lo largo del eje X, para llevar el punto B al
origen. La matriz de traslación es:
0 0 −3
0 1 0 0
Tr=1
0 0 1 0
0 0 0 1
Sin necesidad de hacer cálculos vemos que las coordenadas de los puntos
transformados son A'(-2,1,1), B'(0,0,0) y C'(-3,0,0), donde efectivamente el
punto B ya está en el origen.
Debemos seguir utilizando transformaciones de sólido rígido que no cambien la
posición de B'.

Paso 2: vamos a llevar el triángulo completo al plano XY por medio de un giro
en torno al eje X. Utilizando la vista de perfil, vemos que es necesario un giro
de -45º. La matriz de giro es:
0 0 0
0 0 0
0
2 2
0
R x1−45=1 0 cos−45 −sen−45 0 2 2
0 sen−45 cos−45 0
0
0 0 0 1=1 −2 2
0
2 2
0 0 0 1
Viendo que las posiciones de B' y C' no cambian, sólo es necesario efectuar las
multiplicación entre matriz y vector para calcular las coordenadas de A'':
A''=Rx1(A')= −2 2 0
B''=Rx1(B')= 0 0 0
C''=Rx1(C')= −3 0 0
Paso 3: utilizando la vista en planta, vemos que es necesario un giro de 90º
para llevar todo el triángulo al plano YZ. La matriz de la transformación es:
Ry 90= cos90 0 sin 90 0
0 1 0 0
−sen90 0 cos90 0
0 0 0 1=
0
0 1 0
1
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0
Las coordenadas de los transformados se calculan multiplicando matriz por
vector. Notamos que B'' no se ve alterado:
A'''=Ry(A'')= 0 2 2
B'''=Ry(B'')= 0 0 0
C'''=Ry(C'')= 0 0 3
Paso 4: Utilizamos la vista de perfil una vez más para ver que otro giro en torno
a X nos lleva A''' al eje Y, sin que C''' deje de estar en el plano YZ ni B''' en el
origen.
El giro es negativo, ya que es en el mismo sentido que las agujas del reloj, y la
magnitud la obtenemos por medio del arco tangente:
γ=−arctg 2
=−54,73 º
2

La matriz de rotación es:
0 0 0 0 0 0
1
R
0 cosγ −senγ 0 0 0,577 0,816 0
x2−45=1
0 senγ cosγ 0 0 −0,816 0,577 0
0 0 0 1=1
0 0 0
y efectuando las multiplicaciones entre matriz y vector obtenemos las
coordenadas finales:
A IV =Rx2(A''')= 0 2,448 0
B IV =Rx2(B''')= 0 0 0
C IV =Rx2(C''')= 0 2,448 1,731
Observamos como A IV está en el eje Y (tiene coordenadas X y Z nulas), B IV
está en el origen, y C IV está en el plano YZ (tiene coordenada X nula), tal como
pedía el enunciado.
Por tanto la transformación resultante es:
T = R x2 · R y · R x1 ·Tr