Tema 3 - Departamento de Ingeniería de Aeroespacial ...

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Astronáutica y Vehículos Espaciales
Tema 3:Análisis y Diseño de Misiones Geocéntricas
Rafael Vázquez Valenzuela
Departmento de Ingeniería Aeroespacial
Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla
rvazquez1@us.es
28 de octubre de 2010

Geometría en esferas
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
En problemas de misiones geocéntricas, es
necesario considerar las órbitas en el espacio
en el entorno de la Tierra.
No es posible limitarse al problema plano,
por lo que es necesario trabajar en un
entorno geométrico tridimensional.
Asimilando la superficie de la Tierra a una
esfera, se usan coordenadas esféricas (según
el sistema de referencia, latitud φ y longitud
λ o declinación δ y ascensión recta AR).
En este marco, aparecen triángulos y
circunferencias esféricos; estos son el objeto
de estudio de la trigonometría esférica.
2 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trigonometría Esférica I
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Objeto: Estudiar relaciones angulares en triángulos esféricos (los
triángulos de la geometría esférica).
La Encyclopædia Britannica de 1911 dice:
“Perhaps to the student there is no part of elementary
mathematics so repulsive as is spherical
geometry.”
®
En una esfera, un “círculo mayor” (gran
círculo, círculo máximo) viene dado por la
intersección de un plano que pasa por el
centro de la esfera con la esfera.
Las “rectas esféricas” (geodésicas) son
los círculos mayores. Obsérvese que
cualesquiera dos rectas esféricas cortan
siempre en dos puntos; por tanto, no
existen paralelas en geometría esférica.
El ángulo entre dos rectas esféricas viene
dado por el ángulo entre las tangentes
en el punto de corte.
3 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trigonometría Esférica II
Al-Jayyani
Matemático musulmán nacido en Córdoba o Jaén
en el siglo X. Escribió el primer tratado sobre trigonometría
esférica, “Libro de los arcos desconocidos
sobre una esfera”.
b c
a
®
¯
°
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Un triángulo esférico es el
determinado por tres rectas esféricas.
En un triángulo esférico hay seis
ángulos: los formados entre las rectas
en los vértices, que llamaremos α, β y
γ, (que NO suman 180 o ) y tres
ángulos interiores, a, b, y c, que se
oponen a los anteriores.
Obsérvese que si el radio de la esfera
es unidad, entonces a, b y c (en
radianes) corresponden a las
longitudes de los arcos que forman el
triángulo; por ello se denominan
“lados”, mientras que α, β y γ son
los “ángulos”.
4 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trigonometría Esférica III
®
¯
Figura: Representación de un
triángulo esférico
c
b
°
a
Existen otras fórmulas,
pero éstas son las más
importantes. A veces se
usan simultáneamente
para resolver
ambigüedades de signo.
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Por simplicidad, podemos representar un
triángulo esférico como en la figura.
Se cumplen las siguientes relaciones:
Leyes de cosenos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos β
cos c = cos b cos a + sen b sen a cos γ
cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a
cos β = − cos α cos γ + sen α sen γ cos b
cos γ = − cos β cos α + sen β sen α cos c
Ley de senos:
sen α
sen a
= sen β
sen b
= sen γ
sen c
5 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Relación entre Trigonometría Esférica y Plana
Obsérvese que si los lados a, b, c son pequeños, entonces se
tiene que sen a ≈ a y cos a ≈ 1 − a 2 /2.
Usando estas aproximaciones:
La ley del coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α) queda:
1 − a2
2 ≈ (1 − b2 )(1 − c 2 ) + bc cos α = 1 − b2
2
c2
−
2 + b2c 2
4
despreciando términos de orden alto y cambiando el signo:
La ley de senos queda:
sen α
a
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
= sen β
b
= sen γ
c
Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometría
plana. Por tanto para pequeñas distancias la trigonometría
esférica coincide con la plana.
+ bc cos α
6 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Área de un triángulo esférico
®
c
°
¯
a
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
El razonamiento anterior permite intuir que
cuanto más “grande” sea un triángulo
esférico, más grande será la desviación de un
triángulo plano.
Esta idea intuitiva se puede cuantificar
b
mediante el llamado Teorema de Girard.
Si llamamos S a la superficie del triángulo esférico, y R al
radio de la esfera en la que está inscrita el triángulo, se
verifica que:
S = (α + β + γ − π)R 2
S cuantifica el tamaño del triángulo, y la fórmula
α + β + γ − π (llamada el exceso esférico) cuantifica la
desviación de la trigonometría plana (donde los ángulos de un
triángulo suman π).
7 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones I
®
i
En misiones geocéntricas o planetocéntricas en general
(tomando como modelo del planeta una esfera), la
trigonometría esférica permite determinar cantidades de
interés a partir de los elementos orbitales conocidos.
Primera Aplicación: Encontrar la latitud/declinación de un
satélite dada su anomalía verdadera θ y el argumento del
perigeo ω.
c
b
! + µ
°
¯
a
Á
En este caso, γ = 90 o , a = φ = δ (la latitud
o declinación), α = i (la inclinación sobre el
ecuador) y c = ω + θ.
Aplicamos la ley de senos:
sen φ
sen i
= sen(ω + θ)
sen 90 o
de donde despejamos la latitud como
sen φ = sen(ω + θ) sen i 8 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones II
Segunda Aplicación: Determinar la inclinación de una órbita a
partir del azimut de lanzamiento y la latitud de la base de
lanzamiento.
Noncoplanar Transfers
Launching a satellite:
For a direct launch, the launch site latitude must be less than or
equal to the desired inclination, otherwise we must change the
9 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones III
i
­ i
! + µ
Az
Az
Az
Á
Hipótesis:
La trayectoria de lanzamiento es
coplanaria con la órbita.
Se desprecia el efecto de rotación de
la Tierra.
En este caso, γ = 90 o , a = φ,
β = Az, α = i y c = ω + θ.
Aplicamos la ley de cosenos a i:
cos i = − cos Az cos 90 o
+ sen Az sen 90 0 cos φ
de donde ✞
☎
cos i = sen Az cos φ
✝
✆
10 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones IV
Puesto que cos i = sen Az cos φ, con Az = 90 o (lanzamiento
hacia el Este) se tiene i = φ. En cualquier otro caso, i > φ.
Cada base posee un azimuth máximo y mínimo de lanzamiento
por razones geográficas, estratégicas y de seguridad.
Habría que añadir la velocidad de rotación de la Tierra en la
base, que es vL = ω⊕r cos φ ≈ ω⊕R⊕ cos φ, con dirección Este.
11 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 15
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones V
Noncoplanar Transfers
Sitios de Lanzamiento:
Launch sites and allowable azimuths
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 16
12 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VI
Sitios de Lanzamiento:
Launch Sites
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 17
13 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VII
i
Ventanas de Lanzamiento: Determinar la hora del lanzamiento
de forma que Ω sea la deseada.
­ i
! + µ
¸
u
Az
Az
Az
Á
El ángulo formado entre la base y
será Ω + λu, donde λu está definida en la
figura. Por definición dicho ángulo es LST.
Encontramos λu de la siguiente fórmula
cos Az = − cos i cos 90 o + sen i sen 90 0 cos λu
✞
☎
cos Az
de donde cos λu =
✝
sen i .
✆
Luego
Ω+λu = LST = GST+λ = GST0+λ+ω⊕t.
☛
✟
Por tanto: t =
✡
✠
Ω+λu−λ−GST0
ω⊕
.
La “ventana de lanzamiento” ∆t
vendrá dada por la tolerancia ∆Ω. 14 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VIII
i
Ascensión recta/longitud: Determinar la ascensión recta y/o
la longitud geográfica de un satélite en un cierto instante.
! + µ
¸
u
Az
Az
Á
Se usa la misma figura. En este caso Az será el
azimut (geocéntrico inercial) con el que el satélite
surca una determinada zona.
Se calcula en primer lugar el valor de θ en el
instante de tiempo y luego φ (o δ cuyo valor es el
mismo) como antes.
Posteriormente se aplica cos(ω + θ) = cos φ cos λu. Se
encuentra entonces λu. Para evitar calcular φ se puede usar:
tan λu = cos i tan(ω + θ).
El ángulo formado entre el satélite y será Ω + λu. Por tanto
dicho ángulo es la ascensión recta del satélite:
AR = Ω + arctan (cos i tan(ω + θ)).
Se calcula λ de la fórmula Ω + λu = GST0 + λ + ω⊕t, luego:
λ = Ω − GST0 − ω⊕t + arctan (cos i tan(ω + θ)).
15 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol I
Problema: determinar la Ascensión recta y declinación del Sol
un cierto día D a la hora t (UT).
Datos: D, t, y la fecha del Equinoccio de Primavera de dicho
año t .
Con los datos calculamos ∆T (en días) como la diferencia
entre la fecha actual y la del Equinoccio de Primavera (se
suele despreciar t). Se hace la hipótesis de que un año tropical
= 365.25 días.
Método 1:Si sólo hace falta la AR del Sol, se puede aproximar
por la AR del Sol Medio, que será GST + 15(12 − t), donde t
se escribe en horas. Error máximo 5 grados.
Método 2: Suponiendo que la órbita de la Tierra es circular.
Entonces u⊙ = ∆T
365,25
. De las fórmulas vistas anteriormente:
AR⊙ = arctan (cos ɛ tan(u⊙)) (resolver ambigüedad según la
época del año) y δ⊙ = arc sen(sen ɛ sen u⊙). Se comete un
pequeño error (máximo 2 grados). 16 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol II
Método 3: Si se considera tanto la inclinación como la
excentricidad de la Tierra, hay que usar la ecuación de Kepler.
Sabiendo que θ = 180 − ω⊕ (porque u = 180) y usando
e⊕, calcular con la ecuación de Kepler ∆T (el tiempo entre
perihelio y el equinoccio).
Usando ∆T⊕ = ∆T + ∆T (el tiempo entre la posición
actual de la Tierra y el perihelio) calcular con Kepler θ⊕.
Se tiene u⊕ = ω⊕ + θ⊕ y u⊙ = 180 + u⊕.
Finalmente: AR⊙ = arctan (cos ɛ tan(u⊙)) (resolver
ambigüedad según mes) y δ⊙ = arc sen(sen ɛ sen u⊙). Error
muy pequeño si no se desprecia t.
Se puede afinar aún más (p.ej. para calcular eclipses)
incluyendo la precesión de los equinoccios y perturbaciones.
Otros datos de entrada pueden ser las fechas de afelio,
perihelio, solsticios...
17 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
El triángulo astronómico I
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
La aplicación más importante de la trigonometría esférica a la
astronomía es el llamado “triángulo astronómico”. Permite
resolver los problemas de la astronomía esférica que
planteamos en el Tema 1.
Sea un cuerpo S “infinitamente” distante de la Tierra, con
declinación δS, cuyas coordenadas topocéntricas respecto a un
observador O son su elevación h y azimut Az. El observador
se encuentra en un punto de la Tierra de latitud φ, y el ángulo
horario de S respecto al observador es HS.
Recordemos que el ángulo horario es la diferencia entre el
meridiano del observador y el meridiano en el que se
encuentra S, de forma que
HS = LST − ARS = GST0 + λ + ω L t − ARS).
El triángulo astronómico permite obtener una pareja de datos
(coordenadas de S topocéntricas o geocéntricas, coordenadas
del observador) a partir del resto. 18 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
El triángulo astronómico II
S
!"# #
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
La clave para plantear el triángulo consiste en desplazar el
centro del sistema de referencia geocéntrico al observador; no
se alteran las coordenadas angulares de S por la hipótesis de
estar “infinitamente” distante de la Tierra.
Z
!"# $
-%
%
Az
!
!
!"# " !
S W
-
"
!
horizonte
#
P
O
$
&'
E
ecuador celeste
N
En la figura, Z es el zenit,
N,S,E,W los puntos
cardinales, y P la dirección
del eje de la Tierra (hacia la
estrella polar).
Si el cuerpo S fuera próximo
a la Tierra, el planteamiento
no es válido; el problema hay
que resolverlo con vectores.
19 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
El triángulo astronómico III
90-h
90- Á
{ H
Az
S
90-±
S
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Del triángulo, obtenemos aplicando dos veces la ley
de cosenos y recordando que sen(90 − α) = cos α y
cos(90 − α) = sen α, se tiene:
sen δS = sen φ sen h + cos φ cos h cos Az,
sen h = sen φ sen δS + cos φ cos δS cos HS,
Hay que recordar que: HS = GST0 + λ + ω L t − ARS.
Usando las dos ecuaciones y sustituyendo HS podemos
obtener una pareja cualesquiera de datos:
Problema de posicionamiento: hallar δS, ARS.
Problema de observación: hallar h, Az.
Problema de navegación: hallar φ, λ.
Hay que tener cuidado con las ambigüedades de signo; se
sen Az sen HS
puede usar la ley de senos cos = − δS cos h y recordar que
δS, φ, h ∈ [−π, π].
20 / 95

Círculos esféricos
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Un círculo esférico viene dado por el corte de una esfera con un
plano arbitrario.
Si el plano no pasa por el centro de la
esfera, se trata de un “círculo menor”.
Un círculo esférico vendrá dado por su
centro (en la superficie de la esfera, dado
usualmente en coordenadas esféricas
φ0, λ0) y su radio (normalmente dado
como un ángulo Γ).
La mejor forma de visualizarlo es como la
intersección de la esfera con un cono
recto de vértice el centro de la esfera,
ángulo Γ y cuyo eje pasa por el centro
del círculo esférico.
21 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Cálculo de círculos esféricos con trigonometría esférica
Dado el centro en (λ0, φ0) se calculan las
coordenadas (λ, φ) de la circunferencia.
Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360 o ]:
cos(90 − φ) = cos(90 − φ0) cos Γ + sen(90 − φ0) sen Γ cos A
es decir: sen φ = sen φ0 cos Γ + cos φ0 sen Γ cos A
Por otro lado:
cos Γ = cos(90 − φ0) cos(90 − φ) + sen(90 − φ0) sen(90 − φ) cos ∆λ
es decir: cos ∆λ = cos Γ−sen φ0 sen φ
cos φ0 cos φ
Se calcula λ de la siguiente forma:
Si A ∈ [0, 180 o ], λ = λ0 + ∆λ. Si
A ∈ [180 o , 360 o ], λ = λ0 − ∆λ.
También válido en la esfera celeste
(cambiar λ por AR y φ por δ).
Área: 2πR 2 (1 − cos Γ).
22 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Pertenencia de un punto a un círculo esférico
Problema: Dado un círculo esférico de centro (λ0, φ0) y de
radio Γ, determinar si otro punto (λ, φ) pertenece al círculo
esférico.
Método 1: Usando las fórmulas que parametrizan la
circunferencia. En primer lugar si φ > φ0 + Γ o φ < φ0 − Γ,
tenemos garantía de que no pertenece a la circunferencia. En
otro caso, tomando cos ∆λ = cos Γ−sen φ0 sen φ
cos φ0 cos φ , si
λ ∈ [λ0 − ∆λ, λ0 + ∆λ], entonces el punto pertenece al
círculo.
Método 2: Usando la fórmula que define la distancia angular
ortodrómica α sobre una esfera (ver problemas),
cos α = sen φ0 sen φ + cos φ0 cos φ cos(λ0 − λ). Si α ≤ Γ
entonces el punto se encuentra dentro del círculo.
23 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse
El objetivo es encontrar la circunferencia esférica que forma la
sombra de la Tierra, a una determinada altura h, un cierto día
del año.
Los eclipses son fundamentales para los vehículos espaciales:
gradientes de temperaturas, inutilización de paneles solares,
etc...
Hipótesis: Se considera la Tierra esférica, se desprecian los
efectos de refracción, se supone que el Sol está a una
distancia “infinita”.
Además se supone el Sol inmóvil durante todo el día; en
realidad la circunferencia se desplaza lentamente.
Datos del problema: Coordenadas del sol δ⊙ y AR⊙ para el
día dado (se supone constante), altura h.
24 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Círculos Esféricos
Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse
¯
Obsérvese que se usa el sistema geocéntrico inercial ecuatorial
para no tener que incluir la rotación de la Tierra.
En primer lugar se calcula Γ. De la figura, sen Γ = R⊕
R⊕+h .
Llamemos O al punto antipodal al punto solar (δO = −δ⊙,
ARO = AR⊙ + 180 o ),
Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360 o ] se tendrá:
sen δ = sen δO cos Γ + cos δO sen Γ cos A, cos ∆AR = cos Γ−sen δO sen δ
cos δO cos δ
Esto delimita totalmente la circunferencia donde se
experimentaría eclipse a altura h.
R
Tierra
©
¡
h+
R
©
25 / 95

Trazas I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Traza: Lugar geométrico de los puntos (llamados puntos
subsatélite) de la superficie de la Tierra (u otro planeta)
directamente sobrevolados por el satélite o vehículo.
Las trazas son de gran utilidad a la hora de formular y
verificar requisitos en el diseño de misiones geocéntricas o
planetocéntricas, al ofrecer una representación gráfica de la
órbita desde el punto de vista de la superficie.
Debida a la combinación del movimiento (posiblemente
excéntrico) del satélite y de la Tierra, además del efecto de las
perturbaciones, el cómputo de la traza no es trivial.
Se suelen representar en una proyección terrestre tipo
cilíndrica.
26 / 95

Proyecciones I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La proyección de Mercator es una
proyección cilíndrica definida por
una transformación conforme.
Por tanto, tiene la propiedad de
que los ángulos medidos en la
proyección corresponden con
ángulos reales.
Además, tiene la propiedad de que
las líneas de rumbo constante son
líneas rectas.
No obstante, lejos del Ecuador la
proyección no es fidedigna, y los
puntos cercanos a los polos (que se
proyectan en el infinito) quedan
a alturas muy elevadas.
27 / 95

Proyecciones II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La proyección cilíndrica equidistante escala los paralelos de
forma que ángulos iguales abarcan distancias iguales. Por
tanto longitud y latitud tienen una escala lineal y uniforme.
Por tanto, no es conforme, sin embargo permite representar
toda la Tierra en una superficie finita, por lo que es más útil
que la de Mercator para representar trazas.
28 / 95

Proyecciones III
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Azimuthal Equidistant; Azimuthal;
Neither Conformal or Equal-area;
Originator Unknown; Ancient;
(Also (Also used by and named for Postel; 1581)
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La proyección azimutal equidistante es una proyección sobre
un plano tangente a la Tierra.
Es útil para observar fenómenos cercanos al punto de
tangencia. Las distancias y direcciones sólo son verdaderas
medidas desde el punto de tangencia. 29 / 95

Proyecciones IV
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La proyección estereográfica es
una proyección conforme sobre
un plano tangente a la Tierra
(típicamente en el polo).
Esta proyección respeta ángulos
pero no áreas, además requiere
una superficie infinita ya que el
punto opuesto al de tangencia
se proyecta en el infinito.
La representación es muy buena en las proximidades del punto
opuesto al de tangencia, con lo que se usa con frecuencia para
estudiar órbitas próximas al polo, o la visibilidad de estaciones
de elevada latitud.
30 / 95

Trazas II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La traza se representa usualmente sobre una proyección
cilíndrica equidistante como una curva (λ(t), φ(t)).
Las latitudes máximas alcanzadas por la traza son ±i (para
órbitas directas) y ±(180 − i) para órbitas retrógradas.
Si la Tierra no rotase y en ausencia de perturbaciones, la
curva se cerraría tras 1 revolución, asemejándose a una
sinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal
∆λ = −ω⊕T SAT (en radianes por revolución). Considerando
la perturbación secular del J2, ∆λ = −(ω⊕ − ˙Ω)T SAT
N . 31 / 95

Cálculo de la Traza I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
La traza se puede determinar
analíticamente, si se conoce GST0 y
los elementos en t = 0. En primer
lugar consideramos el modelo sin
perturbaciones.
De la figura, u(t) = ω + θ(t) y
sen φ(t) = sen u(t) sen i.
Por otro lado: tan u(t) cos i =
tan (GST0 + ω⊕t + λ(t) − Ω).
Por tanto las ecuaciones que determinan la traza son:
φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i)
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).
Queda determinar u(t) en función de t. Si la órbita es
circular, u(t) = ω + θ0 + nt.
32 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cálculo de la Traza II
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
En el caso circular, las ecuaciones son, por
tanto:
0
φ(t) = arc sen @sen 4ω + θ0 + t
2
s
µ⊕
“ ”
3
R⊕ +h
3
1
5 sen iA
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan @tan 4ω + θ0 + t
0
2
s
µ⊕
“ ”
3
R⊕ +h
3
1
5 cos iA
Al aumentar la altura, aumenta el periodo y
por tanto aumenta el retraso nodal
∆λ = −ω⊕TSAT, hasta llegar a la altura
geoestacionaria, donde es exactamente 360 o .
Para alturas mayores, la órbita es
“supersíncrona” y la mayor parte de la traza
es retrógrada.
33 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cálculo de la Traza III
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
En el caso excéntrico, sería necesario
emplear la Ecuación de Kepler para obtener
θ en cada instante.
Las órbitas de pequeña excentricidad no se
diferencian mucho de las circulares.
Las de elevada excentricidad modifican
mucho su aspecto debido a los cambios de
velocidad, además de introducir una
dependencia en el argumento del perigeo del
aspecto de la traza.
En la figura, un ejemplo con i = 50 o y
e = 0,75. Obsérvese el movimiento
retrógrado en las proximidades del apogeo.
34 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cálculo de la Traza IV
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Determinación de la velocidad aparente del satélite sobre la traza.
Queremos calcular ˙ φ y ˙ λ. Se pueden calcular
geométricamente, pero lo más sencillo es tomar derivada
temporal en φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) y
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).
Llegamos a: φ(t) ˙ cos u(t) sen i
= √ ˙u(t) y
1−sen2 u(t) sen2 i
˙λ(t) = −ω⊕+ 1+tan2 u(t)
1+tan 2 u(t) cos 2 i
Recordando sen φ(t) = sen u(t) sen i:
˙u(t) cos i = −ω⊕+
˙φ(t) =
cos u(t) sen i tan φ(t)
˙u(t) =
cos φ(t) tan u(t) ˙u(t)
˙λ(t) =
cos i
−ω⊕ +
cos2 φ(t) ˙u(t)
Se tiene de problemas que ˙u(t) = ˙θ(t) = n
˙u(t) cos i
1−sin2 u(t) sin2 i .
(1+e cos θ)2
(1−e 2 ) 3/2 .
35 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cálculo de la Traza V
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
En un punto dado se puede calcular el Azimut relativo o
aparente con el que el satélite cruza el cielo como:
tan Az = cos φ ˙ λ ˙φ .
De la expresión sen φ(t) = sen u(t) sen i se calculan la máxima
y mínima latitud (φ = ±i); se tendrán cuando u(t) = ±90 o .
Órbitas retrógradas: se tendrán cuando ˙λ(t) < 0, es decir:
cos i
cos 2 φ(t)
˙u(t) < ω⊕
Si i ≥ 90 o entonces la traza siempre es retrógrada.
Si existen puntos donde cos i
cos 2 φ(t) ˙u(t) = ω⊕ en dichos puntos la
traza cambia de dirección.
Para órbitas circulares:
˙φ(t) =
tan φ(t)
tan (ω + θ0 + nt) n, ˙λ(t) = −ω⊕ +
cos i
cos 2 φ(t) n
36 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cobertura geográfica I
¡
r
R
©
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Se denomina cobertura geográfica de
un satélite la zona de la Tierra visible
por dicho satélite para cada instante.
Dicha zona estará delimitada por la
circunferencia terrestre donde es
tangente a la esfera de la Tierra un
cono de vértice el satélite.
Desde un punto de esta circunferencia
se vería el satélite justo en el
horizonte.
El “radio angular” Γ de dicha circunferencia viene dado por
cos Γ = R⊕
R⊕+h .
En la lección de trigonometría esférica (círculos esféricos) se
vio como calcular este tipo de circunferencias.
37 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cobertura instrumental
® + °
R
© °
r
®
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Considerando el caso más realista de
un instrumento (antena o sensor) con
un ángulo de visibilidad más estrecho
(α), se determina una circunferencia
de “radio angular” γ ≤ Γ como en la
figura.
Se tiene que
(R⊕ + h) sen α = R⊕ sen(α + γ), luego
R⊕+h
γ = arc sen sen α − α.
Además, se define el “ancho de huella” w como la longitud
del arco máximo tendido por la circunferencia de cobertura
del instrumento. Se tiene pues que w = 2R⊕γ (si γ
está expresado en radianes).
R⊕
38 / 95

Visibilidad I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Un satélite es visible desde una estación si el
vector estación-satélite s está por encima del
horizonte geográfico de la estación.
La condición matématica es que el ángulo de
s sobre el horizonte (elevación, h) debe ser
mayor que un valor hmin, determinado por la
instrumentación y topografía.
De la figura, h = arc sen(s · c) donde c = re apunta al cénit
R⊕
r−re
de la estación. Por otro lado s = √
r 2 +R2 ⊕−2R⊕r cos Ψ .
Por tanto: h = arc sen
r cos Ψ−R⊕ y la condición de
visibilidad queda h > hmin.
√ r 2 +R 2 ⊕ −2R⊕r cos Ψ
Puesto que r · c = r cos Ψ podemos hallar Ψ a partir de r y c.
39 / 95

Visibilidad II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Para r se tiene, usando los ángulos de Euler de la órbita:
[r] R = r[T ] RF (Ω, i, ω + θ)
2
4 1
0
0
3
2
5 = r 4
cΩc(ω + θ) − sΩs(ω + θ)ci
sΩc(ω + θ) + cΩs(ω + θ)ci
s(ω + θ)si
2
Por otro lado, para c: [c] R = 4 c(LST)cφ
s(LST)cφ 5 donde
sφ
LST = GST0 + λ + ω⊕t es el tiempo sidéreo local de la
estación.
Se deduce: cos Ψ = cφ [c(LST − Ω)c(ω + θ) + s(LST − Ω)s(ω + θ)ci] + s(ω + θ)sisφ
3
3
5
40 / 95

Visibilidad III
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Las anteriores relaciones permiten
calcular, para cada instante
(recordando que LST , θ y r son
función de t) la llamada “función de
visibilidad”, que proporciona la
elevación para cada t.
Sólo cuando h > hmin el satélite
será visible.
Estas ideas se pueden aplicar no sólo a satélites, sino a
cualquier cuerpo observable desde la Tierra. El análisis
será más o menos complicado según la complejidad del
movimiento del cuerpo.
Para un satélite en órbita circular este análisis se puede
simplificar y obtener directamente de la representación de las
trazas del satélite.
41 / 95

Visibilidad IV
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Para el caso circular la circunferencia de visibilidad será la
intersección entre el cono de visibilidad (de ángulo 90o − hmin
y vértice la estación) y una esfera de radio R⊕ + hSAT, que
luego hay que proyectar sobre la Tierra. En la figura ε = hmin.
El “radio angular’ Φdel círculo de visibilidad se obtiene de la
R⊕
fórmula Φ = arc cos cos hmin − hmin. Con dicho
R⊕+hSAT
ángulo se pueden emplear las mismas fórmulas explicadas en
cobertura para dibujar la circunferencia.
42 / 95

Visibilidad V
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Ejemplo circular: la plataforma EURECA (1992-1993)
[EUropean REtrievable CArrier].
43 / 95

Visibilidad VI
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Ejemplo circular: satélite europeo de recursos ERS-1 con
órbita polar.
Obsérvese la deformación de los círculos cerca de los polos.
44 / 95

Visibilidad VII
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Proyección estereográfica polar para el estudio de la visibilidad
en las cercanías del polo.
45 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas de Aplicación
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Si bien hay una gran posible diversidad para las órbitas
geocéntricas, en la práctica se utilizan los siguientes tipos de
órbitas:
Geosíncronas/geoestacionarias.
Órbitas bajas, especialmente la órbita heliosíncrona.
Órbitas de alta excentricidad.
Órbita media.
Constelaciones.
46 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria I
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Se define la órbita geoestacionaria (ideal) como:
Geosíncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra
(T⊕ = 23 h 56 m 4 s), por tanto
aGEO =
µ⊕
T 2
⊕
4π 2
1/3
= 42164 km.
Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).
Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.
Para ubicar un satélite geoestacionario, por tanto, sólo
necesitamos la longitud λ del punto del Ecuador sobre el que
se encuentra fijo.
Otra forma de dar la posición del satélite es mediante su
longitud verdadera λT (no se puede usar θ, ω, ni Ω). Se tiene
que λT (t) = GST(t) + λ y por otro lado puesto que n = ω⊕,
λT (t) = λT (t0) + ω⊕t.
La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco
que ocupa aproximadamente 17 o en el horizonte.
47 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria II
La Tierra vista desde GEO:
La órbita GEO:
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Un satélite geoestacionario permanece
inmóvil respecto a la Tierra: su “vista” es
fija. Las antenas de recepción pueden ser
por tanto fijas.
Inconveniente: no se cubren bien las zonas
polares (por encima de 81,3 o de latitud).
La órbita GEO está muy congestionada
(en sentido físico y de interferencias
radioeléctricas). Está regulada
internacionalmente.
Se necesitan lanzadores potentes para
llegar a GEO.
48 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria III
Eclipses:
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Los eclipses son importantes porque
los paneles solares (principal fuente de
alimentación) dejan de funcionar y se
producen fuertes gradientes térmicos.
El eclipse máximo se produce en los
equinoccios.
La “temporada de eclipses” comienza
21 días antes del equinoccio y finaliza
21 días después.
49 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria IV
Cobertura de la Tierra:
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
50 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria V
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): son
necesarios tres satélites geoestacionarios.
51 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria VI
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Efecto de perturbaciones:
Puesto que la órbita es ecuatorial, por simetría el J2 no altera
el plano de la órbita.
Puesto que la órbita es de gran altitud, no existe resistencia
atmosférica.
La perturbación lunisolar tiene el efecto de sacar al satélite del
plano ecuatorial (cambiando la inclinación) aproximadamente
1 o /año. A veces se denomina perturbación N-S.
La presión de radiación solar tiene un efecto apreciable; el más
importante es una perturbación periódica (periodo 1 año) de la
excentricidad.
El efecto más importante es el de la triaxialidad (J22).
Estas perturbaciones se tienen que compensar mediante
maniobras (stationkeeping).
52 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria VII
Perturbación N-S:
Efecto en la traza:
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
53 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbita geoestacionaria VIII
Efecto de la triaxialidad:
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
El J22 provoca que los satélites oscilen
en longitud. La dinámica aproximada
viene dada por la ecuación
donde k 2 = 18
¨λ ≈ −k 2 sen 2(λ − λS)
n R⊕
a
2
J22 y
λS = 75,3 o es la posición de uno de
los equilibrios. Se tiene
k 2 ≈ 0,002 o /dia 2 .
Las posiciones estables se pueden
utilizar como “basurero espacial” para
GEO.
54 / 95

LEO (órbita baja)
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
La órbita baja es la más utilizada, por
su proximidad “energética” a la
Tierra. Las estaciones espaciales se
han situado en LEO.
Se considera órbita baja a aquella
órbita que no se extiende más allá de
una altitud de 2000 km.
Se evitan altitudes inferiores a 300 km
ya que la resistencia atmosférica
reduce mucho la vida útil.
Las perturbaciones más importantes
son el J2 y la resistencia atmosférica.
Muy utilizadas son las órbitas
heliosíncronas.
55 / 95

Heliosincronismo I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
En el sistema geocéntrico ecuatorial, la proyección del Sol
Medio en una esfera con la Tierra en su centro será un punto
S (el punto subsolar medio) que define un “meridiano solar”
(medio); éste punto se desplaza en el sentido antihorario con
una velocidad de 360/365,25 o /dia.
Sea ARM (α en la figura) la
ascensión recta del Sol Medio:
ARM ˙ = 360/365,25o /dia.
Por otro lado Ω, la ascensión
recta del nodo ascendente,
cambia debido a perturbaciones.
Llamemos δ = Ω − ARM.
Una órbita es heliosíncrona si se
cumple que δ ≈ cte.
56 / 95

Heliosincronismo II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Del modelo de perturbaciones
seculares con el J2, se tiene que
i = cte. mientras que
d
dt
d
Ω = −3
dt 2 J2n
2 R⊕
p
La condición que tiene que cumplir la órbita, por tanto, es
˙Ω = ARM, ˙ es decir:
− 3
2 J2
µ⊕
a3
R⊕
a(1 − e2 )
2 cos i =
cos i
2π
365,25 × 1 dia solar medio
Para el caso de órbita circular de altura h, se cumple:
7/2 R⊕
cos i
= −0,0989
R⊕ + h
57 / 95

Heliosincronismo III
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Por tanto, existen múltiples órbitas heliosíncronas con
diferente inclinación y altitud. No obstante, de la ecuación,
cos i ha de ser negativo (luego i > 90 o , es decir, órbitas
retrógradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo que
cos i es pequeño, es decir, las órbitas son aproximadamente
polares.
Puesto que el ángulo δ es constante, se puede utilizar para
identificar una órbita heliosíncrona concreta.
Si δ = 0 o , entonces el nodo ascendente cruza el Ecuador a
mediodía medio (y el nodo descendente a medianoche media).
Esta órbita se llama 12h-24h (high noon orbit).
Si δ = 90 o el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecer
medio (y el nodo descendente, al amanecer medio). Esta órbita
se llama 18h-6h (dusk-dawn).
58 / 95

Heliosincronismo IV
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
59 / 95

Heliosincronismo V
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Ventajas de la órbita heliosíncrona
Los mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol se
simplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodos
de iluminación solar; además, con una altura suficiente (1400
kilómetros) nunca se producen eclipses.
Puesto que la hora solar y la hora solar media son
aproximadamente iguales, las condiciones de iluminación en el
paso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casi
constantes.
Más aún, la hora solar media en el paso por una latitud
cualquiera (al atravesar un paralelo) también es constante.
Ésta propiedad es tremendamente útil para las tareas de
observación y reconocimiento.
60 / 95

Heliosincronismo VI
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
La hora solar media en un punto de la tierra L es
HM = σ/15 + 12, donde σ = LST − ARM. Si el satélite pasa
por dicho punto, entonces por un lado AR = Ω + λu = LST.
Es decir, HM = Ω−ARM+λu
15 + 12. La hora de paso por el
Ecuador, HM0 se da para λu = 0, es decir,
HM0 = Ω−ARM
δ
15 + 12 = 15 + 12.
Por otro lado, de la trigonometría esférica, sen λu =
Por tanto, se tiene: HM = HM0 +
arc sen( tan φ
tan i )
15
tan φ
tan i .
y como i y
HM0 son constantes para un satélite heliosíncrono (δ ≈ cte.),
HM siempre es la misma para la misma latitud φ.
Se toma una solución del arc sen cuando se va de Sur a Norte
y otra cuando se va en la otra dirección.
Por tanto cada vez que un satélite heliosíncrono cruza un
paralelo en un sentido (de Norte a Sur o de Sur a Norte) lo
hace a la misma hora solar media HM.
61 / 95

Heliosincronismo VII
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
62 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas de alta excentricidad: Los Molniya
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Los Molniya (“relámpago” en ruso) son
una familia de satélites de
comunicaciones de la antigua URSS .
Puesto que los satélites en GEO no
cubren bien altas latitudes (cercanas al
polo), y gran parte del territorio ruso se
encuentra muy al Norte, un satélite en
GEO no proporciona una cobertura
geográfica adecuada.
Además dado que los sitios de
lanzamiento rusos son de elevada latitud,
la órbita GEO es muy costosa en
términos “energéticos”.
Solución: varios satélites en órbitas de
alta excentricidad
63 / 95

Molniya I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Supongamos una órbita con los siguientes
elementos: T ≈ 12 h, e = 0,75, es decir una
órbita “semi-síncrona” (cada dos
revoluciones pasa por la misma localización
geográfica) y de alta excentricidad.
Obtendríamos hp ≈ 300 km,
ha ≈ 40000 km.
¿Qué ángulo se recorre en dos horas desde el
perigeo? De la ecuación de Kepler,
n∆t = E − e sen E, obtenemos que
E = 1,78 rad luego θ = 2,54 rad ≈ 145 o .
Por tanto en las cuatro horas restantes del
semi-periodo se recorren los 35 o restantes.
64 / 95

Molniya II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Por tanto, ya que con 35 o se pueden cubrir
las altas latitudes rusas, situando el apogeo
en la zona de máxima latitud donde se
quiere tener cobertura, se pueden conseguir
aproximadamente ocho horas de cobertura.
Son necesarios pues tres satélites para
obtener 24 h de cobertura.
Es fundamental evitar que las perturbaciones
del J2 desplacen el apogeo.
La regresión de los nodos se puede compensar eligiendo
adecuadamente el periodo del satélite.
Puesto que dω
dt = 3J2nR 2 ⊕
4p 2
dω
dt
= 0. Por tanto, i = arc cos
inclinación crítica.
(5 cos 2 i − 1), se elige i tal que
1
5 = 63,4o , la llamada
65 / 95

Molniya III
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
La órbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia y
otro en Norteamérica.
66 / 95

Órbita Tundra
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Otra órbita de alta excentricidad es la órbita tundra.
Es una órbita geosíncrona inclinada con la i crítica
(i = 63,4 o ) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo se
sitúa sobre Norteamérica.
Se emplea para los satélites Sirius (radio por satélite); con 3
satélites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento. 67 / 95

Órbita Media
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Se considera órbita media (MEO) la que
está por encima de la órbita baja (más de
2000 km) y por debajo de la GEO.
Al ser de mayor altitud, ofrece más
cobertura que las órbitas LEO sin requerir la
potencia de transmisión/recepción ni el
coste de la GEO.
Típicamente usada por constelaciones de satélites de
navegación (GPS, Glonass, Galileo), o por satélites de
comunicaciones polares.
Contiene las órbitas semisíncronas circulares (con periodo
igual a la mitad del periodo terrestre).
68 / 95

Constelaciones I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con un
sólo satélite: son necesarios varios.
Una constelación de satélites es un conjunto de satélites
situados en órbitas coordinadas, de forma que ofrecen
cobertura total o casi total.
69 / 95

Constelaciones II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Hemos visto ya varios ejemplos
Tres satélites geoestacionarios proporcionan cobertura total del
planeta, excepto los polos.
Tres satélites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.
La órbita Tundra (tres satélites).
Otros ejemplos son la constelación de satélites de GPS (unos
24 satélites en órbita media, a = 26600 km), la constelación
Iridium (66 satélites en órbita baja) o la constelación
Globalstar (unos 40 satélites, no ofrece cobertura total).
70 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Constelaciones tipo Walker
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Una constelación que contiene órbitas circulares, de altitud h
e inclinación i constantes, con planos separados de forma
pareja se denomina constelación de Walker.
Está definida por tres números enteros:
Número total de satélites t
Número de planos orbitales p
Espacio relativo entre satélites en planos adyacentes,
f ∈ [0, p − 1].
Con estos datos, la separación entre nodos ascendentes
será 360/p o , la separación entre vehículos en el mismo plano
360p/t y la separación relativa entre satélites en planos
adyacentes será 360f /t.
Una constelación 15,5,1 tendrá 5 planos espaciados 72 o , con
tres satélites cada uno separados por 120 o , y la separación
entre satélites de planos adyacentes es de 24 o .
71 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Constelaciones tipo Walker: Ejemplos
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
72 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Órbitas “cementerio”
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Para subsanar el problema de la “basura espacial”, se sitúan
los satélites en una zona segura al final de su vida.
Para los satélites en LEO éstos pueden ser eliminados
simplemente provocando la reentrada.
Para los GEO, la órbita cementerio está situada
significativamente sobre la órbita original.
De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space Debris
Coordination Comitee) la altitud mínima de perigeo sobre
GEO debe ser: ∆h = 235 + (1000CR A ) km donde
mV
CR = (1 + ɛ) cos φS ≈ 1,2 − 1,4.
73 / 95

Introducción
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
En general, no es posible alcanzar la órbita requerida para una
misión directamente en el lanzamiento.
El rango de inclinaciones que se pueden alcanzar es limitado.
Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a su
trayectoria definitiva, sino a una órbita de “aparcamiento”
intermedia.
El objetivo de la misión puede necesitar una órbita inicial que
luego debe ser modificada.
Además, debido al efecto de perturbaciones, las órbitas se
degradan con el tiempo y es necesario corregirlas
(stationkeeping).
Por tanto, las maniobras para modificar una órbita son parte
de cualquier misión. La forma de llevar a cabo una maniobra
es mediante propulsión, proporcionada por motores cohete de
combustible sólido o líquido (en este curso no consideramos
otros tipos de propulsión continua, como motores eléctricos o
velas solares, que exigen integración numérica). 74 / 95

Maniobra básica I
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Hipótesis fundamental: El tiempo de combustión de los
cohetes es muy pequeño comparado con el periodo orbital del
satélite.
Entonces el efecto de la propulsión se puede asimilar a un
impulso instantáneo −−→
∆V en la velocidad; la nueva velocidad
Vf = Vi + −−→
∆V define una órbita diferente, con el mismo foco:
75 / 95

Maniobra básica II
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
En el caso más simple (maniobra
coplanaria) la maniobra queda definida
por el escalar | −−→
∆V | = ∆V y el ángulo
ψ que forma −−→
∆V con Vi.
Partiendo de la velocidad final deseada
Vf y ϕ (el ángulo entre Vi e Vf ), se
obtienen (∆V , ψ) mediante el teorema
del coseno:
∆V 2 = V 2
i
+ V 2
f − 2ViVf cos ϕ, y el
teorema del seno: sen ψ = Vf sen ϕ
∆V .
Obsérvese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en el
caso de que ψ = 0 o (180 o ). En tal caso Vf = Vi + ∆V
(Vf = Vi − ∆V ). Es decir, la dirección tangente es la de
“máximo aprovechamiento” del impulso añadido. 76 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Consumo de combustible I
El consumo de combustible viene dado por:
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
∆V = Ve ln m0 + mp
donde Ve es la velocidad específica de escape del propulsante,
m0 es la masa sin propulsante y mp es la masa de propulsante.
Ve = Ispg donde Isp es el impulso específico y g = 9,81 m/s2
.
e ∆V
Ispg − 1
De la anterior expresión, mp = m0
m0
Obsérvese que si se requieren n maniobras:
∆V TOTAL = ∆V1 + ∆V2 + . . . + ∆Vn
= Ve
ln m0 + mp1 + . . . + mpn
m0 + mp2 + . . . + mpn
= Ve ln m0 + mp1 + . . . + mpn
m0
= Ve ln m0 + (mp) TOTAL
m0
+ ln m0 + mp2 + . . . + mpn
m0 + mp3 + . . . + mpn
+ . . . + ln m0
!
+ mpn
m0
77 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Consumo de combustible II
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
El razonamiento anterior no es válido si consideramos
diferentes etapas, que no sólo constan del peso de
combustible mpi sino también del peso estructural msi de cada
etapa (que contiene al depósito), que se eyecta al consumirse.
Por ejemplo, para dos etapas, se tendría:
∆V1 = Ve ln m0 + ms1 + ms2 + mp + mp2 1
m0 + ms1 + ms2 + mp2
∆V2 = Ve ln m0 + ms2 + mp2
∆V TOTAL = Ve ln
"
m0 + ms2
1 +
= Ve ln
mp 1
„
1 +
m0 + ms1 + ms2 + mp2
= Ve ln
mp 2
m0 + ms2
! „
1 +
1 +
«
mp 2
m0 + ms2
mp 1
m0 + ms1 + ms2 + mp2
En la anterior expresión (también para n etapas) se pueden
buscar los valores óptimos de (mp1, ms1) y (mp2, ms2) que
minimizan el consumo mp1 + mp2 para un valor de ∆VTOTAL.
Esta distribución óptima del combustible por etapas (ya
considerada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores de ∆V
que no se podrían alcanzar con una sola etapa. 78 / 95
« #
!

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Cambio de radio de perigeo/apogeo y circularización
Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un ∆V tangente en el
perigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un ∆V tangente en
el apogeo.
Ejemplo. Cambio de apogeo:
Supongamos un perigeo rp, un apogeo inicial rai y uno final raf .
Por tanto ai = rp+rai
2 y af = rp+raf
2 .
Usando la ecuación de las fuerzas vivas en el perigeo:
2µ µ
vi = − rp ai y vf
2µ µ
= − rp af .
Por tanto:
2µ
∆V = |vf − vi| = 1 −
1 −
rp
rp
1
1+raf /rp −
1
1+rai /rp
Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacer
ra = rp. En el ejemplo anterior, sería lo mismo que hacer
√2
µ
raf = rp, y por tanto: ∆V =
1 − − 1 > 0
1
1+rai /rp
79 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cambio genérico de órbita coplanaria
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
En general un ∆V arbitrario en
el mismo plano provocará un
cambio de a, e y ω.
Conocidos (ai, ei, ωi) y
(af , ef , ωf ), el punto de
maniobra se obtiene de
Usando los ángulos de trayectoria, ϕ = γi − γf .
Para encontrar γf y γi se usa la fórmula tan γ =
ri = ai (1−e 2 i )
1+ei cos θi = rf = af (1−e 2 f )
1+ef cos θf ,
donde θi + ωi = θf + ωf .
vi sólo depende de ai, ri y vf de
af , rf ⇒ ∆V = f (ai, af , ri).
e sin θ
1+e cos θ .
Un proceso similar permite obtener (af , ef , ωf ) a partir de
(ai, ei, ωi) y ∆V , ψ. 80 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Rotación de la linea de ápsides
INICIAL
V
~
f
FINAL
¢ V
~
°
f
'
r~
V
~
f
¢ V
~
V
~
i
°
i
'
V
~
i
r~
¢ !
µ
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Se pretende rotar ω en una cantidad
∆ω, sin modificar a ni e.
Por tanto, Vf = Vi =
2µ
r
µ
− a . De la
figura, el punto de aplicación de ∆V
vendrá dado por θi = ∆ω/2, por tanto
r = a(1−e2 )
1+e cos ∆ω/2 . Obsérvese que
θf = −∆ω/2.
Falta encontrar ϕ, que se deduce de
ϕ = γi − γf . Puesto que
e sin θ
tan γ = 1+e cos θ , se tiene que
γf = −γi, luego ϕ = 2γi y que
tan γi =
e sin ∆ω/2
1+e cos ∆ω/2 .
Se deduce ∆V = 2Vi sen γi.
81 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cambio de plano orbital
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Supongamos que queremos
mantener a, e, ω y θ pero
queremos variar el plano (Ω e i).
Si a no cambia,
Vf = Vi = 2µ/r − µ/a, por
tanto el ángulo ϕ (∆A en la
figura) determina la maniobra,
junto con la latitud φ en la que
se debe efectuar la maniobra.
De la trigonometría esférica se encuentran las fórmulas:
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if cos(Ωf − Ωi) y
sen φ = sen ii sen if sen(Ωf −Ωi )
sen ∆A
Se tiene ∆V = 2Vi sen ∆A/2.
82 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Cambio sólo de nodo o de inclinación
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Cambio de Ω sin cambiar i: De
las fórmulas anteriores
cos ∆A = cos 2 i+sen 2 i cos(Ωf −Ωi)
y sen φ = sen2 i sen(Ωf −Ωi )
sen ∆A
Usando la fórmula
cos α = 1 − 2 sen 2 α/2 se puede
deducir:
sen ∆A
2 = sen i sen Ωf −Ωi
2 .
Se tiene entonces
∆V = 2Vi sen i sen(Ωf − Ωi)/2.
Cambio de i sin cambiar Ω:
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if = cos(ii − if ) luego
∆A = ii − if ; además, φ = 0.
Se tiene entonces ∆V = 2Vi sen(ii − if )/2.
.
83 / 95

Introducción
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Si la órbita final no tiene ningún punto en
común con la órbita inicial, no es posible
realizar la maniobra con un sólo impulso.
Es necesario realizar una transferencia,
con al menos dos maniobras intermedias
de un sólo impulso.
La órbita intermedia se denomina órbita
de transferencia.
En general existen infinitas posibles órbitas de transferencia.
El “coste” de la transferencia será ∆V = ∆V1 + ∆V2.
Es importante determinar cuáles son las óptimas en algún
sentido (mínimo consumo de combustible, mínimo tiempo de
transferencia...).
Inicialmente consideraremos transferencias coplanarias entre
dos órbitas circulares.
84 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Transferencia de Hohmann I
Luego ∆V1 =
2µ
ri
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Dadas dos órbitas círculares de radios ri y rf ,
se puede demostrar que la transferencia de
mínimo ∆V usando dos impulsos es la
llamada transferencia de Hohmann.
El primer impulso lleva la órbita a una cuyo
apogeo coincide con rf , mientras que el
segundo circulariza la órbita.
La elipse de transferencia de Hohmann
cumple aH = ri +rf
2 .
µ
µ
− µ
aH −
ri , ∆V2 =
rf −
2λ
1+λ
Llamando λ = rf
ri , se llega a ∆V1 = Vi
∆V2 = Vi
, luego se llega a
∆VT
Vi =
1
λ −
2
λ(1+λ)
2
λ(1+λ) (λ − 1) +
2µ
rf
− 1 ,
1
λ − 1. También TH = π
− µ
aH .
a 3 H
µ . 85 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Transferencia de Hohmann II
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
El coste de la transferencia de Hohmann está representado en
la figura más arriba, incluyendo transferencias interiores.
Para λ → ∞ tenemos el impulso de escape ( √ 2 − 1).
Sólo para valores de λ en torno a la unidad es más económica
la transferencia que el escape.
Existe un máximo, λ ≈ 15,58, para el cual el costo es máximo. 86 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Transferencia biparabólica/bielíptica I
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Es posible mejorar la transferencia de
Hohmann realizando más impulsos. La
transferencia bielíptica requiere tres
impulsos (que siempre son tangentes)
y emplea dos órbitas de transferencia.
La primera órbita de transferencia
tiene como perigeo ri y apogeo rt;
mientras que la segunda tiene como
perigeo rf y apogeo rt.
Si rt = ∞ la transferencia se denomina “biparabólica” (caso
a) ya que las dos órbitas de transferencia son parábolas.
Se cumple a1 = ri +rt
2 y a2 = rf +rt
2 .
2µ
Se tiene ∆V1 =
∆V2 =
2µ
rt
ri
− µ
a2 −
− µ
2µ
rt
a1 −
µ
ri ,
− µ
a1 y ∆V3 = −
µ
rf +
2µ
rf
− µ
a2 .
87 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Transferencia biparabólica/bielíptica II
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Llamamemos como antes λ = rf
ri y
β = rt
ri .
Se tiene ∆V1 = Vi
∆V2 = Vi
y ∆V3 = Vi
2 2
β −
1
−
2 − 2 1
λ+β −
λ +
2
λ
Por tanto:
2β
2λ
∆VT = Vi 1+β − 1 + β(λ+β) −
2
β(1+β) −
1
λ +
√
Si rt → ∞, entonces β → ∞ y ∆VT → Vi 2 − 1
1 +
Se tiene que ∆VT es decreciente con β, por lo tanto el
anterior valor es el mínimo.
El tiempo de transferencia será la suma de losdos = π
semiperiodos: TB = T1+T2
2
a 3 1
µ +
a 3 2
µ
− 1 ,
1+β
2 2
β − 1+β
− 2
λ+β
2β
λ(λ+β)
1
λ
.
88 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Comparación entre transferencias
Se usan transferencias no
tangenciales para disminuir los
tiempos, si bien aumenta el coste.
El aerobraking puede disminuir
mucho el coste de una transferencia
a una órbita de menor radio, ya
que se obtiene un impulso “gratis”.
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
En la figura, R = λ y R ∗ = β.
La transferencia biparabólica (y
por tanto la bielíptica) sólo
mejora a la de Hohmann para
λ > 12).
Para λ ∈ [12, 15,58] es necesario
tomar β grande para mejorar la
transferencia de Hohmann.
Para λ > 15,58 la biparabólica
siempre mejora a la Hohmann
para β > λ.
Observación: el coste de ir a la
órbita lunar es similar al coste
de ir a GEO.
89 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Transferencia circular-elíptica y elíptica-elíptica
Entre dos órbitas elípticas (alguna de ellas posiblemente
circular) coaxiales (con la misma línea de ápsides), se puede
encontrar una maniobra óptima tipo Hohmann.
La trayectoria óptima conecta el apogeo de una de las órbitas
con el perigeo de otra; la regla óptima consiste en elegir el
mayor de los apogeos. Observación: para una órbita circular,
los radios de apogeo y perigeo son iguales entre sí e iguales al
radio nominal (todos sus puntos son perigeo y apogeo).
En el caso c) es más económica la transferencia que la
maniobra de un impulso.
90 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano I
Para disminuir el coste de la maniobra de
cambio de inclinación, se puede considerar
una transferencia de tres impulsos.
Consideremos el caso circular, con dos
órbitas circulares de radio r1 y diferencia de
inclinación ∆i. Si se utiliza una sóla
maniobra, el gasto es ∆V = 2V1 sen ∆i/2.
Consideremos una órbita de transferencia con radio de perigeo
r1 y radio de apogeo r2. Una vez alcanzado r2, se cambia de
plano y se vuelve por una órbita de transferencia similar.
Por tanto: ∆V1 =
∆V2 = 2
2µ
r2
2µ
− 2µ
r1+r2
r1
− 2µ
r1+r2 −
sen ∆i/2.
µ
r1 , ∆V3 = ∆V1.
91 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano II
Se llega a λOPT =
Llamando λ = r2
r1 , se tiene: ∆VT =
2V1 − 1 + sen ∆i/2 .
2λ
1+λ
Por tanto,
∆VT
V1
= 2
2λ
1+λ
2
λ(1+λ)
1 +
sen ∆i/2
λ
− 1 .
Podemos buscar el valor de λ óptimo
maximizando el corchete.
sen ∆i/2
1−2 sen ∆i/2 .
De aquí obtenemos la siguiente regla:
Si ∆i ≤ 38,94 o , no emplear esta maniobra (no compensa).
Si 38,94 o < ∆i ≤ 60 o , emplear λ = λOPT.
Si ∆i > 60 o , emplear λ → ∞ (tan grande como sea posible).
92 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Transferencia de Hohmann con cambio de plano
Es típico tener que realizar una maniobra para cambiar el
radio y una maniobra para cambiar de plano.
Es más económico realizar ambas maniobras simultáneamente.
Se puede realizar el cambio de plano simultáneo con el primer
impulso, con el segundo, o “repartirlo” entre ambos impulsos.
El “reparto” del cambio de inclinación se puede realizar de
forma óptima.
La corrección en el ∆V se encuentra usando el teorema del
coseno.
93 / 95

Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Rendezvous e intercepción
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Rendezvous/intercepción: Encontrar una transferencia para ir
de un punto dado de una órbita a un punto dado de otra.
El problema genérico es equivalente al problema de Lambert;
algunos casos particulares se pueden resolver mediante las
maniobras y transferencias que hemos visto.
Estudiamos el caso en el que ambos puntos están en la misma
órbita, pero desfasados en su anomalía verdadera.
En dicho caso la maniobra de rendezvous se llama “phasing”.
Para simplificar consideramos el caso de una órbita circular. 94 / 95

Maniobra de phasing
Trigonometría Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Puede haber dos casos: el blanco se encuentra
un ángulo ν en adelanto (arriba) o un ángulo ν
en retraso (abajo).
La idea es modificar ligeramente la órbita del
interceptor, de forma que al volver a pasar por
el punto de inicio, se encuentre al blanco.
Si T es el periodo de la órbita común, el nuevo
periodo ha de ser Tph = T (1 − ν
2π ) (adelanto)
) (retraso).
o Tph = T (1 + ν
2π
A partir de Tph se encuentra aph y el impulso
∆V necesario (para regresar a la órbita de
partida habrá que aplicarlo una segunda vez).
Para reducir ∆V se impone que el encuentro
sea tras k órbitas del interceptor. Entonces
Tph = T (1 ± ν
2πk ), bajando ∆V . 95 / 95