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Trigonometría Esférica Trazas, cobertura y visibilidad Órbitas de Aplicación Maniobras Astronáutica y Vehículos Espaciales Tema 3:Análisis y Diseño de Misiones Geocéntricas Rafael Vázquez Valenzuela Departmento de Ingeniería Aeroespacial Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla rvazquez1@us.es 26 de octubre de 2009
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Astronáutica y Vehículos Espaciales<br />
<strong>Tema</strong> 3:Análisis y Diseño <strong>de</strong> Misiones Geocéntricas<br />
Rafael Vázquez Valenzuela<br />
Departmento <strong>de</strong> <strong>Ingeniería</strong> Aeroespacial<br />
Escuela Superior <strong>de</strong> Ingenieros, Universidad <strong>de</strong> Sevilla<br />
rvazquez1@us.es<br />
26 <strong>de</strong> octubre <strong>de</strong> 2009
Geometría en esferas<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
En problemas <strong>de</strong> misiones geocéntricas, es<br />
necesario consi<strong>de</strong>rar las órbitas en el espacio<br />
en el entorno <strong>de</strong> la Tierra.<br />
No es posible limitarse al problema plano,<br />
por lo que es necesario trabajar en un<br />
entorno geométrico tridimensional.<br />
Asimilando la superficie <strong>de</strong> la Tierra a una<br />
esfera, se usan coor<strong>de</strong>nadas esféricas (según<br />
el sistema <strong>de</strong> referencia, latitud φ y longitud<br />
λ o <strong>de</strong>clinación δ y ascensión recta AR).<br />
En este marco, aparecen triángulos y<br />
circunferencias esféricos; estos son el objeto<br />
<strong>de</strong> estudio <strong>de</strong> la trigonometría esférica.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trigonometría Esférica I<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Objeto: Estudiar relaciones angulares en triángulos esféricos (los<br />
triángulos <strong>de</strong> la geometría esférica).<br />
La Encyclopædia Britannica <strong>de</strong> 1911 dice:<br />
“Perhaps to the stu<strong>de</strong>nt there is no part of elementary<br />
mathematics so repulsive as is spherical<br />
geometry.”<br />
®<br />
En una esfera, un “círculo mayor” (gran<br />
círculo, círculo máximo) viene dado por la<br />
intersección <strong>de</strong> un plano que pasa por el<br />
centro <strong>de</strong> la esfera con la esfera.<br />
Las “rectas esféricas” (geodésicas) son<br />
los círculos mayores. Obsérvese que<br />
cualesquiera dos rectas esféricas cortan<br />
siempre en dos puntos; por tanto, no<br />
existen paralelas en geometría esférica.<br />
El ángulo entre dos rectas esféricas viene<br />
dado por el ángulo entre las tangentes<br />
en el punto <strong>de</strong> corte.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trigonometría Esférica II<br />
Al-Jayyani<br />
Matemático musulmán nacido en Córdoba o Jaén<br />
en el siglo X. Escribió el primer tratado sobre trigonometría<br />
esférica, “Libro <strong>de</strong> los arcos <strong>de</strong>sconocidos<br />
sobre una esfera”.<br />
b c<br />
a<br />
®<br />
¯<br />
°<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Un triángulo esférico es el<br />
<strong>de</strong>terminado por tres rectas esféricas.<br />
En un triángulo esférico hay seis<br />
ángulos: los formados entre las rectas<br />
en los vértices, que llamaremos α, β y<br />
γ, (que NO suman 180 o ) y tres<br />
ángulos interiores, a, b, y c, que se<br />
oponen a los anteriores.<br />
Obsérvese que si el radio <strong>de</strong> la esfera<br />
es unidad, entonces a, b y c (en<br />
radianes) correspon<strong>de</strong>n a las<br />
longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los arcos que forman el<br />
triángulo; por ello se <strong>de</strong>nominan<br />
“lados”, mientras que α, β y γ son<br />
los “ángulos”.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trigonometría Esférica III<br />
®<br />
¯<br />
Figura: Representación <strong>de</strong> un<br />
triángulo esférico<br />
c<br />
b<br />
°<br />
a<br />
Existen otras fórmulas,<br />
pero éstas son las más<br />
importantes. A veces se<br />
usan simultáneamente<br />
para resolver<br />
ambigüeda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> signo.<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Por simplicidad, po<strong>de</strong>mos representar un<br />
triángulo esférico como en la figura.<br />
Se cumplen las siguientes relaciones:<br />
Leyes <strong>de</strong> cosenos:<br />
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α<br />
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos β<br />
cos c = cos b cos a + sen b sen a cos γ<br />
cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a<br />
cos β = − cos α cos γ + sen α sen γ cos b<br />
cos γ = − cos β cos α + sen β sen α cos c<br />
Ley <strong>de</strong> senos:<br />
sen α<br />
sen a<br />
= sen β<br />
sen b<br />
= sen γ<br />
sen c<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Relación entre Trigonometría Esférica y Plana<br />
Obsérvese que si los lados a, b, c son pequeños, entonces se<br />
tiene que sen a ≈ a y cos a ≈ 1 − a 2 /2.<br />
Usando estas aproximaciones:<br />
La ley <strong><strong>de</strong>l</strong> coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α) queda:<br />
1 − a2<br />
2 ≈ (1 − b2 )(1 − c 2 ) + bc cos α = 1 − b2<br />
2<br />
c2<br />
−<br />
2 + b2c 2<br />
4<br />
<strong>de</strong>spreciando términos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n alto y cambiando el signo:<br />
La ley <strong>de</strong> senos queda:<br />
sen α<br />
a<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α<br />
= sen β<br />
b<br />
= sen γ<br />
c<br />
Estos son los teoremas <strong><strong>de</strong>l</strong> seno y el coseno <strong>de</strong> trigonometría<br />
plana. Por tanto para pequeñas distancias la trigonometría<br />
esférica coinci<strong>de</strong> con la plana.<br />
+ bc cos α<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Área <strong>de</strong> un triángulo esférico<br />
®<br />
c<br />
°<br />
¯<br />
a<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
El razonamiento anterior permite intuir que<br />
cuanto más “gran<strong>de</strong>” sea un triángulo<br />
esférico, más gran<strong>de</strong> será la <strong>de</strong>sviación <strong>de</strong> un<br />
triángulo plano.<br />
Esta i<strong>de</strong>a intuitiva se pue<strong>de</strong> cuantificar<br />
b<br />
mediante el llamado Teorema <strong>de</strong> Girard.<br />
Si llamamos S a la superficie <strong><strong>de</strong>l</strong> triángulo esférico, y R al<br />
radio <strong>de</strong> la esfera en la que está inscrita el triángulo, se<br />
verifica que:<br />
S = (α + β + γ − π)R 2<br />
S cuantifica el tamaño <strong><strong>de</strong>l</strong> triángulo, y la fórmula<br />
α + β + γ − π (llamada el exceso esférico) cuantifica la<br />
<strong>de</strong>sviación <strong>de</strong> la trigonometría plana (don<strong>de</strong> los ángulos <strong>de</strong> un<br />
triángulo suman π).<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones I<br />
®<br />
i<br />
En misiones geocéntricas o planetocéntricas en general<br />
(tomando como mo<strong><strong>de</strong>l</strong>o <strong><strong>de</strong>l</strong> planeta una esfera), la<br />
trigonometría esférica permite <strong>de</strong>terminar cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
interés a partir <strong>de</strong> los elementos orbitales conocidos.<br />
Primera Aplicación: Encontrar la latitud/<strong>de</strong>clinación <strong>de</strong> un<br />
satélite dada su anomalía verda<strong>de</strong>ra θ y el argumento <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
perigeo ω.<br />
c<br />
b<br />
! + µ<br />
°<br />
¯<br />
a<br />
Á<br />
En este caso, γ = 90 o , a = φ = δ (la latitud<br />
o <strong>de</strong>clinación), α = i (la inclinación sobre el<br />
ecuador) y c = ω + θ.<br />
Aplicamos la ley <strong>de</strong> senos:<br />
sen φ<br />
sen i<br />
= sen(ω + θ)<br />
sen 90 o<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> <strong>de</strong>spejamos la latitud como<br />
sen φ = sen(ω + θ) sen i 8 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones II<br />
Segunda Aplicación: Determinar la inclinación <strong>de</strong> una órbita a<br />
partir <strong><strong>de</strong>l</strong> azimut <strong>de</strong> lanzamiento y la latitud <strong>de</strong> la base <strong>de</strong><br />
lanzamiento.<br />
Noncoplanar Transfers<br />
Launching a satellite:<br />
For a direct launch, the launch site latitu<strong>de</strong> must be less than or<br />
equal to the <strong>de</strong>sired inclination, otherwise we must change the<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones III<br />
i<br />
i<br />
! + µ<br />
Az<br />
Az<br />
Az<br />
Á<br />
Hipótesis:<br />
La trayectoria <strong>de</strong> lanzamiento es<br />
coplanaria con la órbita.<br />
Se <strong>de</strong>sprecia el efecto <strong>de</strong> rotación <strong>de</strong><br />
la Tierra.<br />
En este caso, γ = 90 o , a = φ,<br />
β = Az, α = i y c = ω + θ.<br />
Aplicamos la ley <strong>de</strong> cosenos a i:<br />
cos i = − cos Az cos 90 o<br />
+ sen Az sen 90 0 cos φ<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> ✞<br />
☎<br />
cos i = sen Az cos φ<br />
✝<br />
✆<br />
10 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones IV<br />
Puesto que cos i = sen Az cos φ, con Az = 90 o (lanzamiento<br />
hacia el Este) se tiene i = φ. En cualquier otro caso, i > φ.<br />
Cada base posee un azimuth máximo y mínimo <strong>de</strong> lanzamiento<br />
por razones geográficas, estratégicas y <strong>de</strong> seguridad.<br />
Habría que añadir la velocidad <strong>de</strong> rotación <strong>de</strong> la Tierra en la<br />
base, que es vL = ω⊕r cos φ ≈ ω⊕R⊕ cos φ, con dirección Este.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 15<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones V<br />
Noncoplanar Transfers<br />
Sitios <strong>de</strong> Lanzamiento:<br />
Launch sites and allowable azimuths<br />
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 16<br />
12 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VI<br />
Sitios <strong>de</strong> Lanzamiento:<br />
Launch Sites<br />
lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 17<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VII<br />
i<br />
Ventanas <strong>de</strong> Lanzamiento: Determinar la hora <strong><strong>de</strong>l</strong> lanzamiento<br />
<strong>de</strong> forma que Ω sea la <strong>de</strong>seada.<br />
i<br />
! + µ<br />
¸<br />
u<br />
Az<br />
Az<br />
Az<br />
Á<br />
El ángulo formado entre la base y <br />
será Ω + λu, don<strong>de</strong> λu está <strong>de</strong>finida en la<br />
figura. Por <strong>de</strong>finición dicho ángulo es LST.<br />
Encontramos λu <strong>de</strong> la siguiente fórmula<br />
cos Az = − cos i cos 90 o + sen i sen 90 0 cos λu<br />
✞<br />
☎<br />
cos Az<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> cos λu =<br />
✝<br />
sen i .<br />
✆<br />
Luego<br />
Ω+λu = LST = GST+λ = GST0+λ+ω⊕t.<br />
☛<br />
✟<br />
Por tanto: t =<br />
✡<br />
✠<br />
Ω+λu−λ−GST0<br />
ω⊕<br />
.<br />
La “ventana <strong>de</strong> lanzamiento” ∆t<br />
vendrá dada por la tolerancia ∆Ω. 14 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Trigonometría Esférica: Aplicaciones VIII<br />
i<br />
Ascensión recta/longitud: Determinar la ascensión recta y/o<br />
la longitud geográfica <strong>de</strong> un satélite en un cierto instante.<br />
! + µ<br />
¸<br />
u<br />
Az<br />
Az<br />
Á<br />
Se usa la misma figura. En este caso Az será el<br />
azimut (geocéntrico inercial) con el que el satélite<br />
surca una <strong>de</strong>terminada zona.<br />
Se calcula en primer lugar el valor <strong>de</strong> θ en el<br />
instante <strong>de</strong> tiempo y luego φ (o δ cuyo valor es el<br />
mismo) como antes.<br />
Posteriormente se aplica cos(ω + θ) = cos φ cos λu. Se<br />
encuentra entonces λu. Para evitar calcular φ se pue<strong>de</strong> usar:<br />
tan λu = cos i tan(ω + θ).<br />
El ángulo formado entre el satélite y será Ω + λu. Por tanto<br />
dicho ángulo es la ascensión recta <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite:<br />
AR = Ω + arctan (cos i tan(ω + θ)).<br />
Se calcula λ <strong>de</strong> la fórmula Ω + λu = GST0 + λ + ω⊕t, luego:<br />
λ = Ω − GST0 − ω⊕t + arctan (cos i tan(ω + θ)).<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
El triángulo astronómico I<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
La aplicación más importante <strong>de</strong> la trigonometría esférica a la<br />
astronomía es el llamado “triángulo astronómico”. Permite<br />
resolver los problemas <strong>de</strong> la astronomía esférica que<br />
planteamos en el <strong>Tema</strong> 1.<br />
Sea un cuerpo S “infinitamente” distante <strong>de</strong> la Tierra, con<br />
<strong>de</strong>clinación δS, cuyas coor<strong>de</strong>nadas topocéntricas respecto a un<br />
observador O son su elevación h y azimut Az. El observador<br />
se encuentra en un punto <strong>de</strong> la Tierra <strong>de</strong> latitud φ, y el ángulo<br />
horario <strong>de</strong> S respecto al observador es HS.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que el ángulo horario es la diferencia entre el<br />
meridiano <strong><strong>de</strong>l</strong> observador y el meridiano en el que se<br />
encuentra S, <strong>de</strong> forma que<br />
HS = LST − ARS = GST0 + λ + ω L t − ARS).<br />
El triángulo astronómico permite obtener una pareja <strong>de</strong> datos<br />
(coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> S topocéntricas o geocéntricas, coor<strong>de</strong>nadas<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> observador) a partir <strong><strong>de</strong>l</strong> resto. 16 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
El triángulo astronómico II<br />
S<br />
!"# #<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
La clave para plantear el triángulo consiste en <strong>de</strong>splazar el<br />
centro <strong><strong>de</strong>l</strong> sistema <strong>de</strong> referencia geocéntrico al observador; no<br />
se alteran las coor<strong>de</strong>nadas angulares <strong>de</strong> S por la hipótesis <strong>de</strong><br />
estar “infinitamente” distante <strong>de</strong> la Tierra.<br />
Z<br />
!"# $<br />
-%<br />
%<br />
Az<br />
!<br />
!<br />
!"# " !<br />
S W<br />
-<br />
"<br />
!<br />
horizonte<br />
#<br />
P<br />
O<br />
$<br />
&'<br />
E<br />
ecuador celeste<br />
N<br />
En la figura, Z es el zenit,<br />
N,S,E,W los puntos<br />
cardinales, y P la dirección<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> eje <strong>de</strong> la Tierra (hacia la<br />
estrella polar).<br />
Si el cuerpo S fuera próximo<br />
a la Tierra, el planteamiento<br />
no es válido; el problema hay<br />
que resolverlo con vectores.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
El triángulo astronómico III<br />
90-h<br />
90- Á<br />
{ H<br />
Az<br />
S<br />
90-±<br />
S<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Del triángulo, obtenemos aplicando dos veces la ley<br />
<strong>de</strong> cosenos y recordando que sen(90 − α) = cos α y<br />
cos(90 − α) = sen α, se tiene:<br />
sen δS = sen φ sen h + cos φ cos h cos Az,<br />
sen h = sen φ sen δS + cos φ cos δS cos HS,<br />
Hay que recordar que: HS = GST0 + λ + ω L t − ARS.<br />
Usando las dos ecuaciones y sustituyendo HS po<strong>de</strong>mos<br />
obtener una pareja cualesquiera <strong>de</strong> datos:<br />
Problema <strong>de</strong> posicionamiento: hallar δS, ARS.<br />
Problema <strong>de</strong> observación: hallar h, Az.<br />
Problema <strong>de</strong> navegación: hallar φ, λ.<br />
Hay que tener cuidado con las ambigüeda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> signo; se<br />
sen Az sen HS<br />
pue<strong>de</strong> usar la ley <strong>de</strong> senos cos = − δS cos h y recordar que<br />
δS, φ, h ∈ [−π, π].<br />
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Círculos esféricos<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Un círculo esférico viene dado por el corte <strong>de</strong> una esfera con un<br />
plano arbitrario.<br />
Si el plano no pasa por el centro <strong>de</strong> la<br />
esfera, se trata <strong>de</strong> un “círculo menor”.<br />
Un círculo esférico vendrá dado por su<br />
centro (en la superficie <strong>de</strong> la esfera, dado<br />
usualmente en coor<strong>de</strong>nadas esféricas<br />
φ0, λ0) y su radio (normalmente dado<br />
como un ángulo Γ).<br />
La mejor forma <strong>de</strong> visualizarlo es como la<br />
intersección <strong>de</strong> la esfera con un cono<br />
recto <strong>de</strong> vértice el centro <strong>de</strong> la esfera,<br />
ángulo Γ y cuyo eje pasa por el centro<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> círculo esférico.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Cálculo <strong>de</strong> círculos esféricos con trigonometría esférica<br />
Dado el centro en (λ0, φ0) se calculan las<br />
coor<strong>de</strong>nadas (λ, φ) <strong>de</strong> la circunferencia.<br />
Para cada valor <strong>de</strong> azimuth A ∈ [0, 360 o ]:<br />
cos(90 − φ) = cos(90 − φ0) cos Γ + sen(90 − φ0) sen Γ cos A<br />
es <strong>de</strong>cir: sen φ = sen φ0 cos Γ + cos φ0 sen Γ cos A<br />
Por otro lado:<br />
cos Γ = cos(90 − φ0) cos(90 − φ) + sen(90 − φ0) sen(90 − φ) cos ∆λ<br />
es <strong>de</strong>cir: cos ∆λ = cos Γ−sen φ0 sen φ<br />
cos φ0 cos φ<br />
Se calcula λ <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
Si A ∈ [0, 180 o ], λ = λ0 + ∆λ. Si<br />
A ∈ [180 o , 360 o ], λ = λ0 − ∆λ.<br />
También válido en la esfera celeste<br />
(cambiar λ por AR y φ por δ).<br />
Área: 2πR 2 (1 − cos Γ).<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Pertenencia <strong>de</strong> un punto a un círculo esférico<br />
Problema: Dado un círculo esférico <strong>de</strong> centro (λ0, φ0) y <strong>de</strong><br />
radio Γ, <strong>de</strong>terminar si otro punto (λ, φ) pertenece al círculo<br />
esférico.<br />
Método 1: Usando las fórmulas que parametrizan la<br />
circunferencia. En primer lugar si φ > φ0 + Γ o φ < φ0 − Γ,<br />
tenemos garantía <strong>de</strong> que no pertenece a la circunferencia. En<br />
otro caso, tomando cos ∆λ = cos Γ−sen φ0 sen φ<br />
cos φ0 cos φ , si<br />
λ ∈ [λ0 − ∆λ, λ0 + ∆λ], entonces el punto pertenece al<br />
círculo.<br />
Método 2: Usando la fórmula que <strong>de</strong>fine la distancia angular<br />
ortodrómica α sobre una esfera (ver problemas),<br />
cos α = sen φ0 sen φ + cos φ0 cos φ cos(λ0 − λ). Si α ≤ Γ<br />
entonces el punto se encuentra <strong>de</strong>ntro <strong><strong>de</strong>l</strong> círculo.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Aplicación: cálculo <strong>de</strong> la circunferencia <strong>de</strong> eclipse<br />
El objetivo es encontrar la circunferencia esférica que forma la<br />
sombra <strong>de</strong> la Tierra, a una <strong>de</strong>terminada altura h, un cierto día<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> año.<br />
Los eclipses son fundamentales para los vehículos espaciales:<br />
gradientes <strong>de</strong> temperaturas, inutilización <strong>de</strong> paneles solares,<br />
etc...<br />
Hipótesis: Se consi<strong>de</strong>ra la Tierra esférica, se <strong>de</strong>sprecian los<br />
efectos <strong>de</strong> refracción, se supone que el Sol está a una<br />
distancia “infinita”.<br />
A<strong>de</strong>más se supone el Sol inmóvil durante todo el día; en<br />
realidad la circunferencia se <strong>de</strong>splaza lentamente.<br />
Datos <strong><strong>de</strong>l</strong> problema: Coor<strong>de</strong>nadas <strong><strong>de</strong>l</strong> sol δ⊙ y AR⊙ para el<br />
día dado (se supone constante), altura h.<br />
22 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Definiciones y Fórmulas<br />
Aplicaciones<br />
Círculos Esféricos<br />
Aplicación: cálculo <strong>de</strong> la circunferencia <strong>de</strong> eclipse<br />
¯<br />
Obsérvese que se usa el sistema geocéntrico inercial ecuatorial<br />
para no tener que incluir la rotación <strong>de</strong> la Tierra.<br />
En primer lugar se calcula Γ. De la figura, sen Γ = R⊕<br />
R⊕+h .<br />
Llamemos O al punto antipodal al punto solar (δO = −δ⊙,<br />
ARO = AR⊙ + 180 o ),<br />
Para cada valor <strong>de</strong> azimuth A ∈ [0, 360 o ] se tendrá:<br />
sen δ = sen δO cos Γ + cos δO sen Γ cos A, cos ∆AR = cos Γ−sen δO sen δ<br />
cos δO cos δ<br />
Esto <strong><strong>de</strong>l</strong>imita totalmente la circunferencia don<strong>de</strong> se<br />
experimentaría eclipse a altura h.<br />
R<br />
Tierra<br />
©<br />
¡<br />
h+<br />
R<br />
©<br />
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Trazas I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Traza: Lugar geométrico <strong>de</strong> los puntos (llamados puntos<br />
subsatélite) <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la Tierra (u otro planeta)<br />
directamente sobrevolados por el satélite o vehículo.<br />
Las trazas son <strong>de</strong> gran utilidad a la hora <strong>de</strong> formular y<br />
verificar requisitos en el diseño <strong>de</strong> misiones geocéntricas o<br />
planetocéntricas, al ofrecer una representación gráfica <strong>de</strong> la<br />
órbita <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> la superficie.<br />
Debida a la combinación <strong><strong>de</strong>l</strong> movimiento (posiblemente<br />
excéntrico) <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite y <strong>de</strong> la Tierra, a<strong>de</strong>más <strong><strong>de</strong>l</strong> efecto <strong>de</strong> las<br />
perturbaciones, el cómputo <strong>de</strong> la traza no es trivial.<br />
Se suelen representar en una proyección terrestre tipo<br />
cilíndrica.<br />
24 / 93
Proyecciones I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La proyección <strong>de</strong> Mercator es una<br />
proyección cilíndrica <strong>de</strong>finida por<br />
una transformación conforme.<br />
Por tanto, tiene la propiedad <strong>de</strong><br />
que los ángulos medidos en la<br />
proyección correspon<strong>de</strong>n con<br />
ángulos reales.<br />
A<strong>de</strong>más, tiene la propiedad <strong>de</strong> que<br />
las líneas <strong>de</strong> rumbo constante son<br />
líneas rectas.<br />
No obstante, lejos <strong><strong>de</strong>l</strong> Ecuador la<br />
proyección no es fi<strong>de</strong>digna, y los<br />
puntos cercanos a los polos (que se<br />
proyectan en el infinito) quedan<br />
a alturas muy elevadas.<br />
25 / 93
Proyecciones II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La proyección cilíndrica equidistante escala los paralelos <strong>de</strong><br />
forma que ángulos iguales abarcan distancias iguales. Por<br />
tanto longitud y latitud tienen una escala lineal y uniforme.<br />
Por tanto, no es conforme, sin embargo permite representar<br />
toda la Tierra en una superficie finita, por lo que es más útil<br />
que la <strong>de</strong> Mercator para representar trazas.<br />
26 / 93
Proyecciones III<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Azimuthal Equidistant; Azimuthal;<br />
Neither Conformal or Equal-area;<br />
Originator Unknown; Ancient;<br />
(Also (Also used by and named for Postel; 1581)<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La proyección azimutal equidistante es una proyección sobre<br />
un plano tangente a la Tierra.<br />
Es útil para observar fenómenos cercanos al punto <strong>de</strong><br />
tangencia. Las distancias y direcciones sólo son verda<strong>de</strong>ras<br />
medidas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> tangencia. 27 / 93
Proyecciones IV<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La proyección estereográfica es<br />
una proyección conforme sobre<br />
un plano tangente a la Tierra<br />
(típicamente en el polo).<br />
Esta proyección respeta ángulos<br />
pero no áreas, a<strong>de</strong>más requiere<br />
una superficie infinita ya que el<br />
punto opuesto al <strong>de</strong> tangencia<br />
se proyecta en el infinito.<br />
La representación es muy buena en las proximida<strong>de</strong>s <strong><strong>de</strong>l</strong> punto<br />
opuesto al <strong>de</strong> tangencia, con lo que se usa con frecuencia para<br />
estudiar órbitas próximas al polo, o la visibilidad <strong>de</strong> estaciones<br />
<strong>de</strong> elevada latitud.<br />
28 / 93
Trazas II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La traza se representa usualmente sobre una proyección<br />
cilíndrica equidistante como una curva (λ(t), φ(t)).<br />
Las latitu<strong>de</strong>s máximas alcanzadas por la traza son ±i (para<br />
órbitas directas) y ±(180 − i) para órbitas retrógradas.<br />
Si la Tierra no rotase y en ausencia <strong>de</strong> perturbaciones, la<br />
curva se cerraría tras 1 revolución, asemejándose a una<br />
sinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal<br />
∆λ = −ω⊕TSAT (en radianes por revolución).<br />
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Cálculo <strong>de</strong> la Traza I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
La traza se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar<br />
analíticamente, si se conoce GST0 y<br />
los elementos en t = 0. En primer<br />
lugar consi<strong>de</strong>ramos el mo<strong><strong>de</strong>l</strong>o sin<br />
perturbaciones.<br />
De la figura, u(t) = ω + θ(t) y<br />
sen φ(t) = sen u(t) sen i.<br />
Por otro lado: tan u(t) cos i =<br />
tan (GST0 + ω⊕t + λ(t) − Ω).<br />
Por tanto las ecuaciones que <strong>de</strong>terminan la traza son:<br />
φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i)<br />
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).<br />
Queda <strong>de</strong>terminar u(t) en función <strong>de</strong> t. Si la órbita es<br />
circular, u(t) = ω + θ0 + nt.<br />
30 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cálculo <strong>de</strong> la Traza II<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
En el caso circular, las ecuaciones son, por<br />
tanto:<br />
0<br />
φ(t) = arc sen @sen 4ω + θ0 + t<br />
2<br />
s<br />
µ⊕<br />
“ ”<br />
3<br />
R⊕ +h<br />
3<br />
1<br />
5 sen iA<br />
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan @tan 4ω + θ0 + t<br />
0<br />
2<br />
s<br />
µ⊕<br />
“ ”<br />
3<br />
R⊕ +h<br />
3<br />
1<br />
5 cos iA<br />
Al aumentar la altura, aumenta el periodo y<br />
por tanto aumenta el retraso nodal<br />
∆λ = −ω⊕TSAT, hasta llegar a la altura<br />
geoestacionaria, don<strong>de</strong> es exactamente 360 o .<br />
Para alturas mayores, la órbita es<br />
“supersíncrona” y la mayor parte <strong>de</strong> la traza<br />
es retrógrada.<br />
31 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cálculo <strong>de</strong> la Traza III<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
En el caso excéntrico, sería necesario<br />
emplear la Ecuación <strong>de</strong> Kepler para obtener<br />
θ en cada instante.<br />
Las órbitas <strong>de</strong> pequeña excentricidad no se<br />
diferencian mucho <strong>de</strong> las circulares.<br />
Las <strong>de</strong> elevada excentricidad modifican<br />
mucho su aspecto <strong>de</strong>bido a los cambios <strong>de</strong><br />
velocidad, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> introducir una<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia en el argumento <strong><strong>de</strong>l</strong> perigeo <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
aspecto <strong>de</strong> la traza.<br />
En la figura, un ejemplo con i = 50 o y<br />
e = 0,75. Obsérvese el movimiento<br />
retrógrado en las proximida<strong>de</strong>s <strong><strong>de</strong>l</strong> apogeo.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cálculo <strong>de</strong> la Traza IV<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Determinación <strong>de</strong> la velocidad aparente <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite sobre la traza.<br />
Queremos calcular ˙ φ y ˙ λ. Se pue<strong>de</strong>n calcular<br />
geométricamente, pero lo más sencillo es tomar <strong>de</strong>rivada<br />
temporal en φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) y<br />
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕t + arctan (tan u(t) cos i).<br />
Llegamos a: φ(t) ˙ cos u(t) sen i<br />
= √ ˙u(t) y<br />
1−sen2 u(t) sen2 i<br />
˙λ(t) = −ω⊕+ 1+tan2 u(t)<br />
1+tan 2 u(t) cos 2 i<br />
Recordando sen φ(t) = sen u(t) sen i:<br />
˙u(t) cos i = −ω⊕+<br />
˙φ(t) =<br />
cos u(t) sen i tan φ(t)<br />
˙u(t) =<br />
cos φ(t) tan u(t) ˙u(t)<br />
˙λ(t) =<br />
cos i<br />
−ω⊕ +<br />
cos2 φ(t) ˙u(t)<br />
Se tiene <strong>de</strong> problemas que ˙u(t) = ˙θ(t) = n<br />
˙u(t) cos i<br />
1−sin2 u(t) sin2 i .<br />
(1+e cos θ)2<br />
(1−e 2 ) 3/2 .<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cálculo <strong>de</strong> la Traza V<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
En un punto dado se pue<strong>de</strong> calcular el Azimut relativo o<br />
aparente con el que el satélite cruza el cielo como tan Az = ˙ λ ˙φ .<br />
De la expresión sen φ(t) = sen u(t) sen i se calculan la máxima<br />
y mínima latitud (φ = ±i); se tendrán cuando u(t) = ±90 o .<br />
Órbitas retrógradas: se tendrán cuando ˙λ(t) < 0, es <strong>de</strong>cir:<br />
cos i<br />
cos 2 φ(t)<br />
˙u(t) < ω⊕<br />
Si i ≥ 90 o entonces la traza siempre es retrógrada.<br />
Si existen puntos don<strong>de</strong> cos i<br />
cos 2 φ(t) ˙u(t) = ω⊕ en dichos puntos la<br />
traza cambia <strong>de</strong> dirección.<br />
Para órbitas circulares:<br />
˙φ(t) =<br />
tan φ(t)<br />
tan (ω + θ0 + nt) n, ˙λ(t) = −ω⊕ +<br />
cos i<br />
cos 2 φ(t) n<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cobertura geográfica I<br />
¡<br />
r<br />
R<br />
©<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Se <strong>de</strong>nomina cobertura geográfica <strong>de</strong><br />
un satélite la zona <strong>de</strong> la Tierra visible<br />
por dicho satélite para cada instante.<br />
Dicha zona estará <strong><strong>de</strong>l</strong>imitada por la<br />
circunferencia terrestre don<strong>de</strong> es<br />
tangente a la esfera <strong>de</strong> la Tierra un<br />
cono <strong>de</strong> vértice el satélite.<br />
Des<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> esta circunferencia<br />
se vería el satélite justo en el<br />
horizonte.<br />
El “radio angular” Γ <strong>de</strong> dicha circunferencia viene dado por<br />
cos Γ = R⊕<br />
R⊕+h .<br />
En la lección <strong>de</strong> trigonometría esférica (círculos esféricos) se<br />
vio como calcular este tipo <strong>de</strong> circunferencias.<br />
35 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cobertura instrumental<br />
® + °<br />
R<br />
© °<br />
r<br />
®<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Consi<strong>de</strong>rando el caso más realista <strong>de</strong><br />
un instrumento (antena o sensor) con<br />
un ángulo <strong>de</strong> visibilidad más estrecho<br />
(α), se <strong>de</strong>termina una circunferencia<br />
<strong>de</strong> “radio angular” γ ≤ Γ como en la<br />
figura.<br />
Se tiene que<br />
(R⊕ + h) sen α = R⊕ sen(α + γ), luego<br />
R⊕+h<br />
γ = arc sen sen α − α.<br />
A<strong>de</strong>más, se <strong>de</strong>fine el “ancho <strong>de</strong> huella” w como la longitud<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> arco máximo tendido por la circunferencia <strong>de</strong> cobertura<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> instrumento. Se tiene pues que w = 2R⊕γ (si γ<br />
está expresado en radianes).<br />
R⊕<br />
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Visibilidad I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Un satélite es visible <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una estación si el<br />
vector estación-satélite s está por encima <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
horizonte geográfico <strong>de</strong> la estación.<br />
La condición matématica es que el ángulo <strong>de</strong><br />
s sobre el horizonte (elevación, h) <strong>de</strong>be ser<br />
mayor que un valor hmin, <strong>de</strong>terminado por la<br />
instrumentación y topografía.<br />
De la figura, h = arc sen(s · c) don<strong>de</strong> c = re apunta al cénit<br />
R⊕<br />
r−re<br />
<strong>de</strong> la estación. Por otro lado s = √<br />
r 2 +R2 ⊕−2R⊕r cos Ψ .<br />
<br />
<br />
Por tanto: h = arc sen<br />
r cos Ψ−R⊕ y la condición <strong>de</strong><br />
visibilidad queda h > hmin.<br />
√ r 2 +R 2 ⊕ −2R⊕r cos Ψ<br />
Puesto que r · c = r cos Ψ po<strong>de</strong>mos hallar Ψ a partir <strong>de</strong> r y c.<br />
37 / 93
Visibilidad II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Para r se tiene, usando los ángulos <strong>de</strong> Euler <strong>de</strong> la órbita:<br />
[r] R = r[T ] RF (Ω, i, ω + θ)<br />
2<br />
4 1<br />
0<br />
0<br />
3<br />
2<br />
5 = r 4<br />
cΩc(ω + θ) − sΩs(ω + θ)ci<br />
sΩc(ω + θ) + cΩs(ω + θ)ci<br />
s(ω + θ)si<br />
2<br />
Por otro lado, para c: [c] R = 4 c(LST)cφ<br />
s(LST)cφ 5 don<strong>de</strong><br />
sφ<br />
LST = GST0 + λ + ω⊕t es el tiempo sidéreo local <strong>de</strong> la<br />
estación.<br />
Se <strong>de</strong>duce: cos Ψ = cφ [c(LST − Ω)c(ω + θ) + s(LST − Ω)s(ω + θ)ci] + s(ω + θ)sisφ<br />
3<br />
3<br />
5<br />
38 / 93
Visibilidad III<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Las anteriores relaciones permiten<br />
calcular, para cada instante<br />
(recordando que LST , θ y r son<br />
función <strong>de</strong> t) la llamada “función <strong>de</strong><br />
visibilidad”, que proporciona la<br />
elevación para cada t.<br />
Sólo cuando h > hmin el satélite<br />
será visible.<br />
Estas i<strong>de</strong>as se pue<strong>de</strong>n aplicar no sólo a satélites, sino a<br />
cualquier cuerpo observable <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la Tierra. El análisis<br />
será más o menos complicado según la complejidad <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
movimiento <strong><strong>de</strong>l</strong> cuerpo.<br />
Para un satélite en órbita circular este análisis se pue<strong>de</strong><br />
simplificar y obtener directamente <strong>de</strong> la representación <strong>de</strong> las<br />
trazas <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite.<br />
39 / 93
Visibilidad IV<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Para el caso circular la circunferencia <strong>de</strong> visibilidad será la<br />
intersección entre el cono <strong>de</strong> visibilidad (<strong>de</strong> ángulo 90o − hmin<br />
y vértice la estación) y una esfera <strong>de</strong> radio R⊕ + hSAT, que<br />
luego hay que proyectar sobre la Tierra. En la figura ε = hmin.<br />
El “radio angular’ Φ<strong><strong>de</strong>l</strong> círculo <strong>de</strong> visibilidad se obtiene <strong>de</strong> la<br />
R⊕<br />
fórmula Φ = arc cos cos hmin − hmin. Con dicho<br />
R⊕+hSAT<br />
ángulo se pue<strong>de</strong>n emplear las mismas fórmulas explicadas en<br />
cobertura para dibujar la circunferencia.<br />
40 / 93
Visibilidad V<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Ejemplo circular: la plataforma EURECA (1992-1993)<br />
[EUropean REtrievable CArrier].<br />
41 / 93
Visibilidad VI<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Ejemplo circular: satélite europeo <strong>de</strong> recursos ERS-1 con<br />
órbita polar.<br />
Obsérvese la <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> los círculos cerca <strong>de</strong> los polos.<br />
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Visibilidad VII<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Trazas (Groundtracks)<br />
Cobertura<br />
Visibilidad<br />
Proyección estereográfica polar para el estudio <strong>de</strong> la visibilidad<br />
en las cercanías <strong><strong>de</strong>l</strong> polo.<br />
43 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Si bien hay una gran posible diversidad para las órbitas<br />
geocéntricas, en la práctica se utilizan los siguientes tipos <strong>de</strong><br />
órbitas:<br />
Geosíncronas/geoestacionarias.<br />
Órbitas bajas, especialmente la órbita heliosíncrona.<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad.<br />
Órbita media.<br />
Constelaciones.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria I<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Se <strong>de</strong>fine la órbita geoestacionaria (i<strong>de</strong>al) como:<br />
Geosíncrona, es <strong>de</strong>cir, su periodo es el <strong>de</strong> la Tierra<br />
(T⊕ = 23 h 56 m 4 s), por tanto<br />
aGEO =<br />
<br />
µ⊕<br />
T 2<br />
⊕<br />
4π 2<br />
1/3<br />
= 42164 km.<br />
Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).<br />
Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.<br />
Para ubicar un satélite geoestacionario, por tanto, sólo<br />
necesitamos la longitud λ <strong><strong>de</strong>l</strong> punto <strong><strong>de</strong>l</strong> Ecuador sobre el que<br />
se encuentra fijo.<br />
Otra forma <strong>de</strong> dar la posición <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite es mediante su<br />
longitud verda<strong>de</strong>ra λT (no se pue<strong>de</strong> usar θ, ω, ni Ω). Se tiene<br />
que λT (t) = GST(t) + λ y por otro lado puesto que n = ω⊕,<br />
λT (t) = λT (t0) + ω⊕t.<br />
La Tierra, vista <strong>de</strong>s<strong>de</strong> GEO, presenta la forma <strong>de</strong> un disco<br />
que ocupa aproximadamente 17 o en el horizonte.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria II<br />
La Tierra vista <strong>de</strong>s<strong>de</strong> GEO:<br />
La órbita GEO:<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Un satélite geoestacionario permanece<br />
inmóvil respecto a la Tierra: su “vista” es<br />
fija. Las antenas <strong>de</strong> recepción pue<strong>de</strong>n ser<br />
por tanto fijas.<br />
Inconveniente: no se cubren bien las zonas<br />
polares (por encima <strong>de</strong> 81,3 o <strong>de</strong> latitud).<br />
La órbita GEO está muy congestionada<br />
(en sentido físico y <strong>de</strong> interferencias<br />
radioeléctricas). Está regulada<br />
internacionalmente.<br />
Se necesitan lanzadores potentes para<br />
llegar a GEO.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria III<br />
Eclipses:<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Los eclipses son importantes porque<br />
los paneles solares (principal fuente <strong>de</strong><br />
alimentación) <strong>de</strong>jan <strong>de</strong> funcionar y se<br />
producen fuertes gradientes térmicos.<br />
El eclipse máximo se produce en los<br />
equinoccios.<br />
La “temporada <strong>de</strong> eclipses” comienza<br />
21 días antes <strong><strong>de</strong>l</strong> equinoccio y finaliza<br />
21 días <strong>de</strong>spués.<br />
47 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria IV<br />
Cobertura <strong>de</strong> la Tierra:<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
48 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria V<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Cobertura total <strong>de</strong> la Tierra (excepto los polos): son<br />
necesarios tres satélites geoestacionarios.<br />
49 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria VI<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Efecto <strong>de</strong> perturbaciones:<br />
Puesto que la órbita es ecuatorial, por simetría el J2 no altera<br />
el plano <strong>de</strong> la órbita.<br />
Puesto que la órbita es <strong>de</strong> gran altitud, no existe resistencia<br />
atmosférica.<br />
La perturbación lunisolar tiene el efecto <strong>de</strong> sacar al satélite <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
plano ecuatorial (cambiando la inclinación) aproximadamente<br />
1 o /año. A veces se <strong>de</strong>nomina perturbación N-S.<br />
La presión <strong>de</strong> radiación solar tiene un efecto apreciable; el más<br />
importante es una perturbación periódica (periodo 1 año) <strong>de</strong> la<br />
excentricidad.<br />
El efecto más importante es el <strong>de</strong> la triaxialidad (J22).<br />
Estas perturbaciones se tienen que compensar mediante<br />
maniobras (stationkeeping).<br />
50 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria VII<br />
Perturbación N-S:<br />
Efecto en la traza:<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
51 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbita geoestacionaria VIII<br />
Efecto <strong>de</strong> la triaxialidad:<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
El J22 provoca que los satélites oscilen<br />
en longitud. La dinámica aproximada<br />
viene dada por la ecuación<br />
don<strong>de</strong> k 2 = 18<br />
¨λ ≈ −k 2 sen 2(λ − λS)<br />
<br />
n R⊕<br />
a<br />
2<br />
J22 y<br />
λS = 75,3 o es la posición <strong>de</strong> uno <strong>de</strong><br />
los equilibrios. Se tiene<br />
k 2 ≈ 0,002 o /dia 2 .<br />
Las posiciones estables se pue<strong>de</strong>n<br />
utilizar como “basurero espacial” para<br />
GEO.<br />
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LEO (órbita baja)<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
La órbita baja es la más utilizada, por<br />
su proximidad “energética” a la<br />
Tierra. Las estaciones espaciales se<br />
han situado en LEO.<br />
Se consi<strong>de</strong>ra órbita baja a aquella<br />
órbita que no se extien<strong>de</strong> más allá <strong>de</strong><br />
una altitud <strong>de</strong> 2000 km.<br />
Se evitan altitu<strong>de</strong>s inferiores a 300 km<br />
ya que la resistencia atmosférica<br />
reduce mucho la vida útil.<br />
Las perturbaciones más importantes<br />
son el J2 y la resistencia atmosférica.<br />
Muy utilizadas son las órbitas<br />
heliosíncronas.<br />
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Heliosincronismo I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
En el sistema geocéntrico ecuatorial, la proyección <strong><strong>de</strong>l</strong> Sol en<br />
una esfera con la Tierra en su centro será un punto S (el<br />
punto subsolar) que <strong>de</strong>fine un “meridiano solar”; éste punto<br />
se <strong>de</strong>splaza en el sentido antihorario con una velocidad <strong>de</strong><br />
360/365,25 o /dia.<br />
Sea α la ascensión recta <strong><strong>de</strong>l</strong> Sol:<br />
˙α ≈ 360/365,25 o /dia.<br />
Por otro lado Ω, la ascensión<br />
recta <strong><strong>de</strong>l</strong> nodo ascen<strong>de</strong>nte,<br />
cambia <strong>de</strong> acuerdo al mo<strong><strong>de</strong>l</strong>o <strong>de</strong><br />
perturbaciones <strong><strong>de</strong>l</strong> J2. Llamemos<br />
δ = Ω − α.<br />
Una órbita es heliosíncrona si se<br />
cumple que δ ≈ cte.<br />
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Heliosincronismo II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Del mo<strong><strong>de</strong>l</strong>o <strong>de</strong> perturbaciones<br />
seculares con el J2, se tiene que<br />
i = cte. mientras que<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
Ω = −3<br />
dt 2 J2n<br />
2 R⊕<br />
p<br />
La condición que tiene que cumplir la órbita, por tanto, es<br />
˙Ω = ˙α, es <strong>de</strong>cir:<br />
− 3<br />
2 J2<br />
<br />
µ⊕<br />
a3 <br />
R⊕<br />
a(1 − e2 )<br />
2 cos i =<br />
2π<br />
365,25 × 1 dia solar<br />
Para el caso <strong>de</strong> órbita circular <strong>de</strong> altura h, se cumple:<br />
7/2 R⊕<br />
cos i<br />
= −0,0989<br />
R⊕ + h<br />
cos i<br />
55 / 93
Heliosincronismo III<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Por tanto, existen múltiples órbitas heliosíncronas con<br />
diferente inclinación y altitud. No obstante, <strong>de</strong> la ecuación,<br />
cos i ha <strong>de</strong> ser negativo (luego i > 90 o , es <strong>de</strong>cir, órbitas<br />
retrógradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo que<br />
cos i es pequeño, es <strong>de</strong>cir, las órbitas son aproximadamente<br />
polares.<br />
Puesto que el ángulo δ es constante, se pue<strong>de</strong> utilizar para<br />
i<strong>de</strong>ntificar una órbita heliosíncrona concreta.<br />
Si δ = 0 o , entonces el nodo ascen<strong>de</strong>nte cruza el Ecuador a<br />
mediodía (y el nodo <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>nte a medianoche). Esta órbita<br />
se llama 12h-24h (high noon orbit).<br />
Si δ = 90 o el nodo ascen<strong>de</strong>nte cruza el Ecuador al atar<strong>de</strong>cer (y<br />
el nodo <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>nte, al amanecer). Esta órbita se llama<br />
18h-6h (dusk-dawn).<br />
56 / 93
Heliosincronismo IV<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
57 / 93
Heliosincronismo V<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Ventajas <strong>de</strong> la órbita heliosíncrona<br />
Los mecanismos <strong>de</strong> apuntado <strong>de</strong> los paneles solares al Sol se<br />
simplifican consi<strong>de</strong>rablemente, y se posibilitan largos periodos<br />
<strong>de</strong> iluminación solar; a<strong>de</strong>más, con una altura suficiente (1400<br />
kilómetros) nunca se producen eclipses.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> iluminación en el paso por el Ecuador (es<br />
<strong>de</strong>cir, la hora solar) son constantes.<br />
Más aún, la hora solar en el paso por una latitud cualquiera (al<br />
atravesar un paralelo) también es constante. Ésta propiedad es<br />
tremendamente útil para las tareas <strong>de</strong> observación y<br />
reconocimiento.<br />
58 / 93
Heliosincronismo VI<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
La hora solar en un punto <strong>de</strong> la tierra L es H = σ/15 + 12,<br />
don<strong>de</strong> σ = LST − α. Si el satélite pasa por dicho punto,<br />
entonces por un lado RA = Ω + λu = LST.<br />
Es <strong>de</strong>cir, H = Ω−α+λu<br />
+ 12. La hora <strong>de</strong> paso por el Ecuador,<br />
δ + 12 = + 12.<br />
15<br />
H0 se da para λu = 0, es <strong>de</strong>cir, H0 = Ω−α<br />
15<br />
Por otro lado, <strong>de</strong> la trigonometría esférica, sen λu =<br />
Por tanto, se tiene que: H = H0 +<br />
arc sen( tan φ<br />
tan i )<br />
15<br />
15<br />
tan φ<br />
tan i .<br />
y puesto que i<br />
es constante y H0 es constante para un satélite heliosíncrono<br />
(δ ≈ cte.), H siempre es la misma para la misma latitud φ.<br />
Se toma una solución <strong><strong>de</strong>l</strong> arc sen cuando se va <strong>de</strong> Sur a Norte<br />
y otra cuando se va en la otra dirección.<br />
Por tanto cada vez que un satélite heliosíncrono cruza un<br />
paralelo en un sentido (<strong>de</strong> Norte a Sur o <strong>de</strong> Sur a Norte) lo<br />
hace a la misma hora solar H. 59 / 93
Heliosincronismo VII<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
60 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad: Los Molniya<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Los Molniya (“relámpago” en ruso) son<br />
una familia <strong>de</strong> satélites <strong>de</strong><br />
comunicaciones <strong>de</strong> la antigua URSS .<br />
Puesto que los satélites en GEO no<br />
cubren bien altas latitu<strong>de</strong>s (cercanas al<br />
polo), y gran parte <strong><strong>de</strong>l</strong> territorio ruso se<br />
encuentra muy al Norte, un satélite en<br />
GEO no proporciona una cobertura<br />
geográfica a<strong>de</strong>cuada.<br />
A<strong>de</strong>más dado que los sitios <strong>de</strong><br />
lanzamiento rusos son <strong>de</strong> elevada latitud,<br />
la órbita GEO es muy costosa en<br />
términos “energéticos”.<br />
Solución: varios satélites en órbitas <strong>de</strong><br />
alta excentricidad<br />
61 / 93
Molniya I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Supongamos una órbita con los siguientes<br />
elementos: T ≈ 12 h, e = 0,75, es <strong>de</strong>cir una<br />
órbita “semi-síncrona” (cada dos<br />
revoluciones pasa por la misma localización<br />
geográfica) y <strong>de</strong> alta excentricidad.<br />
Obtendríamos hp ≈ 300 km,<br />
ha ≈ 40000 km.<br />
¿Qué ángulo se recorre en dos horas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
perigeo? De la ecuación <strong>de</strong> Kepler,<br />
n∆t = E − e sen E, obtenemos que<br />
E = 1,78 rad luego θ = 2,54 rad ≈ 145 o .<br />
Por tanto en las cuatro horas restantes <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
semi-periodo se recorren los 35 o restantes.<br />
62 / 93
Molniya II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Por tanto, ya que con 35 o se pue<strong>de</strong>n cubrir<br />
las altas latitu<strong>de</strong>s rusas, situando el apogeo<br />
en la zona <strong>de</strong> máxima latitud don<strong>de</strong> se<br />
quiere tener cobertura, se pue<strong>de</strong>n conseguir<br />
aproximadamente ocho horas <strong>de</strong> cobertura.<br />
Son necesarios pues tres satélites para<br />
obtener 24 h <strong>de</strong> cobertura.<br />
Es fundamental evitar que las perturbaciones<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> J2 <strong>de</strong>splacen el apogeo.<br />
La regresión <strong>de</strong> los nodos se pue<strong>de</strong> compensar eligiendo<br />
a<strong>de</strong>cuadamente el periodo <strong><strong>de</strong>l</strong> satélite.<br />
Puesto que dω<br />
dt = 3J2nR 2 ⊕<br />
4p 2<br />
dω<br />
dt<br />
= 0. Por tanto, i = arc cos<br />
inclinación crítica.<br />
(5 cos 2 i − 1), se elige i tal que<br />
1<br />
5 = 63,4o , la llamada<br />
63 / 93
Molniya III<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
La órbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia y<br />
otro en Norteamérica.<br />
64 / 93
Órbita Tundra<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Otra órbita <strong>de</strong> alta excentricidad es la órbita tundra.<br />
Es una órbita geosíncrona inclinada con la i crítica<br />
(i = 63,4 o ) y <strong>de</strong> alta excentricidad, <strong>de</strong> forma que el apogeo se<br />
sitúa sobre Norteamérica.<br />
Se emplea para los satélites Sirius (radio por satélite); con 3<br />
satélites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento. 65 / 93
Órbita Media<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Se consi<strong>de</strong>ra órbita media (MEO) la que<br />
está por encima <strong>de</strong> la órbita baja (más <strong>de</strong><br />
2000 km) y por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la GEO.<br />
Al ser <strong>de</strong> mayor altitud, ofrece más<br />
cobertura que las órbitas LEO sin requerir la<br />
potencia <strong>de</strong> transmisión/recepción ni el<br />
coste <strong>de</strong> la GEO.<br />
Típicamente usada por constelaciones <strong>de</strong> satélites <strong>de</strong><br />
navegación (GPS, Glonass, Galileo), o por satélites <strong>de</strong><br />
comunicaciones polares.<br />
Contiene las órbitas semisíncronas circulares (con periodo<br />
igual a la mitad <strong><strong>de</strong>l</strong> periodo terrestre).<br />
66 / 93
Constelaciones I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con un<br />
sólo satélite: son necesarios varios.<br />
Una constelación <strong>de</strong> satélites es un conjunto <strong>de</strong> satélites<br />
situados en órbitas coordinadas, <strong>de</strong> forma que ofrecen<br />
cobertura total o casi total.<br />
67 / 93
Constelaciones II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Hemos visto ya varios ejemplos<br />
Tres satélites geoestacionarios proporcionan cobertura total <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
planeta, excepto los polos.<br />
Tres satélites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.<br />
La órbita Tundra (tres satélites).<br />
Otros ejemplos son la constelación <strong>de</strong> satélites <strong>de</strong> GPS (unos<br />
24 satélites en órbita media, a = 26600 km), la constelación<br />
Iridium (66 satélites en órbita baja) o la constelación<br />
Globalstar (unos 40 satélites, no ofrece cobertura total).<br />
68 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Constelaciones tipo Walker<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Una constelación que contiene órbitas circulares, <strong>de</strong> altitud h<br />
e inclinación i constantes, con planos separados <strong>de</strong> forma<br />
pareja se <strong>de</strong>nomina constelación <strong>de</strong> Walker.<br />
Está <strong>de</strong>finida por tres números enteros:<br />
Número total <strong>de</strong> satélites t<br />
Número <strong>de</strong> planos orbitales p<br />
Espacio relativo entre satélites en planos adyacentes,<br />
f ∈ [0, p − 1].<br />
Con estos datos, la separación entre nodos ascen<strong>de</strong>ntes<br />
será 360/p o , la separación entre vehículos en el mismo plano<br />
360p/t y la separación relativa entre satélites en planos<br />
adyacentes será 360f /t.<br />
Una constelación 15,5,1 tendrá 5 planos espaciados 72 o , con<br />
tres satélites cada uno separados por 120 o , y la separación<br />
entre satélites <strong>de</strong> planos adyacentes es <strong>de</strong> 24 o .<br />
69 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Constelaciones tipo Walker: Ejemplos<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
70 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Órbitas “cementerio”<br />
Órbitas geoestacionaria<br />
LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona<br />
Órbitas <strong>de</strong> alta excentricidad<br />
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”<br />
Para subsanar el problema <strong>de</strong> la “basura espacial”, se sitúan<br />
los satélites en una zona segura al final <strong>de</strong> su vida.<br />
Para los satélites en LEO éstos pue<strong>de</strong>n ser eliminados<br />
simplemente provocando la reentrada.<br />
Para los GEO, la órbita cementerio está situada<br />
significativamente sobre la órbita original.<br />
De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space Debris<br />
Coordination Comitee) la altitud mínima <strong>de</strong> perigeo sobre<br />
GEO <strong>de</strong>be ser: ∆h = 235 + (1000CR A ) km don<strong>de</strong><br />
mV<br />
CR = (1 + ɛ) cos φS ≈ 1,2 − 1,4.<br />
71 / 93
Introducción<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
En general, no es posible alcanzar la órbita requerida para una<br />
misión directamente en el lanzamiento.<br />
El rango <strong>de</strong> inclinaciones que se pue<strong>de</strong>n alcanzar es limitado.<br />
Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a su<br />
trayectoria <strong>de</strong>finitiva, sino a una órbita <strong>de</strong> “aparcamiento”<br />
intermedia.<br />
El objetivo <strong>de</strong> la misión pue<strong>de</strong> necesitar una órbita inicial que<br />
luego <strong>de</strong>be ser modificada.<br />
A<strong>de</strong>más, <strong>de</strong>bido al efecto <strong>de</strong> perturbaciones, las órbitas se<br />
<strong>de</strong>gradan con el tiempo y es necesario corregirlas<br />
(stationkeeping).<br />
Por tanto, las maniobras para modificar una órbita son parte<br />
<strong>de</strong> cualquier misión. La forma <strong>de</strong> llevar a cabo una maniobra<br />
es mediante propulsión, proporcionada por motores cohete <strong>de</strong><br />
combustible sólido o líquido (en este curso no consi<strong>de</strong>ramos<br />
otros tipos <strong>de</strong> propulsión continua, como motores eléctricos o<br />
velas solares, que exigen integración numérica). 72 / 93
Maniobra básica I<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Hipótesis fundamental: El tiempo <strong>de</strong> combustión <strong>de</strong> los<br />
cohetes es muy pequeño comparado con el periodo orbital <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
satélite.<br />
Entonces el efecto <strong>de</strong> la propulsión se pue<strong>de</strong> asimilar a un<br />
impulso instantáneo −−→<br />
∆V en la velocidad; la nueva velocidad<br />
Vf = Vi + −−→<br />
∆V <strong>de</strong>fine una órbita diferente, con el mismo foco:<br />
73 / 93
Maniobra básica II<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
En el caso más simple (maniobra<br />
coplanaria) la maniobra queda <strong>de</strong>finida<br />
por el escalar | −−→<br />
∆V | = ∆V y el ángulo<br />
ψ que forma −−→<br />
∆V con Vi.<br />
Partiendo <strong>de</strong> la velocidad final <strong>de</strong>seada<br />
Vf y ϕ (el ángulo entre Vi e Vf ), se<br />
obtienen (∆V , ψ) mediante el teorema<br />
<strong><strong>de</strong>l</strong> coseno:<br />
∆V 2 = V 2<br />
i<br />
+ V 2<br />
f − 2ViVf cos ϕ, y el<br />
teorema <strong><strong>de</strong>l</strong> seno: sen ψ = Vf sen ϕ<br />
∆V .<br />
Obsérvese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en el<br />
caso <strong>de</strong> que ψ = 0 o (180 o ). En tal caso Vf = Vi + ∆V<br />
(Vf = Vi − ∆V ). Es <strong>de</strong>cir, la dirección tangente es la <strong>de</strong><br />
“máximo aprovechamiento” <strong><strong>de</strong>l</strong> impulso añadido. 74 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Consumo <strong>de</strong> combustible I<br />
El consumo <strong>de</strong> combustible viene dado por:<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
∆V = Ve ln m0 + mp<br />
don<strong>de</strong> Ve es la velocidad específica <strong>de</strong> escape <strong><strong>de</strong>l</strong> propulsante,<br />
m0 es la masa sin propulsante y mp es la masa <strong>de</strong> propulsante.<br />
Ve = Ispg don<strong>de</strong> Isp es el impulso específico y g = 9,81 m/s2 <br />
.<br />
e ∆V<br />
<br />
Ispg − 1<br />
De la anterior expresión, mp = m0<br />
m0<br />
Obsérvese que si se requieren n maniobras:<br />
∆V TOTAL = ∆V1 + ∆V2 + . . . + ∆Vn<br />
= Ve<br />
ln m0 + mp1 + . . . + mpn<br />
m0 + mp2 + . . . + mpn<br />
= Ve ln m0 + mp1 + . . . + mpn<br />
m0<br />
= Ve ln m0 + (mp) TOTAL<br />
m0<br />
+ ln m0 + mp2 + . . . + mpn<br />
m0 + mp3 + . . . + mpn<br />
+ . . . + ln m0<br />
!<br />
+ mpn<br />
m0<br />
75 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Consumo <strong>de</strong> combustible II<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
El razonamiento anterior no es válido si consi<strong>de</strong>ramos<br />
diferentes etapas, que no sólo constan <strong><strong>de</strong>l</strong> peso <strong>de</strong><br />
combustible mpi sino también <strong><strong>de</strong>l</strong> peso estructural msi <strong>de</strong> cada<br />
etapa (que contiene al <strong>de</strong>pósito), que se eyecta al consumirse.<br />
Por ejemplo, para dos etapas, se tendría:<br />
∆V1 = Ve ln m0 + ms1 + ms2 + mp + mp2 1<br />
m0 + ms1 + ms2 + mp2<br />
∆V2 = Ve ln m0 + ms2 + mp2<br />
∆V TOTAL = Ve ln<br />
"<br />
m0 + ms2<br />
1 +<br />
= Ve ln<br />
mp 1<br />
„<br />
1 +<br />
m0 + ms1 + ms2 + mp2<br />
= Ve ln<br />
mp 2<br />
m0 + ms2<br />
! „<br />
1 +<br />
1 +<br />
«<br />
mp 2<br />
m0 + ms2<br />
mp 1<br />
m0 + ms1 + ms2 + mp2<br />
En la anterior expresión (también para n etapas) se pue<strong>de</strong>n<br />
buscar los valores óptimos <strong>de</strong> (mp1, ms1) y (mp2, ms2) que<br />
minimizan el consumo mp1 + mp2 para un valor <strong>de</strong> ∆VTOTAL.<br />
Esta distribución óptima <strong><strong>de</strong>l</strong> combustible por etapas (ya<br />
consi<strong>de</strong>rada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores <strong>de</strong> ∆V<br />
que no se podrían alcanzar con una sola etapa. 76 / 93<br />
« #<br />
!
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Cambio <strong>de</strong> radio <strong>de</strong> perigeo/apogeo y circularización<br />
Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un ∆V tangente en el<br />
perigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un ∆V tangente en<br />
el apogeo.<br />
Ejemplo. Cambio <strong>de</strong> apogeo:<br />
Supongamos un perigeo rp, un apogeo inicial rai y uno final raf .<br />
Por tanto ai = rp+rai<br />
2 y af = rp+raf<br />
2 .<br />
Usando la ecuación <strong>de</strong> las fuerzas vivas en el perigeo:<br />
2µ µ<br />
vi = − rp ai y vf<br />
<br />
2µ µ<br />
= − rp af .<br />
Por tanto: <br />
<br />
2µ <br />
<br />
∆V = |vf − vi| = 1 −<br />
1 − <br />
rp<br />
rp<br />
1<br />
1+raf /rp −<br />
1<br />
1+rai /rp<br />
Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacer<br />
ra = rp. En el ejemplo anterior, sería lo mismo que hacer<br />
√2 <br />
µ<br />
raf = rp, y por tanto: ∆V =<br />
1 − − 1 > 0<br />
1<br />
1+rai /rp<br />
77 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Rotación <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> ápsi<strong>de</strong>s<br />
INICIAL<br />
V<br />
~<br />
f<br />
FINAL<br />
¢ V<br />
~<br />
°<br />
f<br />
'<br />
r~<br />
V<br />
~<br />
f<br />
¢ V<br />
~<br />
V<br />
~<br />
i<br />
°<br />
i<br />
'<br />
V<br />
~<br />
i<br />
r~<br />
¢ !<br />
µ<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Se preten<strong>de</strong> rotar ω en una cantidad<br />
∆ω, sin modificar a ni e.<br />
Por tanto, Vf = Vi =<br />
2µ<br />
r<br />
µ<br />
− a . De la<br />
figura, el punto <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong> ∆V<br />
vendrá dado por θi = ∆ω/2, por tanto<br />
r = a(1−e2 )<br />
1+e cos ∆ω/2 . Obsérvese que<br />
θf = −∆ω/2.<br />
Falta encontrar ϕ, que se <strong>de</strong>duce <strong>de</strong><br />
ϕ = γi − γf . Puesto que<br />
e sin θ<br />
tan γ = 1+e cos θ , se tiene que<br />
γf = −γi, luego ϕ = 2γi y que<br />
tan γi =<br />
e sin ∆ω/2<br />
1+e cos ∆ω/2 .<br />
Se <strong>de</strong>duce ∆V = 2Vi sen γi.<br />
78 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cambio genérico <strong>de</strong> órbita coplanaria<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
En general un ∆V arbitrario en<br />
el mismo plano provocará un<br />
cambio <strong>de</strong> a, e y ω.<br />
Conocidos (ai, ei, ωi) y<br />
(af , ef , ωf ), el punto <strong>de</strong><br />
maniobra se obtiene <strong>de</strong><br />
Usando los ángulos <strong>de</strong> trayectoria, ϕ = γi − γf .<br />
Para encontrar γf y γi se usa la fórmula tan γ =<br />
ri = ai (1−e 2 i )<br />
1+ei cos θi = rf = af (1−e 2 f )<br />
1+ef cos θf ,<br />
don<strong>de</strong> θi + ωi = θf + ωf .<br />
vi sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> ai, ri y vf <strong>de</strong><br />
af , rf ⇒ ∆V = f (ai, af , ri).<br />
e sin θ<br />
1+e cos θ .<br />
Un proceso similar permite obtener (af , ef , ωf ) a partir <strong>de</strong><br />
(ai, ei, ωi) y ∆V , ψ. 79 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cambio <strong>de</strong> plano orbital<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Supongamos que queremos<br />
mantener a, e, ω y θ pero<br />
queremos variar el plano (Ω e i).<br />
Si a no cambia,<br />
Vf = Vi = 2µ/r − µ/a, por<br />
tanto el ángulo ϕ (∆A en la<br />
figura) <strong>de</strong>termina la maniobra,<br />
junto con la latitud φ en la que<br />
se <strong>de</strong>be efectuar la maniobra.<br />
De la trigonometría esférica se encuentran las fórmulas:<br />
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if cos(Ωf − Ωi) y<br />
sen φ = sen ii sen if sen(Ωf −Ωi )<br />
sen ∆A<br />
Se tiene ∆V = 2Vi sen ∆A/2.<br />
80 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Cambio sólo <strong>de</strong> nodo o <strong>de</strong> inclinación<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Cambio <strong>de</strong> Ω sin cambiar i: De<br />
las fórmulas anteriores<br />
cos ∆A = cos 2 i+sen 2 i cos(Ωf −Ωi)<br />
y sen φ = sen2 i sen(Ωf −Ωi )<br />
sen ∆A<br />
Usando la fórmula<br />
cos α = 1 − 2 sen 2 α/2 se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>ducir:<br />
sen ∆A<br />
2 = sen i sen Ωf −Ωi<br />
2 .<br />
Se tiene entonces<br />
∆V = 2Vi sen i sen(Ωf − Ωi)/2.<br />
Cambio <strong>de</strong> i sin cambiar Ω:<br />
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if = cos(ii − if ) luego<br />
∆A = ii − if ; a<strong>de</strong>más, φ = 0.<br />
Se tiene entonces ∆V = 2Vi sen(ii − if )/2.<br />
.<br />
81 / 93
Introducción<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Si la órbita final no tiene ningún punto en<br />
común con la órbita inicial, no es posible<br />
realizar la maniobra con un sólo impulso.<br />
Es necesario realizar una transferencia,<br />
con al menos dos maniobras intermedias<br />
<strong>de</strong> un sólo impulso.<br />
La órbita intermedia se <strong>de</strong>nomina órbita<br />
<strong>de</strong> transferencia.<br />
En general existen infinitas posibles órbitas <strong>de</strong> transferencia.<br />
El “coste” <strong>de</strong> la transferencia será ∆V = ∆V1 + ∆V2.<br />
Es importante <strong>de</strong>terminar cuáles son las óptimas en algún<br />
sentido (mínimo consumo <strong>de</strong> combustible, mínimo tiempo <strong>de</strong><br />
transferencia...).<br />
Inicialmente consi<strong>de</strong>raremos transferencias coplanarias entre<br />
dos órbitas circulares.<br />
82 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Transferencia <strong>de</strong> Hohmann I<br />
Luego ∆V1 =<br />
2µ<br />
ri<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Dadas dos órbitas círculares <strong>de</strong> radios ri y rf ,<br />
se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que la transferencia <strong>de</strong><br />
mínimo ∆V usando dos impulsos es la<br />
llamada transferencia <strong>de</strong> Hohmann.<br />
El primer impulso lleva la órbita a una cuyo<br />
apogeo coinci<strong>de</strong> con rf , mientras que el<br />
segundo circulariza la órbita.<br />
La elipse <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> Hohmann<br />
cumple aH = ri +rf<br />
2 .<br />
<br />
µ<br />
µ<br />
− µ<br />
aH −<br />
ri , ∆V2 =<br />
rf −<br />
2λ<br />
1+λ<br />
Llamando λ = rf<br />
ri , se llega a ∆V1 = Vi<br />
<br />
∆V2 = Vi<br />
, luego se llega a<br />
∆VT<br />
Vi =<br />
<br />
1<br />
λ −<br />
<br />
2<br />
λ(1+λ)<br />
<br />
2<br />
λ(1+λ) (λ − 1) +<br />
2µ<br />
rf<br />
<br />
− 1 ,<br />
1<br />
λ − 1. También TH = π<br />
− µ<br />
aH .<br />
a 3 H<br />
µ . 83 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Transferencia <strong>de</strong> Hohmann II<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
El coste <strong>de</strong> la transferencia <strong>de</strong> Hohmann está representado en<br />
la figura más arriba, incluyendo transferencias interiores.<br />
Para λ → ∞ tenemos el impulso <strong>de</strong> escape ( √ 2 − 1).<br />
Sólo para valores <strong>de</strong> λ en torno a la unidad es más económica<br />
la transferencia que el escape.<br />
Existe un máximo, λ ≈ 15,58, para el cual el costo es máximo. 84 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Transferencia biparabólica/bielíptica I<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Es posible mejorar la transferencia <strong>de</strong><br />
Hohmann realizando más impulsos. La<br />
transferencia bielíptica requiere tres<br />
impulsos (que siempre son tangentes)<br />
y emplea dos órbitas <strong>de</strong> transferencia.<br />
La primera órbita <strong>de</strong> transferencia<br />
tiene como perigeo ri y apogeo rt;<br />
mientras que la segunda tiene como<br />
perigeo rf y apogeo rt.<br />
Si rt = ∞ la transferencia se <strong>de</strong>nomina “biparabólica” (caso<br />
a) ya que las dos órbitas <strong>de</strong> transferencia son parábolas.<br />
Se cumple a1 = ri +rt<br />
2 y a2 = rf +rt<br />
2 .<br />
<br />
2µ<br />
Se tiene ∆V1 =<br />
∆V2 =<br />
2µ<br />
rt<br />
ri<br />
− µ<br />
a2 −<br />
− µ<br />
2µ<br />
rt<br />
a1 −<br />
µ<br />
ri ,<br />
− µ<br />
a1 y ∆V3 = −<br />
µ<br />
rf +<br />
2µ<br />
rf<br />
− µ<br />
a2 .<br />
85 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Transferencia biparabólica/bielíptica II<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Llamamemos como antes λ = rf<br />
ri y<br />
β = rt<br />
ri .<br />
Se tiene ∆V1 = Vi<br />
∆V2 = Vi<br />
y ∆V3 = Vi<br />
<br />
2 2<br />
β −<br />
<br />
1<br />
<br />
−<br />
<br />
2 − 2 1<br />
λ+β −<br />
λ +<br />
2<br />
λ<br />
Por tanto: <br />
2β<br />
2λ<br />
∆VT = Vi 1+β − 1 + β(λ+β) −<br />
<br />
2<br />
β(1+β) −<br />
<br />
1<br />
λ +<br />
√ <br />
Si rt → ∞, entonces β → ∞ y ∆VT → Vi 2 − 1 <br />
1 +<br />
Se tiene que ∆VT es <strong>de</strong>creciente con β, por lo tanto el<br />
anterior valor es el mínimo.<br />
El tiempo <strong>de</strong> transferencia será la suma <strong>de</strong> losdos = π<br />
semiperiodos: TB = T1+T2<br />
2<br />
a 3 1<br />
µ +<br />
a 3 2<br />
µ<br />
<br />
− 1 ,<br />
<br />
1+β<br />
<br />
2 2<br />
β − 1+β<br />
− 2<br />
λ+β<br />
<br />
2β<br />
λ(λ+β)<br />
<br />
1<br />
λ<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
86 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Comparación entre transferencias<br />
Se usan transferencias no<br />
tangenciales para disminuir los<br />
tiempos, si bien aumenta el coste.<br />
El aerobraking pue<strong>de</strong> disminuir<br />
mucho el coste <strong>de</strong> una transferencia<br />
a una órbita <strong>de</strong> menor radio, ya<br />
que se obtiene un impulso “gratis”.<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
En la figura, R = λ y R ∗ = β.<br />
La transferencia biparabólica (y<br />
por tanto la bielíptica) sólo<br />
mejora a la <strong>de</strong> Hohmann para<br />
λ > 12).<br />
Para λ ∈ [12, 15,58] es necesario<br />
tomar β gran<strong>de</strong> para mejorar la<br />
transferencia <strong>de</strong> Hohmann.<br />
Para λ > 15,58 la biparabólica<br />
siempre mejora a la Hohmann<br />
para β > λ.<br />
Observación: el coste <strong>de</strong> ir a la<br />
órbita lunar es similar al coste<br />
<strong>de</strong> ir a GEO.<br />
87 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Transferencia circular-elíptica y elíptica-elíptica<br />
Entre dos órbitas elípticas (alguna <strong>de</strong> ellas posiblemente<br />
circular) coaxiales (con la misma línea <strong>de</strong> ápsi<strong>de</strong>s), se pue<strong>de</strong><br />
encontrar una maniobra óptima tipo Hohmann.<br />
La trayectoria óptima conecta el apogeo <strong>de</strong> una <strong>de</strong> las órbitas<br />
con el perigeo <strong>de</strong> otra; la regla óptima consiste en elegir el<br />
mayor <strong>de</strong> los apogeos. Observación: para una órbita circular,<br />
los radios <strong>de</strong> apogeo y perigeo son iguales entre sí e iguales al<br />
radio nominal (todos sus puntos son perigeo y apogeo).<br />
En el caso c) es más económica la transferencia que la<br />
maniobra <strong>de</strong> un impulso.<br />
88 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Maniobra restringida <strong>de</strong> tres impulsos para cambio <strong>de</strong><br />
plano I<br />
Para disminuir el coste <strong>de</strong> la maniobra <strong>de</strong><br />
cambio <strong>de</strong> inclinación, se pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar<br />
una transferencia <strong>de</strong> tres impulsos.<br />
Consi<strong>de</strong>remos el caso circular, con dos<br />
órbitas circulares <strong>de</strong> radio r1 y diferencia <strong>de</strong><br />
inclinación ∆i. Si se utiliza una sóla<br />
maniobra, el gasto es ∆V = 2V1 sen ∆i/2.<br />
Consi<strong>de</strong>remos una órbita <strong>de</strong> transferencia con radio <strong>de</strong> perigeo<br />
r1 y radio <strong>de</strong> apogeo r2. Una vez alcanzado r2, se cambia <strong>de</strong><br />
plano y se vuelve por una órbita <strong>de</strong> transferencia similar.<br />
Por tanto: ∆V1 =<br />
∆V2 = 2<br />
2µ<br />
r2<br />
2µ<br />
− 2µ<br />
r1+r2<br />
r1<br />
− 2µ<br />
r1+r2 −<br />
sen ∆i/2.<br />
µ<br />
r1 , ∆V3 = ∆V1.<br />
89 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Maniobra restringida <strong>de</strong> tres impulsos para cambio <strong>de</strong><br />
plano II<br />
Se llega a λOPT =<br />
Llamando λ = r2<br />
r1 , se tiene: ∆VT =<br />
<br />
2V1 − 1 + sen ∆i/2 .<br />
2λ<br />
1+λ<br />
Por tanto,<br />
∆VT<br />
V1<br />
= 2<br />
2λ<br />
1+λ<br />
2<br />
λ(1+λ)<br />
<br />
1 +<br />
<br />
sen ∆i/2<br />
λ<br />
<br />
− 1 .<br />
Po<strong>de</strong>mos buscar el valor <strong>de</strong> λ óptimo<br />
maximizando el corchete.<br />
sen ∆i/2<br />
1−2 sen ∆i/2 .<br />
De aquí obtenemos la siguiente regla:<br />
Si ∆i ≤ 38,94 o , no emplear esta maniobra (no compensa).<br />
Si 38,94 o < ∆i ≤ 60 o , emplear λ = λOPT.<br />
Si ∆i > 60 o , emplear λ → ∞ (tan gran<strong>de</strong> como sea posible).<br />
90 / 93
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Transferencia <strong>de</strong> Hohmann con cambio <strong>de</strong> plano<br />
Es típico tener que realizar una maniobra para cambiar el<br />
radio y una maniobra para cambiar <strong>de</strong> plano.<br />
Es más económico realizar ambas maniobras simultáneamente.<br />
Se pue<strong>de</strong> realizar el cambio <strong>de</strong> plano simultáneo con el primer<br />
impulso, con el segundo, o “repartirlo” entre ambos impulsos.<br />
El “reparto” <strong><strong>de</strong>l</strong> cambio <strong>de</strong> inclinación se pue<strong>de</strong> realizar <strong>de</strong><br />
forma óptima.<br />
La corrección en el ∆V se encuentra usando el teorema <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
coseno.<br />
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Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Ren<strong>de</strong>zvous e intercepción<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Ren<strong>de</strong>zvous/intercepción: Encontrar una transferencia para ir<br />
<strong>de</strong> un punto dado <strong>de</strong> una órbita a un punto dado <strong>de</strong> otra.<br />
El problema genérico es equivalente al problema <strong>de</strong> Lambert;<br />
algunos casos particulares se pue<strong>de</strong>n resolver mediante las<br />
maniobras y transferencias que hemos visto.<br />
Estudiamos el caso en el que ambos puntos están en la misma<br />
órbita, pero <strong>de</strong>sfasados en su anomalía verda<strong>de</strong>ra.<br />
En dicho caso la maniobra <strong>de</strong> ren<strong>de</strong>zvous se llama “phasing”.<br />
Para simplificar consi<strong>de</strong>ramos el caso <strong>de</strong> una órbita circular. 92 / 93
Maniobra <strong>de</strong> phasing<br />
Trigonometría Esférica<br />
Trazas, cobertura y visibilidad<br />
Órbitas <strong>de</strong> Aplicación<br />
Maniobras<br />
Conceptos Generales<br />
Maniobras <strong>de</strong> un solo impulso<br />
Maniobras <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un impulso. Transferencias<br />
Ren<strong>de</strong>zvous<br />
Pue<strong>de</strong> haber dos casos: el blanco se encuentra<br />
un ángulo ν en a<strong><strong>de</strong>l</strong>anto (arriba) o un ángulo ν<br />
en retraso (abajo).<br />
La i<strong>de</strong>a es modificar ligeramente la órbita <strong><strong>de</strong>l</strong><br />
interceptor, <strong>de</strong> forma que al volver a pasar por<br />
el punto <strong>de</strong> inicio, se encuentre al blanco.<br />
Si T es el periodo <strong>de</strong> la órbita común, el nuevo<br />
periodo ha <strong>de</strong> ser Tph = T (1 − ν<br />
2π ) (a<strong><strong>de</strong>l</strong>anto)<br />
) (retraso).<br />
o Tph = T (1 + ν<br />
2π<br />
A partir <strong>de</strong> Tph se encuentra aph y el impulso<br />
∆V necesario (para regresar a la órbita <strong>de</strong><br />
partida habrá que aplicarlo una segunda vez).<br />
Para reducir ∆V se impone que el encuentro<br />
sea tras k órbitas <strong><strong>de</strong>l</strong> interceptor. Entonces<br />
Tph = T (1 ± ν<br />
2πk ), bajando ∆V . 93 / 93