las ecuaciones de las ondas electromagneticas - Casanchi
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ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
LAS ECUACIONES DE LAS ONDAS<br />
ELECTROMAGNETICAS<br />
Las <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell implican que tanto el campo eléctrico como el<br />
campo magnético se propagan en forma <strong>de</strong> <strong>ondas</strong>; <strong>ondas</strong> cuya amplitud<br />
<strong>de</strong>crece al avanzar en medios <strong>de</strong> conductividad no nula. Veamos una forma<br />
simple <strong>de</strong> obtener tales <strong>ecuaciones</strong>.<br />
1. El medio <strong>de</strong> propagación.<br />
2. Ecuación <strong>de</strong> continuidad.<br />
3. Las <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> onda.<br />
4. La forma sinusoidal <strong>de</strong> <strong>las</strong> soluciones.<br />
5. Referencias.<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 1
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
1. El medio <strong>de</strong> propagación:<br />
Para obtener la estructura matemática <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ondas</strong> electromagnéticas, es <strong>de</strong>cir, <strong>las</strong><br />
<strong>ondas</strong> <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong>l campo eléctrico y <strong>de</strong>l campo magnético, po<strong>de</strong>mos partir<br />
<strong>de</strong> <strong>las</strong> cuatro <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell, que en el vacío y en el sistema CGS Gauss,<br />
pue<strong>de</strong>n expresarse por<br />
∇. E =<br />
v r<br />
( J r es la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> corriente, ρ es la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> carga eléctrica, c es la<br />
velocidad <strong>de</strong> la luz)<br />
Pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>finirse los vectores “Desplazamiento”, D r , e “Inducción Magnética”, B r ,<br />
por la relación particular con el vector Campo Eléctrico y Campo Magnético,<br />
respectivamente, <strong>de</strong> modo que <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell pue<strong>de</strong>n expresarse por<br />
∇ D = ρ<br />
r r r<br />
r<br />
r r ∂B<br />
v r r ∂D<br />
. , ∇ ∧ E = − , ∇ ∧ H = J + , ∇. H = 0<br />
∂t<br />
∂t<br />
r r<br />
Siendo el conjunto <strong>de</strong> <strong>las</strong> relaciones <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento D r con el vector campo<br />
eléctrico, y <strong>de</strong> la inducción magnética B r con el vector campo magnético lo que<br />
realmente <strong>de</strong>fine el tipo <strong>de</strong> medio en el que se efectúa la propagación <strong>de</strong>l campo<br />
electromagnético.<br />
1.1. Medio lineal:<br />
4πρ<br />
,<br />
En un medio lineal <strong>las</strong> relaciones entre <strong>las</strong> componentes <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong>splazamiento<br />
y <strong>de</strong>l vector campo son relaciones lineales, esto es, pue<strong>de</strong> escribir matricialmente<br />
que<br />
⎛ D1<br />
⎞ ⎛ε<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜D2<br />
⎟ = ⎜ε<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ D3<br />
⎠ ⎝ε<br />
la matriz cuadrada <strong>de</strong> paso ( ik ) 3<br />
11<br />
21<br />
31<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
⎞ ⎛ E<br />
⎟ ⎜<br />
⎟.<br />
⎜E<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝E<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 2<br />
12<br />
22<br />
32<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
13<br />
23<br />
33<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
ε = ε se llama “matriz dieléctrica <strong>de</strong>l medio”.<br />
Con una relación análoga respecto al vector “campo magnético” en los medios que<br />
son lineales:<br />
⎛ B1<br />
⎞ ⎛ μ<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜B<br />
⎟ = ⎜μ<br />
2<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ B3<br />
⎠ ⎝μ<br />
la matriz cuadrada <strong>de</strong> paso ( ik ) 3<br />
2.2. Medios homogéneos:<br />
r r 1 ∂H<br />
∇ ∧ E = −<br />
c ∂t<br />
11<br />
21<br />
31<br />
,<br />
μ<br />
μ<br />
μ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
v<br />
v r 4π<br />
r 1 ∂E<br />
∇ ∧ H = J +<br />
c c ∂t<br />
μ<br />
μ<br />
μ<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎞⎛<br />
H1<br />
⎞<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎟.<br />
⎜ H2<br />
⎟<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎠⎝<br />
H3<br />
⎠<br />
∇ H r r<br />
, . = 0<br />
μ = μ se llama “matriz inducción <strong>de</strong>l medio”.
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
Un medio se dice que es homogéneo si tiene <strong>las</strong> mismas propieda<strong>de</strong>s<br />
electromagnéticas en todos sus puntos, esto es, si <strong>las</strong> matrices dieléctrica y <strong>de</strong><br />
inducción son constantes.<br />
2.3. Medios isótropos:<br />
Medio homogéneo<br />
⎧ε<br />
= const<br />
⎨<br />
⎩μ<br />
= const<br />
Un medio se dice que es isótropo si todas <strong>las</strong> direcciones son equivalentes en la<br />
propagación <strong>de</strong>l campo. En un medio lineal e isótropo existe una proporcionalidad<br />
directa entre <strong>las</strong> componentes <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong>splazamiento y el vector campo<br />
eléctrico, o bien, entre <strong>las</strong> componentes <strong>de</strong>l vector inducción magnética y el campo<br />
magnético:<br />
Medio isótropo y lineal<br />
2.4. Los medios “dulces” o HLI:<br />
⇔<br />
⎛ε<br />
⎜<br />
ε = ⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 3<br />
⇔<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎟,<br />
ε⎟<br />
⎠<br />
⎛ μ<br />
⎜<br />
μ = ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
Los medios que presentan estas tres características, es <strong>de</strong>cir, homogeneidad,<br />
linealidad e isotropía (HLI), se <strong>de</strong>nominan “medios dulces”.<br />
El ejemplo más simple <strong>de</strong> medio dulce o HLI es el vacío:<br />
Constante dieléctrica e inducción magnética <strong>de</strong>l vacío:<br />
ε<br />
0<br />
⎛ε0<br />
⎜<br />
= ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
Relaciones vectoriales:<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
μ<br />
r r r r<br />
D =<br />
ε 0 E,<br />
B = μ0H<br />
0<br />
=<br />
⎛μ0<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
μ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
μ<br />
0<br />
0<br />
μ<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
μ⎟<br />
⎠
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
3. La ecuación <strong>de</strong> continuidad:<br />
Se obtiene una relación muy sencilla entre la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> corriente J r y la <strong>de</strong>nsidad<br />
<strong>de</strong> carga eléctrica ρ sin más que aplicar el operador nabla a la última <strong>de</strong> <strong>las</strong><br />
<strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell, recordando que la divergencia <strong>de</strong>l rotacional es cero:<br />
r<br />
v r r ∂D<br />
r<br />
∇ ∧ H = J + ⇒ ∇.<br />
∂t<br />
o sea:<br />
v r<br />
( ∇ ∧ H )<br />
r<br />
r ⎛ r ∂D<br />
⎞ r r ∂ r r r r ∂ρ<br />
= ∇ ⎜ J + ⇒ = ∇J<br />
+ ∇D<br />
⇒ = ∇J<br />
+<br />
t ⎟ 0<br />
0<br />
⎝ ∂ ⎠<br />
∂t<br />
∂t<br />
r r ∂ρ<br />
∇J<br />
+ = 0<br />
∂t<br />
Esta es la ecuación <strong>de</strong> continuidad, que po<strong>de</strong>mos integrar fácilmente con la<br />
condición <strong>de</strong> proporcionalidad entre el vector <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> corriente y el vector<br />
campo eléctrico mediante la constante <strong>de</strong> conductividad <strong>de</strong>l medio<br />
Se tiene, en <strong>de</strong>finitiva:<br />
r r ∂ρ<br />
∇J<br />
+ =<br />
∂t<br />
r<br />
r r<br />
J = σ.<br />
E<br />
(σ :conductividad <strong>de</strong>l medio <strong>de</strong> propagación)<br />
r ∂ρ<br />
r r ∂ρ<br />
ρ ∂ρ<br />
+ = 0 ⇒ σ∇E<br />
+ = 0 ⇒ σ + = 0 ⇒ ρ = ρ . ∈<br />
∂t<br />
∂t<br />
ε ∂t<br />
( σE<br />
)<br />
0 ⇒ ∇<br />
0<br />
Esta carga se hace prácticamente cero en cuanto pasen 4 constantes <strong>de</strong> tiempo,<br />
por lo que pue<strong>de</strong>n existir campos eléctricos y magnéticos sin que exista carga<br />
eléctrica.<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 4<br />
0<br />
σ<br />
− t<br />
ε 0
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
4. Las <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> onda:<br />
Si suponemos que se trata <strong>de</strong> un campo electromagnético propagándose en un<br />
medio dulce, se pue<strong>de</strong>n obtener fácilmente <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> diferenciales <strong>de</strong><br />
propagación tanto <strong>de</strong>l campo eléctrico E r , como <strong>de</strong>l campo magnético H r :<br />
a) Ecuación vectorial diferencial <strong>de</strong> onda para el campo eléctrico:<br />
Partimos <strong>de</strong> la segunda ecuación <strong>de</strong> Maxwell<br />
rotacional:<br />
O bien:<br />
r<br />
∇ ∧<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r r ∂B<br />
∇ ∧ E = −<br />
∂t<br />
∂B<br />
2 ∂<br />
( ∇ ∧ E ) = −∇<br />
∧ ⇒ ∇.<br />
( ∇.<br />
E)<br />
−∇<br />
E = − ∇ ∧ B<br />
∂t<br />
a la que hallamos el<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 5<br />
r<br />
r r r r r v<br />
2 ∂<br />
( ∇.<br />
E)<br />
−∇<br />
E = − ∇ ∧ H<br />
r<br />
∇. μ<br />
∂t<br />
si sustituimos ahora usando la cuarta <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell, y tenemos en<br />
cuenta que el gradiente <strong>de</strong> la divergencia es nulo, se tendrá:<br />
r r r<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2<br />
2 ∂ ⎛ r ∂D<br />
⎞ ∂J<br />
∂ D r r 2 ∂E<br />
∂ E<br />
− ∇ E = −μ<br />
⎜ J ⎟ = − − ⇒ −∇<br />
E = − −<br />
2<br />
2<br />
t ⎜<br />
+<br />
∂ t ⎟<br />
μ μ<br />
μσ με<br />
⎝ ∂ ⎠ ∂t<br />
∂t<br />
∂t<br />
∂t<br />
por tanto, queda<br />
r<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2 ∂E<br />
∂ E<br />
∇ E − μσ − με = 0 2<br />
∂t<br />
∂t<br />
b) Ecuación vectorial diferencial <strong>de</strong> onda para el campo magnético:<br />
Partimos ahora <strong>de</strong> la tercera <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell,<br />
que también aplicamos el rotacional: con la condición <strong>de</strong> J = E :<br />
o sea:<br />
r r r r r r<br />
∇ ∧<br />
ε<br />
∂t<br />
∂<br />
( ∇ ∧ H ) = ∇ ∧ ( σ E)<br />
+ ∇ ∧ E<br />
r r r r r r r r<br />
∇ ε<br />
∂t<br />
2<br />
∂<br />
( ∇.<br />
H ) − ∇ H = σ∇<br />
∧ E + ∇ ∧ E<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
∂t<br />
r<br />
r<br />
r<br />
v r r ∂D<br />
∇ ∧ H = J +<br />
r<br />
∂t<br />
σ.<br />
, a la
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
Sustituyendo la segunda <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> Maxwell y anulando al gradiente <strong>de</strong><br />
la divergencia:<br />
Por tanto:<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2 ∂H<br />
∂ H<br />
− ∇ H = −σμ<br />
− εμ 2<br />
∂t<br />
∂t<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2 ∂H<br />
∂ H<br />
∇ H −σμ<br />
−εμ<br />
= 0 2<br />
∂t<br />
∂t<br />
Las <strong>ecuaciones</strong> diferenciales vectoriales que <strong>de</strong>scriben la propagación <strong>de</strong>l campo<br />
electromagnético en un medio dulce (lineal, homogéneo e isótropo), cuyos vectores<br />
campo son E r yH r , con conductividadσ y constantes dieléctrica y <strong>de</strong> inducción<br />
dadas por ε y μ, vienen dadas por <strong>las</strong> expresiones<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2 ⎡σ<br />
∂E<br />
∂ E ⎤<br />
∇ E − με ⎢ + = 0 2 ⎥<br />
⎣ε<br />
∂t<br />
∂t<br />
⎦<br />
r r<br />
r r<br />
2<br />
2 ⎡σ<br />
∂H<br />
∂ H ⎤<br />
∇ H − με ⎢ + = 0 2 ⎥<br />
⎣ε<br />
∂t<br />
∂t<br />
⎦<br />
El estudio <strong>de</strong> <strong>las</strong> soluciones <strong>de</strong> estas <strong>ecuaciones</strong> diferenciales nos permitirá<br />
<strong>de</strong>terminar <strong>de</strong> qué forma se propaga el campo.<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 6
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
5. La forma sinusoidal <strong>de</strong> <strong>las</strong> soluciones:<br />
La solución <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> onda <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> fundamentalmente <strong>de</strong> <strong>las</strong><br />
condiciones <strong>de</strong> contorno impuestas.<br />
Sin embargo, por el Teorema <strong>de</strong> la serie <strong>de</strong> Fourier o <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong> Fourier,<br />
sabemos que toda solución periódica o no periódica, respectivamente, pue<strong>de</strong><br />
obtenerse como suma <strong>de</strong> senos y cosenos, y, por otra parte, al tratarse <strong>de</strong><br />
soluciones <strong>de</strong> <strong>ecuaciones</strong> lineales sabemos, por el teorema <strong>de</strong> superposición, que si<br />
dos funciones son soluciones <strong>de</strong> la ecuación también los será su suma.<br />
Así, entonces, la solución <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> onda <strong>de</strong>l campo eléctrico será:<br />
=<br />
=<br />
E = ( E x , Ey<br />
, Ez<br />
) =<br />
( E ( x,<br />
y,<br />
z).<br />
cos(<br />
ωt + ϕ ) , E ( x,<br />
y,<br />
z).<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ ϕ ) , E ( x,<br />
y,<br />
z).<br />
cos(<br />
ωt<br />
+ ϕ ) ) =<br />
x<br />
x<br />
x<br />
r<br />
iϕ<br />
i<br />
x iωt<br />
ϕy<br />
iωt<br />
iϕ<br />
z iωt<br />
( Ex(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
Re[<br />
∈ ∈ ] , Ey(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
Re[<br />
∈ ∈ ] , Ez(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
Re[<br />
∈ ∈ ] ) =<br />
iωt<br />
iωt<br />
iωt<br />
iωt<br />
( [ ] [ ] [ ] ) r<br />
Re ε ∈ , Re ε ∈ , Re ε ∈ = Re[<br />
ε ∈ ]<br />
= .<br />
x<br />
don<strong>de</strong> es:<br />
y también:<br />
y<br />
z<br />
( ε , ε ε )<br />
r<br />
ε = ,<br />
x<br />
iϕ<br />
iϕ<br />
x<br />
y<br />
iϕ<br />
z<br />
εx = Ex(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
∈ , εy<br />
= Ey(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
∈ , εz<br />
= Ex(<br />
x,<br />
y,<br />
z).<br />
∈<br />
y, separando <strong>las</strong> partes reales y <strong>las</strong> imaginarias:<br />
En resumen:<br />
r<br />
ε = ε + iε , ε = ε + iε<br />
, ε = ε + iε<br />
x<br />
xr<br />
xi<br />
y<br />
yr<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 7<br />
y<br />
( εxr<br />
+ εyr<br />
+ εzr<br />
) + i ( εxi<br />
+ εyi<br />
+ zi ) = E r + iEi<br />
r<br />
ε = . ε<br />
i t [ ε<br />
r<br />
r r<br />
r r<br />
ω<br />
∈ ] = Re[<br />
( E + iE<br />
)( cosωt<br />
− isenωt<br />
) ] = E ωt<br />
− E senωt<br />
E = Re<br />
r i<br />
r cos i<br />
y, en <strong>de</strong>finitiva, es<br />
E ωt E senωt<br />
r<br />
r r<br />
= cos −<br />
E r<br />
i<br />
Por analogía, se tiene para el campo magnético una expresión análoga:<br />
r r<br />
r<br />
= H cos ωt<br />
− H senωt<br />
H r<br />
i<br />
Las soluciones vectoriales <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> diferenciales vectoriales <strong>de</strong> onda, han<br />
<strong>de</strong> ser, pues:<br />
z<br />
yi<br />
z<br />
y<br />
zr<br />
z<br />
zi<br />
z
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
E ωt E senωt<br />
r<br />
r r<br />
= cos −<br />
E r<br />
i<br />
r r<br />
r<br />
= H cos ωt<br />
− H senωt<br />
H r<br />
i<br />
que nos indican el carácter coplanario <strong>de</strong> los vectores r i E E E,<br />
, por una parte, y<br />
<strong>de</strong> los vectores r i H H H<br />
r r r<br />
, , , por otra<br />
Los vectores campo eléctrico, E r , y sus componentes real, r<br />
están siempre en un mismo plano (γ, η).<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 8<br />
r<br />
r<br />
r<br />
E , e imaginaria, E i ,<br />
Lo mismo ocurre con el vector campo magnético, H r , y sus componentes real e<br />
imaginaria r H y H i.<br />
También se encuentran estos vectores en un mismo plano.<br />
Po<strong>de</strong>mos, en <strong>de</strong>finitiva, afirmar, a la vista <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>ecuaciones</strong> <strong>de</strong> onda, que el campo<br />
eléctrico se propaga en un plano y el campo magnético se propaga en otro plano.
ECUACIONES DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CARLOS S. CHINEA<br />
6. Referencias:<br />
Básicos:<br />
ADLER, Richard - CHU, Lan Jen, y FANO, Robert M.<br />
Electromagnetic Energy Transmission and Radiation.<br />
Edit John Wiley and Sons, Inc. 1968, New York.<br />
PANOFSKY, Wolfgang y PHILIPS, Melba<br />
C<strong>las</strong>sical Electricity and Magnetism.<br />
Edit Adisson-Wesley, 2ª Edición, 1962, Cambridge. Massachusetts<br />
LANGMUIR, Robert V.<br />
Electromagnetic Fields and Waves.<br />
Edit Mc Graw Hill, 1961. New york<br />
Ampliar:<br />
FELSEN, L.B. y MARCUVITZ, N.<br />
Radiation and scattering of Waves.<br />
Edit IEE. 1994. Cambridge. N. Jersey<br />
COLLIN, R.E.<br />
Field Theory of Gui<strong>de</strong>d Waves<br />
Edit IEE, 1991, Cambridge. New Jersey<br />
BALANIS, C.A.<br />
Advanced Engineering Mathematics<br />
Edit John Wiley, 1989. New York<br />
VAN BLADEL, J.<br />
Singular Electromagnetic Fields and Sources<br />
Edit Oxford University Press, 1991. Oxford, U.K.<br />
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED MARCHENA, MAYO 2003 9