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DIBUJO TÉCNICO
2º Bachillerato
Rafael Ciriza
Roberto Galarraga
Mª Angeles García
José Antonio Oriozabala
erein

Diseño de portada:
Iturri
Diseño y maquetación:
IPAR
Dibujos:
Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala
© Texto:
Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala
© EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia
ISBN: 84-9746-124-X
D.L.:
Imprime:
Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)

Dibujo técnico
2º Bachillerato
Rafael Ciriza
Roberto Galarraga
Mª Angeles García
José Antonio Oriozabala
EREIN

ÍNDICE
1.- Nociones de geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Formas geométricas fundamentales. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Transformaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Producto de transformaciones. Transformación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Congruencia. Igualdad e isomería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Relaciones de incidencia o determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Relaciones de ordenación y separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Operaciones proyectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Perspectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Proyectividad entre formas de primera categoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.- Homología, afinidad homológica y homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Homología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Afinidad homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.- Potencia e inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Centro radical de tres circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.- Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión. . . . . . . . . . . . 34
Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia. . . . . . . . . . . . . . . 34
Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión . . . . . . . . . . . . . . 36
5.- Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.- Métodos del sistema diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Vistas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Verdadera magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Posiciones favorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Abatimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.- Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Paralelismo. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.- Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Recta con recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Recta con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Plano con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.- Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Distancia entre dos puntos. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . 95
Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5

Mínima distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Distancia entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.- Sólidos, superficies y sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Clasificación de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Representación de sólidos limitados por superficies radiadas . . . . . . . . . . . . . 105
Representación de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.- Secciones y desarrollos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.- Sistema axonométrico ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Tipos de perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Intersecciones entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
13.- Representación de cuerpos poliédricos y de revolución en
axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Figuras planas sobre las caras del triedro trirrectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Trazado de los ejes en la perspectiva isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Secciones generadas por planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.- Sombras en la axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15.- Sistema axonométrico oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Paralelismo, perpendicularidad, intersecciones, secciones y sombras . . . . . . . . 171
Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
16.- Sistema cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Tipos de perspectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6

17.- Procedimientos de trazado en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Procedimiento Directo o de las Visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Características fundamentales de la Perspectiva Cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Procedimiento de los Puntos de Fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Trazado de figuras poligonales planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Escala de anchuras para segmentos paralelos a la línea de tierra . . . . . . . . . . 186
Escala de alturas para segmentos perpendiculares al plano geometral . . . . . . . 187
Escala de profundidades para segmentos perpendiculares al plano
del cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Procedimiento de los Puntos de Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Escala de profundidades para segmentos horizontales oblicuos al plano
del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Procedimiento de los Puntos Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Influencia de diferentes parámetros en la perspectiva cónica . . . . . . . . . . . . . 198
Planos inclinados y rectas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Trazado de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
18.- Sombras en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
19.- Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Clasificación de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Acotación de piezas según sus formas y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Normas de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
20.- Acabados superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Diferentes errores superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Medición de la rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Indicación de acabados superficiales en los planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Acabados superficiales recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
21.- Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Tolerancias dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Tolerancias geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.- Representación normalizada de elementos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Elementos de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Rodamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Ruedas dentadas y engranajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Muelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7

Dibujo técnico
Elementos
fundamentales
Formas geométricas
fundamentales.
Clasificación
1. Nociones de geometria
proyectiva
Cualquier figura geométrica está formada por un conjunto de elementos
fundamentales, ligados entre si por una serie de relaciones, denominadas
propiedades geométricas. Entre las propiedades geométricas conviene
destacar las métricas y las gráficas.
Las propiedades métricas cuyo estudio corresponde a la Geometría
Métrica, se refieren al concepto de medida y las propiedades gráficas,
en las cuales no interviene el concepto de medida se refieren a la posición
relativa de puntos, rectas y planos dando su estudio origen a la
Geometría Proyectiva.
Los elementos que componen figuras espaciales pueden deducirse uno
a partir de otros, pero siempre algunos de ellos han de definirse como
fundamentales. Los elementos fundamentales de la Geometría son el
punto, la recta y el plano. Estos elementos fundamentales, tienen en la
Geometría Proyectiva un concepto más amplio que en la Geometría
Métrica, ya que aquellos reciben ahora los nombres particulares de puntos,
rectas y planos propios al admitir la existencia de los llamados elementos
impropios o del infinito.
Llamaremos punto impropio o del infinito a la dirección de una recta y
diremos, por tanto, que todas las rectas paralelas tienen común su punto
impropio.
El conjunto de los puntos impropios de un plano recibe el nombre de
recta impropia o del infinito, y es el elemento común al conjunto de planos
paralelos al primero.
El conjunto de las rectas impropias del espacio recibe el nombre de
plano impropio o del infinito, que contiene también, por tanto, a todos
los puntos impropios del espacio.
Se llama forma geométrica fundamental al conjunto continuo de infinitos
elementos fundamentales (puntos, rectas, planos) que cumplen
determinadas condiciones de pertenencia respecto a otros elementos
fundamentales.
Atendiendo a los elementos geométricos fundamentales, las formas geométricas
se clasifican en tres grupos:
9

10
Formas
fundamentales de
primera categoría
Formas
fundamentales de
segunda categoría
Son las constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rectas,
o planos). Tres son las formas fundamentales de primera categoría:
Serie rectilínea, constituida por los infinitos puntos de una recta. A
dicha recta se le denomina base de la serie. Fig 1
r
A
B
Haz de rectas también llamado haz de rayos y radiación plana, constituida
por las infinitas rectas de un plano que pasan por un punto V de
dicho plano. El plano que las contiene se llama base del haz, y el punto
común V, vértice o centro de l haz. Fig 2
s
m
r V
n
Son las constituidas por elementos de dos especie solamente (puntos y
rectas, o rectas y planos). Las formas fundamentales de este grupo son:
C
fig. 1
p
D
fig. 2
Haz de planos, constituida por los infinitos planos que pasan por una
recta denominada arista del haz. Fig 3
α
β
λ
γ
r
fig. 3
q

B
A
m
n
fig. 4
Formas
fundamentales de
tercera categoría
Trasformaciones
geométricas
A
A
B
C
C
B
q
fig. 8
C
O
D
fig. 6
A’
α
β
V
fig. 5
λ
m
n
q
1. Nociones de geometria proyectiva
Es el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.
El concepto de transformación equivale a los de operación, relación,
correspondencia, etc. En toda transformación, a cada punto A de una
forma f , le corresponde uno A´ y solo uno, de f´ y recíprocamente. Son
transformaciones geométricas entre otras, la traslación (fig 6), el giro
(fig 7), las simetrías central y axial (figs 8 y 9).
C’
B’
B’
C’
A’
A
A
B
C
B
fig. 9
C
La forma plana: es el
conjunto de todos los puntos
y rectas que constituyen
un plano. Fig 4
La radiación. Es el conjunto
de las infinitas rectas
y planos que pasan por un
punto V, llamado vértice o
centro de radiación. Fig 5
a
C’
B’
B’
A’
O
fig. 7
A’
C’
11

1. Nociones de geometria proyectiva
Producto de
transformaciones.
Transformación
involutiva
Congruencia. Igualdad
e isomería
12
Definiciones:
• La transformación de una forma f en otra f´, en la que a cada elemento
A de f le corresponde uno A´de f´, se llama univoca. Si también
se verifica que cada elemento A´de f´ es el transformado de uno
solo A de f, se llama biunívoca. La transformación de f´en f se llama
inversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de f y f´ que se corresponden,
homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transformaciones
biunívocas.
• Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transformados
tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, la
transformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientación
que los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la simetría
central son transformaciones acordes. La simetría axial, discorde.
• El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En la
simetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial son
dobles los puntos del eje e.
• Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es una
identidad. El giro de 360º es una identidad.
Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´
una forma f se convierte en otra f´ y si por medio de una segunda transformación
geométrica de elementos homólogos A´ y A´´, f´ se convierte
en otra f´´, la transformación de elementos homólogos A y A´´ que
convierte f en f´´ se llama producto de ambas transformaciones.
Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una
figura idéntica a la primera, la transformación producto se llama involutiva.
En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías respecto
del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en la
segunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo que
es involutiva.
A
A’’
1
2
fig. 10
O A’
Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponerse
mediante un movimiento coinciden.
Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden no
ser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en el
espacio que las haga coincidir.
La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentes
en el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no son
congruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, no
existe ningún movimiento que las haga coincidir.
Si en una transformación las distancias entre puntos homólogos se mantiene,
es decir se verifica la igualdad de segmentos AB=A´B´ la transformación
se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llama
isomería acorde y si no discorde.

Relaciones de
incidencia o
determinación
Relaciones de
ordenación
y separación
La palabra incidencia es sinónima de pertenencia o determinación.
Diremos que dos elementos de distinto nombre se pertenecen cuando
el primero está sobre el segundo, o el segundo pasa por el primero. Por
ejemplo, decir que una recta pertenece a un plano significa que la recta
está en el plano o que el plano contiene o pasa por la recta.
Las relaciones de incidencia son las siguientes:
• Dos puntos distintos determinan una recta que contiene a ambos.
• Dos rectas distintas determinan un punto que pertenece a ambas.
• Dos planos distintos determinan una recta que pertenece a ambos.
• Tres puntos no pertenecientes a una misma recta, determinan un
plano que contiene a los tres puntos.
• Tres planos no pertenecientes al mismo haz determinan un punto que
pertenece a los tres planos.
• Un punto y una recta que no se pertenezcan determinan un plano
que contiene a ambos.
• Un plano y una recta que no se pertenezcan determinan un punto
que pertenece a ambos.
La definición de punto impropio por la cual una recta AB tiene un solo
punto impropio I∞, nos hace concebir a la recta como una línea (curva
de radio infinito) cerrada por su punto del infinito, de tal modo que,
dado un punto A en ella, se pueda recorrer íntegramente pasando por
el punto impropio y volver a A de nuevo. Esta es la llamada disposición
natural o circular de los puntos en la recta proyectiva.
En la figura 11, se puede comprobar que fijado un punto A y un sentido
como origen, queda determinada la ordenación de cualquier par de
puntos M y N de la recta. En el sentido de la flecha M precede a N ó N
sigue a M.
Si cortamos la recta por dos puntos A y B, figura 12 , aparecen en ella
dos segmentos: el segmento finito de extremos A y B, y el segmento
infinito de extremos también A y B. El primero solo contiene puntos
propios y el segundo contiene puntos propios y el impropio de la recta.
Para diferenciar los dos segmentos, será necesario marcar un tercer
punto en cada segmento; así en la figura 13, el segmento ACB (ó BCA)
es el segmento finito y el ADB (ó BDA) el infinito. Uno cualquiera de
ellos se llama complementario del otro.
Por último, si los elementos C y D están respectivamente, en los dos
segmentos complementarios, figura 13, se dice que los pares AB y CD
se separan, y si C y D estuvieran en el mismo segmento, se dice entonces
que los dos pares no se separan.
A B
I•
fig. 11
M
N
A
B
I• I•
fig. 12
A C B D
I• I•
fig. 13
13

14
Operaciones
proyectivas
Proyección
desde un punto V
V
Sección por un plano λ
I
fig. 17
A
fig. 14
s
Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son proyectar
desde un punto o una recta y cortar por una recta o un plano.
• Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VA llamada recta proyectante.
Fig 14
• Proyectar una recta s desde V es trazar el plano α determinado por V
y s llamado plano proyectante. Fig 15
• Proyectar una figura formada por puntos y rectas desde V es trazar las
rectas y planos Que determina V con los puntos y rectas de la figura.
La radiación formada se llama proyección o perspectiva de la figura.
Fig 16
V
M
N
V
a b c
fig. 15 fig. 16
• Cortar una recta s por un plano es hallar la intersección I también llamada
traza de s con λ. Fig 17
• Cortar un plano α por otro λ es hallar la intersección o traza i de α
con λ. Fig 18
• Cortar una figura formada por planos y rectas, por un plano λ es
hallar las trazas de dichas rectas y planos con λ formando lo que se
denomina una sección. Fig 19
i
fig. 18
λ
α
a
β
b
n
A
c
γ
B
fig. 19
m

a
Proyección desde
una recta r
Sección
por una recta s
I
fig. 22
Perspectividad
Perspectividad entre
una forma y su sección
o proyección
s
• Proyectar un punto A desde r es trazar el plano α determinado por r
y A. Es el mismo caso que la fig. 15
• Proyectar una recta a desde otra r, coplanaria con ella, es trazar el
plano α que determinan. Fig 20
• Proyectar desde r una figura formada por los puntos A, B y C es trazar
los planos α, β y γ, determinados por r y cada uno de los puntos
de la figura. Fig 21
r
a
r
fig. 20 fig. 21
• Cortar un plano α por una recta s, es hallar la intersección o traza I
entre ambas. Fig 17
• Cortar una recta a por otra s coplanaria con ella es hallar la intersección
I de ambas. Fig 22.
• Cortar una figura formada
por planos, por una recta s es
hallar las intersecciones o
trazas de s con cada uno de
los planos. Fig 23
Para terminar podemos decir
que proyectar una figura sobre
un plano es lo mismo que cortar
la proyección por dicho
plano.
s
α
A
A
B
α
β
B
fig. 23
Se dice que dos formas son perspectivas, o que están relacionadas perspectivamente,
cuando una es sección de la otra o cuando las dos son
proyección o sección de una forma de primera categoría y existe un elemento
común a ambas.
a
A
B
V
b
C
D
c
m
d
• Si cortamos un haz de rectas a, b, c...
por otra recta m que no pase por V,
la serie rectilínea A,B, C... de base m
que se forma como sección, es perspectiva
con el haz de rectas. Fig 24
fig. 24
β
C
C
γ
γ
15

1. Nociones de geometria proyectiva
16
m
A
fig. 25
B
C
Perspectividad entre
secciones de la misma
forma
α
β
γ
• Si seccionamos un un haz de planos de arista r con otra recta m no
coplanaria con r, la serie rectilínea A, B, C... que se forma como sección
es perspectiva con el haz de planos. Fig. 25
• Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por un plano π que no pase por
V, el conjunto de puntos A, B, C... sección del haz de rectas, es perspectiva
con ésta. Fig. 26
• Si cortamos una radiación de planos α, β, γ... por un plano π, el conjunto
de rectas a, b, c... sección de la radiación de planos, es perspectiva
con ésta. Ver Fig. 19
• Si cortamos el haz de planos α, β, γ... de arista r por un plano π, el
haz de rectas que pasa por V que se forma como sección, es perspectiva
con el haz de planos. Fig. 27
a
A
b
B
• Dos series rectilíneas de base m y n, figura 28, son perspectivas por
ser secciones del haz de rectas que pasan por V, siendo V el centro
perspectivo de las series.
• Si cortamos un haz de planos de arista r por dos planos α y β que pasan
por un mismo punto de la arista, figura 29, las dos secciones resultantes
de ambos planos son dos haces de rectas perspectivos. La arista r del
haz de planos se llama eje perspectivo de los haces de rectas.
V
V
fig. 28
C
c
fig. 26
D
E
d
m
n
e
π
r
V
V
fig. 27
r
a
α
fig. 29
β
b
c
γ
α
β

Perspectividad
entre proyecciones
de la misma forma
Proyectividad
entre formas de
primera categoría
fig. 32
Clasificación
de la proyectividad
π
V
• Dos haces de rectas de vértices V y V´, de una misma serie rectilinea
A, B, C, D de base r, figura 30, son perspectivos por ser proyecciones
de la serie r. La base de la serie se llama eje perspectivo de los haces.
• Dos haces de planos, proyecciones de un mismo haz de rectas a, b,
c, d, desde dos rectas distintas m y n que pasan por el vértice V del
haz de rectas, figura 31, son perspectivos por ser proyecciones del haz
de rectas. El plano del haz se llama plano central perspectivo.
A B C D r
a
α
fig. 30
V’
De entre las definiciones sobre proyectividad, la Chasles, la Staudt y la
de Poncelet, todas ellas equivalentes, nos quedamos con la de Poncelet
por ser la más sencilla de interpretar: “Dos formas de primera categoría
son proyectivas si pueden obtenerse una de otra por medio de una
cadena finita de proyecciones y secciones”.
En el ejemplo de la figura 32, dada
la serie rectilínea A, B , C y D de
base m y la recta r, proyectando
β
r
γ
δ
desde r, se obtiene el haz de planos
α, β, γ y δ de arista r.
Cortando este haz de planos por
A
B
C
D
m
otro plano π, se obtiene el haz de
rectas a, b, c y d de vértice V.
Cortando este haz de rectas con
V
una recta n obtenemos la serie
n
rectilínea A´, B´, C´ y D´. Estos
A’ B’ C’ D’
d
haces y series, y los obtenidos de
ellos por proyección y sección,
b
c
son proyectivos entre si.
Según la especie de los elementos que se correspondan, la proyectividad
se clasifica en:
• Homografía: Si los elementos homólogos son de la misma especie:
punto y punto; recta y recta ó plano y plano.
• Correlación: Si son de distinta especie: Punto y recta, punto y plano...
m
d
c
V
fig. 31
b
n
a
17

α
18
Dibujo técnico
Homología
A’
S’
r’
fig. 1
B’
Rectas límites
α'
α
r 1
B 1
A 1
3
s 1
C’
M 1
C 1
β
N 1
β
fig. 2
2
2. Homología, afinidad homológica
y homotecia
La homología en el espacio es la correspondencia existente entre dos
figuras resultantes de seccionar un haz de rectas por dos planos no
paralelos.
1
V
Eje de homología
ML
V
T'
K'
β'
En la figura 1 observamos que las tres rectas que parten del
punto V son seccionadas por los planos α y β obteniéndose
unos puntos de corte, de forma que a cada punto A1 le corresponde
otro homólogo A’, a cada recta r1 otra homóloga r’, y a
cada figura S1 otra homóloga S’.
Los elementos que intervienen en una homología son:
– El centro de homología: punto V de donde parten el haz de
rectas.
– El eje de homología: recta intersección entre los dos planos.
Por otro lado, diremos que tres puntos A1 B1 C1 son homólogos
de A’ B’ C’ cuando cumplan las siguientes condiciones:
– Estar en línea recta, con el centro de homología punto V.
– Que las rectas homólogas, por ejemplo A1 B1 y A’ B’, se corten
en puntos del eje de homología.
Esta última condición nos lleva a definir el eje de homología
como el lugar geométrico de los puntos dobles, es decir, de los
puntos que son homólogos de sí mismos.
Se llama recta límite al lugar geométrico de los puntos homólogos
de los puntos del infinito.
M’L’
Como sabemos, si dos rectas son
paralelas, o un plano y una recta
son paralelos, estos se cortan en
el infinito. Pues bien, si en la figura
2 trazamos rectas paralelas al
plano α por el punto V en diferentes
direcciones, significa que
dichas rectas se cortarán con α en
el infinito según esas direcciones.
Sin embargo, estas mismas rectas
cortan al plano β en los puntos
M 1, N 1… formando una recta. Esta
recta es la llamada recta límite RL.
El punto M 1 tendrá su homólogo
M’ sobre el plano α en el infinito

α
Z
N'
ω
C'
β
A'
C 1
1
A 1
ML
B'
B 1
3
V
Z
2
1
B
fig. 3
V
A
M’L’
T
C
M N
d
A'
A
Z'
fig. 4
d
B
B'
V
C
Z
C'
K'
ML
K
2
ML
Homologia-ardatza
fig. 5
M’L’
V
M'
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
según la dirección VM1, al igual que todos los
puntos que conforman esta recta límite.
De igual manera hallaremos la recta límite R’L’.
Por V se trazan paralelas al plano β y los puntos
de corte con el plano α formarán la R’L’. Así,
diremos que el homólogo del punto K’ perteneciente
al plano α estará en el infinito sobre el
plano β. Según la dirección VK’.
En la figura 3 podemos observar cómo se realiza
el paso de la homología espacial a la plana.
Para ello se abate el plano β sobre el plano α
girándolo sobre el propio eje de homología obteniendo
A, B, C y RL. Para abatir el punto V se
traza por dicho punto un plano ω perpendicular
a los plano α y β obteniéndose el punto T intersección
del plano ω con R’L’. Haciendo centro
en T y con radio TV hallamos V sobre el plano
α. En la misma figura podemos ver que las
direcciones de las rectas A’B’ y VZ son paralelas.
En la figura 4 tenemos la homología dibujada en
el plano y podemos observar que las rectas
límites son paralelas al eje de homología.
Además, las distancias de las rectas limites R’L’ y
RL al eje de homología y al centro de homología
respectivamente son iguales.
Puede darse el caso de que las dos rectas límites
sean exteriores a la parte del plano comprendido
entre V y el eje, tal como indica la figura 5.
También puede ocurrir que las dos rectas límites
se confundan, es decir, coincidan, tal como
indica la figura 6. La homología se llama entonces
homología involutiva.
d
d
V
fig. 6
ML ≡ M’L’
Homologia-ardatza
19

20
Formas de definir
una homología
A'
Una homología queda definida conociendo los elementos siguientes:
1.El centro, el eje, y dos puntos homólogos.
2.El centro, el eje, y la recta límite de la figura homóloga que se busca.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dados los datos de la figura 7 halla el polígono homólogo al dado.
A
B
V
D
fig. 7
Solución:Para hallar el homólogo del punto B, por ejemplo, unimos B con A y alargamos hasta cortar al eje
de homología en el punto 1. El homólogo
1’ del punto 1 es el mismo punto por
pertenecer al eje. Unimos 1’ con A’ y V
con B. Estas dos rectas se cortarán en B’
V
homólogo de B. Repitiendo esta operación
obtendremos los demás puntos.
Para obtener las rectas límites tomaremos
un punto situado en el infinito
Z ML
según una dirección cualquiera; por
B
ejemplo el punto Z’ del infinito situado
sobre la recta A’B’. Si este punto Z’ del
M’L’
infinito está sobre la recta A’B’ su homólogo
estará sobre la recta AB. Trazando
A
C
por V una recta paralela a la recta A’B’,
ésta se cortará con la recta AB en el
D
punto Z perteneciente a la recta límite
RL.
1≡
1'
2
D'
3
C'
4
Una vez hallado Z, y sabiendo la propiedad
que tienen las rectas límites de
A'
equidistancia respecto al centro de
homología, y eje de homología y de
paralelismo respecto del eje de homología,
trazaremos RL y R’L’.
B'
C
Z'

2. Dados los datos de la figura 8 halla el polígono homólogo al dado.
A’
1
A
B’
B
D’
V
D
2 ≡ 2’
4 ≡ 4’ 3 ≡ 3’ Homologia-ardatza
Casos particulares
Afinitate-ardatza
1
2
A'
A
V
C
3
B'
C’
B
r
C
C'
r’
fig. 9
ML
A
B
D
V
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
C
ML
Homologia-ardatza
fig. 8
Solución:Para hallar por ejemplo el homólogo
del punto B, se traza una recta
cualquiera que pase por B, por
sencillez cogemos la recta BC, la
cual corta en 1 a la RL y en 2 al eje.
La recta homóloga de la 1-2, recta
r, deberá pasar por el punto 2’ y
ser paralela a la V 1 recta r’. El
punto de corte entre la recta r’ y la
recta VB nos dará B’ homólogo de
B. Para hallar los demás puntos
procederemos como en el ejercicio
anterior.
Dependiendo de que el centro de
homología y el eje de homología
sean propios o impropios, es decir,
que sean conocidos o estén en el
infinito, obtendremos casos particulares
de homología.
En la figura 9 vemos que el centro
de homología está en el infinito.
En este caso obtenemos una afinidad
homológica.
En la figura 10 observamos que el
eje de homología está en el infinito
por ser los dos planos paralelos,
obteniéndose una homotecia.
21

2. Homología, afinidad homológica y homotecia
22
A'
A
B
V
B'
fig. 10
Afinidad homológica
A'
A
B'
B
C'
C
K > 0
C
Ya en la figura 11 tenemos que tanto el eje como el centro de homología
están en el infinito, obteniéndose una traslación.
C'
A'
A
B'
En la relación K = A0A /A0A’ = B0B / B0B’ = C0C /C0C’, a la constante K se le denomina razón de afinidad.
Si las figuras afines están una a cada lado del eje de
afinidad la razón de afinidad será negativa, K < 0
(figs. 12 y 13). Si las dos figuras están al mismo lado
del eje de afinidad la razón de afinidad será positiva,
K>0. (fig. 14)
B
C'
fig. 11
Ya hemos visto que la afinidad es un caso particular de la homología,
y la consecuencia de que el centro de homología sea impropio es que
las rectas que unen puntos homólogos sean paralelas. A la dirección de
éstas se le denomina dirección de afinidad, pudiendo ser ésta oblicua
al eje de afinidad (fig. 12) o perpendicular al mismo (fig. 13). Las rectas
límites serán impropias, es decir, estarán en el infinito.
A
B
Ao Bo
Co
3 2 1
Ao Bo Co
1 2 3
fig. 14
A'
B'
C'
C
K < 0
fig. 12 fig. 13
B'
1
A
Ao
A'
Bo
B
Co
C
C'
V
2
C
K < 0
3

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dados los datos de la figura 15 halla el polígono afín al dado.
A
A'
B
D
C
fig. 15
A
1 2 3
D
4
D'
A'
B
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
Solución:En la figura se puede observar cómo obtenemos los puntos afines del polígono dado, de forma
similar a como lo hacíamos en una homología normal.
2. Dados los datos de la figura 16 y sabiendo que la razón de afinidad es K = -1 halla el polígono afín al dado.
d
A
B
E D
C
fig. 16
C
E D
1 Ao 2 3
Solución:Aplicando la definición de la razón de afinidad, tenemos:
A
B
E' D'
K = AA 0 /A’A 0 -1 = AA 0 /A’A 0 A’A 0 = -AA 0
El signo menos (–) indica que las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad. Si nos fijamos
en el resultado del ejercicio comprobaremos que las dos figuras son simétricas respecto del eje de afinidad.
Por tanto, podemos decir que la simetría axial es un caso particular de la afinidad homológica.
Homotecia
A'
B'
La homotecia también es un caso particular de la homología. En esta
relación geométrica el eje de homología es impropio y como consecuencia
de ello no existen rectas límites.
En la figura 17 el homólogo del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’,
y se cumple que OA’/OA = OB’/OB = OC’/OC = K, siendo K la razón
de homotecia. Si ésta es positiva, K > 0, los puntos homólogos están a
un mismo lado del centro de homotecia (fig. 17), y si es negativa, K <
0, los puntos homólogos están a distinto lado del centro de homotecia.
(fig. 18)
C
C'
B'
C'
4
23

2. Homología, afinidad homológica y homotecia
O
24
25
C
10
62,5
O
K > O
O
En toda homotecia se cumple que:
1. Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas.
2. Los segmentos homólogos son paralelos y proporcionales.
3. Los ángulos homólogos son iguales.
A
A'
B
B'
C
B'
C
fig. 17
C'
fig. 18
A
B
K < O
En la figura 19 tenemos dos circunferencias homotéticas. Se cumple que:
También:
EJERCICIOS RESUELTOS
C'
25
fig. 20
R/r = OC’/OC = K
R = r · K OC’ = K · OC
A
T
D
r
C
B
fig. 19
A'
1. Dado el centro de homotecia O, la razón de homotecia
K = 2,5 y una circunferencia de centro C y radio
10 mm, calcula su homotética sabiendo que OC =
25 mm.
En la figura 20 se observa que la homotética es otra
circunferencia de centro C’ situada en la recta OC
tal que:
OC’ = K · OC = 2,5 · 25 = 62,5 mm
R = K · r = 2,5 · 10 = 25 mm
O
T'
D'
R
C'
B'
C'
A'

2. Homología, afinidad homológica y homotecia
2. Dados los datos de la figura 21 y la razón de homotecia K = –1 halla el homotético del polígono dado ABDC.
A
D
B
C
O
C'
B'
D'
fig. 21
EJERCICIOS
1. Halla el homólogo del punto B en la homología definida en la siguiente figura.
2. Halla las figuras homólogas de las dadas.
A D
B
3. Halla las figuras afines de las dadas.
A
C
C
B
V
A'
P
B
P'
V
A
A'
En el ejercicio resuelto podemos observar que
la homotecia así definida es una simetría central.
B
A'
V
A
A
C
B'
D C
B
P
25

2. Homología, afinidad homológica y homotecia
26
4. Halla la figura homotética del polígono dado, siendo el centro de homotecia el punto 0 y la razón de homotecia K
= 1/3.
A
B
O
C
H F
G
5. Halla la figura homotética del triángulo ABC siendo O el centro de homotecia y K = 2 la razón de
homotecia.
O
C
K
A
D
B
E