Conceptos Básicos de Álgebra Lineal y Geometría Multidimensional

Conceptos Básicos de Algebra Lineal 

y Geometría Multidimensional 

Alvaro Cofré 

Duvan Henao

Índice general 

1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 

1.1. El método de eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.3. Propiedades del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4. Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.5. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2. Relaciones de dependencia lineal 29 

2.1. El espacio vectorial R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.2. Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.3. Dimensión del espacio vectorial R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.4. Rango de un sistema de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.5. Rango de matrices y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2.6. Equivalencia de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

2.7. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . 46 

2.7.1. Compatibilidad para sistemas no homogéneos . . . . . . . . . . . 46 

2.7.2. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

2.7.3. Soluciones para sistemas arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

3. Álgebra de matrices 55 

3.1. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

3.2. Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

3.3. Representación matricial de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . 60 

3.4. Rango de un producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

4. Vectores en R n 63 

4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

4.2. Subespacios de vectores en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

4.4. Subespacios de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

5. Distancia y Volumen en R n 83 

5.1. Métrica euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

5.2. Volúmenes y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

6. Sistemas de coordenadas 91 

6.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

6.2. Variedades lineales y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

6.3. Volúmenes y sistemas de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 97 

iii

iv ÍNDICE GENERAL 

6.4. Deformación continua de sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . 100 

6.5. Construcción de sistemas ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

6.6. Distancia y Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

7. Movimientos Rígidos 111 

7.1. Movimientos rígidos en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

7.2. Movimientos rígidos en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

8. Problemas propuestos 125

Capítulo 1 

Sistemas de ecuaciones 

lineales 

Nota: La palabra número designa a un elemento de un campo K. En nuestro caso 

K es el campo de los números reales o bien el de los complejos. 

Definición 1.1 Llamaremos ecuación lineal con n incógnitas a una ecuación del tipo 

a1x1 + a2x2 + · · · anxn = b (1.1) 

Los números a1, . . . , an se llaman coeficientes de las incógnitas, al número b se le 

llama término libre . Diremos que la colección ordenada de números (k1, k2, . . . , kn) 

es una solución de la ecuación si 

Si b = 0 la ecuación se dice homogénea . 

a1k1 + a2k2 + · · · + ankn = b 

Puesto que alguno de los coeficientes ai en (1.1) debe ser distinto de cero, podemos 

suponer que a1 = 0. Asignemos valores arbitrarios k2, k3, . . . , kn a las incógnitas x2, 

x3, . . . , xn, entonces 

x1 = b − a2k2 − a3k3 − · · · − ankn 

. 

a1 

 

b−a2k2−···−ankn 

Claramente, la colección ordenada 

, k2, k3, . . . , kn es una posible solu- 

a1 

ción de la ecuación. Puesto que esta es solución independientemente de cuáles son los 

valores de k concluimos que (1.1) tiene infinitas soluciones. 

Definición 1.2 Sean 

Sean α, β números arbitrarios. Diremos que la ecuación 

a1x1 + · · · + anxn = c1 (1.2) 

b1x1 + · · · + bnxn = c2 (1.3) 

α(a1x1 + · · · + anxn) + β(b1x1 + · · · + bnxn) = αc1 + βc2 

es combinación lineal de las ecuaciones (1.2) y (1.3). 

1 

(1.4)

2 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 

Sea (k1, k2, . . . , kn) una solución común de (1.2) y (1.3). Entonces 

α(a1k1 + · · · + ankn) + β(b1k1 + · · · + bnkn) = αc1 + βc2 

y (k1, k2, . . . , kn) es solución de (1.4). 

Se concluye que si una ecuación es combinación lineal de dos o más ecuaciones lineales 

entonces toda solución común de las ecuaciones que participan en la combinación lineal 

es solución de la ecuación. 

Nota: A una colección ordenada del tipo (k1, k2, . . . , kn) la llamaremos n-tupla. 

Definición 1.3 Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con 

n incógnitas 

a11x1 + · · · + a1nxn = c1 

. 

an1x1 + · · · + amnxn = cm 

Diremos que la n-tupla (k1, k2, . . . , kn) es solución del sistema si es solución de cada 

una de las m ecuaciones del sistema. Si c1 = c2 = · · · = cm = 0 diremos que el sistema 

es homogéneo . 

Definición 1.4 Sean 

a11x1 + · · · + a1nxn = c1 

. 

am1x1 + · · · + amnxn = cm 

(1.5) 

b11x1 + · · · + b1nxn = d1 

. 

bm1x1 + · · · + bmnxn = dm 

(1.6) 

Supongamos que cada ecuación del sistema (1.5) es combinación lineal de las ecuaciones 

del sistema (1.6) y viceversa. Diremos que los sistemas (1.5) y (1.6) son equivalentes 

. 

Teorema 1.5 Dos sistemas equivalentes tienen exactamente las mismas soluciones. 

Demostración: Sea (k1, . . . , kn) solución de (1.5). Considere la primera ecuación de 

(1.6). Ella es una combinación lineal de las ecuaciones del primer sistema. Puesto que 

(k1, k2, . . . , kn) es una solución común entonces es solución de la primera ecuación del 

sistema (1.6). 

Razonando análogamente para cada una de las ecuaciones del sistema (1.6) hemos 

demostrado que cada solución del sistema (1.5) es solución del sistema (1.6). El mismo 

argumento permite demostrar que toda solución de (1.6) es solución de (1.5). 

Supongamos ahora que (1.6) no tiene solución. Entonces (1.5) tampoco puede tenerla 

y viceversa. Se concluye que (1.5) y (1.6) tienen exactamente las mismas soluciones. 

Definición 1.6 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución diremos que es 

compatible . Si tiene exactamente una solución diremos que es compatible determinado 

, si tiene más de una solución diremos que es compatible indeterminado . Si no 

tiene solución diremos que es incompatible .

1.1. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS 3 

1.1. El método de eliminación de Gauss 

Consideremos el sistema 

a11x1 + · · · + a1nxn = b1 

. 

am1x1 + · · · + amnxn = bm 

(1.7) 

Caso 1: El coeficiente de x1 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones. En tal 

caso podemos suponer que a11 = 0 (si es necesario reordenamos las ecuaciones). 

Caso 2: Si aij = 0, j = 1, . . . , m simplemente tenemos un sistema de m ecuaciones con 

n − 1 incógnitas. 

Supongamos entonces que a11 = 0. Reemplacemos el sistema (1.7) por un nuevo sistema 

equivalente, que por lo tanto tiene exactamente las mismas soluciones que (1.7). 

Denotemos por ECi a la i-ésima ecuación del sistema (1.7). Construyamos el nuevo 

sistema definiendo sus ecuaciones de la manera siguiente: 

Ecuación 1 = EC1 

Ecuación 2 = EC2 − a21 

EC1 

a11 

Ecuación 3 = EC3 − a31 

EC1 

a11 

. 

Ecuación m = ECm − am1 

EC1 

Obtenemos así un nuevo sistema equivalente a (1.7) 

a11 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a ′ 22x2 + · · · + a ′ 2nxn = b ′ 2 

a ′ 32x2 + · · · + a ′ 3nxn = b ′ 3 

. 

. 

a ′ m2x2 + · · · + a ′ mnxn = b ′ m 

(1.8) 

Nota: Cada una de las ecuaciones de (1.7) se puede reconstruir fácilmente como 

combinación lineal de las ecuaciones de (1.8), es por esto que son equivalentes. 

Caso 1: El coeficiente de x2 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones 2, 3, . . . , m. 

Caso 2: Si a ′ 2j = 0 ∀ j = 2, 3, . . . , m, procedemos a la eliminación de la incógnita x3. 

Supongamos entonces que a ′ 22 = 0, hacemos lo mismo en (1.8). Denotemos por EC ′ i a la 

ecuación i-ésima del sistema, y por EC ′′ 

i a la ecuación i-ésima del sistema a construir.


Definimos entonces al nuevo sistema por 

EC ′′ 

1 = EC ′ 1 

EC ′′ 

2 = EC ′ 2 

EC ′′ 

3 = EC ′ 3 − a′ 32 

EC ′′ 

4 = EC ′ 4 − a′ 42 

. 

. 

a ′ EC 

22 

′ 2 

a ′ EC 

22 

′ 2 

EC ′′ m = EC ′ m − a′ m2 

a ′ EC 

22 

′ 2 

Obtenemos así un sistema equivalente a (1.8) (y por lo tanto equivalente a (1.7)) 

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1 

a ′ 22x2 + a ′ 23x3 + · · · + a ′ 2nxn = b ′ a 

2 

′′ 

33x3 + · · · + a ′′ 

3nxn = b ′′ 

. 

3 

a ′′ m3x3 + · · · + a ′ mnxn = b ′′ m 

Nota: Si en alguna parte del proceso alguna ecuación tiene todos los coeficientes y el 

término libre iguales a cero, podemos suprimirla puesto que la ecuación 

0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = 0 

es satisfecha por cualquier n-tupla (k1, k2, . . . , kn). 

Sin en alguna parte del proceso alguna ecuación tiene todos los coeficientes iguales a 

cero y el término libre distinto de 0 debemos concluir que el sistema es incompatible . 

Supongamos que el sistema es compatible. En tal caso pueden presentarse sólo dos 

situaciones: 

i) Después de k − 1 etapas, las incógnitas xk+1, xk+2, . . . , xn quedan todas eliminadas 

producto de suprimir ecuaciones del tipo 0 · x1 + · · · + 0 · xn = 0. En tal 

caso el sistema queda con forma trapezoidal 

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1kxk + · · · a1nxn = b1 

a ′ 22x2 + a ′ 23x3 + · · · + a ′ 2kxk + · · · + a ′ 2nxn = b ′ 2 

a ′′ 

33x3 + · · · + a ′′ 

3kxk + · · · + a ′′ 

3nxn = b ′′ 

3 

a 

. 

(k−1) 

kk 

xk + · · · + a (k−1) 

kn 

xn = b (k−1) 

k , 

con a11 = 0, a ′ 22 = 0, · · · , a (k−1) 

kk = 0, donde k < m y k < n. Como a (k−1) 

kk = 0 

podemos asignar valores arbitrarios a xk+1, xk+2, . . . , xn en la última ecuación y 

despejar xk. Luego reemplazamos en la penúltima ecuación y despejamos xk−1 

y así sucesivamente hasta llegar hasta x1. Hemos obtenido así una solución que 

depende de n − (k − 1) parámetros arbitrarios (nadie afirma que sea la única), el


sistema es compatible indeterminado . 

Ejemplo: 

Eliminemos x1: 


x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1 

x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0 

3x1 + 0 · x2 + 3x3 + x4 = 2 

2x1 − 2x2 + 4x3 + 2x4 = 2 

x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1 

3x2 − 3x3 − 2x4 = −1 

3x2 − 3x3 − 2x4 = −1 

0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 = 0 

x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1 

3x2 − 3x3 − 2x4 = −1 

0 · x3 + 0 · x4 = 0 

Tenemos k = 3. Tenemos una solución que depende de 4 − (3 − 1) parámetros 

arbitrarios. En la segunda ecuación sea x3 = λ, x4 = µ entonces x2 = 1 

3 [3λ+2µ− 

1]. Reemplazando en la primera se tiene 

x1 = 1 

5 2 

[3λ + 2µ − 1] − 2λ + µ + 1 = −λ + µ + 

3 3 3 

Obtenemos así una solución −λ + 5 2 2 1 

3 µ + 3 , λ + 3 µ − 3 , λ, µ donde λ y µ son 

números arbitrarios. Tenemos entonces infinitas soluciones, una para cada par de 

valores de λ y µ. 

ii) Si k = n el sistema tiene forma triangular 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a ′ 22x2 + · · · + a ′ 2nxn = b ′ 2 

. 

a (n−1) 

nn xn = b (n−1) 

n 

Es claro que en este caso el sistema tiene exactamente una solución puesto que la 

última ecuación determina el valor de xn en forma única y la penúltima determina 

el valor de xn−1 en forma única, etc. 

Ejemplo: 

x1 + x2 + x3 = 0 

2x1 + 2x2 − x3 = 1 

−x1 + x2 − 3x3 = 1



Reordenemos las ecuaciones: 

x1 + x2 + x3 = 0 

−3x3 = 1 

2x2 − 2x3 = 1 

x1 + x2 + x3 = 0 

2x2 − 2x3 = 1 

−3x3 = 1 

Luego x3 = − 1 

3 , 2x2 = 2(− 1 

3 ) + 1 ⇒ x2 = 1 

6 , x1 = − 1 1 1 

6 + 3 = 6 . 

Si el sistema es homogéneo, puesto que (0, 0, . . . , 0) es siempre solución tenemos sólo 

las alternativas de compatible determinado si k = n y compatible indeterminado si 

k < n. Tenemos así: 

Todo sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas con m < n es compatible 

indeterminado (sólo puede ser reducido a la forma trapezoidal). 

Llamaremos matriz del sistema al cuadro rectangular de m × n números 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

a1n 

a2n 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

am1 am2 · · · amn 

y matriz ampliada del sistema a 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

. 

a12 

a22 

. 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

a1n 

a2n 

. 

. 

b1 

b2 

. 

. 

am1 am2 · · · amn bm 

Estas definiciones permiten escribir un sistema en forma sintética. 

Ejemplo: El sistema 

puede escribirse como ⎛ 

x1 + 2x2 + 5x3 = −9 

x1 − x2 + 3x3 = 2 

3x1 − 6x2 − x3 = 25 

⎝ 

1 2 5 −9 

1 −1 3 2 

3 −6 −1 25 

y pueden hacerse las mismas transformaciones que realizaríamos con las ecuaciones 

del sistema con las filas de la matriz ampliada, así eliminando x1 obtenemos 

⎛ 

1 2 5 9 

⎞ 

⎝ 0 −3 −2 11 ⎠ 

0 −12 −16 52 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


Eliminando x2: 

luego x1 = 2, x2 = −3, x3 = −1. 

Ejemplo: Resolver el sistema 

Eliminamos x1: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

1 2 5 9 

0 −3 −2 11 

0 0 −8 8 

⎞ 

⎠ 

1 −5 −8 1 3 

3 1 −3 −5 1 

1 0 −7 2 −5 

0 11 20 −9 2 

1 −5 −8 1 3 

0 16 21 −8 −8 

0 5 1 1 −8 

0 11 20 −9 2 

Antes de eliminar x2, restemos la segunda ecuación a la cuarta 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 −5 −8 1 3 

0 16 21 −8 −8 

0 5 1 1 −8 

0 −5 −1 −1 10 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Podemos ver de inmediato que el sistema es incompatible. 


⎛ 

⎝ 

4 1 −3 −1 0 

2 3 1 −5 0 

1 −2 −2 3 0 

Puesto que el sistema es homogéneo, omitimos la columna de los términos libres y 

permutamos la primera y la tercera ecuación: 

⎛ 

⎝ 

1 −2 −2 3 

2 3 1 −5 

4 1 −3 −1 

⎞ 

⎠ → 

⎛ 

⎝ 

1 −2 −2 3 

0 7 5 −11 

0 9 5 −13 

Tomemos x4 = λ arbitrario entonces x3 = 4 

5λ luego 

y 

⎞ 

⎞ 

⎠ 

⎠ → 

7x2 + 4λ − 11λ = 0 ⇒ x2 = λ 

x1 = 2λ + 8 3 

λ − 3λ = 

5 5 λ 

⎛ 

⎝ 

1 −2 −2 3 

0 7 5 −11 

0 0 − 10 

7 

8 

7 

⎞ 

⎠


1.2. Determinantes 

El método de Gauss nos permite resolver un sistema de ecuaciones pero no proporciona 

un criterio de compatibilidad en términos de los coeficientes de las incógnitas y 

los términos libres, menos aún una fórmula que permita encontrar los valores de las 

incógnitas. Sin embargo, una modificación de dicho método aplicado a sistemas de dos 

ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones con tres incógnitas permite deducir 

la llamada “regla de Cramer”, previa introducción de un nuevo ente matemático: el 

determinante . Primero nos abocaremos a la tarea de introducir esta nueva noción 

para lo cual necesitamos algunos conceptos auxiliares. 

Sea M un conjunto finito formado por n elementos a los cuales ponemos etiquetas 

distintas con los números 1, 2, . . . , n. Podemos llamar i1 al objeto que tiene la etiqueta 

con el número 1, i2 al objeto que tiene la etiqueta con el número 2, . . . , in al objeto que 

tiene la etiqueta con el número n. Decimos que i1, i2, . . . , in constituyen un conjunto 

de n símbolos y como la naturaleza de los objetos no va a jugar papel alguno en lo 

que sigue supondremos simplemente que el conjunto de n símbolos está formado por 

los números 1, 2, . . . , n. Dichos símbolos pueden ser ordenados en una fila de diversas 

maneras. Por ejemplo, si n = 3 podemos ordenarlos de 6 maneras distintas, a saber: 

1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1 . 

En general, si tenemos n símbolos, el primero de una fila puede ser elegido de n 

maneras. Por cada una de ellas tenemos n − 1 maneras de elegir el segundo. Por cada 

una de las n(n − 1) maneras de elegir los dos primeros tenemos n − 2 maneras de 

elegir el tercero, así para elegir los tres primeros tenemos n(n − 1)(n − 2) maneras. 

Continuando la argumentación hasta agotar los recursos tenemos que con n símbolos 

podemos formar 

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − (n − 2))(n − (n − 1)) = n! 

filas distintas. A cada una de las filas la llamaremos una permutación de ellos y a la 

fila 1 2 3 · · · n que sigue el orden natural la llamaremos permutación natural. 

Definición 1.7 Si en una permutación cualquiera intercambiamos dos símbolos cualesquiera 

(no necesariamente contiguos) dejando todos los demás en su sitio obtenemos 

una nueva permutación. Decimos que esta nueva permutación ha sido obtenida de la 

original mediante una trasposición. 

Por ejemplo, si n = 5, 5 2 3 4 1 se obtiene de la permutación natural intercambiando 1 

y 5. 

Teorema 1.8 Consideremos las n! permutaciones de n símbolos. Ellas pueden ser 

escritas en una lista tal que cada permutación que aparece en la lista puede ser obtenida 

de la anterior mediante una trasposición, y la lista puede empezar con cualquiera de 

ellas. 

Demostración: El teorema es cierto para n = 2. Supongamos que ha sido demostrado 

para n = k y consideremos todas las permutaciones de k + 1 símbolos. Empecemos la 

lista con una cualquiera de ellas, digamos 

i1i2i3 · · · ikik+1

1.2. DETERMINANTES 9 

y a continuación escribamos todas aquellas que empiezan con i1 las cuales son k!. Como 

el símbolo i1 queda fijo, cada una de ellas puede ser considerada como una permutación 

de k símbolos y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, pueden ser escritas en una 

lista en que cada una difiere de la anterior en una trasposición llevada a cabo en los 

símbolos i2, i3, . . . , ik+1 y empezando precisamente con i1i2i3 · · · ikik+1. 

Veamos la última de esta lista preliminar. En ella transpongamos i1 con i2 y repitamos 

el proceso. Por este método construímos una lista de permutaciones donde hay k! 

permutaciones que empiezan con i1, k! que empiezan con i2, . . . , k! que empiezan con 

ik+1; en total k!(k + 1) = (k + 1)! permutaciones distintas en que cada una difiere de 

la anterior en una trasposición. 

Corolario 1.9 Dada una permutación de n símbolos, a partir de ella es posible obtener 

otra cualquiera mediante una sucesión de transposiciones. 

Definición 1.10 Sea i1i2 · · · in una permutación cualquiera. Diremos que los símbolos 

is e it forman una inversión si is > it pero s < t. 

Por ejemplo, si n = 5 en 

i1 = 3, i2 = 2, i3 = 4, i4 = 1, i5 = 5. 

3 2 4 1 5 

Entonces i1 e i2 forman una inversión: i1 > i2 pero s = 1 < t = 2. i3 e i4 forman una 

inversión: i3 > i4 pero s = 3 < t = 4. 

Definición 1.11 Una permutación se dice par si sus símbolos forman un número par 

de inversiones, impar si forman un número impar de inversiones. 

Por ejemplo, si n = 6, 3 2 1 6 4 5 es impar, 3 2 1 4 6 5 es par. 

Teorema 1.12 Una trasposición cambia la paridad de una permutación. 

Demostración: Supongamos que los símbolos a trasponer son contiguos 

i1 i2 · · · k l · · · in 

Al trasponer obtenemos i1 i2 · · · l k · · · in donde la disposición de k y l con respecto a 

los restantes n − 2 símbolos no ha cambiado luego al pasar de k l a l k quitamos una 

inversión o agregamos una. 

Supongamos ahora que entre k y l hay s símbolos 

k ir ir+1 · · · ir+s−1 l 

Pasamos a ir ir+1 · · · ir+s−1 l k mediante s+1 trasposiciones y luego a l ir ir+1 · · · ir+s−1 k 

mediante s trasposiciones más. En total para obtener la última permutación de la 

primera realizamos 2s + 1 trasposiciones de términos contiguos, cada una de las cuales 

cambió la paridad de la permutación (primera parte de la demostración) luego si era 

par ahora es impar y viceversa.


Corolario 1.13 El número de permutaciones pares es igual al número de permutaciones 

impares. 

Demostración: Hagamos una lista en que cada una difiere de la anterior por una 

trasposición. Como para n ≥ 2 n! es par hay n! 

2 de cada tipo. 

Definición 1.14 Sea M el conjunto de n símbolos, sea f : M → M 1-1 y sobre. 

Diremos que f es una sustitución de grado n. 

Sean i1i2 · · · in y αi1αi2 · · · αin dos permutaciones de M, sea A el cuadro 

 

i1 i2 · · · in 

 

αi1 αi2 · · · αin 

(1.9) 

Podemos interpretar el cuadro de la siguiente manera: la primera fila es el dominio 

M de una función f : M → M y la segunda fila es su recorrido de modo tal que 

f(ij) = αij , j = 1, 2, . . . , n. A la inversa, cada función f : M → M que sea 1-1 y sobre 

puede ser representada por uno de estos cuadros. Es claro que podemos identificar al 

conjunto de estos cuadros con el de las sustituciones de grado n; también es claro que 

cada sustitución admite diversas representaciones, por ejemplo 

1 2 3 

3 2 1 

 

, 

3 1 2 

1 3 2 

representan la misma sustitución de grado 3. En general, lo que define a (1.9) es la 

asignación f(ij) = αij luego siempre es posible obtener, mediante trasposiciones de 

columnas, una representación de la forma 

 

1 

α1 

2 

α2 

3 

α3 

· · · 

· · · 

n 

αn 

 

(1.10) 

Lo que no se puede hacer es intercambiar el orden de las dos filas porque ellas juegan 

distintos papeles, así 

2 1 4 3 

4 3 1 2 

 

y 

 

4 3 1 2 

2 1 4 3 

son distintas sustituciones de grado 4, en la primera f(2) = 4 en tanto que en la segunda 

f(2) = 3. De (1.10) es claro que hay n! sustituciones de grado n. 

Volvamos a (1.9) y consideremos la paridad de ambas filas. Cualquier trasposición 

de dos columnas de (1.9) hace cambiar solidariamente la paridad de ambas filas, si 

ellas tienen la misma paridad en una representación ellas tendrán la misma paridad 

en cualquier otra, análogamente para el caso de paridad opuesta. Se concluye que el 

que ambas filas tengan la misma paridad o paridad opuesta no depende de la representación 

de la sustitución luego podemos definir 

Definición 1.15 Diremos que una sustitución de grado n es par si en alguna representación 

ambas filas tienen la misma paridad y diremos que es impar si en alguna 

representación ambas tienen paridad opuesta.

1.2. DETERMINANTES 11 

Nota: La sustitución identidad 

1 2 3 · · · n 

1 2 3 · · · n 

se considera par. 

De (1.10) se concluye que hay n! 

n! 

2 sustituciones pares y 2 sustituciones impares (n ≥ 2). 

También es claro que si una sustitución de grado n es par la suma del número de 

inversiones de ambas filas es par y si es impar dica suma también es impar. Se concluye 

que para juzgar la paridad de una sustitución de grado n es conveniente favorecer la 

representación 

1 2 3 · · · n 

. 

α1 α2 α3 · · · αn 

Puesto que la primera fila tiene 0 inversiones, la paridad de la sustitución está determinada 

por el número de inversiones de la permutación α1α2 · · · αn. 

 

 

3 1 4 5 2 

1 2 3 4 5 

Ejemplo: 

es la misma sustitución de grado 5 que 

2 5 4 3 1 

5 1 2 4 3 

Puesto que la permutación 5 1 2 4 3 presenta cinco inversiones tenemos que la sustitución 

dada es impar. 

Estamos listos para introducir el concepto de determinante . Sea 

⎛ 

⎜ 

(aij) ≡ ⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

a1n 

a2n 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

an1 an2 · · · ann 

una matriz cuadrada de orden n. Consideremos todos los productos posibles de n 

elementos de (aij) donde cada producto contiene exactamente un elemento de cada 

fila y uno de cada columna, esto es, todos los productos de la forma 

a1α1a2α2 · · · anαn 

(1.11) 

donde α1α2 · · · αn es una permutación de los índices 1,2,. . . , n. Puesto que para formar 

(1.11) podemos elegir primero un elemento de la primera fila de (aij), a saber a1α1 , 

luego uno de la segunda fila, a saber a2α2 (donde a2α2 no puede estar en la columna 

α1, esto es, α1 = α2), luego uno de la tercera fila a saber a3α3 (donde a3α3 no puede 

estar en las columnas α1 o α2, esto es α1 = α2 = α3) y así continuamos hasta la fila 

n, podemos concluir que hay n! de estos productos ya que en (1.11) los índices fila 

siempre pueden escribirse en el orden natural. 

Cada uno de los productos (1.11) tiene naturalmente un signo. Si la sustitución 

 

1 2 3 · · · n 

 

α1 α2 α3 · · · αn 

es par le mantenemos dicho signo, si es impar lo multiplicamos por -1. 

A la suma algebráica de estos n! productos de la forma (1.11) con los signos adjudicados 

mediante la regla recién enunciada lo llamaremos determinante de orden n 

correspondiente a la matriz (aij). Si n = 1 diremos que a11 es el determinante de 

 

.


orden 1 de la matriz (a11). 

Al determinante de la matriz (aij) lo denotaremos por 

 

 

 

 

 

det(aij) ≡ 

 

 

 

a11 

a21 

. 

an1 

a12 

a22 

. 

an2 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

a1n 

a2n 

. 

ann 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Sea 

(aij) = 

Hay 6 productos de la forma (1.11) 

⎛ 

⎝ a11 a12 a13 

a21 a22 a23 

a31 a32 a33 

a1α1a2α2a3α3 

donde debemos rellenar α1, α2, α3 con todas las permutaciones posibles de los índices 

1,2,3. Los 6 productos posibles son 

a11a22a33 

a12a23a31 

a13a21a32 

a12a21a33 

a11a23a32 

a13a22a31 

correspondientes a las permutaciones pares 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2, ellos 

mantienen su signo. Los otros 3 son 

correspondientes a las permutaciones impares 2 1 3, 1 3 2, 3 2 1, 

ellos deben ser multiplicados por -1. Luego 

det(aij) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a12a21a33 − a11a23a32 − a13a22a31 

1.3. Propiedades del determinante 

Definición 1.16 Sea (aij) una matriz cuadrada de orden n. A la matriz cuadrada 

de orden n (bij), donde bij = aji i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n la llamaremos la 

traspuesta de (aij), se anota 

(bij) = (aij) t 

Es claro que (bij) se obtiene de (aij) poniendo las filas de aij como columnas de bij. 

Ejemplo: 

(aij) = 

⎛ 

⎝ 

1 3 5 

2 1 4 

1 1 1 

an1 an2 · · · ann 

⎞ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎠ ⇒ (aij) t = ⎝ 

1 2 1 

3 1 1 

5 4 1 

En general si 

⎛ 

⎜ 

(aij) = ⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

. 

a12 

a22 

. 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

a1n 

a2n 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ ⇒ (aij) t ⎛ 

⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

a11 

a12 

. 

. 

a21 

a22 

. 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

an1 

an2 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

a1n a2n · · · ann

1.3. PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 13 

Nota: Cada producto a1α1a2α2 · · · anαn se llama un término del determinante. 

Propiedad 1: det(aij) = det(aij) t 

Es evidente que ambos determinantes tienen los mismos términos, hay que demostrar 

que el mismo término tiene el mismo signo en det(aij) y en det(aij) t . Sea 

a1α1a2α2 · · · anαn 

un término de det(aij). Si llamamos (bij) = (aij) t tal término es en det(bij) 

bα11bα22 · · · bαnn . 

Si reordenáramos los factores de modo que el producto quede en la forma canónica 

b1γ1b2γ2 · · · bnγn esto sería lo mismo que llevar la sustitución 

 

 

α1 α2 · · · αn 

1 2 3 · · · n 

a la forma 

. 

1 2 · · · n 

γ1 γ2 γ3 · · · γn 

 

α1 α2 · · · αn 

Pero esta última tiene la misma paridad que 

la cual a su vez 

 

1 2 

 

· · · n 

1 2 3 · · · n 

tiene la misma paridad que 

(la suma del número de in- 

α1 α2 α3 · · · αn 

versiones es la misma). 

Se concluye que a1α1a2α2 · · · anαn tiene el mismo signo considerado como término de 

det(bij). 

De la propiedad 1 se deduce que cualquier afirmación sobre las filas del determinante 

es válidad para sus columnas y viceversa, por esta razón las propiedades que siguen 

sólo se demostrarán para las filas del determinante. 

Propiedad 2: Si para algún i, 1 ≤ i ≤ n, aij = 0 ∀ j = 1, 2, . . . , n entonces 

det(aij) = 0. 

En efecto, cada término contiene un factor de la i-ésima fila (definición de determinante) 

luego todos los términos son iguales a cero. 

Propiedad 3: Si un determinante se obtiene de otro permutando dos filas todos los 

términos del primer determinante serán términos del segundo pero con signos contrarios, 

es decir, al permutar dos filas el determinante sólo cambia de signo. 

Supongamos que permutamos las filas i y j, i < j. Sea (bij) la matriz que se obtiene 

al permutar las filas. 

Consideremos un término cualquiera del determinante original, 

a1α1a2α2 · · · aiαi · · · ajαj · · · anαn 

y su signo está determinado por la paridad de 

1 2 · · · i · · · j · · · n 

α1 α2 · · · αi · · · αj · · · αn


En el nuevo determinante él es 

b1α1b2α2 · · · bjαi · · · biαj · · · bnαn 

(aiαi pasa a la fila j pero permanece en la columna αi, análogamente para ajαj ) y su 

signo está determinado por la paridad de 

 

1 2 · · · j · · · i · · · n 

 

α1 α2 · · · αi · · · αj · · · αn 

Puesto que 1 2 · · · j · · · i · · · n se obtiene de 1 2 · · · i · · · j · · · n mediante una trasposición, 

ambas permutaciones tienen paridad contraria y por consiguiente ambas sustituciones 

tienen paridad contraria. 

Se concluye que a1α1a2α2 · · · anαn aparece en el nuevo determinante con signo opuesto 

al que tenía en el determinante original. 

Propiedad 4: Un determinante con dos filas iguales es igual a cero. 

Supongamos que det(aij) = d y supongamos que las filas i, j son iguales. Entonces al 

intercambiar las filas i, j obtenemos el mismo determinante, pero por la propiedad 3, 

obtenemos el determinante con signo opuesto luego d = −d ⇒ d = 0. 

Propiedad 5: Si se multiplican todos los elementos de una fila del determinante por 

un número k, el determinante queda multiplicado por k. 

Supongamos que multiplicamos todos los elementos de la fila i por k. Por la definición 

de determinante cada término queda multiplicado por k. 

Nota: El factor común de todos los elementos de una fila puede ser extraído como 

un factor del determinante. 

Ejemplo: 

 

 

 

 

 

 

2 4 6 

a b c 

d e f 

 

 

 

 

= 2 

 

 

1 2 3 

a b c 

d e f 

Propiedad 6: Un determinante con dos filas proporcionales es igual a cero. 

Supongamos que air = kajr r = 1, 2, . . . , n. Por la propiedad 5 es posible extraer factor 

común de la fila j, queda así un determinante con dos filas iguales. 

Propiedad 7: Escribamos la i-ésima fila de det(aij) como 

 

 

 

 

 

 

aij = bj + cj j = 1, 2, . . . , n. 

Entonces det(aij) es igual a la suma de dos determinantes cuyas filas son, salvo la fila 

i, las mismas que las del original, y la fila i del primer sumando es b1b2 · · · bn y la fila 

i del segundo sumando es c1c2 · · · cn.


En efecto, 

a1α1a2α2 · · · anαn = a1α1a2α2 · · · (bj + cj) · · · anαn 

= a1α1 · · · bj · · · anαn + a1α1 · · · cj · · · anαn 

Pero el primer sumando es un término del determinante original salvo que su fila i ha 

sido reemplazada por b1b2 · · · bn, análogamente para el segundo sumando. 

Ejemplo: 

 

 

 

 

 

 

3 

a 

d 

3 

b 

e 

3 

c 

f 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 + 2 2 + 1 0 + 3 

a b c 

d e f 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 2 0 

a b c 

d e f 

 

 

 

 

 

+ 

 

 

 

 

 

 

2 1 3 

a b c 

d e f 

Definición 1.17 Diremos que la i-ésima fila de det(aij) es combinación lineal de las 

demás filas del determinante si hay constantes k1, k2, . . . , ki−1, ki+1, . . . , kn tales 

que 

i−1 

n 

aij = krarj + krarj j = 1, 2, . . . , n 

r=1 

r=i+1 

Ejemplo: Consideremos el determinante 

 

 

 

 

 

 

a1 a2 a3 

b1 b2 b3 

a1 + 2b1 a2 + 2b2 a3 + 2b3 

La tercera fila es combinación lineal de las filas 1 y 2, k1 = 1, k2 = 2, entonces 

a3j = 

2 

brarj j = 1, 2, 3. 

r=1 

Nota: Es posible que algunos de los kr sean iguales a cero. En tal caso la fila i es 

combinación lineal de algunas de las restantes filas pero con la argucia de tomar los 

restantes kr como iguales a cero podemos fingir que es combinación lineal de todas 

las filas. En el caso en que todos los kr menos uno sean iguales a cero, por ejemplo 

kj = 0, obtenemos que la fila i, i = j es combinación lineal de la fila j, esto es, la fila 

i es proporcional a la fila j. Se concluye que la proporcionalidad se puede considerar 

como un caso particular de combinación lineal. 

Propiedad 8: Si una de las filas del determinante es combinación lineal de las demás, 

el determinante es igual a cero. 

Supongamos que la i-ésima fila es combinación lineal de las demás filas. Descompongamos 

el determinante en una suma de determinantes cuyas filas son todas iguales a las 

del determinante original salvo la i-ésima, tal como lo permite la propiedad 7. Cada 

uno de estos, o bien tiene una fila de ceros, o bien tiene dos filas proporcionales, en 

ambos casos el sumando en cuestión es igual a cero.


Propiedad 9: El determinante no cambia si a los elementos de una fila se agregan 

los elementos de otra fila multiplicados por un mismo número. 

Supongamos que a la i-ésima fila se le agrega la j-ésima multiplicada por k. Obtenemos 

un determinante cuya i-ésima fila es air + kajr, r = 1, 2, . . . , n. Tal como antes usamos 

la propiedad 7. 

Nota: Es claro que el determinante no cambia si a una fila se le agrega una combinación 

lineal de las demás. 

Ejemplo: Calcule 

usando la propiedad 7. 

 

 

 

 

am + bp an + bq 

∆ = 

 

 

 

cm + dp cn + dq 

 

 

 

∆ = am an 

 

am + dp cn + dq + 

 

 

 

bp bq 

 

cm + dp cn + dq 

 

 

= am an 

 

cm cn + 

 

 

am an 

 

dp dq + 

 

 

bp bq 

 

cm cn + 

 

 

bp bq 

 

dp dq 

 

 

= 0 + ad m n 

 

p q + bc p q 

 

m n + 0 usando la propiedad 3 

 

 

= −ad p q 

 

m n + bc p q 

 

m n 

 

 

= (bc − ad) p q 

 

m n 

Ejemplo: Calcule 

Por la propiedad 5 

 

 

 

 

 

∆ = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ = 2 

 

 

 

 

2 0 6 0 4 

5 3 2 2 7 

2 5 7 5 5 

2 0 9 2 7 

7 8 4 2 1 

1 0 3 0 2 

5 3 2 2 7 

2 5 7 5 5 

2 0 9 2 7 

7 8 4 2 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 

 

 

 

aplicando la propiedad 9 las filas 2, 3, 4, 5 tenemos: 

 

 

 

 

 

∆ = 2 

 

 

 

 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

3 

5 

0 

8 

3 

−13 

1 

3 

−17 

0 

2 

5 

2 

2 

2 

−3 

1 

3 

−13


Por definición de determinante, todos los términos deben contener exactamente un 

elemento de la primera columna, luego sobreviven sólo aquellos sumandos que contienen 

a a11 = 1 y exactamente un elemento de las filas 2, 3, 4, 5 y un elemento de las 

columnas 2, 3, 4, 5. Entonces un término típico del desarrollo es de la forma 

1 · a2α2 · a3α3 · a4α4 · a5α5 

cuyo signo está dado por la sutitución 

1 2 3 4 5 

1 α2 α3 α4 α5 

la cual tiene la misma paridad que la sustitución de grado 4 

 

2 3 4 5 

 

α2 α3 α4 α5 

(el conjunto M de símbolos es 2, 3, 4, 5) puesto que 1 no forma ninguna inversión con 

los restantes símbolos. Se concluye que 

 

 

 

 

3 −13 2 −3 

3 −13 2 −3 

 

 

∆ = 2 5 1 5 1 

 

 

0 3 2 3 = 2 5 1 5 1 

 

 

0 3 2 3 

 

8 −17 2 −13 0 −5 −5 −11 

= 2 

 

 

 

15 −65 10 −15 

 

 

15 3 15 3 

 

15 

0 3 2 3 = 

 

0 −5 −5 −11 

2 

 

 

 

15 −65 10 −15 

 

 

0 68 5 18 

 

15 

0 3 2 3 

 

0 −5 −5 −11 

 

 

 

 

68 5 18 

63 5 18 

 

= 2 

3 2 3 

= 2 

1 2 3 

 

−5 −5 −11 0 −5 −11 

 

 

 

 

1 2 3 

1 2 3 

 

= −2 

63 5 18 

= −2 

0 −121 −171 

 

0 −5 −11 0 −5 −11 

 

 

 

= −2 121 171 

 

5 11 = −2 1 −93 

 

5 11 

 

 

= −2 1 −93 

 

0 476 = −2 · 476 = −952 

Ejemplo: Encuentre las raíces de 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

1 

1 

2 − x 

2 3 

2 2 

2 

3 

3 

2 

1 

1 

3 

5 

9 − x2 

 

 

 

 

= 0 

 

 

Para x = 1 y para x = −1 las dos primeras filas quedan iguales luego el polinomio es 

divisible por (x − 1)(x + 1). Análogamente para las filas 3 y 4 con x = ±2. Luego el 

determinante (que es un polinomio de grado 4) es de la forma c(x 2 − 4)(x 2 − 1), nos


falta el valor de c. Haciendo x = 0 tenemos 

 

 

 

1 1 2 3 

 

 

4c = 1 2 2 3 

 

 

2 3 1 5 = 

 

 

2 3 1 9 

1 1 2 3 

0 1 0 0 

2 3 1 5 

0 0 0 4 

Utilizando la misma argumentación que en el ejercicio anterior vemos que un término 

típico del determinante es a1α1 a2α2 a3α3 a44, (a44 = 4) luego 

luego c = −3. 

 

 

 

4c = 4 

 

 

1 1 2 

0 1 0 

2 3 1 

 

 

 

 

= 4 

 

 

1 1 2 

0 1 0 

0 1 −3 

 

 

 

 

= 4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 

1 −3 

Ejemplo: Calcule el determinante de la matriz de n × n dada por 

 

a si i = j 

aij = 

x si i = j 

Sumando a la primera columna todas las demás queda el siguiente determinante: 

ai1 = x + (n − 1)a , i = 1, 2, . . . , n 

a1j = a , j = 2, 3, . . . , n 

aij = a , i = j, i = 2, 3, . . . , n, j = 2, 3, . . . , n 

aii = x , i = 2, 3, . . . , n 

Luego el determinante es igual a [x + (n − 1)a]∆, donde ∆ es el determinante dado por 

ai1 = 1 , i = 1, 2, . . . , n 

a1j = a , j = 2, 3, . . . , n 

aij = a , i = j, i = 2, 3, . . . , n, j = 2, 3, . . . , n 

aii = x , i = 2, 3, . . . , n 

Restemos la primera fila a todas las demás filas, aplicamos la misma argumentación 

que en ejercicios anteriores y tenemos que el determinante pedido es [x + (n − 1)a]d 

donde d es un determinante de orden (n − 1) dado por 

aij = 

0 i = j 

x − a i = j, i = 2, 3, . . . , n 

El único término distinto de cero de dicho determinante es (x − a)(x − a) · · · (x − a) 

(n − 1 veces) y su signo está dado por 

 

2 3 · · · n 

 

2 3 · · · n 

luego el determinante pedido vale [x + (n − 1)a](x − a) n−1 . 

Ejemplo: Calcule el determinante de Vandermonde 

 

 

 

 

 

 

∆ = 

 

 

 

 

1 

a1 

a 

1 

a2 

· · · 

· · · 

1 

an 

2 1 a2 2 · · · a2 . 

a 

. 

. .. 

n 

. 

n−1 

1 a n−1 

2 · · · an−1 n

1.4. TEOREMA DE LAPLACE 19 

En forma sucesiva restamos a la fila k la fila k − 1 multiplicada por a1, k = n, n − 

1, n − 2, . . . , 2. Entonces 

∆ = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

0 

. 

0 

1 

a2 − a1 

a2(a2 − a1) 

. 

a 

1 

a3 − 1 

a3(a3 − a1) 

. 

· · · 

· · · 

· · · 

. .. 

1 

an − a1 

an(an − a1) 

. 

n−2 

2 (a2 − a1) a n−2 

3 (a3 − a1) · · · an−2 n (an − a1) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (a2 − a1)(a3 − a1) · · · (an − a1)d 

donde d es un determinante de Vandermonde de orden n − 1. 

Por demostrar: El determinante de Vandermonde es igual al producto de todas las 

diferencias posibles ai − aj, 1 ≤ j 

La afirmación es verdadera para n = 2 y acabamos de demostrar que si es válida para 

n − 1 también es válida para n. 

1.4. Teorema de Laplace 

Puesto que es difícil calcular un determinante usando directamente la definición, buscaremos 

un teorema que reduzca el cálculo de un determinante de orden n a uno de 

n − 1, lo cual permite, en principio, remontarse al cálculo de determinantes de orden 

2. 

Definición 1.18 Sea d un determinante de orden n, sea k entero, 1 ≤ k ≤ n − 1. En 

la matriz (aij) elegimos arbitrariamente k filas y k columnas. Consideremos la matriz 

formada por los elementos que están en las intersecciones de las k filas y k columnas 

elegidas. Al determinante de orden k de esta matriz se le llama menor de orden k 

del determinante d (es el determinante que se obtiene de borrar n − k filas y n − k 

columnas de d). 

Ejemplo: Sea 

 

 

 

 

d = 

 

 

 

a11 a12 a13 a14 

a21 a22 a23 a24 

a31 a32 a33 a34 

a41 a42 a43 a44 

Un menor de orden 1 se obtiene escogiendo la fila 2 y la columna 3, el menor es 

|a23| = a23. 

Un menor de orden 2 se obtiene escogiendo las filas 2,3 y las columnas 2, 4, el menor 

 

es 

a22 

 

a24 

 

. 

a32 a34 

Si borramos la fila 1 y la columna 1 obtenemos el menor de orden 3 dado por 

 

 

 

 

 

 

a22 

a32 

a23 

a33 

a24 

a34 

 

 

 

 

 

 

a42 a43 a44


Definición 1.19 Sea M un menor de orden k de d, 1 ≤ k ≤ n − 1. Suprimamos las k 

filas y las k columnas en cuyas intersecciones se encuentra M. Las restantes (n − k) 

filas y (n − k) columnas forman un menor M ′ llamado el menor complementario de 

M . 

 

 

En el ejemplo previo, el menor complementario de 

a22 

 

a24 

 

es 

 

 

 

a11 

 

a13 

 

. 

a32 a34 

a41 a43 

Definición 1.20 Supongamos que el menor M de orden k se encuentra en las filas 

i1, i2, . . . , ik y en las columnas j1, j2, . . . , jk, sea M ′ su menor complementario. Si 

llamaremos adjunto de M a (−1) SM ′ M . 

 

 

En el ejemplo previo, el adjunto de 

SM = i1 + i2 + · · · + ik + j1 + j2 + · · · + jk , 

a22 a24 

a32 a34 

(−1) 2+3+2+4 

 

 

 

 

 

 

es 

a11 a13 

a41 a43 

Lema 1.21 Sea d un determinante de orden n, sea M un menor de orden k, sea M ′ 

su menor complementario. Sea A un término de M (con el signo que tiene en M), 

sea B un término de M ′ (con el signo que tiene en M ′ ). Entonces (−1) SM AB es un 

término de d (con el signo que le corresponde en d) 

Demostración: Supongamos que M ′ está formado por las primeras k filas y primeras 

k columnas. Como SM = 2(1 + 2 + · · · + k), (−1) SM = 1. Sea A = a1α1a2α2 · · · akαk , 

su signo está determinado por la sustitución 

 

1 2 3 · · · k 

, 

α1 α2 α3 · · · αk 

sea l su número de inversiones. Un término cualquiera de M ′ es 

B = a (k+1)βk+1a (k+2)βk+2 · · · anβn , 

su signo en M ′ está dado por 

k + 1 k + 2 · · · n 

sea l ′ su número de inversiones. 

βk+1 βk+2 · · · βn 

AB tiene exactamente un factor de cada fila y cada columna de d luego es un término 

de d. El signo de AB en el producto MM ′ está determinado por (−1) l+l′ , su signo en 

d está determinado por la sustitución 

 

1 2 · · · k k + 1 k + 2 · · · n 

. 

α1 α2 · · · αk βk+1 βk+2 · · · βn 

Pero como los α no pueden formar inversión con los β, ella tiene l + l ′ inversiones, su 

signo en d también está determinado por (−1) l+l′ . 

 

 

 

 

 

,


Supongamos ahora que M ′ está formado por las filas i1 < i2 < · · · < ik y las columnas 

j1 < j2 < · · · < jk. Llevemos el menor M al ángulo superior izquierdo, esto es, mediante 

trasposiciones de filas y trasposiciones de columnas formamos un nuevo determinante 

cuyas primeras k filas y primeras k columnas son las k filas y k columnas de M. Para 

esto llevamos a cabo 

(i1 − 1) + (i2 − 2) + · · · + (ik − k) = i1 + i2 + · · · + ik − 

trasposiciones de filas y 

(j1 − 1) + (j2 − 2) + · · · + (jk − k) = j1 + j2 + · · · + jk − 

trasposiciones de columnas, el nuevo determinante d ′ es igual a 

pero k(k + 1) es par luego d ′ = (−1) SM d. 

(−1) i1+i2+···+ik+j1+j2+···+jk−k(k+1) d , 

k(k + 1) 

2 

k(k + 1) 

2 

Puesto que en el proceso indicado no cambian ni las filas ni las columnas que constituyen 

a M ′ ni tampoco su orden relativo, M ′ sigue siendo el menor complementario de 

M en d ′ . Sea A un término de M, B un término de M ′ . Como el orden relativo de las 

filas y columnas de M no ha cambiado, A sigue teniendo el mismo signo como término 

de M en la nueva posición de M, análogamente para B. Entonces, por la primera 

parte de la demostración, AB es un término de d ′ . Pero todos los términos de d ′ son 

términos de d si los multiplicamos por (−1) SM puesto que (−1) SM d ′ = (−1) 2SM d = d 

luego (−1) SM AB es un término de d. 

El lema nos permite reducir el cálculo de un determinante de orden n a un determinante 

de orden n − 1. 

Notación: Sea M = |aij| un menor de 1 × 1 del determinante d. Su menor complementario 

es de orden (n − 1) y lo designaremos por Mij. Designaremos por Aij = 

(−1) i+j Mij al adjunto de M. 

Teorema 1.22 Sea i una fila cualquiera de d. Entonces 

d = 

n 

j=1 

aijAij 

Demostración: Por el lema, cada término del desarrollo aijAij es un término de d 

con el signo que le corresponde en d. Sea A un término del desarrollo airAir, si j = r, 

A no puede ser un término del desarrollo aijAij puesto que A contiene al elemento air 

de la i-ésima fila en tanto que aijAij contiene al elemento aij de la i-ésima fila, j = r. 

El desarrollo aijAij contiene (n − 1)! términos de d con el signo que les corresponde en 

n 

d, aijAij contiene n(n−1)! términos distintos de d con el signo que les corresponde 

j=1 

en d y puesto que d consta de n! términos se tiene que 

n 

aijAij es d. 

j=1


Notación: Diremos que 

de la i-ésima fila. 

n 

aijAij es el desarrollo del determinante por los adjuntos 

j=1 

Es obvio que también es posible desarrollar el determinante por los adjuntos de una 

columna cualquiera. 

Ejemplo: Desarrollar 

por los adjuntos de la tercera fila. 

 

 

 

 

3 1 −1 2 

 

 

 

 

−5 1 3 −4 

d = 

 

 

 

 

 

2 0 1 −1 

 

 

 

1 −5 3 −3 

d = (−1) 3+1 

 

 

1 −1 2 

 

· 2 · 

1 3 −4 

 

−5 3 −3 + (−1)3+2 

 

 

3 −1 2 

 

· 0 · 

−5 3 −4 

 

1 3 −3 

+(−1) 3+3 

 

 

3 1 2 

 

· 1 · 

−5 1 −4 

 

1 −5 −3 + (−1)3+4 

 

 

3 1 −1 

 

· (−1) · 

−5 1 3 

 

1 −5 3 

Del ejemplo se concluye que mientras más ceros tiene la fila, más fácil es el desarrollo. 

Así, usando sistemáticamente las propiedades del determinante es posible transformarlo 

de modo que quede una fila que tiene un 1 y (n − 1) ceros, así el cálculo de un 

determinante de orden n se reduce al cálculo de un sólo determinante de orden n − 1. 

Ejemplo: Sea 

 

 

 

 

 

d = 

 

 

 

 

Realice las siguientes transformaciones: 

−2 5 0 −1 3 

1 0 3 7 −2 

3 −1 0 5 −5 

2 6 −4 1 2 

0 −3 −1 2 3 

Sume a la segunda fila tres veces la quinta fila. 

Reste a la cuarta fila cuatro veces la quinta fila. 

Luego desarrolle por los adjuntos de la tercera columna, se obtiene 

 

 

 

 

d = (−1) 

 

 

 

−2 

1 

3 

2 

5 

−9 

−1 

18 

−1 

13 

5 

−7 

3 

7 

−5 

−10 

 

 

 

 

 

 

 

 

En este último determinante realice las siguientes transformaciones:


Sume a la primera fila dos veces la segunda fila. 

Reste a la tercera fila tres veces la segunda fila. 

Reste a la cuarta fila dos veces la segunda fila. 

Luego desarrolle por los adjuntos de la primera columna, se obtiene 

d = 

 

 

 

−13 25 17 

 

 

26 −34 −26 

 

36 −33 −24 = 

= 

 

 

 

−13 25 17 

 

 

0 16 8 

 

36 −33 −24 

 

 

 

−13 25 17 

 

8 

0 2 1 

= 8 −13 2 1 

 

36 −33 −24 −33 −24 

 

 

 

+ 36 25 

2 

17 

1 

 

 

 

 

= 8{−13(−48 + 33) + 36(25 − 34)} = 8{195 − 324} = −8 · 129 = −1032 

Corolario 1.23 Sea i = j, entonces 

Demostración: 

n 

aikAjk = 0. 

k=1 

n 

aijAjk puede interpretarse como el desarrollo por los adjuntos 

k=1 

de la j-ésima fila de un determinante igual al original salvo que la j-ésima fila es 

bjk = aik k = 1, 2, . . . , n. Pero éste es un determinante cuya i-ésima fila y j-ésima fila 

son iguales luego vale cero. 

Definición 1.24 Una matriz 

⎛ 

⎞ 

a11 a12 · · · a1n 

⎜ a21 a22 ⎜ 

· · · a2n ⎟ 

⎜ . . 

⎝ 

. 

. . .. 

. ⎟ 

. ⎠ 

an1 an2 · · · ann 

se dice triangular superior si aij = 0 siempre que i > j, o bien triangular inferior si 

aij = 0 siempre que i < j. 

Teorema 1.25 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual 

al producto de los elementos en su diagonal. 

Demostración: Claramente el teorema es cierto si n = 1. Sea d el determinante de 

la matriz (aij). Supongamos que la matriz es triangular superior y desarrollemos por 

los adjuntos de la primera columna, obtenemos 

n 

d = ai1Ai1 = a11A11 , 

i=1 

pero A11 es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la primera fila y 

la primera columna, que es también triangular superior. Luego si suponemos cierto el 

teorema para matrices de n−1 filas y n−1 columnas tenemos que A11 = a22a33 · · · ann, 

de donde se tiene que el teorema es cierto por inducción. 

Si la matriz es triangular inferior, su traspuesta es triangular superior y los elementos 

de su diagonal permanecen invariantes.


Teorema 1.26 (Laplace) Sea d un determinante de orden n, sea 1 ≤ k ≤ n − 1. 

Elijamos k filas (o k columnas) del determinante y consideremos todos los menores 

de orden k que se pueden formar con dichas k filas (o k columnas). La suma de los 

productos de dichos menores por sus respectivos adjuntos es d. 

Antes de dar la demostración veamos un ejemplo. Sea 

 

 

 

 

 

d = 

 

 

 

 

−4 1 2 −2 1 

0 3 0 1 −5 

2 −3 1 −3 1 

−1 −1 3 −1 0 

0 4 0 2 5 

Desarrollamos por los menores de la primera y tercera columnas ( esto es k = 2 y 

elegimos las columnas 1 y 3). 

d = (−1) 1+2+1+3 

 

 

 

 

−4 2 −3 −3 1 

 

 

0 0 −1 −1 0 

 

4 2 5 

+(−1) 1+4+1+3 

 

 

 

 

−4 2 3 1 −5 

 

 

−1 3 −3 −3 1 

 

4 2 5 

+(−1) 2+3+1+3 

 

 

 

 

0 0 1 −2 1 

 

 

2 1 −1 −1 0 

 

4 2 5 

+(−1) 2+5+1+3 

 

 

 

 

0 0 1 −2 1 

 

 

0 0 −3 −3 1 

 

−1 −1 0 

+(−1) 3+5+1+3 

 

 

 

 

2 1 1 −2 1 

 

 

0 0 3 1 −5 

 

−1 −1 0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (−1)1+3+1+3 

+ (−1)1+5+1+3 

+ (−1)2+4+1+3 

+ (−1)3+4+1+3 

+ (−1)4+5+1+3 

 

 

 

 

−4 2 3 1 −5 

 

 

2 1 −1 −1 0 

 

4 2 5 

 

 

 

 

−4 2 3 1 −5 

 

 

0 0 −3 −3 1 

 

−1 −1 0 

 

 

 

 

0 0 1 −2 1 

 

 

−1 3 −3 −3 1 

 

4 2 5 

 

 

 

 

2 1 1 −2 1 

 

 

−1 3 3 1 −5 

 

4 2 5 

 

 

 

 

−1 3 1 −2 1 

 

 

0 0 3 1 −5 

 

−3 −3 1 

Demostración: Sean i1, i2, . . . , ik las filas escogidas, sea A = a1α1a2α2 · · · anαn un 

término cualquiera del determinante d. En A hay exactamente un elemento de cada 

una de las filas i1, i2, . . . , ik. Supongamos que ellos están en las columnas αi1, αi2, . . . , 

αik . Consideremos el producto B = ai1αi 1 ai2αi 2 · · · aikαi k . B contiene exactamente un 

elemento de cada fila y un elemento de cada columna del menor M formado por las filas 

i1, i2, . . . , ik y las columnas αi1, αi2, . . . , αik . El producto de los restantes factores de 

A contiene exactamente un elemento de cada fila y un elemento de cada columna del 

menor complementario M ′ de M. Se concluye que, al menos en valor absoluto, A es un 

término del desarrollo indicado en el enunciado del teorema. El número de términos 

de dicho desarrollo es n 

k k!(n − k)! = n! y según el lema, cada uno es un término 

de d. Pero sólo hay uno que contiene los mismos factores que A, si difiriese en signo 

con A entonces no sería término de d. Hemos demostrado que todos los términos de d 

aparecen entre los indicados en el enunciado del teorema y que estos son exactamente 

n!, esto prueba el teorema propuesto.

1.5. LA REGLA DE CRAMER 25 

1.5. La regla de Cramer 

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 

. 

. 

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn 

(1.12) 

Sea d el determinante de la matriz del sistema, supondremos que d = 0. Si (1.12) es 

compatible, sea (α1, α2, . . . , αn) una solución. Entonces 

a11α1 + a12α2 + · · · + a1nαn = b1 

a21α1 + a22α2 + · · · + a2nαn = b2 

. 

an1α1 + an2α2 + · · · + annαn = bn 

(1.13) 

Sea j arbitrario, 1 ≤ j ≤ n, multipliquemos la primera igualdad de (1.13) por A1j (el 

adjunto de a1j), la segunda por A2j, . . . , la enésima por Anj y sumándolas se obtiene 

n 

i=1 

ai1Aij 

 

α1 + 

n 

aijAij = d y si r = j, 

i=1 

Pero 

n 

i=1 

ai2Aij+ 

 

α2 + · · · + 

n 

airAij = 0, luego 

i=1 

dαj = 

n 

i=1 

biAij 

n 

i=1 

ainAij 

 

αn = 

n 

i=1 

biAij 

n 

biAij es el desarrollo de un determinante idéntico a d salvo por su j-ésima 

i=1 

columna que es reemplazada por la solumna de los términos libres b1, b2, . . . , bn. Si 

n 

dj ≡ biAij entonces 

i=1 

αj = dj 

d 

1 ≤ j ≤ n (1.14) 

Se concluye que si d = 0 y el sistema es compatible entonces la solución es única y 

está dada por (1.14). 

A la inversa, supongamos que d = 0 y reemplacemos la n-tupla ( d1 

d 

lado izquierdo de (1.12). Veamos que sucede en la i-ésima ecuación: 

Pero 

n 

r=1 

dr 

air 

d 

= 1 

d 

1 

d 

n 

air 

r=1 s=1 

n 

bsAsr = 

n 

s=1 

 

1 

d 

n 

 

0 si i = s 

airAsr = 

si i = s 

r=1 

d 

d 

n 

r=1 

airAsr 

 

, d2 

d 

bs 

dn 

, . . . , d ) en el


luego la ecuación se satisface para 1 ≤ i ≤ n. Se concluye que αj = dj 

d 1 ≤ j ≤ n es 

una solución del sistema de ecuaciones y por lo tanto si d = 0 el sistema es compatible, 

tenemos así la regla de Cramer: 

Teorema 1.27 Si el determinante d de la matriz de un sistema de ecuaciones lineales 

es distinto de cero, el sistema tiene solución única dada por (α1, α2, . . . , αn), αj = dj 

d 

1 ≤ j ≤ n donde dj es idéntico al determinante d salvo por la j-ésima columna que se 

reemplaza por la columna de los términos libres. 

Nota: Todo sistema homogéneo es compatible (admite siempre la solución trivial 

(0, 0, . . . , 0), si d = 0 esta es la única solución. Se concluye que si un sistema lineal 

homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas tiene soluciones distintas de la trivial 

necesariamente su determinante d es igual a cero. 

Estamos en condiciones de demostrar que si un determinante d es igual a cero al menos 

una de sus filas es combinación lineal de las demás. Para esto consideremos el sistema 

homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas cuya matriz (aij) es aquella cuyas filas 

son las filas del determinante d. Si aplicamos el método de Gauss obtenemos un sistema 

cuyo determinante es igual a cero, puesto que el método de eliminación de Gauss 

consiste esencialmente en restar a una ecuación ciertas combinaciones lineales de las 

ecuaciones que la preceden y mediante estas operaciones el valor del determinante del 

sistema no cambia. Esto significa que dicho sistema sólo puede ser reducido a un sistema 

trapezoidal, esto es, alguna de las ecuaciones debe haber sido eliminada, pues 

de lo contrario habría sido obtenido un sistema triangular, cuya matriz tendría un 

determinante distinto de cero pues sería el producto de los elementos en la diagonal, 

que serían todos distintos de cero. Pero para que eso suceda, al menos una de las 

ecuaciones debe ser combinación lineal de las demás precisamente porque el método 

de eliminación consiste en restar a una ecuación ciertas combinaciones lineales de las 

ecuaciones que la preceden. 

La afirmación también es verdadera para las columnas de d puesto que el sistema cuya 

matriz es la traspuesta de (aij) también tiene determinante igual a cero. 

Puesto que un sistema homogéneo que se puede llevar mediante el método de Gauss 

a un sistema trapezoidal admite soluciones no triviales, se concluye también que si el 

determinante de un sistema homogéneo es igual a cero dicho sistema tiene soluciones 

distintas de la trivial. 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

 

 

 

 

d = 

 

 

 

2 1 −5 1 8 

1 −3 0 −6 9 

0 2 −1 2 −5 

1 4 −7 6 0 

2 1 −5 1 

1 −3 0 −6 

0 2 −1 2 

1 4 −7 6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

 

 

 

 

= 27

1.5. LA REGLA DE CRAMER 27 

 

 

 

 

d1 = 

 

 

 

 

 

 

 

d3 = 

 

 

 

8 1 −5 1 

9 −3 0 −6 

−5 2 −1 2 

0 4 −7 6 

2 1 8 1 

1 −3 9 −6 

0 2 −5 2 

1 4 0 6 

Ejemplo: Dado el sistema 

 

 

 

 

 

= 81 

 

 

 

 

 

 

d2 = 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −27 

 

 

 

 

 

 

d4 = 

 

 

 

2 8 −5 1 

1 9 0 −6 

0 −5 −1 2 

1 0 −7 6 

2 1 −5 8 

1 −3 0 9 

0 2 −1 −5 

1 4 −7 0 

α1 = 3 α2 = −4 α3 = −1 α4 = 1 

⎛ 

⎞ 

λ 

⎜ 1 

⎝ 

1 

0 

2 

1 

0 

0 

⎟ 

⎠ 

0 −1 λ 0 

 

 

 

 

 

= −108 

 

 

 

 

 

 

 

= 27 

 

 

encuentre los valores de λ para los cuales el sistema admite una solución no trivial. 

Necesariamente 

Entonces 

 

 

λ 

 

0 1 

−1 λ 

 

 

 

− 

 

 

 

 

λ 1 2 

1 0 1 

0 −1 λ 

1 2 

−1 λ 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

= 0 , λ − (λ + 2) = 0 

luego para cualquier valor de λ el sistema admite sólo la solución trivial.

28 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Capítulo 2 

Relaciones de dependencia 

lineal 

2.1. El espacio vectorial R n 

Para construir la teoría general de los sistemas de ecuaciones lineales introduciremos 

un objeto algebraico auxiliar. Sea n un natural arbitrario, llamaremos “espacio vectorial 

n-dimensional” y lo designaremos por R n a la siguiente estructura algebraica: 

sus elementos serán todas las n-tuplas α = (a1, a2, . . . , an) de números reales. Diremos 

que dichas n-tuplas son vectores de R n , nos referiremos a ellas como vectores a secas. 

Por ejemplo, R 2 es el conjunto de los pares ordenados de números reales, R 3 es el conjunto 

de los tríos ordenados de números reales. Los números a1, a2, . . . , an se llaman 

las componentes de la n-tupla. 

Diremos que α = (a1, a2, . . . , an), β = (b1, b2, . . . , bn) son iguales si y sólo si ai = bi 

i = 1, 2, . . . , n. 

En R n definimos las siguientes operaciones: 

Sean α = (a1, a2, . . . , an), β = (b1, b2, . . . , bn), llamaremos suma de los vectores α y β 

al vector 

α + β = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) 

De la definición de suma y de la conmutatividad y asociatividad de la suma de números 

vemos que la suma de vectores es conmutativa y asociativa: 

α + β = β + α, ∀ α, β ∈ R n 

α + (β + γ) = (α + β) + γ, ∀ α, β, γ ∈ R n 

Llamaremos vector nulo a 0 = (0, 0, . . . , 0), es claro que es el único vector de R n que 

tiene la siguiente propiedad: 

α + 0 = α ∀ α ∈ R n 

Llamaremos inverso aditivo del vector α = (a1, a2, . . . , an) a 

−α = (−a1, −a2, . . . , −an) 

29

30 CAPÍTULO 2. RELACIONES DE DEPENDENCIA LINEAL 

y es el único vector tal que α + (−α) = 0. Al vector 

α + (−β) = (a1 − b1, a2 − b2, . . . , an − bn) 

lo llamaremos la diferencia de los vectores α y β, se anota simplemente como α − β. 

Sea α ∈ R n , k un número real, llamaremos producto del vector α por el número real k 

al vector 

kα ≡ αk = (ka1, ka2, . . . , kan) 

Es evidente que la operación tiene las siguientes propiedades: 

i.- 1 · α = α ∀ α ∈ R n 

ii.- k(α + β) = kα + kβ ∀ α, β ∈ R n , ∀ k ∈ R 

iii.- (k1 + k2)α = k1α + k2α ∀ α ∈ R n ,∀ k1, k2 ∈ R 

iv.- k1(k2α) = (k1k2)α ∀ α ∈ R n ,∀ k1, k2 ∈ R 

El lector puede verificar que 0 · α = 0, (−1)α = −α para todo α ∈ R n , y si kα = 0 

entonces k = 0 ó α = 0. 

2.2. Dependencia lineal 

Definición 2.1 Sean α1, α2, . . . , αs ∈ R n . Diremos que el vector β es combinación 

lineal de los vectores α1, α2, . . . , αs si existen números reales l1, l2, . . . , ls tales que 

β = 

s 

i=1 

Definición 2.2 Diremos que los vectores α1, α2, . . . , αs son linealmente dependientes 

si hay números reales k1, k2, . . . , ks no todos nulos tales que 

liαi 

s 

kiαi = 0 

i=1 

En caso contrario diremos que los vectores α1, α2, . . . , αs son linealmente independientes. 

El conjunto de vectores es linealmente independiente si y sólo si la única combinación 

lineal de ellos que es igual a cero es la trivial, esto es, 

(aquella en que todos los ki son cero). 

0 · α1 + 0 · α2 + · · · + 0 · αn 

Vemos que todo conjunto de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente, 

si αi = 0 tomemos kj = 0 si j = i, ki = 0 y se tiene 

0 · α1 + 0 · α2 + · · · + kiαi + · · · + 0 · αn = 0

2.3. DIMENSI ÓN DEL ESPACIO VECTORIAL RN 31 

Teorema 2.3 El conjunto de vectores α1, α2, . . . , αs, s ≥ 2 es linealmente dependiente 

si y sólo si al menos uno de ellos es combinación lineal de los otros. 

Demostración: Supongamos que hay k1, k2, . . . , ks no todos nulos tales que 

0. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que k1 = 0. Entonces 

α1 = 

s −ki 

i=2 

k1 

αi . 

A la inversa, supongamos que hay l2, l3, . . . , ls tales que α1 = 

α1 − 

tome k1 = 1, ki = −li, i = 2, 3, . . . , s. 

Ejemplo: En R 3 sean 

s 

l2α2 = 0 , 

i=2 

s 

kiαi = 

i=1 

s 

l2α2. Entonces 

α1 = (5, 2, 1) α2 = (−1, 3, 3) α3 = (9, 7, 5) α4 = (3, 8, 7) 

Es fácil ver que 4α1 − α2 − 3α3 + 2α4 = 0, el sistema de cuatro vectores es linealmente 

dependiente. . También 2α1 + α2 − α3 = 0 luego α1, α2, α3 también son linealmente 

dependientes como también lo son α2, α3, α4. 

Nota: Supongamos que de los s vectores α1, α2, . . . , αs hay r de ellos linealmente 

dependientes, r < s, entonces el conjunto α1, α2, . . . , αs es linealmente dependiente. En 

efecto, sin pérdida de generalidad podemos suponer que α1, α2, . . . , αr son linealmente 

dependientes y por lo tanto hay k1, k2, . . . , kr no todos nulos tales que 

Elija kr+1 = kr+2 = · · · = ks = 0. 

k1α1 + · · · + krαr = 0 . 

Es obvio que si un conjunto de vectores es linealmente independiente, todo subconjunto 

de él es linealmente independiente. 

Notación: Cuando un sistema de vectores es linealmente dependiente diremos que es 

l.d., si es linealmente independiente diremos que es l.i. 

2.3. Dimensión del espacio vectorial R n 

Es claro que en R n hay sistemas de n vectores que son l.i., considere el sistema 

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) 

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) 

. 

. 

en = (0, 0, 0, . . . , 1) 

i=2


n 

kiei = 0 ⇒ (k1, k2, . . . , kn) = 0 = (0, 0, . . . , 0) 

i=1 

luego ki = 0, i = 1, 2, . . . , n. 

Teorema 2.4 Sean α1, α2, . . . , αs ∈ R n , s > n. Entonces el conjunto es l.d. 

Demostración: Sean αi = (ai1, ai2, . . . , ain), i = 1, 2, . . . , s y supongamos que 

s 

kiαi = 0. Entonces 

i=1 

s 

(kiai1, kiai2, . . . , kiain) = (k1a11, k1a12, . . . , k1a1n) + 

i=1 

= 

(k2a21, k2a22, . . . , k2a2n) + 

. 

. 

(ksas1, k2as2, . . . , ksasn) 

 

s s 

kiai1, kiai2, . . . , 

i=1 

i=1 

s 

i=1 

kiain 

Obtenemos así un sistema lineal homogéneo 

s 

aijki = 0 j = 1, 2, . . . , n (2.1) 

i=1 

para las variables k1, k2, . . . , ks. 

Sabemos que (2.1) es compatible, como el número de incógnitas es mayor que el número 

de ecuaciones (s > n), al aplicar el método de Gauss el sistema queda reducido a la 

forma trapezoidal y por lo tanto tiene soluciones no triviales. 

Del teorema se concluye que un sistema l.i. de vectores en R n consta a lo más de n 

vectores (ya vimos que hay sistemas l.i. que constan exactamente de n vectores). 

Definición 2.5 Sean α1, α2, . . . , αr un sistema de vectores l.i. en R n . Diremos que 

el sistema es linealmente independiente maximal si al agregar a él cualquier β ∈ R n , 

el nuevo sistema α1, α2, . . . , αr, β es l.d. 

De lo dicho anteriormente se concluye que todo sistema l.i. en R n que consta de n 

vectores es linealmente independiente maximal. 

Sea α1, α2, . . . , αn l.i. en R n , sea β ∈ R n arbitrario. Puesto que α1, α2, . . . , αn es 

maximal, hay constantes k1, k2, . . . , kn+1, no todas nulas, tales que 

n 

i=1 

kiαi + kn+1β = 0 

Si kn+1 = 0 entonces al menos uno entre k1, k2, . . . , kn es distinto de cero lo cual es 

contradicción. Se concluye que kn+1 = 0 y β es combinación lineal de los vectores α1, 

α2, . . . , αn. Se concluye que 

 

= 0

2.3. DIMENSI ÓN DEL ESPACIO VECTORIAL RN 33 

Si α1, α2, . . . , αn es l.i. todo vector de R n puede expresarse como combinación 

lineal de ellos. Decimos que el sistema de vectores α1, α2, . . . , αn genera a R n . 

Por ejemplo, el sistema de vectores 

genera a R n . 

Si α = (a1, a2, . . . , an) entonces α = 

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) 

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) 

. 

en = (0, 0, 0, . . . , 1) 

n 

aiei. 

i=1 

Sea α1, α2, . . . , αr l.i., y supongamos que no es maximal. Entonces hay αr+1 ∈ R n tal 

que α1, α2, . . . , αr, αr+1 es l.i. Si no es maximal, hay αr+2 ∈ R n tal que α1, α2, . . . , 

αr, αr+1, αr+2 es l.i. Sabemos que el proceso debe terminar porque a lo más pueden 

completarse n vectores l.i. Entonces todo sistema l.i. está contenido en un sistema 

maximal, en particular un vector distinto de cero está contenido en un sistema linealmente 

independiente maximal. Se concluye que hay infinitos sistemas linealmente 

independientes maximales en R n . 

¿Hay sistemas linealmente independientes maximales que constan de menos de n vectores 

? La respuesta es negativa, todos constan exactamente de n vectores. Nos abocaremos 

a responder la pregunta recién formulada. 

Definición 2.6 Diremos que el vector β se expresa linealmente mediante el sistema 

de vectores α1, α2, . . . , αr si β es combinación lineal de ellos. 

Es claro que si β se expresa linealmente mediante un subsistema α1, α2, . . . , αr también 

se expresa linealmente mediante α1, α2, . . . , αr. 

Definición 2.7 Diremos que el sistema de vectores β1, β2, . . . , βs se expresa linealmente 

mediante el sistema de vectores α1, α2, . . . , αr si cada uno de los vectores β1, 

β2, . . . , βs es combinación lineal de ellos. 

Teorema 2.8 Supongamos que el sistema de vectores β1, β2, . . . , βs se expresa linealmente 

mediante el sistema de vectores α1, α2, . . . , αr y que el sistema de vectores 

γ1, γ2, . . . , γt se expresa linealmente mediante el sistema de vectores β1, β2, . . . , βs. 

Entonces el sistema γ1, γ2, . . . , γt se expresa linealmente mediante el sistema α1, α2, 

. . . , αr. 

Demostración: Sea 

s 

γj = ljiβi j = 1, 2, . . . , t 

βi = 

γj = 

i=1 

r 

βikαk i = 1, 2, . . . , s entonces 

k=1 

s 

i=1 

lji 

r 

βikαk = 

k=1 

r 

 

s 

k=1 

i=1 

ljiβik 

 

αk j = 1, 2, . . . , t


Definición 2.9 Dos sistemas de vectores se dicen equivalentes si cada uno se expresa 

linealmente mediante el otro. 

Del teorema y la definición se tiene que si dos sistemas son equivalentes y un vector α 

se expresa linealmente mediante uno de ellos entonces también se expresa linealmente 

mediante el otro. 

Teorema 2.10 Sea α1, α2, . . . , αr un sistema de vectores l.i. en R n y supongamos 

que se expresa linealmente mediante el sistema de vectores β1, β2, . . . , βs. Entonces 

r ≤ s. 

Demostración: Supongamos que r > s. Por hipótesis 

s 

αi = aijβj i = 1, 2, . . . , r 

En R s definimos los vectores 

j=1 

γ1 = (a11, a12, . . . , a1s) 

γ2 = (a21, a22, . . . , a2s) 

. 

γr = (ar1, ar2, . . . , ars) 

Como r > s el conjunto de vectores γ1, γ2, . . . , γr es l.d. y por lo tanto hay k1, k2, 

. . . , kr no todos nulos tales que 

r 

klγl = 0 

l=1 

Igualando las componentes a cero tenemos que 

r 

kiaij = 0 j = 1, 2, . . . , s 

Pero 

r 

kiαi = 

i=1 

i=1 

r 

i=1 

ki 

s 

aijβj = 

j=1 

lo cual es contradicción luego r ≤ s. 

s 

 

r 

j=1 

i=1 

kiaij 

 

βj = 0 

Corolario 2.11 Sean α1, α2, . . . , αr y β1, β2, . . . , βs sistemas equivalentes en R n 

ambos l.i. Entonces r = s. 

Por definición se tiene que si α1, α2, . . . , αr y β1, β2, . . . , βs son sistemas linealmente 

independientes maximales en R n entonces ellos son equivalentes y por el corolario se 

tiene que r = s. Como hay sistemas maximales de n vectores se tiene que r = s = n. 

Todos los sistemas l.i. maximales en R n constan de n vectores y hay infinitos de ellos. 

Diremos que un sistema l.i. maximal en R n es una base de R n y el que todas las bases 

de R n constan del mismo número n de vectores se expresa diciendo que R n tiene dimensión 

n.

2.4. RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES 35 

2.4. Rango de un sistema de vectores 

Sea α1, α2, . . . , αn una base de Rn , sea α = (a1, a2, . . . , an). Entonces hay c1, c2, . . . , 

n 

cn tales que α = ciαi. Los números ci se llaman las componentes del vector α con 

i=1 

respecto a la base α1, α2, . . . , αn. Si 

entonces 

es equivalente a 

n 

ckαk = 

k=1 

α1 = (b11, . . . , b1n) 

α2 = (b21, . . . , b2n) 

. 

. 

αn = (bn1, . . . , bnn) 

n 

ck(bk1, bk2, . . . , bkn) = (a1, a2, . . . , an) 

k=1 

n 

ckbkj = aj j = 1, 2, . . . , n (2.2) 

k=1 

luego para encontrar las componentes del vector α con respecto a la base α1, α2, . . . , 

αn debemos resolver el sistema (2.2). Es claro que un vector tiene un juego distinto 

de componentes en cada base pero tal juego es único. En efecto, si 

α = 

n 

ciαi = 

i=1 

n 

i=1 

c ′ iαi 

entonces ci = c ′ i porque los α1, α2, . . . , αn son l.i. 

⇒ 

n 

(ci − c ′ i)αi = 0 

Nótese que si queremos encontrar las componentes del vector 0 en la base α1, α2, . . . , 

αn tenemos que resolver el sistema 

i=1 

n 

ckbkj = 0 j = 1, 2, . . . , n (2.3) 

k=1 

Puesto que se espera que (2.3) sólo tenga la solución trivial necesariamente debe tenerse 

que det(bij) = 0. A la inversa, si det(bij) = 0 entonces (2.3) sólo tiene la solución trivial 

y 

n 

ckαk = 0 

k=1 

implica ck = 0, k = 1, 2, . . . , n. Esto demuestra que 

Teorema 2.12 El conjunto de vectores α1, α2, . . . , αn es l.i. si y sólo si det(bij) = 0. 

La base e1, e2, . . . , en se llama la base estándar de R n , en ella 

α = 

n 

k=1 

akek


esto es, las componentes del vector α con respecto a la base estándar coinciden con 

las componentes de la n-tupla (a1, a2, . . . , an). Esta es la única base para la cual esto 

sucede. Si hubiese una base para la cual ck = ak, k = 1, 2, . . . , n para todos los vectores 

de R n , esto debería ser cierto en particular para e1, e2, . . . , en. 

Definamos el siguiente símbolo llamado “delta de Kronecker” 

 

1 si i = j 

δij = 

0 si i = j 

Entonces 

n 

ckαk = 

k=1 

n 

ck(bk1, bk2, . . . , bkn) = ei = (δi1, δi2, . . . , δin) 

k=1 

Pero queremos que ck = δik para k = 1, 2, . . . , n luego 

n 

δik(bk1, bk2, . . . , bkn) = (δi1, δi2, . . . , δin) . 

k=1 

En el miembro izquierdo δik = 0 si k = i, δii = 1 luego 

luego αi = ei, i = 1, 2, . . . , n. 

(bi1, bi2, . . . , bin) = (δi1, δi2, . . . , δin) 

Definición 2.13 Sea α1, α2, . . . , αr un sistema de vectores en R n . Diremos que 

el subsistema αi1, αi2, . . . , αis, s < r (aij ∈ {α1, α2, . . . , αr}, j = 1, 2, . . . , s) es 

linealmente independiente maximal con respecto al sistema α1, α2, . . . , αr si el sistema 

αi1, αi2, . . . , αis, β con β = αij j = 1, 2, . . . , s, β ∈ {α1, α2, . . . , αn} es l.d. 

Nota: Si α1, α2, . . . , αr es l.i. también lo consideramos como un subsistema linealmente 

independiente maximal. 

Dos subsistemas como los recién definidos tienen el mismo número de vectores. En 

efecto, sea α1, α2, . . . , αr un sistema l.d. Podemos suponer sin pérdida de generalidad 

que α1, α2, . . . , αs es subsistema linealmente independiente maximal. Queremos 

demostrar que 

α1, α2, . . . , αr 

(2.4) 

y 

α1, α2, . . . , αs 

(2.5) 

son equivalentes. Vemos que αs+1, αs+2, . . . , αr se expresan linealmente mediante 

(2.5) porque (2.5) es maximal y αi con 1 ≤ i ≤ s es 

αi = 0 · α1 + 0 · α2 + · · · + 1 · αi + · · · + 0 · αs 

así que también se expresa linealmente mediante (2.5) y por lo misma razón (2.5) se 

expresa linealmente mediante (2.4). Entonces (2.4) es equivalente a cualquiera de sus 

subsistemas linealmente independientes y por transitividad ellos son equivalentes entre 

sí. Por teorema previo ellos tienen el mismo número de vectores.

2.5. RANGO DE MATRICES Y DEPENDENCIA LINEAL 37 

Definición 2.14 Sea α1, α2, . . . , αr un sistema de vectores en R n . Al número de 

vectores de un subsistema linealmente independiente maximal cualquiera se le llama 

rango del sistema α1, α2, . . . , αr. 

Teorema 2.15 Sean 

y 

α1, α2, . . . , αr 

β1, β2, . . . , βs 

(2.6) 

(2.7) 

dos sistemas de vectores en R n . Sea k el rango el primer sistema y l el rango del segundo. 

Si (2.6) es expresa linealmente mediante (2.7) entonces k ≤ l y si son equivalentes, 

k = l. 

Demostración: Sea 

αi1, αi2, . . . , αik 

linealmente independiente maximal en (2.6) y sea 

βj1, βj2, . . . , βjl 

linealmente independiente maximal en (2.7). 

(2.8) 

(2.9) 

Tenemos que (2.8) y (2.6) son equivalentes y también (2.9) y (2.7). Como (2.6) se 

expresa linealmente mediante (2.7) entonces (2.8) se expresa linealmente mediante 

(2.7) y por consiguiente se expresa linealmente mediante (2.9). Pero el rango de (2.8) 

es igual al rango de (2.6) y el rango de (2.7) es igual al rango de (2.9). Por teorema 

previo, como (2.8) es l.i. entonces el rango de (2.8) es menor o igual al rango de (2.9), 

esto es, k ≤ l. Si (2.6) y (2.7) son equivalentes entonces l ≤ k luego k = l. 

2.5. Rango de matrices y dependencia lineal 

El problema de discernir la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores 

en R n , sean ellos 

αi = (ai1, ai2, . . . , ain) i = 1, 2, . . . , r 

se reduce a resolver la ecuación vectorial 

r 

ki(ai1, ai2, . . . , ain) = (0, 0, . . . , 0) 

i=1 

la cual escrita en componentes se reduce al siguiente sistema lineal homogéneo: 

r 

kiaij = 0 j = 1, 2, . . . , n (2.10) 

i=1 

Entonces el sistema α1, α2, . . . , αr es l.d. si y sólo si (2.10) tiene soluciones no triviales. 

Ejemplo: En R 4 sean 

α1 = (0, 1, −1, 1) 

α2 = (2, 1, 1, 0) 

α3 = (1, 1, 1, 1)


Entonces 

es equivalente al sistema 

k1(0, 1, −1, 1) + k2(2, 1, 1, 0) + k3(1, 1, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) 

2k2 + k3 = 0 

k1 + k2 + k3 = 0 

−k1 + k2 + k3 = 0 

k1 + k3 = 0 

De la segunda y tercera ecuación se tiene 2k1 = 0, de la cuarta k3 = 0 y de la primera 

k2 = 0 luego el sistema tiene sólo la solución trivial. α1, α2, α3 son l.i. 

Abordaremos el mismo problema por otro método. Sea A = (aij) una matriz de s filas 

y n columnas (matriz de s × n). Consideremos los vectores 

αi = (a1i, a2i, . . . , asi) i = 1, 2, . . . , n 

Este sistema de vectores son las columnas de A miradas como vectores en R s . Llamaremos 

rango de la matriz A al rango del sistema α1, α2, . . . , αn. 

Es natural pensar que podríamos haber usado las filas de A para dar la misma definición, 

que en justicia deberíamos hablar del rango fila de A y rango columna de A. 

Posteriormente descubriremos que ambos son iguales y por lo tanto es irrelevante si se 

eligen columnas o filas de A para dar la definición de rango de A. 

Sea k natural, sea k ≤ mín(s, n). Nos interesamos por los valores de k par los cuales 

hay menores de orden k de la matriz A que son distintos de cero, en particular, por 

el mayor de estos k. Diremos que k ≤ mín(s, n) es el mayor orden de menor no nulo 

de la matriz A si hay un menor de orden k de A que es distinto de cero y todos los 

menores de orden r, k < r ≤ mín(s, n) son iguales a cero. Por ejemplo, si 

A = 

es claro que det A = 0 luego k < 4. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

Consideremos el menor 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

0 

2 

−1 

3 

1 

1 

2 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

luego k = 3. 

1 2 1 0 

0 −1 1 2 

0 3 2 1 

0 −2 2 4 

−1 1 

3 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

 

 

 

= −2 − 3 = −5 

Nótese que si todos los menores de orden k de A son cero, todos los menores de orden 

superior son cero. Consideremos un menor cualquiera de orden k + j, k < k + j ≤ 

mín(s, n). Lo desarrollamos por los menores de orden k usando el teorema de Laplace. 

Teorema 2.16 El mayor orden r de menor no nulo de la matriz A es igual al rango 

de A.


Demostración: Sabemos que hay menor de orden r que es distinto de cero y que 

todos los menores de orden superior valen cero. Supondremos (para simplificar la 

notación) que el menor formado por las r primeras filas y las r primeras columnas 

de A es distinto de cero. Llamaremos D a este menor. Consideremos las r primeras 

columnas de A como vectores de R s . Sea 

y supongamos que 

αi = (a1i, a2i, . . . , asi) , i = 1, 2, . . . , r 

r 

kiαi = 0, esto es, 

j=1 

En componentes se tiene 

r 

ki(a1i, a2i, . . . , asi) = (0, 0, . . . , 0) . 

i=1 

r 

kiaji = 0 j = 1, 2, . . . , n (2.11) 

j=1 

Supongamos que el sistema (2.11) tiene solución no trivial. Entonces el sistema 

r 

kiaji = 0 j = 1, 2, . . . , r 

i=1 

tiene solución no trivial y por lo tanto su determinante es distinto de cero. Pero su 

determinante es D luego hemos demostrado que las r primeras columnas de A son l.i. 

En general, hemos demostrado que si Mr es un menor de orden r de la matriz, las r 

columnas de la matriz que pasan por el menor A son l.i. 

Sea ∆i el siguiente menor de orden r + 1 de la matriz A 

 

 

 

 

 

 

∆i = 

 

 

 

 

a11 

a21 

. 

. 

ar1 

ai1 

a12 

a22 

. 

. 

ar2 

ai2 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

a1r 

a2r 

. 

. 

arr 

air 

a1l 

a2l 

. 

. 

arl 

ail 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆i se llama un menor “orlado” de D y se obtiene “pegando” a D los r primeros 

elementos de la elésima columna, r < l ≤ n, los r primeros elementos de una fila i 

cualquiera, 1 ≤ i ≤ s y el elemento ail. 

Si se tiene que 1 ≤ i ≤ r, ∆i tiene dos filas iguales y por lo tanto vale cero y si 

r de orden r + 1 de la matriz A y por hipótesis vale cero. 

Luego ∆i = 0 para todo i. Desarrollando ∆i por los adjuntos de la última fila se tiene 

r 

j=1 

aijAij + ailAil = 0 

pero Aij no incluye a la última fila de ∆i luego es independiente de i en magnitud y 

su signo en ∆i está dado por (−1) (r+1)+j y tampoco depende de i. Para enfatizar esto 

anotaremos Aj = Aij, en particular Ail = D, luego 

ai1A1 + ai2A2 + · · · + airAr + ailD = 0


y como D = 0 entonces 

r 

ail = kjaij , kj = − Aj 

D 

j=1 

, j = 1, 2, . . . , r (2.12) 

Pero (2.12) es verdadero para cualquier i, 1 ≤ i ≤ s y k1, k2, . . . , kr son independientes 

de i. Luego (2.12) dice que la i-ésima columna de la matriz A es combinación lineal de 

las r primeras columnas de A. Se concluye que las r primeras columnas de A forman 

un sistema linealmente independiente maximal del sistema de columnas de A miradas 

como vectores de R s . Por definición, se tiene que el rango de A es igual a r. 

Nota: Debemos hacer notar que en la demostración anterior no usamos que todos los 

menores de orden r + 1 son cero, sino que los menores orlados de orden r + 1 de D son 

cero, esta observación simplifica el cálculo del rango de A. 

Para calcular el rango de una matriz A de s × n tenemos que desarrollar el siguiente 

proceso: 

i.- Si la matriz tiene algún elemento aij = 0, su rango es por lo menos 1. Si todos 

los menores orlados de orden 2 del menor |aij| son cero entonces su rango es 1. 

ii.- Si algún menor orlado de orden 2 de |aij| es distinto de cero, sea D2 este menor, 

calculamos todos los menores orlados de orden 3 de D2, si todos valen cero, el 

rango de la matriz es 2. 

iii.- Si algún menor orlado de orden 3 de D2 es distinto de cero, sea D3 dicho menor, 

procedemos a los menores orlados de orden 4 de D3, . . . 

iv.- El proceso termina cuando encontramos un menor Dk de orden k distinto de cero 

y tal que todos sus menores orlados de orden k + 1 valen cero. 

Ejemplo: 

A = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 −4 3 1 0 

1 −2 1 −4 2 

0 1 −1 3 1 

4 −7 4 −4 5 

s = 4, n = 5, luego el rango de A puede ser a lo más 4. 

 

 

a11 = 2 = 0, sea D2 = 2 −4 

 

1 −2 . D2 = 0, pero esto no significa que A tenga rango 1, 

 

 

podemos tomar por ejemplo D2 = 2 3 

 

1 1 = −1 = 0. Sea 

 

 

 

2 3 1 

 

D3 = 

1 1 −4 

= −12 = 0 

0 −1 3 

Calculemos los orlados de D3. Ellos son 

 

 

 

2 3 1 −4 

 

 

O1 = 1 1 −4 −2 

 

 

0 −1 3 1 

 

4 4 −4 −7 

 

 

 

 

O2 = 

 

 

 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 3 1 0 

1 1 −4 2 

0 −1 3 1 

4 4 −4 5


Pero O1 = O2 = 0 luego el rango de la matriz es 3 y las tres primeras columnas forman 

un sistema linealmente independiente maximal del sistema de columnas de A. 

Nota: Si en la demostración del teorema anterior el menor D no consistiera en las 

primeras r filas y las primeras r columnas sino que de r filas y r columnas cualesquiera, 

el menor orlado ∆1 podría no ser un menor del determinante puesto que la columna 

i-ésima que se coloca al final podría no ser la última de las columnas, es decir, las 

columnas podrían quedar en un orden distinto al orden que tienen en la matriz A 

(como el menor orlado O1 en el ejemplo anterior). Lo mismo puede suceder con la fila 

i-ésima. Sin embargo, el orden de las columnas en el determinante no puede alterar su 

magnitud sino que únicamente su signo, de modo que si todos los menores de orden 

r + 1 son cero, el menor orlado ∆i debe ser cero también. 

Ejemplo: Sean α1 = (2, −2, −4), α2 = (1, 9, 3), α3 = (−2, −4, 1), α4 = (3, 7, −1). 

Buscamos un subsistema linealmente independiente maximal del sistema α1, α2, α3, 

α4. Para ello, formemos una matriz de 3 × 4 cuyas columnas son estos vectores 

⎛ 

A = ⎝ 

 

 

y calculamos su rango. Claramente 

 

O1 = 

O2 = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 −2 

−2 9 −4 

−4 3 1 

2 1 3 

−2 9 7 

−4 3 −1 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

2 1 −2 3 

−2 9 −4 7 

−4 3 1 −1 

2 1 

−2 9 

⎞ 

⎠ 

 

 

 

= 0. Sus orlados son 

0 

−2 

0 

10 

9 

−15 

−6 

−4 

9 

 

 

 

 

= 2 

 

 

10 

−15 

−6 

9 

 

 

 

= 0 

0 

−2 

0 

10 

9 

−15 

10 

7 

−15 

 

 

 

 

= 2 

 

 

10 

−15 

10 

−15 

 

 

 

= 0 

luego el rango de A es 2 y α1, α2 forman un subsistema linealmente independiente 

maximal. 

Teorema 2.17 Sea A una matriz de s×n. El máximo número de filas l.i. de A miradas 

como vectores en R n es igual al máximo número de columnas l.i. de A miradas como 

vectores en R s . 

Demostración: Consideremos A t (la matriz traspuesta de A). Puesto que el valor de 

un determinante no cambia cuando se traspone se tiene que rango A = rango A t . Pero 

rango fila de A = rango columna de A t = rango A t = rango A = rango columna de A 

Ejemplo: Consideremos el sistema homogéneo 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 2 1 3 0 

4 −1 5 −6 0 

1 −3 −4 −7 0 

2 −1 −1 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠


Queremos saber si tiene soluciones distintas de la trivial. Sea A la matriz del sistema, 

 

D2 = 1 2 

 

4 −1 = 0. Sea 

 

 

 

O1 = 

 

 

1 

4 

1 

2 

−1 

−3 

1 

5 

−4 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

0 

2 

−9 

−5 

1 

1 

−5 

 

 

 

 

= 0 

 

Consideremos el único orlado de O1: 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

4 

1 

2 

2 

−1 

−3 

−1 

1 

5 

−4 

−1 

 

3 

 

−6 

 

−7 

 

0 

= 

= 

= 

 

 

 

1 2 1 3 

 

 

 

0 −9 1 −18 −9 1 −18 

 

 

 

0 −5 −5 −10 = 

−5 −5 −10 

 

 

0 −5 −3 −6 0 2 4 

 

 

 

−9 1 −18 

−9 1 −18 

−10 

1 1 2 

= −10 

1 0 0 

0 1 2 0 1 2 

 

 

10 1 −18 

 

1 2 = 200 = 0 

 

 

 

 

 

 

Luego el rango fila de A es 4, las cuatro ecuaciones del sistema son l.i. Luego, al 

aplicar el método de Gauss, ninguna puede desaparecer y el sistema queda en la forma 

triangular y por lo tanto tiene sólo la solución trivial. 

Nota: Podríamos haber calculado directamente el determinante del sistema y haber 

verificado que era distinto de 0 y por teorema previo, cuya demostración depende de 

la regla de Cramer, haber dicho de inmediato que tenía sólo la solución trivial. Hemos 

demostrado que se puede concluir lo mismo sin conocer la regla de Cramer. 

2.6. Equivalencia de matrices 

Si A es una matriz de n × n tal que su determinante d es igual a cero, el rango máximo 

de A puede ser (n − 1) luego las n filas de la matriz son l.d. Luego si un determinante 

d vale cero, entre sus filas (columnas) existe una relación de dependencia lineal. Esto 

ya lo sabíamos, pero el método del rango nos permite decir cuántas y cuáles filas son l.i. 

Existe otro método más simple para calcular el rango de una matriz. 

Definición 2.18 Se llaman transformaciones elementales de una matriz A a las siguientes: 

a) La trasposición de dos filas (o columnas) 

b) La multiplicación de una fila (o una columna) por un número distinto de cero. 

c) La suma a una fila (o a una columna) de otra fila (o columna) multiplicada por un 

número. 

Teorema 2.19 Las transformaciones elementales de una matriz no alteran su rango. 

Demostración:

2.6. EQUIVALENCIA DE MATRICES 43 

a) El orden en el cual se consideren las filas no altera su dependencia lineal. 

b) Sea α1, α2, . . . , αr un sistema linealmente independiente maximal de filas. Sean 

c1, c2, . . . , cr r números arbitrarios distintos de cero. Supongamos que los vectores 

βi = ciαi i = 1, 2, . . . , r son l.d. Entonces hay constantes ki i = 1, 2, . . . , r no todas 

r 

nulas tales que kiβi = 0, esto es, 

i=1 

lo cual es una contradicción. 

Sea α una fila cualquiera, entonces 

α = 

r 

(kici)αi = 0 

i=1 

r 

liαi = 

i=1 

luego el sistema β1, β2, . . . , βr es maximal. 

c) Sean α1, α2, . . . , αs las filas de la matriz, sean 

r 

li 

βi 

ci 

i=1 

α1, α2, . . . , αi + kαj, αi+1, . . . , αj, . . . , αs 

las filas de la nueva matriz. Es claro que las filas de la matriz anterior y de la nueva 

matriz son sistemas equivalentes de vectores y por lo tanto tienen el mismo rango. 

Definición 2.20 Diremos que dos matrices A y B son equivalentes si B proviene de 

A a través de una sucesión de transformaciones elementales. 

Es evidente que una transformación elemental es invertible, luego si B proviene de A 

a través de una sucesión de transformaciones elementales, entonces A proviene de B 

a través de una sucesión de transformaciones elementales. Es claro que dos matrices 

equivalentes tienen el mismo rango. 

Definición 2.21 Sea A matriz de s × n. Diremos que A tiene la forma diagonal si 

a11 = a22 = · · · = arr = 1 (para algún r tal que 0 ≤ r ≤ mín(s, n)) y todos los demás 

elementos son cero. 

Puesto que una matriz diagonal tiene un menor de orden r distinto de cero (en realidad 

vale 1) y todos sus menores de orden r + 1 son cero, su rango es r. 

Teorema 2.22 Toda matriz puede ser reducida a la forma diagonal mediante una 

sucesión de transformaciones elementales.


Demostración: Si aij = 0 ∀ i, j ella tiene la forma diagonal. Si no es así, sin pérdida 

de generalidad podemos suponer que a11 = 1; en forma análoga al método de Gauss 

aplicado a la primera columna llevamos la matriz A a la forma 

A ′ ⎛ 

1 a12 a13 · · · a1n 

⎜ 0 a 

= ⎜ 

⎝ 

′ 22 a ′ 23 · · · a ′ ⎞ 

⎟ 

2n ⎟ 

. 

. . . .. 

⎟ 

. ⎠ , 

0 a ′ s2 a ′ s3 · · · a ′ sn 

luego, aplicando el método a la primera fila, esto es, restando a cada columna una 

columna proporcional a la primera de modo que aparezcan ceros en la primera fila, 

llevamos A ′ a la forma 

A ′′ ⎛ 

1 

⎜ 0 

= ⎜ 

⎝ 

0 

a 

0 · · · 0 

′′ 

22 a ′′ 

23 · · · a ′′ 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. .. 

. 

. 

0 a ′′ 

s2 

2n 

a ′′ 

s3 · · · a ′′ 

sn 

Si todos los a ′′ 

ij son cero, A′′ tiene la forma diagonal. Si algún a ′′ 

ij 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

es distinto de cero 

aplicamos el método a la columna 2 y a la fila 2 de A ′′ . Es claro que el proceso termina 

después de un número finito de pasos. 

Se concluye que para calcular el rango de una matriz basta contar el número de unos 

que hay en su diagonal principal. 

Ejemplo: Calcular el rango de 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

0 2 −4 

−1 −4 5 

3 1 7 

0 5 −10 

2 3 0 

⎞ 

⎟ 

⎠

2.6. EQUIVALENCIA DE MATRICES 45 

rango A = 2. 

⎛ 

⎜ 

A1 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A3 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A5 = ⎜ 

⎝ 

⎜ 

A7 = ⎜ 

⎝ 

1 4 −5 

3 1 7 

2 3 0 

0 1 −2 

0 1 −2 

1 4 −5 

0 −11 22 

0 −5 10 

0 1 −2 

0 0 0 

1 4 −5 

0 −1 2 

0 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

⎛ 

Ejemplo: Calcular el rango de 

⎛ 

⎜ 

A1 = ⎜ 

⎝ 

1 0 0 

0 −1 0 

0 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

1 1 2 6 −2 

1 −2 −1 0 −5 

−1 3 1 −1 8 

1 −1 0 2 −4 

−2 −1 −2 −7 3 

−1 −2 −2 −5 −1 

⎛ 

⎜ 

A3 = ⎜ 

⎝ 

1 1 2 6 −2 

0 1 1 2 1 

0 4 3 5 6 

0 1 1 2 1 

0 1 2 5 −1 

0 −1 0 1 −3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

A2 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A4 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A6 = ⎜ 

⎝ 

1 2 6 −2 −1 

−2 −1 0 −5 −1 

3 1 −1 8 1 

−1 0 2 −4 −1 

−1 −2 −7 3 2 

−2 −2 −5 −1 1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

A2 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A4 = ⎜ 

⎝ 

1 4 −5 

3 1 7 

2 3 0 

0 1 −2 

0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 4 −5 

0 −1 2 

0 −1 2 

0 −1 2 

0 0 0 

1 0 0 

0 −1 2 

0 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 1 2 6 −2 

0 −3 −3 −6 −3 

0 4 3 5 6 

0 −2 −2 −4 −2 

0 1 2 5 −1 

0 −1 0 1 −3 

1 1 2 6 −2 

0 1 1 2 1 

0 4 3 5 6 

0 1 2 5 −1 

0 −1 0 1 −3 

0 0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


rango A = 3. 

⎛ 

⎜ 

A5 = ⎜ 

⎝ 

⎜ 

A7 = ⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 0 

0 1 1 2 1 

0 4 3 5 6 

0 1 2 5 −1 

0 −1 0 1 −3 

0 0 0 0 0 

⎛ 

⎜ 

A9 = ⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 0 

0 1 1 2 1 

0 0 1 3 −2 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

⎛ 

1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 

0 0 1 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

A6 = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A8 = ⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 0 

0 1 1 2 1 

0 0 −1 −3 2 

0 0 1 3 −2 

0 0 1 3 −2 

0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 

0 0 1 3 −2 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

2.7. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 

2.7.1. Compatibilidad para sistemas no homogéneos 

Teorema 2.23 El sistema de s ecuaciones lineales con n incógnitas 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 

. 

. 

as1x1 + as2x2 + · · · + asnxn = bs 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(2.13) 

es compatible si y sólo si el rango de la matriz A del sistema es igual al rango de la 

matriz ampliada Ā del sistema. 

Demostración: Supongamos que el sistema es compatible, sea (k1, k2, . . . , kn) una 

solución. Reemplazando en (2.13) se tiene 

n 

airkr = bi i = 1, 2, . . . , s (2.14) 

r=1 

Interpretemos las columnas de A y la última columna de Ā como vectores en Rs , sean 

αj = (a1j, a2j, . . . , asj) j = 1, 2, . . . , n 

β = (b1, b2, . . . , bs)

2.7. SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 

Entonces 

n 

kiαi = k1(a11, a21, . . . , as1) + k2(a12, a22, a32, . . . , as2) + · · · + kn(a1n, a2n, . . . , asn) 

i=1 

= 

n 

r=1 

a1rkr, 

n 

n 

a2rkr, . . . , 

r=1 

Se concluye que (2.14) es equivalente a 

r=1 

asrkr 

n 

kiαi = β 

i=1 

luego la última columna de Ā se expresa linealmente mediante las columnas de A (es 

obvio que las demás también). Es claro que toda columna de A se expresa linealmente 

mediante las columnas de Ā. Entonces ambos sistemas de columnas son equivalentes 

y por lo tanto tienen el mismo rango. 

Si el rango de A es igual al de Ā cualquier sistema linealmente independiente maximal 

de columnas de A es linealmente independiente maximal mirado como parte del sistema 

de columnas de Ā. Entonces la última columna de Ā se expresa linealmente mediante 

un sistema linealmente independiente maximal de columnas de A y por lo tanto es 

combinación lineal de las columnas de A. Entonces hay números k1, k2, . . . , kn tales 

que 

n 

kiαi = β 

i=1 

o sea, (k1, k2, . . . , kn) es solución del sistema. 

Supongamos que el sistema es compatible y que el rango de A es igual a r. Sin pérdida 

de generalidad podemos suponer que las r primeras filas de A son l.i. (basta reordenar 

las ecuaciones). Supongamos que las r primeras filas de Ā son l.d. Entonces hay 

números λ1, λ2, . . . , λn no todos nulos tales que 

r 

λi(ai1, ai2, . . . , air, βi) = 0 ⇒ 

i=1 

lo cual implica que 

 

r 

λiaij = 0 j = 1, 2, . . . , n , 

i=1 

r 

λiβi = 0 

r 

λi(ai1, ai2, . . . , ain) = 0, contradicción. Las r primeras filas de 

i=1 

Ā son entonces l.i. y forman un sistema linealmente independiente maximal de filas 

de Ā. Se deduce que las ecuaciones r + 1, r + 2, . . . , s son combinaciones lineales de 

las r primeras ecuaciones. Toda solución de las r primeras es por lo tanto solución de 

todo el sistema y viceversa, el sistema (2.13) es equivalente al sistema formado por las 

r primeras ecuaciones. Basta entonces resolver el sistema 

Como r ≤ mín(s, n) entonces r ≤ n. 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 

. 

ar1x1 + ar2x2 + · · · + arnxn = br 

i=1 

(2.15)


Caso 1: r = n. Entonces el menor M formado por los coeficientes de las r primeras 

incógnitas es distinto de cero (las r primeras filas de A son l.i.), (2.15) es un sistema 

de r = n ecuaciones con n incógnitas y determinante M = 0, por la regla de Cramer 

tiene solución única. 

Caso 2: r < n. Llamaremos incógnitas independientes a xr+1, xr+2, . . . , xn. Asignemos 

a ellas valores arbitrarios cr+1, cr+2, . . . , cn y reescribamos (2.15) como 

a11x1 + · · · + a1rxr = b1 − a 1(r+1)cr+1 − a 1(r+2)cr+2 − · · · − a1ncn 

a21x1 + · · · + a2rxr = b2 − a 2(r+1)cr+1 − a 2(r+2)cr+2 − · · · − a2ncn 

. 

ar1x1 + · · · + arrxr = br − a r(r+1)cr+1 − a r(r+2)cr+2 − · · · − arrcn 

(2.16) 

Este es un sistema de r ecuaciones con r incógnitas con determinante M = 0 y para 

cada juego de valores cr+1, cr+2, . . . , cn hay una solución única (c1, c2, . . . , cr) (la cual 

se calcula mediante la regla de Cramer). Es claro que 

(c1, c2, . . . , cr, cr+1, . . . , cn) 

es una solución del sistema (2.15), y como ella depende de n−r parámetros arbitrarios 

se tiene que el sistema original tiene infinitas soluciones. 

¿Son estas todas las soluciones del sistema? Sea (k1, k2, . . . , kn) una solución arbitraria 

de (2.15). Reemplazando en (2.15) y escribiendo las r identidades resultantes en la forma 

(2.16) podemos interpretar así: 

(k1, k2, . . . , kr) es la única solución de (2.16) que se obtiene asignado los valores kr+1, 

kr+2, . . . , kn a las incógnitas independientes. Luego (k1, k2, . . . , kn) se puede obtener 

por el método recién descrito, dicho método entrega todas las soluciones del sistema 

original. 

Nota: Un sistema lineal compatible tiene solución única si y sólo si el rango de la 

matriz del sistema es igual al número de incógnitas. 

Ejemplo: Resolver ⎛ 

⎝ 

 

 

Nótese que 5 

2 

−1 

1 

 

 

 

= 0, 

 

 

 

 

 

 

5 

2 

1 

−1 

1 

−3 

2 

4 

−6 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 

2 

1 

−3 

1 

−3 

−6 

4 

−6 

5 −1 2 1 7 

2 1 4 −2 1 

1 −3 −6 5 0 

 

 

 

 

= 0, 

 

luego el rango de A es 2, sin embargo 

 

 

 

 

 

 

5 

2 

1 

−1 

1 

−3 

7 

1 

0 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 

2 

1 

−3 

1 

−3 

5 

1 

0 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⎞ 

⎠ 

5 −1 1 

2 1 −2 

1 −3 5 

luego el rango de Ā es 3, el sistema es incompatible. 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

0 0 5 

2 1 1 

1 −3 0 

1 −3 5 

2 1 −2 

1 −3 5 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

 

= 0


Ejemplo: Resolver 

 

 

Nótese que 

 

7 3 

1 −2 

⎛ 

7 3 2 

⎞ 

⎝ 1 −2 −3 ⎠ 

4 9 11 

 

 

 

= 0 luego el rango de A es 2. 

 

 

 

 

 

 

7 3 2 

1 −2 −3 

4 9 11 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

4 9 11 

1 −2 −3 

4 9 11 

 

 

 

 

= 0 , 

 

el rango de Ā es 2, el sistema es compatible, las dos primeras ecuaciones son l.i., 

r = n = 2, la solución es única y se obtiene resolviendo 

Ejemplo: Resolver 

 

 

Nótese que 

 

1 1 

3 −1 

7x1 + 3x2 = 2 

x1 − 2x2 = −3 ⇒ x1 = − 5 

17 , x2 = 23 

17 

⎛ 

1 

⎝ 3 

1 

−1 

−2 

1 

−1 

4 

1 

3 

1 

4 

⎞ 

⎠ 

1 

 

 

 

= 0 pero 

5 −9 −8 1 0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

luego el rango de A es 2. 

 

 

 

 

 

 

1 1 −2 

3 −1 1 

1 5 −9 

1 1 −1 

3 −1 4 

1 5 −8 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

1 1 −2 

 

 

0 −4 7 

 

0 4 −7 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

1 1 −1 

 

 

0 −4 7 

 

0 4 −7 

 

1 1 1 

 

3 −1 3 

 

1 5 1 = 

 

 

 

1 1 1 

 

 

0 −4 0 

 

0 4 0 

1 1 1 

3 −1 4 

1 5 0 

rango Ā = 2, el sistema es compatible. 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 

0 −4 1 

0 4 −1 

= 0 

= 0 

= 0 

 

 

 

 

= 0 , 

 

Como las dos primeras filas de Ā son l.i. el sistema se reduce a las dos primeras 

ecuaciones, elijamos x3, x4, x5 como incógnitas independientes 

x1 + x2 = 1 + 2x3 + x4 − x5 

3x1 − x2 = 4 − x3 − 4x4 − 3x5


Luego 

Ejemplo: Resolver ⎛ 

Nótese que 

pero 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1 −2 1 

1 −2 −1 2 

2 5 0 1 

3 3 −1 −3 

x1 = 1 

4 (5 + x3 − 3x4 − 4x5) 

x2 = − 1 

4 (1 − 7x3 − 7x4) 

⎜ 

⎝ 

4 1 −2 1 3 

1 −2 −1 2 2 

2 5 0 1 −1 

3 3 −1 −3 1 

4 1 −2 

1 −2 −1 

2 5 0 

1 −2 1 

−2 −1 2 

5 0 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 5 0 

1 −2 −1 

2 5 0 

1 −2 −1 

−4 3 0 

4 2 0 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

4 1 −2 1 

 

 

 

= −7 −4 3 0 −7 −4 3 

 

 

 

−2 4 2 0 = − 

−2 4 2 

 

 

15 6 −7 0 15 6 −7 

 

 

 

 

−15 12 11 

−15 12 11 

 

= − 

−2 4 2 

= − 

−2 4 2 

 

15 6 −7 0 18 4 

 

 

 

 

−15 12 11 

0 −18 −4 

 

= 4 

1 −2 −1 

= 4 

1 −2 −1 

= 0 , 

0 9 2 0 9 2 

se concluye que rango A = 3. El único menor orlado de 4 × 4 en Ā es (el otro es el 

det A que ya vimos que es cero) 

 

 

 

 

1 −2 1 3 

1 −2 1 3 

 

 

 

−2 −1 2 2 

 

 

5 0 1 −1 = 0 −5 4 8 −5 4 8 

 

 

 

0 10 −4 −16 = 

10 −4 −16 

= 0 

 

3 −1 −3 1 0 5 −6 −8 5 −6 −8 

pues las columnas 1 y 3 son proporcionales; el rango de Ā es 3 luego el sistema es 

compatible. 

Nótese que no es posible usar la regla de Cramer, que la incógnita independiente es 

x1, que las tres primeras filas de Ā son l.i., después de estos considerandos tenemos: 

x2 − 2x3 + x4 = 3 − 4x1 

−2x2 − x3 + 2x4 = 2 − x1 

5x2 + x4 = −1 − 2x1 

⇒ 

x2 − 2x3 + x4 = 3 − 4x1 

−5x3 + x4 = 8 − 9x1 

10x3 − 4x4 = −16 + 18x1


Sumando las dos últimas tenemos 5x3 = −8+9x1, reemplazando en la segunda tenemos 

x4 = 0. Al reemplazar en la primera ecuación se obtiene 

5x2 − 2(−8 + 9x1) = 15 − 20x1 ⇒ x2 = 1 

(−1 − 2x1) 

5 

2.7.2. Sistemas homogéneos 

En este caso rango A = rango Ā luego son siempre compatibles. Si r = n, la única 

solución del sistema es la trivial, si r < n el sistema tiene infinitas soluciones. En 

particular, si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas el sistema tiene 

soluciones distintas de la trivial si y sólo si det A = 0 (r < n). 

Sean 

α = (a1, a2, . . . , an) 

β = (b1, b2, . . . , bn) 

soluciones de un sistema homogéneo. Entonces cualquier combinación lineal de ellas 

es también solución, esto es, si λ, µ son números arbitrarios, λα + µβ es solución del 

sistema (lo cual no es cierto para sistemas no homogéneos). 

Puesto que las soluciones pueden ser interpretadas como vectores en R n , un conjunto 

de soluciones linealmente independiente maximal con respecto al conjunto de todas las 

soluciones del sistema puede constar a lo más de n soluciones, entonces existe un conjunto 

finito de soluciones del cual todas las demás son combinaciones lineales. Dicho 

conjunto se llamará un sistema fundamental de soluciones. Por un teorema previo, todos 

los conjuntos fundamentales de soluciones constan del mismo número de soluciones. 

Teorema 2.24 Sea A la matriz de un sistema homogéneo de s ecuaciones con n 

incógnitas, sea r igual al rango de A. Entonces un conjunto fundamental de soluciones 

consta de n − r soluciones. 

Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer que las incógnitas independientes 

son xr+1, xr+2, . . . , xn. Sea d un determinante arbitrario de (n−r)×(n−r) 

distinto de cero. Sea 

 

 

 

c1(r+1) c1(r+2) · · · c1n 

 

 

c2(r+1) c2(r+2) · · · c2n 

 

d = 

 

. 

. 

. .. 

 

. 

 

c (n−r)(r+1) c (n−r)(r+2) · · · c 

(n−r)n 

Adoptemos como valores para las incógnitas independientes los elementos de la i-ésima 

fila de d, esto es, 

xr+1 = c i(r+1) , xr+2 = c i(r+2) , · · · xn = cin , 

sea αi = (ci1, ci2, · · · , cir, c i(r+1), · · · , cin) la solución del sistema obtenida para dichos 

valores de las incógnitas independientes, 1 ≤ i ≤ n − r.


Si formamos la matriz de (n − r) × n cuyas filas son α1, α2, . . . , αn−r ella tiene un 

menor de (n − r) × (n − r) que es distinto de cero (es precisamente d) luego el rango 

de dicha matriz es n − r. Se concluye que α1, α2, . . . , αn−r son l.i. 

Sea β = (b1, b2, . . . , bn) una solución arbitraria del sistema. Designemos por α ′ i , β′ a 

α ′ i = (c i(r+1), c i(r+2), . . . , cin) i = 1, 2, . . . , n − r y 

β ′ = (br+1, br+2, . . . , bn) 

Es claro que α ′ 1, α ′ 2, . . . , α ′ n−r son un sistema l.i. de vectores en R n−r y que en R n−r 

el sistema α ′ 1, α ′ 2, . . . , α ′ n−r, β ′ es l.d., entonces hay números k1, k2, . . . , kn−r tales 

que 

β ′ = k1α ′ 1 + k2α ′ 2 + · · · + kn−rα ′ n−r 

En R n , sea 

n−r 

δ = kiαi − β . 

i=1 

Puesto que δ es combinación lineal de soluciones del sistema, el mismo también es 

solución del sistema. Pero δ tiene sus últimas n − r componentes iguales a cero, luego 

es la solución obtenida cuando xr+1 = xr+2 = · · · = xn = 0. Como el sistema es 

homogéneo esta es precisamente la solución trivial luego δ = 0 y 

n−r 

β = 

El sistema α1, α2, . . . , αn−r es maximal. 

i=1 

kiαi . 

Ejemplo: Encuentre un sistema fundamental de soluciones para 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

3 1 −8 2 1 0 

2 −2 −3 −7 2 0 

1 11 −12 34 −5 0 

1 −5 2 −16 3 0 

En la matriz A del sistema hagamos las siguientes transformaciones elementales: 

A la tercera fila restamos dos veces la primera, sumamos dos veces la segunda y una 

vez la cuarta, obtenemos 

A1 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

3 1 −8 2 1 

2 −2 −3 −7 −2 

0 0 0 0 0 

1 −5 2 −16 3 

En A1 permutamos la tercera fila y la cuarta: 

A2 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

3 1 −8 2 1 

2 −2 −3 −7 2 

1 −5 2 −16 3 

0 0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


luego 

A3 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

−1 5 −2 16 −3 

2 −2 −3 −7 2 

1 −5 2 −16 3 

0 0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

A4 = 

⎛ 

⎜ ⎜ 

⎝ 

−1 5 −2 16 −3 

2 −2 −3 −7 2 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

Es claro que rango A = 2 y que podemos elegir x3, x4, x5 como incógnitas independientes. 

Tomemos d como 

Obtenemos 

−x1 + 5x2 = 2x3 − 16x4 + 3x5 

2x1 − 2x2 = 3x3 + 7x4 − 2x5 

8x2 = 7x3 − 25x4 + 4x5 

x2 = 1 

8 (7x3 − 25x4 + 4x5) 

2x1 − 1 

4 (7x3 − 25x4 + 4x5) = 3x3 + 7x4 − 2x5 

8x1 − 7x3 + 25x4 − 4x5 = 12x3 + 28x4 − 8x5 

x1 = 1 

8 (19x3 + 3x4 − 4x5) 

 

 

 

d = 

 

 

α1 = ( 19 

8 

α2 = ( 3 

8 

α3 = (− 1 

2 

1 0 0 

0 1 0 

0 0 1 

 

 

 

 

 

 

7 

, , 1, 0, 0) 

8 

, −25, 

0, 1, 0) 

8 

1 

, , 0, 0, 1) 

2 

2.7.3. Soluciones para sistemas arbitrarios 

Una manera de escribir las soluciones de un sistema lineal arbitrario es la siguiente. 

Supongamos que por algún método se ha encontrado una solución de él. La llaramemos 

“una solución particular del sistema” y la designaremos por αp. Sea β una solución 

cualquiera del sistema, sea α1, α2, . . . , αn−r un sistema fundamental de soluciones del 

correspondiente sistema homogéneo. Como β − αp es solución del sistema homogéneo, 

hay números k1, k2, . . . , kn−r tales que 

n−r 

β − αp = kiαi . 

Se concluye que , conocida una solución del sistema, basta resolver el correspondiente 

sistema homogéneo, ya que todas las soluciones del sistema original son de la forma 

β = solución particular + una solución del sistema homogéneo . 

i=1 

⎞ 

⎟ 

⎠

54 CAPÍTULO 2. RELACIONES DE DEPENDENCIA LINEAL

Capítulo 3 

Álgebra de matrices 

Definición 3.1 Sean A = (aij), B = (bij) matrices de m × n. A y B se dicen iguales 

si 

aij = bij 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n 

Dos matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales. 

Definición 3.2 Sean A = (aij), B = (bij) matrices de m × n. Llamaremos matriz 

suma de A y B a la matriz de m × n 

A + B = (aij + bij) 

Es trivial que la operación suma de matrices tiene las siguientes propiedades: 

i.- A + B = B + A 

ii.- A + (B + C) = (A + B) + C 

iii.- Existe una única matriz de m × n, la matriz 0 = (0ij) donde 0ij = 0 para todo 

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, tal que A + 0 = A para toda matriz A de m × n. 

iv.- Dada una matriz A = (aij) de m × n, existe una única matriz de m × n 

tal que A + (−A) = 0. 

−A = (−aij) 

Definición 3.3 Sea A = (aij) matriz de m × n, k un número arbitrario. Llamaremos 

matriz producto de A por el número k a 

kA = (kaij) 

Es trivial que la operación multiplicación de una matriz por un número k tiene las 

siguientes propiedades: 

i.- 1 · A = A 

ii.- k1(k2A) = (k1k2)A 

iii.- k(A1 + A2) = kA1 + kA2 

iv.- (k1 + k2)A = k1A + k2A 

55

56 CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA DE MATRICES 

3.1. Producto de matrices 

Definición 3.4 Sea A = (aij) matriz de m×n, B = (bij) matriz de n×q. Llamaremos 

matriz producto de A y B a la matriz de m × q 

donde cij = 

AB = (cij) 

n 

aikbkj 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ q. 

k=1 

Ejemplo: Sea A = 

⎛ 

⎝ a11 a12 

a21 a22 

a31 a32 

AB = 

⎞ 

⎠, B = 

⎛ 

b11 

b21 

⎝ a11b11 + a12b21 

a21b11 + a22b21 

a31b11 + a32b21 

 

. Entonces 

Nota: De la definición se ve que en general el producto de matrices no es conmutativo, 

pues el número de filas y columnas de la matriz producto cambia si se altera el orden 

de los factores, salvo si se multiplican matrices cuadradas del mismo orden. Pero aún 

cuando A y B sean ambas de n × n el producto en general no es conmutativo, por 

ejemplo, si 

A = 

1 2 

0 1 

 

, B = 

1 2 

1 1 

 

⇒ AB = 

⎞ 

⎠ . 

3 4 

1 1 

 

, BA = 

La operación multiplicación de matrices tiene las siguientes propiedades: 

1 4 

1 3 

i.- Si k es un número, A una matriz de m × n, B matriz de n × q, entonces 

(kA)B = A(kB) = kAB 

ii.- Si A es una matriz de m × n, B y C son matrices de n × q, entonces 

A(B + C) = AB + AC 

y si B y C son matrices de m × n y A es matriz de n × q, entonces 

(B + C)A = BA + CA . 

iii.- El producto de matrices es asociativo. Sean A = (aij) de m × n, B = (bij) de 

n × q, C = (cij) de q × r, entonces 

 

q 

 

q 

 

n 

 

(AB)C = 

= 

k=1 

n 

l=1 

(AB)ikckj 

ail 

q 

k=1 

blkckj 

= 

 

= 

k=1 

n 

l=1 

l=1 

ailblk 

ail(BC)lj 

ckj 

 

= A(BC)

3.1. PRODUCTO DE MATRICES 57 

Teorema 3.5 Sean A y B matrices de n × n. Entonces det AB = det A det B. 

Demostración: Sea A = (aij), B = (bij). Sea ∆ el determinante auxiliar de 2n × 2n 

 

 

a11 a12 

· · · a1n 0 0 · · · 0 

 

a21 a22 

· · · a2n 0 0 · · · 0 

 

 

. 

. 

. . 

. 

.. . 

. 

. . 

. 

.. . 

 

. 

 

an1 an2 

∆ = 

· · · ann 0 0 · · · 0 

 

 

−1 0 · · · 0 b11 b12 · · · b1n 

 

 

0 −1 · · · 0 b21 b22 · · · b2n 

 

 

 

. . . 

. . .. 

. . . . 

. . . .. 

. 

. 

 

0 0 · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn 

 

Aplicando el desarrollo de Laplace por menores de n × n de las n primeras filas y n 

primeras columnas se tiene que ∆ = det A det B. 

Llamemos Ci a la i-ésima columna de ∆, 1 ≤ i ≤ 2n. En ∆ hagamos las siguientes 

transformaciones: a la columna (n + 1) sumemos 

La columna (n + 1) de ∆ queda así: 

Luego a la columna n + 2 sumamos 

b11C1 + b21C2 + · · · + bn1Cn 

n 

k=1 

n 

k=1 

n 

k=1 

a1kbk1 

a2kbk1 

. 

ankbk1 

0 

0 

. 

. 

0 

b12C1 + b22C2 + · · · + bn2Cn


La columna n + 2 de ∆ queda así: 

n 

k=1 

n 

k=1 

n 

k=1 

a1kbk2 

a2kbk2 

. 

ankbk2 

Después de n etapas se tiene 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 

a21 

. 

. 

an1 

−1 

0 

. 

. 

0 

a12 

a22 

. 

. 

an2 

0 

−1 

. 

. 

0 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

a1n 

a2n 

. 

. 

ann 

0 

0 

. 

. 

−1 

n 

a1kbk1 

k=1 

n 

a2kbk1 

k=1 

. 

. 

n 

ankbk1 

k=1 

0 

0 

. 

. 

0 

n 

a1kbk2 

k=1 

n 

a2kbk2 

k=1 

. 

. 

n 

ankbk2 

k=1 

0 

0 

. 

. 

0 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

n 

k=1 

n 

k=1 

n 

k=1 

. 

. 

0 

0 

. 

. 

0 

0 

0 

. 

0 

a1kbkn 

a2kbkn 

ankbkn 

donde los elementos cij que están en las filas 1,2,. . . , n y las columnas n + 1, n + 2, 

. . . , 2n son de la forma 

cij = 

n 

aikbkj 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n 

k=1 

esto es, ellos son los elementos de la matriz AB. Desarrollando ∆ por Laplace pero 

ahora por los menores de n × n de las últimas filas se tiene 

Pero 

∆ = (−1) n+1+n+2+···+n+n+1+2+···+n (−1) n det AB 

(n + 1 + n + 2 + · · · + n + n + 1 + 2 + · · · + n) + n = n 2 n(n + 1) 

+ 2 + n = 2n 

2 

2 + 2n 

es par luego ∆ = det AB y también ∆ = det A det B. 

Definición 3.6 Sea A matriz de n × n. Diremos que A es singular si det A = 0.

3.2. MATRICES INVERSAS 59 

Del teorema se deduce que si A es singular o B es singular entonces AB es singular. 

Recordemos que el símbolo δij (delta de Kronecker) se define como δij = 0 si i = j y 

δii = 1. 

Llamaremos matriz identidad de n × n a la matriz I de n × n tal que I = (δij). Si A 

es cualquier matriz de n × n y A = (aij) entonces 

 

n 

 

AI = 

= (aij) = A , 

análogamente IA = A. 

k=1 

aikδkj 

Nótese que I es única. Si hubiese otra matriz I ′ de n × n tal que AI ′ = I ′ A = A ∀ A 

entonces 

Nótese que det I = 1. 

3.2. Matrices inversas 

I = II ′ = I ′ I 

I ′ = II ′ = I ′ I 

Resolvamos ahora el siguiente problema: dada una matriz A de n × n buscamos una 

matriz B de n × n tal que AB = BA = I. 

Puesto que det AB = det A det B = 1, para que B pueda existir A debe ser no singular. 

Nota: Recordemos que la matriz traspuesta de A = (aij) es la matriz A t = (bij) 

donde bij = aji. 

Definición 3.7 Sea A = (aij) matriz de n × n. Llamaremos matriz adjunta de A a 

la matriz de n × n A∗ = (bij), donde bij = Aji, esto es, el elemento que está en la 

intersección d ela fila i y la columna j de A∗ es el adjunto del elemento correspondiente 

de At A ∗ ⎛ 

⎞ 

A11 A21 · · · An1 

⎜ A12 A22 ⎜ 

· · · An2 ⎟ 

= (Aji) = ⎜ . . 

⎝ 

. 

. . .. 

. ⎟ 

. ⎠ 

A1n A2n · · · Ann 

⎛ 

1 

Ejemplo: Sea A = ⎝ 2 

0 

1 

1 

0 

⎞ 

⎠. 

0 1 2 

 

 

A11 = 1 0 

 

1 2 = 2 A12 

 

 

= − 2 

0 

 

0 

 

2 = −4 A13 

 

 

A21 = − 0 1 

 

1 2 

 

 

= 2 1 

 

0 1 = 2 

= 1 A22 

 

 

= 1 

0 

 

1 

 

2 = 2 A23 

 

 

A31 = 0 1 

 

1 0 

 

 

= − 1 0 

 

0 1 = −1 

= −1 A32 

 

 

= − 1 

2 

 

1 

 

0 = 2 A33 

 

 

= 1 0 

 

2 1 = 1


Entonces 

Nótese que 

AA ∗ = 

A ∗ A = 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

1 0 1 

2 1 0 

0 1 2 

⎛ 

A ∗ = ⎝ 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 

2 1 −1 

−4 2 2 

2 −1 1 

2 1 −1 

−4 2 2 

2 −1 1 

2 1 −1 

−4 2 2 

2 −1 1 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 

Sea A no singular, sea d = det A, entonces 

AA ∗ 

n 

= 

Si i = j, 

mente, 

k=1 

n 

aikAik = d, si i = j, 

k=1 

aik(A ∗ )kj 

1 0 1 

2 1 0 

0 1 2 

 

= 

⎞ 

⎠ 

n 

k=1 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

aikAjk 

4 0 0 

0 4 0 

0 0 4 

4 0 0 

0 4 0 

0 0 4 

n 

aijAjk = 0, luego AA∗ = (dδij) = dI. Análoga- 

k=1 

A ∗ A = 

n 

Akiakj 

k=1 

Se tiene que det AA∗ = dn luego det A∗ = dn−1 , si A es no singular, A∗ también es no 

singular. 

 

= dI 

Sea B = 1 

d A∗ , entonces AB = BA = I. Diremos que B es una matriz inversa de A. 

Sea B ′ otra matriz inversa de A, entonces AB ′ = B ′ A = I luego (B ′ A)B = B y 

B ′ (AB) = B ′ , entonces B ′ = B. Se concluye que una matriz no singular A tiene una 

inversa única. La designaremos por A −1 y A −1 = ( 1 

d Aji) donde Aji es el adjunto de aji. 

3.3. Representación matricial de un sistema de ecuaciones 

Sea A = (aij) la matriz de s×n de los coeficientes de un sistema lineal de s ecuaciones 

con n incógnitas, sea 

⎛ ⎞ 

⎜ 

X = ⎜ 

⎝ 

la matriz de n × 1 de las incógnitas, sea 

⎛ 

⎜ 

B = ⎜ 

⎝ 

x1 

x2 

. 

xn 

b1 

b2 

. 

. 

bs 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠

3.4. RANGO DE UN PRODUCTO DE MATRICES 61 

la matriz de s × 1 de los términos libres. Aprovechando las definiciones de producto 

de matrices e igualdad de matrices podemos escribr matricialmente el sistema como 

AX = B. 

Supongamos que s = n y A es no singular, entonces X = A−1B. Puesto que si d = 0, de 

la regla de Cramer sabemos que la solución X es única, dicho resultado debe coincidir 

con aquel entregado por la regla de Cramer. En efecto, 

 

X = (xi1) = (xi) = A −1 B = (A −1 B)i1 

= 

n 

k=1 

(A −1 )ikBk1 

 

= 

n 

k=1 

1 

d Akibk1 

 

3.4. Rango de un producto de matrices 

= 1 

 

n 

 

bkAki = ( 

d 

k=1 

di 

d ) 

Sea A = (aij) matriz de m×n, B = (bij) matriz de n×p. Sea C = AB matriz de m×p. 

Teorema 3.8 rango C ≤ rango A, rango C ≤ rango B. 

Demostración: Si rango de B = 0 (B es la matriz cero) entonces AB = 0 y 

rango C = 0, el teorema se cumple. 

Si rango B = p (todas las columnas son l.i.), como el rango de C no puede exceder el 

número de columnas de C se tiene rango C ≤ rango B. 

Sea rango B = r, 0 < r < p. Para simplificar la notación en la demostración supongamos 

que las r primeras columnas de B son l.i. Consideremos la columna k, k > r; hay 

α1, α2, . . . , αr tales que 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

esto es, 

⎜ 

⎝ 

Puesto que cik = 

cik = 

esto es ⎛ 

n 

b1k 

b2k 

. 

. 

bnk 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ = α1 ⎜ 

⎠ ⎝ 

bjk = 

b11 

b21 

. 

. 

bn1 

r 

s=1 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + α2 ⎜ 

⎠ ⎝ 

αsbjs 

n 

aijbjk se tiene que 

j=1 

aij 

j=1 s=1 

⎜ 

⎝ 

c1k 

c2k 

. 

. 

cmk 

r 

αsbjs = 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ = α1 ⎜ 

⎠ ⎝ 

⎛ 

r 

⎝αs 

s=1 

c11 

c21 

. 

. 

cm1 

⎞ 

n 

j=1 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + α2 ⎜ 

⎠ ⎝ 

b12 

b22 

. 

. 

bn2 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + · · · + αr ⎜ 

⎠ ⎝ 

j = 1, 2, . . . , n . 

aijbjs 

⎛ 

c12 

c22 

. 

. 

cm2 

⎞ 

⎠ = 

⎞ 

n 

s=1 

αscis 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ + · · · + αr ⎜ 

⎠ ⎝ 

b1r 

b2r 

. 

. 

bnr 

⎟ 

⎠ 

1 ≤ i ≤ m , 

c1r 

c2r 

. 

. 

cmr 

⎞ 

⎟ 

⎠


luego en C la columna k, k > r, es combinación lineal de las r primeras columnas, se 

concluye que el rango de C es menor o igual que r. 

Nota: (AB) t = (αij) donde 

luego (AB) t = B t A t . 

αij = (AB)ji = 

n 

ajkbki = 

k=1 

n 

k=1 

(B t )ik(A t )kj 

Entonces C t = B t A t luego rango C t ≤ rango A t pero rango C t = rango C, rango A t = 

rango A luego rango C ≤ rango A. 

Corolario 3.9 Sea A matriz de m × n, B matriz no singular de n × n, D matriz no 

singular de m × m. Entonces rango AB = rango A y rango DA = rango A. 

Demostración: rango AB ≤ rango A, pero A = A(BB −1 ) = (AB)B −1 luego rango A ≤ 

rango AB. Análogamente para D. 

El rango se preserva bajo multiplicación por una matriz no singular. 

Nota: En la demostración del teorema no es necesario recurrir a la matriz traspuesta. 

n 

De la definición del producto de matrices se tiene que cik = aijbjk, i = 1, 2, . . . , n. 

Por otra parte 

n 

j=1 

bjk 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a1j 

a2j 

. 

amj 

⎛ 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

n 

j=1 

n 

j=1 

n 

j=1 

bjka1j 

bjka2j 

. 

bjkamj 

⎞ 

⎟ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ = ⎜ 

⎟ ⎝ 

⎟ 

⎠ 

Luego, en general, al post - multiplicar una matriz A por una matriz B las columnas de 

AB son combinaciones lineales de las columnas de A. Se tiene entonces que el sistema 

de columns de C se expresa linealmente mediante el sistema de columnas de A, por 

teorema previo, rango C ≤ rango A. 

Por otra parte, sea i fijo, entonces cij = 

n 

 

n 

aik(bk1, bk2, . . . , bkp) = 

k=1 

k=1 

aikbk1, 

j=1 

c1k 

c2k 

. 

cmk 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

n 

aikbkj, 1 ≤ i ≤ n. Consideremos 

k=1 

n 

n 

aikbk2, · · · , 

k=1 

k=1 

aikbkp 

 

= (ci1, ci2, . . . , cip) 

Luego, en general, al pre - multiplicar una matriz B por una matriz A las filas de 

AB son combinaciones lineales de las filas de B, el sistema de filas de C se expresa 

linealmente mediante el sistema de filas de B luego rango AB ≤ rango B.

Capítulo 4 

Vectores en R n 

4.1. Propiedades 

Con el fin de estudiar los sistemas lineales de ecuaciones introdujimos una estructura 

algebraica auxiliar a la cual designamos por R n . Por el momento nos olvidaremos de 

las operaciones de suma y multiplicación por un número y focalizaremos nuestro interés 

en el “conjunto” R n a cuyos elementos llamaremos “puntos”. 

Sean P = (x1, x2, . . . , xn), Q = (y1, y2, . . . , yn) puntos de R n , llamaremos recta por P 

y Q al siguiente conjunto de puntos de R n : 

{(z1, z2, . . . , zn) : zi = xi + λ(yi − xi), i = 1, 2, . . . , n , −∞ < λ < ∞} 

Llamaremos segmento P Q a la totalidad de los puntos de la recta por P y Q para los 

cuales 0 ≤ λ ≤ 1. 

Los puntos P y Q del segmento P Q se llaman los puntos extremos del segmento. El 

segmento P Q se dice dirigido si a uno de los puntos extremos P , Q lo llamamos punto 

inicial y al otro, punto final. Si el punto inicial es P el segmento dirigido se designa 

por −→ 

−→ 

P Q, si el punto inicial es Q se designa por QP . A los segmentos dirigidos los 

llamaremos vectores en Rn , a las n diferencias yi − xi, i = 1, 2, . . . , n, las llamaremos 

las componentes del vector −→ 

P Q. Según esta definición xi − yi, i = 1, 2, . . . , n, son las 

componentes del vector −→ 

QP . Dos vectores se dicen iguales si y sólo si sus componentes 

correspondientes son iguales. De acuerdo a esta definición de igualdad de vectores, 

dos vectores que difieren tanto en su punto inicial como en su punto final pueden ser 

iguales, pero una vez elegido arbitrariamente el punto inicial P = (x1, x2, . . . , xn), si 

a1, a2, . . . , an son las componentes del vector, su punto final Q = (y1, y2, . . . , yn) 

queda únicamente determinado por las ecuaciones 

yi = xi + ai 

i = 1, 2, . . . , n 

Si un vector tiene componentes a1, a2, . . . , an lo designaremos por {a1, a2, . . . , an} ≡ a. 

La expresión {0, 0, . . . , 0}, la cual no recibe significado de las definiciones anteriores se 

llama vector nulo y se designa por 0. 

63

64 CAPÍTULO 4. VECTORES EN RN 

Sean a = {a1, a2, . . . , an}, b = {b1, b2, . . . , bn} dos vectores, queremos definir la “suma” 

de ellos, la cual se designará por a + b: 

Elijamos arbitrariamente el punto inicial P de a, sea Q su punto final. Elegimos como 

punto inicial de b a Q, sea R su punto final. Llamaremos vector suma de a y b al vector −→ 

P R cuyo punto inicial es P y cuyo punto final es R. Entonces −→ −→ −→ 

P Q+ QR = P R. 

Sea P = (x1, x2, . . . , xn) entonces Q = (y1, y2, . . . , yn) está dado por 

yi = xi + ai 

y R = (z1, z2, . . . , zn) está dado por 

zi = yi + bi 

i = 1, 2, . . . , n 

i = 1, 2, . . . , n . 

Entonces zi = xi + ai + bi luego −→ 

P R es el vector cuyas componentes son a1 + b1, a2 + 

b2, . . . , an + bn. Así se tiene que 

{a1, a2, . . . , an} + {b1, b2, . . . , bn} = {a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn} 

Es claro que la suma es conmutativa, asociativa, tiene una identidad única que es el 

vector nulo y cada vector tiene un único inverso aditivo. 

Definimos el producto del vector a = {a1, a2, . . . , an} por el número real λ como el 

vector 

λa ≡ aλ = {λa1, λa2, · · · , λan}, 

operación que tiene las siguientes propiedades: 

i.- 1 · a = a 

ii.- λ(µa) = λµa 

iii.- λ(a + b) = λa + λ b 

iv.- (λ + µ)a = λa + µa 

También se tiene que 

λa = 0 ⇒ λ = 0 ó a = 0 

Sean a = {a1, a2, . . . , an}, b = {b1, b2, . . . , bn}. Al número real 

producto escalar de a y b, lo designaremos por a · b. 

Es claro que 

a · b = b · a 

λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb) 

a · ( b + c) = a · b + a · c 

n 

aibi lo llamaremos 

i=1

4.2. SUBESPACIOS DE VECTORES EN R N 65 

y que a · b = 0 no implica necesariamente a = 0 ó b = 0. Si a · b = 0 decimos que a y b 

son mutuamente ortogonales. 

Diremos que los p vectores a1,a2, . . . ,ap son l.d. si hay reales no todos nulos λ1, λ2, 

. . . , λp tales que 

p 

λiai = 0 , 

i=1 

esto es, si existe una combinación lineal no trivial de ellos que es igual al vector nulo. 

En caso contrario diremos que son l.i. Las propiedades de la relación de dependencia 

o independencia lineal entre vectores son análogas a las definidas en R n por lo tanto 

no insistiremos en enunciarlas o demostralas, simplemente las usaremos. 

Notación: Llamaremos V al conjunto de los vectores en R n premunido de las operaciones 

de suma y multiplicación por un número. 

A los vectores e1 = {1, 0, . . . , 0}, e2 = {0, 1, . . . , 0}, . . . , en = {0, 0, . . . , 1} los llamaremos 

la base estándar de V . Ellos son claramente l.i. 

4.2. Subespacios de vectores en R n 

Definición 4.1 Sea L ⊂ V , L = ∅. Diremos que L es un subespacio de V si 

i.- cada que a ∈ L y λ es un número real arbitrario entonces λa ∈ L. 

ii.- cada que a, b ∈ L (a y b no necesariamente distintos) entonces a + b ∈ L. 

Nota: Si L es un subespacio, 0 ∈ L. 

Sean a1, a2, . . . , ap vectores en V . Sea 

L = {a : a = 

p 

λiai, λi ∈ R i = 1, 2, . . . , p} , 

i=1 

esto es, el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores a1, a2, . . . , ap. 

Es claro que L es un subespacio de V . Si H es otro subespacio de V tal que a1,a2, . . . ,ap ∈ 

n 

H entonces λiai ∈ H luego L ⊂ H. Se concluye que L es el subespacio más pequeño 

i=1 

que contiene a los vectores a1, a2, a3, . . . , ap. Diremos que L es el subespacio generado 

por los vectores a1, a2, . . . , ap. 

Teorema 4.2 (Teorema de reemplazo de Steinitz) Sean a1, a2, . . . , ap vectores 

arbitrarios en V , sea L el subespacio generado por ellos. Sean b1, b2, . . . , bq q vectores 

l.i. en L. Entonces hay un cierto subconjunto de q vectores del conjunto a1, a2, . . . , ap 

tal que el conjunto de los vectores restantes unido al conjunto b1, b2, . . . , bq también 

genera a L.


Demostración: Demostraremos el teorema por inducción. Si ningún vector b1, b2, . . . , bq se ha dado, o sea q = 0, el teorema es cierto. Supongamos que q > 0 y que 

el teorema ha sido demostrado para los primeros q − 1 vectores bi. Supongamos que 

numeramos los vectores a1, a2, . . . , ap de manera tal que los vectores reemplazados 

son a1, a2, . . . , aq−1, esto es, de modo tal que L sea generado por b1, b2, . . . , bq−1, aq, 

. . . , ap. Como bq ∈ L 

q−1 

bq = λi p 

bi + λiai 

i=1 

donde λq, λq+1, . . . , λp no pueden ser todos nulos. Supongamos que λq = 0, entonces 

aq = 1 

bq − 1 q−1 

λi bi − 1 

λq 

λq 

i=1 

p 

λq 

i=q+1 

i=q 

λiai = 1 

Sea c ∈ L arbitrario, por la hipótesis de inducción 

q−1 

c = µi p 

bi + µiai , 

sustituyendo aq se tiene 

q−1 

c = (µi − µq 

i=1 

λi 

λq 

i=1 

i=q 

) bi + µqbq 

+ 

λq 

λq 

q−1 

bq − 

λi 

λq 

i=1 

p 

(µi − µq 

i=q+1 

Esto demuestra que b1, b2, . . . , bq, aq+1, . . . , ap generan a L. 

λi 

λq 

bi − 

)ai . 

p 

λi 

λq 

i=q+1 

Nota: Sean b1, b2, . . . , bq, q > p, vectores arbitrarios en L. Si ellos fuesen l.i. podríamos 

aplicar el teorema anterior y reemplazar a1, a2, . . . , ap por b1, b2, . . . , bp de 

modo que b1, b2, . . . , bp generan a L y por lo tanto bp+1, . . . , bq son combinaciones 

lineales de ellos, lo cual es contradicción. 

Se concluye que en L un conjunto l.i. de vectores no puede tener más de p vectores y 

por lo tanto se tiene que en V “cualquier conjunto de más de p combinaciones lineales 

de p vectores dados es siempre l.d.” 

Si a = {a1, a2, . . . , an}, a = 

n 

aiei. Se tiene que V es generado por el conjunto l.i. 

i=1 

e1, e2, . . . , en. Aplicando la observación anterior tomando a e1, e2, . . . , en como los 

vectores dados, p = n, concluímos que cualquier conjunto de más de n vectores en V 

es l.d.; un conjunto l.i. de vectores en V puede contener a lo más n vectores. 

Esta observación permite dar la siguiente 

Definición 4.3 Sea L un subespacio cualquiera de V , supongamos que en L hay p 

vectores l.i., 0 ≤ p ≤ n, y que cualquier conjunto de más de p vectores en L es l.d. 

Diremos que L tiene dimensión p. Si p = 0 entonces L = {0}. 

Supongamos que L tiene dimensión p > 0, sean a1, a2, . . . , ap vectores l.i. en L. Si 

b ∈ L, el conjunto a1, a2, . . . , ap, b es l.d., hay λ1, λ2, . . . , λp, λp+1 no todos nulos 

tales que 

p 

λiai + λp+1 b = 0 . 

i=1 

ai


Si λp+1 = 0 obtenemos una contradicción, luego λp+1 = 0 y b es una combinación 

lineal de a1, a2, . . . , ap; cualquier conjunto l.i. de p vectores en L genera a L. 

Si L tiene dimensión p, diremos que cualquier conjunto l.i. de p vectores en L es una 

base de L. 

Sea a1, a2, . . . , ap una base de L, sea b ∈ L arbitrario, supongamos que b puede 

representarse de dos maneras distintas como combinación lineal de los vectores a1, a2, 

. . . , ap, esto es, 

n 

n 

b = λiai = µiai , 

i=1 

entonces λi = µi, i = 1, 2, . . . , n (los vectores a1, a2, . . . , ap son l.i.). Cada b ∈ L tiene 

una única representación en términos de una base. 

Teorema 4.4 Sea L el subespacio generado por los vectores a1, a2, . . . , aq. La dimensión 

de L es igual al número máximo de vectores l.i. que hay entre los vectores a1, 

a2, . . . , aq. 

Demostración: Sea p dicho número máximo, supongamos que los vectores dados han 

sido ordenados de modo que los p primeros son l.i. Entonces el conjunto de vectores 

a1, a2, . . . , ap, ap+k, con 1 ≤ k ≤ q − p, es l.d. luego ap+k es una combinación lineal 

de a1, a2, . . . , ap 

Sea b ∈ L, entonces b = 

ap+k = 

p 

i=1 

i=1 

λ (k) 

i ai ; k = 1, 2, . . . , q − p (4.1) 

q 

µiai, reemplazando ap+1, ap+2, . . . , aq por sus expresiones 

i=1 

(4.1) vemos que b es una combinación lineal de a1, a2, . . . , ap. 

Entonces L es subconjunto del subespacio generado por a1, a2, . . . , ap y es trivial que 

el subespacio generado por a1, a2, . . . , ap es subconjunto de L luego ambos son iguales 

y la dimensión de L es p. 

Nota: Sea L un subespacio en V . Sea L ∗ otro subespacio de V contenido en L, supongamos 

que la dimensión de L es p y que la dimensión de L ∗ es igual a la de L. 

Entonces si a1, a2, . . . , ap es una base de L ∗ , también lo es de L luego el conjunto de 

las combinaciones lineales de a1, a2, . . . , ap es igual a L ∗ y a L, entonces L ∗ = L. 

Luego si L ∗ está propiamente contenido en L, necesariamente la dimensión de L ∗ es 

menor que la de L. 

Teorema 4.5 Sea L un subespacio de dimensión p, sean b1, b2, . . . , bk un conjunto 

arbitrario de vectores l.i. en L, k ≤ p. Entonces b1, b2, . . . , bk puede ser extendido a 

una base de L agregando de manera ordenada p − k vectores ak+1, ak+2, . . . , ap (de 

modo que b1, b2, . . . , bk, ak+1, . . . , ap sea un conjunto l.i.). 

Demostración: Sea a1, a2, . . . , ap una base de L. Por el teorema de Steinitz (podemos 

suponer los a1, a2, . . . , ap adecuadamente ordenados) podemos reemplazar a1, a2, . . . ,


ak por b1, b2, . . . , bk de modo que el conjunto b1, b2, . . . , bk, ak+1, . . . , ap también 

genera a L. Pero dim L = p luego, por el teorema anterior, b1, b2, . . . , bk, ak+1, . . . , 

ap es l.i. 

Nota: Dados dos subespacios L1, L2, L1 ∩ L2 es siempre no vacío puesto que 0 ∈ 

L1 ∩ L2. Es claro que si a ∈ L1 ∩ L2, λa ∈ L1 y λa ∈ L2 luego λa ∈ L1 ∩ L2 y si 

a, b ∈ L1 ∩ L2, a + b ∈ L1 y a + b ∈ L2 luego a + b ∈ L1 ∩ L2. Concluímos que la 

intersección de dos subespacios es un subespacio. 

Definición 4.6 Sean L1, L2 subespacios de V . Llamaremos suma de L1 y L2 a 

Claramente 0 = 0 + 0 luego L = ∅. 

L = {c : c = a + b, a ∈ L1, b ∈ L2} 

Si c ∈ L, hay a ∈ L1, b ∈ L2 tales que c = a + b. Pero λa ∈ L1, λ b ∈ L2, y por 

definición λc = λa + λ b ∈ L. 

Análogamente, si c1 y c2 ∈ L, hay a1,a2 ∈ L1, y b1, b2 ∈ L2 tales que c1 = a1 + b1, 

c2 = a2 + b2, entonces 

c1 + c2 = (a1 + a2) + ( b1 + b2) , 

a1 + a2 ∈ L1, b1 + b2 ∈ L2 luego c1 + c2 ∈ L. 

Se concluye que L es un subespacio en V llamado el subespacio suma de L1 y L2, y se 

denota por L = L1 + L2. 

Teorema 4.7 Sean L1 y L2 subespacios de V , dim L1 = p1, dim L2 = p2. Sea D = 

L1 ∩ L2, dim D = d. Sea S = L1 + L2, dim S = s. Entonces p1 + p2 = d + s. 

Demostración: Sea a1, a2, . . . , ad una base de D. Extendemos esta base a una base 

de L1 agregando vectores b1, b2, . . . , bq donde q = p1 − d, y también la extendemos a 

una base de L2 agregando c1, c2, . . . , cr donde r = p2 − d. 

Si a1 ∈ L1 entonces 

y si a2 ∈ L2 entonces 

a1 = 

a2 = 

d 

λiai + 

i=1 

d 

ρiai + 

i=1 

q 

i=1 

µi bi 

r 

σici 

Puesto que todo vector de S es de la forma a1 + a2, todo vector de S es una combinación 

lineal del conjunto de vectores a1, a2, . . . , ad, b1, b2, . . . , bq, c1, c2, . . . , cr. 

Queremos demostrar que esta colección es l.i. Supongamos que 

d 

αiai + 

i=1 

q 

βi bi + 

i=1 

i=1 

r 

γici = 0 

i=1


Entonces 

r 

γici = 

i=1 

r 

γici ∈ L1 y como 

i=1 

r 

γici ∈ L2 se tiene que 

i=1 

r 

γici ∈ D y por lo tanto 

d 

δiai. Por construcción la colección a1, a2, . . . , ad, c1, c2, . . . , cr es l.i. 

i=1 

luego γi = 0, i = 1, 2, . . . , r y δi = 0, i = 1, 2, . . . , d y por lo tanto 

d 

αiai + 

i=1 

q 

βi bi = 0 

i=1 

Por idénticas razones αi = 0, i = 1, 2, . . . , d y βi = 0, i = 1, 2, . . . , q. Se concluye que la 

colección a1, a2, . . . , ad, b1, b2, . . . , bq, c1, c2, . . . , cr es l.i. y genera a S, por definición 

i=1 

dim S = s = d + q + r = d + p1 − d + p2 − d . 

Nota: Es claro que para cada natural n hay un R n y por lo tanto un V . Para n = 2, 

V es lo que llamamos “los vectores geométricos en el plano” y para n = 3, V es lo 

que llamamos “los vectores geométricos en el espacio”. De ahora en adelante a V lo 

designaremos por V n . 

Ejemplo: En V 4 sean 

a1 = {3, −1, 1, 2} 

a2 = {4, −1, −2, 3} 

a3 = {10, −3, 0, 7} 

a4 = {−1, 1, −7, 0} 

Sea L1 el subespacio generado por a1, a2, a3, a4. Sean 

b1 = {2, −4, −3, 7} 

b2 = {5, 2, 2, −1} 

Sea L2 el subespacio generado por b1, b2. Encontrar las dimensiones de L1, L2, L1∩L2, 

L1 + L2. 

Consideremos el sistema de vectores a1, a2, a3, a4 y supongamos que αa1 + βa2 + 

γa3 + δa4 = 0, entonces 

Sea 

3α + 4β + 10γ − δ = 0 

−α − β − 3γ + δ = 0 

α − 2β − 7δ = 0 

2α + 3β + 7γ = 0 

A = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

3 4 10 −1 

−1 −1 −3 1 

1 −2 0 −7 

2 3 7 0 

⎞ 

⎟ 

⎠


la matriz del sistema. Puesto que la cuarta fila es suma de las dos primeras ella tiene 

el mismo rango que 

⎛ 

⎜ 

A1 = ⎜ 

⎝ 

3 

−1 

1 

4 

−1 

−2 

10 

−3 

0 

−1 

1 

−7 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 0 0 0 

la cual tiene el mismo rango que 

⎛ 

A2 = 

⎜ 

⎝ 

0 1 1 2 

−1 −1 −3 1 

0 −3 −3 −6 

0 0 0 0 

 

 

la cual tiene rango 2, luego rango A = 2 y como 

 

columnas de A son l.i. 

3 

−1 

4 

−1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

 

 

= 0 las dos primeras 

Se concluye que a1, a2 es un sistema linealmente independiente maximal de la colección 

a1, a2, a3, a4, dim L1 = 2. 

Supongamos que α b1 + βb2 = 0 

2α + 5β = 0 

−4α + 2β = 0 

−3α + 2β = 0 

7α − β = 0 

Sumando las tres últimas se tiene que necesariamente β = 0 luego el sistema tiene sólo 

la solución trivial, dim L2 = 2. 

Todo vector de L1 es de la forma αa1 +βa2, todo vector de L2 es de la forma γ b1 +δ b2. 

Se concluye que S = L1 + L2 es el subespacio generado por a1, a2, b1, b2. Supongamos 

que 

αa1 + βa2 + γ b1 + δ b2 = 0 

La matriz del sistema es 

A = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 


⎛ 

A1 = 

⎜ 

⎝ 


⎛ 

A2 = 

⎜ 

⎝ 

3 4 2 5 

−1 −1 −4 2 

1 −2 −3 2 

2 3 7 −1 

0 1 −10 11 

−1 −1 −4 2 

0 −3 −7 4 

0 1 −1 3 

1 1 4 −2 

0 1 −10 11 

0 −3 −7 4 

0 1 −1 3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠

4.3. VARIEDADES LINEALES 71 

y esta a su vez el mismo rango que 

⎛ 

y que 

y que 

A3 = 

A4 = 

A5 = 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

y trabajando por columnas 

⎛ 

1 

⎜ 

A6 = ⎜ 0 

⎝ 0 

1 

1 

0 

2 

1 

0 

−2 

11 

1 

0 0 1 1 

El determinante de A7 es 

 

 

 

det A7 = 

 

 

1 1 4 −2 

0 1 −10 11 

0 0 −37 37 

0 0 9 −8 

1 1 4 −2 

0 1 −10 11 

0 0 −1 1 

0 0 9 −8 

1 1 4 −2 

0 1 −10 11 

0 0 −1 1 

0 0 0 1 

⎞ 

⎟ 

⎠ , A7 = 

1 1 11 

0 1 1 

0 0 1 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1 1 

0 1 

luego rango A = 4 luego la dimensión de S es igual a 4. 

1 1 2 −2 

0 1 1 11 

0 0 1 1 

0 0 0 1 

 

 

 

= 1 

Se concluye que como dim L1 + dim L2 = dim L1 ∩ L2 + dim L1 + L2 entonces la 

dimensión de L1 ∩ L2 es 0. 

4.3. Variedades lineales 

Habíamos definido la recta por los puntos P = (x1, x2, . . . , xn), Q = (y1, y2, . . . , yn) de 

R n como el conjunto de los puntos (z1, z2, . . . , zn) ∈ R n tales que 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

zi = xi + λ(yi − xi) i = 1, 2, . . . , n , −∞ < λ < ∞ . 

Sea a = −→ 

P Q = {y1 − x1, y2 − x2, . . . , yn − xn}, entonces a ∈ V n . Llamaremos R = 

(z1, z2, . . . , zn). De la definición de recta y de la definición de igualdad de vectores 

tenemos que 

−→ 

P R = λ −→ 

P Q. 

Como para cada valor de λ obtenemos un punto R de la recta, obtenemos el punto R 

correspondiente al valor λ “copiando” al vector λ −→ 

P Q con punto inicial P . Pero la totalidad 

de los vectores λa es un subespacio de L de V n de dimensión 1, luego podemos 

pensar la recta como la totalidad de los puntos R obtenidos de “copiar” o “aplicar” el


subespacio L a partir de P . Es motiva la siguiente definición: 

Llamaremos variedad lineal de dimensión p a la totalidad de los puntos R ∈ R n 

obtenidos de “copiar” los vectores de un subespacio L de V n a partir de un punto fijo 

P ∈ R n . Decimos que los puntos R de la variedad se obtienen “aplicando” el subespacio 

L en P . En otras palabras, los puntos R de la variedad son los extremos finales de 

los vectores de L representados como segmentos dirigidos cuyo punto inicial es P . 

Ejemplo: Sea L un subespacio de dimensión 2 de V 3 , donde interpretamos R 3 como 

el espacio físico ordinario. Sea a, b una base de L, sea P un punto fijo del espacio. 

Copiamos a y b con punto inicial P , sean Q y R sus puntos finales respectivamente. 

Como a y b son l.i., P , Q, R determinan un plano Π en el espacio. Afirmamos que 

la variedad lineal de dimensión 2 obtenida de aplicar L en P es el plano Π del espa- 

cio físico ordinario. En efecto, el punto S obtenido de aplicar λa en P está en Π y 

Q 

S Z 

análogamente el punto T obtenido de aplicar 

µ 

P T R 

b en P también está en Π. Puesto que un 

vector arbitrario de L es de la forma λa + µ b, sea Z el punto obtenido de aplicar λa + µ b en 

P . Por definición de suma de vectores, para 

obtener λa + µ b copiamos arbitrariamente λa 

a partir de P y luego copiamos λb a partir de 

S (o podemos aplicar µ b en P y luego λa en 

T ), es claro que Z ∈ Π. A la inversa, dado Z ∈ Π, trazando paralelas por Z a a y b podemos encontrar S y T (o sea λ y µ) luego todo punto Z ∈ Π puede ser encontrado 

por este método. 

Nota: Una variedad lineal de dimensión 0 se obtiene aplicando L = {0} en P , o 

sea es simplemente un punto. Una variedad lineal de dimensión 1 es una recta, una 

variedad lineal de dimensión 2 es un plano, una variedad lineal de dimensión n − 1 es 

un hiperplano. Todos los puntos de una variedad lineal son equivalentes en el siguiente 

sentido: si tomamos otro punto Q de la variedad y aplicamos L en Q obtenemos la 

misma variedad, en efecto, sea Q otro punto de la variedad, sea Z un punto arbitrario 

de ella. Entonces hay z ∈ L tal que z = −→ 

P Z. También hay q ∈ L tal que q = −→ 

P Q. Pero 

−→ 

P Q + −→ 

QZ = −→ 

P Z luego q + −→ 

QZ = z, −→ 

QZ = z − q. Pero z − q ∈ L luego Z se obtiene 

aplicando z − q en Q. 

Nota: En R n consideremos el punto O = (0, 0, . . . , 0). Si P = (x1, x2, . . . , xn) es otro 

punto cualquiera de R n , podemos obtener P aplicando el vector {x1, x2, . . . , xn} de 

V n en O. Como V n es un subespacio de sí mismo, podemos concluir que R n es una 

variedad lineal de dimensión n. 

Sea M la variedad lineal obtenida aplicando el subespacio L de dimensión p > 0. Sea 

P0 ∈ M, sea a1, a2, . . . , ap una base de L. Sea P ∈ M, entonces −−→ 

P0P ∈ L y hay 

números reales y1, y2, . . . , yp tales que 

−−→ 

P0P = 

p 

yiai . 

i=1 

Es claro que como −−→ 

P0P tiene una única expresión en la base a1, a2, . . . , ap, el juego 

de números reales y1, y2, . . . , yp es único.


Definición 4.8 Diremos que el punto P0 y la base a1, a2, . . . , ap de L constituyen un 

sistema afín de coordenadas en M cuyo origen es P0 y tal que las direcciones de los 

ejes coordenados están dadas por a1, a2, . . . , ap. Lo anotaremos por (P0,a1,a2, . . . ,ap). 

Diremos que el juego de números y1, y2, . . . , yp son las coordenadas del punto P ∈ M 

con respecto al sistema de coordenadas (P0,a1,a2, . . . ,ap). 

Es así como cada punto P ∈ M puede ser representado por una p-tupla (y1, y2, . . . , yp) 

de números reales y es claro que dado el sistema de coordenadas la correspondencia 

entre puntos de M y p-tuplas es 1-1. Sin embargo, si cambiamos P0, o la base de L 

o ambos, el mismo punto P ∈ M está representado por otra p-tupla de números reales. 

Teorema 4.9 Sean P0, P1, . . . , Pp puntos en R n tales que ellos no están todos en 

ninguna variedad lineal de dimensión menor que p. Entonces existe una única variedad 

lineal M de dimensión p que los contiene. 

Demostración: Sean Pk = (x (k) 

1 

, x(k) 2 , . . . , x(k) n ), k = 0, 1, . . . , p, tales que no están 

todos en ninguna variedad lineal de dimensión menor que p. Sean αk = −−→ 

P0P , k = 

1, 2, . . . , p. Si ellos fuesen l.d. el subespacio L generado por ellos tendría dimensión 

menor que p. Al aplicar L en P0 obtendríamos una variedad lineal M de dimensión 

menor que p que los contiene a todos, luego ellos son l.i. y por lo tanto el subespacio 

L generado por ellos tiene dimensión p. 

Al aplicar L en P0 obtenemos una variedad lineal M de dimensión p que contiene a 

P0, P1, . . . , Pp. Sea M ′ otra variedad lineal de dimensión p que los contiene a todos. 

Entonces ella se obtiene aplicando un cierto subespacio L ′ de dimensión p en cualquiera 

de sus puntos, por ejemplo P0. Se concluye que α1, α2, . . . , αk pertenecen a L ′ , como 

ellos son l.i. y dim L ′ = dim L = p entonces L = L ′ y por lo tanto M = M ′ . 

Diremos que M es la variedad lineal determinada por los p + 1 puntos P0, P1, . . . , Pp. 

Sea P = (x1, x2, . . . , xn) un punto arbitrario de ella. Entonces 

luego 

−−→ 

P0P = 

p 

k=1 

αk = {x (k) 

1 

λkαk = {x1 − x (0) 

1 , x2 − x (0) 

2 , . . . , xn − x (0) 

n } y 

− x(0) 1 , x(k) 2 

{x1 − x (0) 

1 , x2 − x (0) 

2 , . . . , xn − x (0) 

n } = 

− x(0) 2 , . . . , x(k) n − x (0) 

n } k = 1, 2, . . . , p 

= 

p 

k=1 

p 

k=1 

λk{x (k) 

1 

λk(x (k) 

1 

− x(0) 1 , x(k) 2 

− x(0) 

1 

Aplicando la definición de igualdad de vectores se tiene que 

xi − x (0) 

i 

= 

xi = 

p 

k=1 

p 

k=1 

λk(x (k) 

i 

λkx (k) 

i 

), . . . , 

− x(0) 2 , . . . , x(k) n − x (0) 

n } 

p 

k=1 

− x(0) i ) i = 1, 2, . . . , n 

+ x(0) i 

 

1 − 

p 

k=1 

λk 

 

λk(x (k) 

n − x (0) 

n )


Llamamos λ0 = 1 − 

n 

λk entonces 

k=1 

xi = 

p 

k=0 

p 

λk = 1 y 

k=0 

Si P ∈ M, existen números reales λ0, λ1, . . . , λp tales que 

λkx (k) 

i i = 1, 2, . . . , n (4.2) 

p 

λk = 1 y las coordenadas 

de P pueden ser representadas en la forma (4.2). Como la expresión del vector −−→ 

P0P 

en la base α1, α2, . . . , αp es única, el juego λ0, λ1, . . . , λp es único. 

A la inversa, dados λ0, λ1, . . . , λp tales que 

k=0 

p 

λk = 1, entonces el punto P cuyas 

coordenadas están dadas por (4.2) está en la variedad M porque el punto determinado 

por 

p −−→ 

P0P = λkαk 

está en M. 

k=0 

Se concluye que los puntos de M están determinados por (4.2) de modo que a cada 

p 

juego de números λ0, λ1, . . . , λp tales que λk = 1 le corresponde exactamente un 

punto de M. 

Nota: Sean M y M ′ dos variedades lineales en R n , sean L y L ′ subespacios que las 

generan. Sea D = M ∩M ′ . Si D = ∅, sea P0 ∈ D. Si D = {P0} entonces necesariamente 

L ∩ L ′ = {0}. Supongamos que α ∈ L ∩ L ′ y α = 0, entonces α ∈ L y el punto P tal 

que −−→ 

P0P = α está en M, por razón análoga está en M ′ luego P ∈ D. A la inversa, 

supongamos que D tiene más de un punto, sea P ∈ D, −−→ 

P0P ∈ L ∩ L ′ luego el punto P 

se obtiene aplicando un vector de L ∩ L ′ en P0. Entonces D = M ∩ M ′ es la variedad 

lineal obtenida aplicando el subespacio L∩L ′ en un punto cualquiera de la intersección. 

Definición 4.10 Sean M y M ′ dos variedades lineales, sean L y L ′ dos subespacios 

que las generan. Diremos que M y M ′ son mutuamente paralelas si L ⊂ L ′ o bien 

L ′ ⊂ L. 

Teorema 4.11 Sean M y M ′ variedades lineales mutuamente paralelas. Entonces M∩ 

M ′ = ∅ o bien M ⊂ M ′ o M ′ ⊂ M. 

Demostración: Supongamos que M ∩M ′ = ∅, sea L ⊂ L ′ , entonces L∩L ′ = L luego 

M ∩ M ′ es la variedad lineal obtenida aplicando L en un punto de la intersección. 

Como todos los puntos de M son equivalentes, M ∩ M ′ = M luego M ⊂ M ′ . 

Ejemplo: Demuestre que tres vectores en V 3 son l.d. si y sólo si ellos son paralelos 

a un mismo plano. 

k=0 

k=0


Sean α, β, γ ∈ V 3 , sea M un plano en R3 generado por el subespacio L de dimensión 

dos aplicado en un punto P0 ∈ R3 . Diremos que α es paralelo al plano M si para algún 

P ∈ M se tiene −−→ 

P0P = α. Supongamos que α, β, γ son paralelos a M. Entonces hay 

P, Q, R ∈ M tales que α = −−→ 

P0P , β = −−→ 

P0Q, γ = −−→ 

P0R. Si α, β, γ son l.i. entonces M 

tiene dimensión tres, luego α, β, γ son l.d. 

Sean α, β, γ vectores en V 3 , sean ellos l.d. Entonces hay λ, µ, ν no todos nulos tales 

que 

λα + µ β + νγ = 0 . 

Supongamos que λ = 0 entonces α = − µ 

λ β − ν 

λ γ. 

Caso 1: Si γ = λ β, sea P0 ∈ R3 arbitrario. Sea P ∈ R3 tal que −−→ 

P0P = β. Sea Q 

tal que −−→ 

P0P , −−→ 

P0Q son l.i. Entonces P0, P , Q determinan un plano M. Sea R tal que 

−−→ 

P0R = λ β. R está en M, entonces β, γ son paralelos a M. Por otro lado α es de la 

forma α = ηβ, en forma análoga a γ, también α es paralelo a M. 

Caso 2: Si β y γ son l.i., sea P0 ∈ R 3 arbitrario, sea L el subespacio generado por β y 

γ. Sea M el plano obtenido de aplicar L en P0. Como α es combinación lineal de β y 

γ, α ∈ L, luego α, β, γ son paralelos a M. 

Ejemplo: Sea M una variedad lineal en R n , sean P , Q puntos de M. Demuestre que 

la recta por P y Q está contenida en M. A la inversa, sea M tal que si R y S pertenecen 

a M, la recta por R y S está contenida en M. Demuestre que M es una variedad lineal. 

Sea P = (x1, x2, . . . , xn), sea Q = (y1, y2, . . . , yn), sea L el subespacio que genera a M. 

Un punto R está sobre la recta si y sólo si −→ 

P R = λ −→ 

P Q para algún λ. Supongamos que 

M se genera aplicando L en M, por hipótesis −→ 

−→ 

P Q ∈ L luego λP Q ∈ L, por definición, 

R ∈ M. 

A la inversa, sea M ⊂ Rn con esta propiedad, sea P0 ∈ M. Sea L el conjunto de los 

vectores de V n tales que de su aplicación en P0 se obtienen puntos en M, esto es, 

L = {α ∈ V n : α = −−→ 

P0P , P ∈ M} 

L es no vacío pues 0 = −−−→ 

P0P0 ∈ L. Sea α ∈ L, sea λ un número cualquiera. Sea P ∈ M 

tal que α = −−→ 

P0P . El punto que resulta de aplicar λα en P0 está en la recta por P0 y 

P , luego por hipótesis está en M. Por lo tanto λα ∈ L. 

Sean α, β ∈ L, sean P, Q ∈ M tales que α = −−→ 

P0P , β = −−→ 

P0Q. Sea γ = λα + µ β una 

combinación lineal de ellos dos. Si α, β son l.d., γ puede expresarse como combinación 

lineal de sólo uno de ellos y ya se demostró que en tal caso γ está en L. Supongamos 

entonces que son l.i. Consideremos dos casos. 

Caso 1: Si γ es de la forma γ = λ(α − β) sea R el punto dado por −−→ 

P0R = − −−→ 

P0Q. 

Puesto que R está en la recta por Q y por P0, R está en M. Sea S el punto dado 

por −→ 

P S = 1−→ 

2P 

R, punto que está en la recta por P y R y que por lo tanto está en M. 

Finalmente sea T tal que −−→ 

P0T = 2λ −−→ 

P0S. T está en la recta que une P0 con S luego 

está en M, y además 

−−→ 

P0T = 2λ( −−→ 

P0P + −→ 

P S) = 2λ( 1−−→ 

P0P + 

2 

1 

2 (−−→ P0P + −→ 

P R)) = λ(α + −−→ 

P0R) = λ(α − β) = γ


luego γ ∈ L. 

Caso 2: El caso λ + µ = 0 es el caso anterior, luego supongamos que λ + µ = 0. Sea R 

un punto en la recta que une a P con Q dado por 

−→ 

P R = µ −→ 

P Q . 

λ + µ 

Sea S en la recta por P0 y R dado por −−→ 

P0S = (λ + µ) −−→ 

P0R. S ∈ M y 

luego γ ∈ L. 

−−→ 

P0S = (λ + µ) −−→ 

P0P + µ 

λ + µ (−−→ P P0 + −−→ 

P0Q) 

= (λ + µ)α − µα + µβ 

= λα + µ β = γ 

Por lo tanto, L es un subespacio de V n y M es una variedad lineal de R n . 

Ejemplo: Sea M una variedad lineal en R n de dimensión menor que n, sea P0 un 

punto fuera de M. Sea N el conjunto de los puntos de R n que están sobre alguna recta 

que une un punto de M con P0. ‘? Es N una variedad lineal? 

Sea p = dim M, p < n. Si p = 0 M consiste de un solo punto y por lo tanto N es la 

recta que une ese punto con P0, luego N es una variedad lineal. 

No obstante N deja de ser una variedad lineal si p > 0. Supongamos que N es una 

variedad lineal, sea L el subespacio que genera a M, L ′ el subespacio que genera a 

N. Sea R0 un punto arbitrario de M, podemos pensar en M como la variedad que 

resulta de aplicar L en R0. Como p > 0 es posible encontrar un punto R ∈ M, tal que 

R = R0. Hay entonces un vector β ∈ L tal que β = −−→ 

R0R. Claramente M ⊂ N luego 

α = −−−→ 

P0R0 y −−→ 

P0R = α + β están en L ′ . Sea S un punto en M dado por −−→ 

R0S = − β, y 

sea T dado por 

−−→ 

P0T = − −−→ 

P0S = −( −−−→ 

P0R0 + −−→ 

R0S) = −α + β 

T está en la recta que pasa por P0 y S luego T ∈ N, entonces −α + β ∈ L ′ . Como 

α + β está también en L ′ se tiene que 2 β ∈ L ′ , esto es, el punto Q dado por −−→ 

P0Q = 2 β 

está en N. Luego Q está en la recta que une a P con un punto Z ∈ M y como R0 = R 

necesariamente β = 0, por lo tanto, para algún real λ se tiene que −−→ 

P0Z = λ −−→ 

P0Q. Pero 

en tal caso se tiene que 

−−−→ 

R0P0 = −−→ 

R0Z + −−→ 

ZP0 = −−→ 

R0Z − 2λβ ∈ L 

luego P0 ∈ M y esto no puede ser. 

Sea N ′ el conjunto que resulta de unir N con la variedad lineal que resulta de aplicar 

L en P0. N ′ , a diferencia de N, sí es una variedad lineal. En efecto, sea α1, α2, . . . , αp 

una base de L, sea α0 = −−−→ 

P0R0. Por hipótesis α0 /∈ L luego α0, α1, α2, . . . , αp son l.i. 

Si Q ∈ N hay R ∈ M tal que Q está sobre la recta que une P0 con R y por lo tanto, 

para algún real λ se tiene que −−→ 

P0Q = λ −−→ 

P0R. Pero −−−→ 

P0R0 + −−→ 

R0R = −−→ 

P0R. Como 

p 

 

p 

 

−−→ 

−−→ 

R0R = aiαi , P0Q = λ α0 + aiαi 

i=1 

i=1


luego −−→ 

P0Q = 

p 

biαi. Sea L ′ el subespacio de dimensión p + 1 generado por α0, α1, 

i=0 

α2, . . . , αp. Entonces Q se obtiene aplicando un vector de L ′ en P0. 

A la inversa, sea β = 

p 

biαi un vector cualquiera de L ′ , apliquemos β en P0 y sea 

i=0 

Q ∈ Rn tal que β = −−→ 

P0Q. Consideremos la recta por P0 y Q. Sea R un punto arbitrario 

de dicha recta, entonces −−→ 

P0R = λ β = −−−→ 

P0R0 + −−→ 

R0R luego 

−−→ 

R0R = 

p 

λbiαi − α0 = (λb0 − 1)α0 + 

i=0 

p 

λbiαi . 

Si b0 = 0, β ∈ L, luego Q está en la variedad que resulta de copiar L en P0 y por lo 

tanto está en N ′ . Si b0 = 0, para λ = 1 se tiene que R ∈ M luego Q ∈ N. 

b0 

Ejemplo: Sea M una variedad lineal en Rn de dimensión menor que n, sea P0 un 

punto fuera de M, sea λ un real fijo. Sea N ⊂ Rn tal que S ∈ N si y sólo si hay 

Q ∈ M tal que −−→ 

P0S = λ −−→ 

P0Q. ¿Es N una variedad lineal? 

Si λ = 0 N consiste en el punto P0 y por ende es una variedad lineal. Supongamos 

entonces que λ = 0. 

Sea S0 un punto fijo de N, S un punto arbitrario de n. Sean Q0, Q ∈ M tales que 

−−→ 

P0S0 = λ −−−→ 

P0Q0, −−→ 

P0S = λ −−→ 

P0Q. Sea L el subespacio que genera a M. Entonces 

−−→ 

P0S − −−→ 

P0S0 = λ( −−→ 

P0Q − −−−→ 

P0Q0) 


S0S = λ −−→ 

Q0Q. Pero −−→ 

Q0Q ∈ L luego S se obtiene aplicando un vector de L en S0. 

A la inversa, sea α ∈ L, queremos demostrar que al aplicar α en S0 obtenemos un 

punto S ∈ N. En efecto, si Q es el punto que resulta de copiar 1 

λ α en Q0 (punto que 

está en M) tenemos que 


P0S = λ −−→ 

P0Q y S ∈ N. 

i=1 

λ −−→ 

P0Q = λ( −−−→ 

P0Q0 + −−→ 

Q0Q) = −−→ 

P0S0 + α 

Entonces N es una variedad lineal paralela a M obtenida de aplicar L en S0. 

Ejemplo: Sean L1 y L2 rectas distintas en R n . Sean P y Q puntos arbitrarios de L1 

y L2 respectivamente. Sea L la recta por P y Q. Considere la unión M de todas las 

rectas L (consideradas como conjuntos de puntos en R n ). ¿Es M una variedad lineal? 

Caso 1: L1 ∩ L2 = ∅. Sea α la dirección de L1 y β la dirección de L2. Supongamos que 

hay más de un punto en la intersección, por ejemplo O1 y O2. Entonces hay λ1, λ2, 

µ1 y µ2 tales que 

−−−→ 

P0O1 = λ1α −−−→ 

P0O2 = λ2α −−−→ 

O1O2 = (λ2 − λ1)α 

−−−→ 

Q0O1 = µ1 β −−−→ 

Q0O2 = µ2 β −−−→ 

O1O2 = (µ2 − µ1) β


Pero α, β son l.i. entonces λ1 = λ2, µ1 = µ2, luego no puede haber más que un punto 

en L1 ∩ L2. 

Sea entonces O el punto de intersección de L1 y L2. Sea R ∈ M, entonces para algún 

P ∈ L1 y algún Q ∈ L2 se tiene −→ 

P R = r −→ 

P Q. Como P ∈ L1 y Q ∈ L2 hay λ y µ tales 

que −→ −→ 

OP = λα y OQ = µ β, entonces 

−→ 

OR + r −→ 

−→ 

OR = −→ −→ −→ 

OP + P R = λα + rP Q 

−→ −→ 

OP = λα + rOP + rP Q = λα + rµ β 

−→ 

OR = λα − rλα + rµ β = λ(1 − r)α + rµ β 

Sea H el subespacio generado por α y β. Entonces R se obtiene aplicando un vector 

de H en O. 

A la inversa, sea γ = λα + µ β y apliquemos γ en O. Sea R tal que −→ 

OR = γ. Si γ = 0, 

R = O y entonces R ∈ M (O pertenece a la recta que lo une con algún punto de L1 

distinto de él, considerando O como punto de L2). Si µ = 0 pero λ = 0, R mismo 

está en L1, y está en la recta que lo une con O, lo cual demuestra que R ∈ M (considerando 

O como punto de L2). 

Si µ = 0 sea P ∈ L1, P = O, y tal que −→ 

OP = λα. Hay λp tal que −→ 

OP = λpα. Si Z es 

un punto arbitrario de la recta que pasa por P y R se tiene que 

−→ 

OZ = −→ −→ −→ 

OP + P Z = λα + tP R = λα + t(γ − λpα) = λα + t[λα + µ β − λpα] 

Z ∈ L2 si y solo si λ + t(λ − λp) = 0 luego hay un único Z0 en la recta por P y R que 

está sobre L2. Se concluye que R está sobre la recta por P y Z0, esto es, R ∈ M. Por 

lo tanto, M es la variedad lineal obtenida aplicando H en O. 

Caso 2: L1 y L2 son paralelas, α = β. Sean O1 ∈ L1, O2 ∈ L2 puntos fijos de L1 y L2 

respectivamente. Sea γ = −−−→ 

O1O2, sea P ∈ L1, Q ∈ L2, sea R un punto cualquiera de la 

recta por P y Q. Entonces −→ 

P R = r −→ −−→ 

P Q. Además O1P = λα y −−→ 

O2Q = µα para algún 

par de valores de λ y µ. Entonces γ + µα = λα + −→ −→ 

P Q luego P Q = γ + (µ − λ)α y como 

−−→ 

O1P + −→ 

P R = −−→ 

O1R se tiene que λα + r −→ −−→ 

P Q = O1R, 

−−→ 

O1R = λα + r{γ + (µ − λ)α} , 

si H es el subespacio generado por α y γ, R se obtiene aplicando un vector de H en O1. 

Análogamente al primer caso, al aplicar un vector γ ∈ H en O1 obtenemos un punto 

de M. M es la variedad lineal obtenida de aplicar H en O1. 

Caso 3: L1 y L2 se cruzan. Si M fuese una variedad de dimensión dos, ella es un 

plano que contiene a L1 y L2. Entonces L1 y L2 serían coplanares y no paralelos luego 

tendrían un punto común, así que M no puede ser una variedad de dimensión dos. Sea 

α la dirección de L1, β la de L2. Sea O1 ∈ L1, sea O2 ∈ L2, sea γ = −−−→ 

O1O2. Entonces α, 

β, γ son l.i. Sea H el subespacio generado por α, β, γ. Si copiamos H a partir de O1 

generamos una variedad lineal M ′ y podemos verificar tal como en el segundo caso que 

M ⊂ M ′ . Pero los puntos que están sobre un plano por L1 y paralelo a L2 claramente 

están en M ′ pero no en M luego M = M ′ . Pero cualquier variedad de dimensión tres

4.4. SUBESPACIOS DE SOLUCIONES 79 

que contenga a M debe tener un subespacio generador que contenga a α, β y γ luego 

ella necesariamente debe ser M ′ . Si M ⊂ M ′ y M = M ′ ella no puede tener dimensión 

tres. Es obvio que M no puede tener dimensión mayor que tres porque M ⊂ M ′ . Se 

concluye que M no es una variedad lineal. 

4.4. Subespacios de soluciones 

Consideremos un sistema homogéneo de s ecuaciones lineales con n incógnitas, sea r el 

rango de la matriz del sistema. Entonces sus soluciones constituyen un subespacio de 

V n . Puesto que hay n − r soluciones fundamentales ellas son una base del subespacio 

el cual tiene entonces dimensión n − r. 

Puesto que las soluciones de un sistema no homogéneo se obtienen sumando a una 

solución dada del sistema todas las soluciones del correspondiente sistema homogéneo, 

podemos reeinterpretar este resultado en lenguaje geométrico de la siguiente manera: 

Sea (x1, x2, . . . , xn) una solución del sistema no homogéneo. La interpretaremos como 

un punto P ∈ Rn . Sea α = {y1, y2, . . . , yn} una solución del correspondiente sistema 

homogéneo, sabemos que hay Q ∈ Rn tal que α = −→ 

n P Q. Si O ∈ R está dado por 

O = (0, 0, . . . , 0) entonces −→ 

OP = {x1, x2, . . . , xn} es una solución vectorial del sistema. 

Pero 

−→ 

OP + −→ −→ 

P Q = OQ = {x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn} , 

luego el punto Q = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) es una solución del sistema no 

homogéneo. Se concluye lo siguiente: 

Sea L el subespacio de soluciones del correspondiente sistema homogéneo, sea M ⊂ R n 

formado por todas las soluciones del sistema no homogéneo. Si P ∈ M, aplicando un 

vector α ∈ L en P obtenemos un punto Q ∈ M. 

A la inversa, sea Q = (z1, z2, . . . , zn) ∈ M, si β = {z1, z2, . . . , zn}, α = {x1, x2, . . . , xn} 

entonces 

β − α = {z1 − x1, z2 − x2, . . . , zn − xn} ∈ L . 

Pero α + ( β − α) = −→ 

OQ y β −→ 

− α = P Q luego el punto Q ∈ M se obtiene aplicando 

β − α en P . 

M es la variedad lineal de dimensión n − r obtenida aplicando L en una solución 

P ∈ R n arbitraria del sistema no homogéneo. 

Teorema 4.12 Sea L un subespacio de V n . Entonces existe un sistema lineal homogéneo 

con n incógnitas tal que L es su espacio de soluciones. 

Demostración: Sea p = dim L. Sea αi = {ai1, ai2, . . . , ain}, i = 1, 2, . . . , p una base 

de L, sea x = {x1, x2, . . . , xn}. Considere el sistema 

αi · x = 

n 

aijxi = 0 i = 1, 2, . . . , p (4.3) 

j=1


La matriz de (4.3) tiene rango p. Sea 

Entonces 

x · 

p 

λjαj = 

j=1 

p 

λjαj ∈ L, sea x una solución de (4.3). 

j=1 

p 

λj(x · αj) = 0 , 

j=1 

si x es solución de (4.3) entonces x es ortogonal a todos los vectores de L. A la inversa, 

si x es ortogonal a todos los vectores de L, x es solución de (4.3). 

Nótese que si x1, x2 son ortogonales a L, αx1 + βx2 es ortogonal a L luego L ′ , el 

conjunto de los vectores de V n que son ortogonales a L es un subespacio de V n , que 

coincide con el espacio de soluciones de (4.3) luego dim L ′ = n − p. 

Busquemos los vectores ortogonales a L ′ . Sea βi, i = 1, 2, . . . , n − p una base de L ′ . Un 

vector y = {y1, y2, . . . , yn} es ortogonal a L ′ si y sólo si 

βi · yi = 0 i = 1, 2, . . . , n − p (4.4) 

Pero β1, β2, . . . , βn−p son en particular ortogonales a α1, α2, . . . , αp luego 

β1 · αi = 0 , β2 · αi = 0 , . . . , βn−p · αi = 0 i = 1, 2, . . . , p 

(4.4) es un sistema homogéneo cuyas soluciones son todos los vectores ortogonales a 

L ′ luego su espacio de soluciones tiene dimensión p. Como α1, α2, . . . , αp son l.i. y 

están en dicho espacio de soluciones, tal espacio de soluciones es precisamente L. 

Para resumir: Sea L un subespacio de V n de dimensión p, sea L ′ el subespacio de V n 

que consta de todos los vectores ortogonales a L. L ′ tiene dimensión n − p. Si β1, β2, 

. . . , βn−p es una base de L ′ vemos que el sistema 

βi · y = 0 i = 1, 2, . . . , n − p , y = {y1, y2, . . . , yn} 

tiene como espacio de soluciones a L. 

Teorema 4.13 Sea M una variedad lineal en R n . Entonces existe un sistema lineal 

con n incógnitas tal que el conjunto de sus soluciones es M. 

Demostración: Sea L el subespacio que genera a M, sea p = dim L. Por el teorema 

anterior, existe un sistema lineal homogéneo 

cuyo espacio de soluciones es L. 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 

. 

. 

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 

(4.5)

4.4. SUBESPACIOS DE SOLUCIONES 81 

Supongamos que M se obtiene aplicando L en P = (ξ1, ξ2, . . . , ξn). Definimos bi = 

n 

aikξk, consideremos el sistema 

k=1 

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 

. 

. 

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm 

(4.6) 

Entonces las soluciones de (4.6) se obtienen aplicando el espacio de soluciones de (4.5) 

en P . Nótese que podemos encontrar un sistema (4.5) en que m = n − p de modo que 

(4.6) tenga exactamente n − p ecuaciones.

82 CAPÍTULO 4. VECTORES EN RN

Capítulo 5 

Consideraciones sobre 

distancia y volumen en R n 

5.1. Métrica euclidiana 

Definición 5.1 Sean P = (x1, x2, . . . , xn), Q = (y1, y2, . . . , yn) puntos de R n . Llamaremos 

distancia entre P y Q a 

P Q = 

n 

i=1 

Es claro que P Q ≥ 0 y que P Q = 0 sii P = Q. 

(yi − xi) 2 

Notación: Si a R n adjuntamos esta notación de distancia, al producto obtenido lo 

llamaremos “espacio euclidiano n-dimensional”. 

Definición 5.2 Dada la recta por P y Q 

zi = xi + λ(yi − xi) i = 1, 2, . . . , n − ∞ < λ < ∞ 

llamaremos longitud del segmento P Q (0 ≤ λ ≤ 1) a la distancia entre P y Q. 

Nota: Sea α = −→ 

P Q = {y1−x1, y2−x2, . . . , yn−xn}. La longitud del segmento dirigido 

−→ 

P Q que es una representación posible de α es P Q. Esto motiva la siguiente definición: 

Definición 5.3 Sea α = {a1, a2, . . . , an} un vector de V n . Llamaremos longitud del 

vector α a 

 

n 

α = 

1 

2 

, 

α se llama la norma de α. 

Nótese que α = 0 sii sus puntos extremos coinciden, esto es, α = 0 sii α = 0. 

i=1 

83 

a 2 i 

1 

2

84 CAPÍTULO 5. DISTANCIA Y VOLUMEN EN RN 

Teorema 5.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) |α · β| ≤ α β 

Demostración: Supongamos primero que α = β = 1. Como ∀ α ∈ V n se tiene 

α 2 = α · α ≥ 0, entonces 

luego 

β − α 2 = ( β − α) · ( β − α) = β 2 − 2α · β + α 2 ≥ 0 

Hay igualdad en (5.1) sii α = β. 

α · β ≤ 1 (5.1) 

Sean α, β vectores arbitrarios distintos de 0, por (5.1) α 

α · β 

≤ 1 luego 

β 

α · β ≤ α β (5.2) 

Es claro que (5.2) es verdadera si α ó β es 0, luego (5.2) es cierto para α y β cualquiera. 

En particular es cierta para −α y β luego 

(−α) · β ≤ − α β ⇒ −(α · β) ≤ α β 

Si α y β son tales que |α · β| = α 

 

α 

β entonces 

α 

· β 

 

 

 

= 1. Si 

β 

entonces 

α 

α = β 

, si 

β 

igualdad sii α = ± α 

β. 

β 

α 

α · β 

β 

= −1, (−α) 

α · β 

β 

α 

α · β 

β 

= 1 

α 

= 1 y − 

α = β 

. Hay 

β 

Teorema 5.5 (Desigualdad triangular) Sean P , Q, R tres puntos cualesquiera en 

el espacio euclidiano R n . Entonces 

P R ≤ P Q + QR 

Demostración: Sean −→ 

P Q = α, −→ 

QR = β, entonces −→ 

P R = −→ 

P Q + −→ 

QR luego 

P R 2 = α + β 2 = (α + β) · (α + β) = α 2 + 2α · β + β 2 

≤ α 2 + 2α β + β 2 = (α + β) 2 

⇒ P R ≤ α + β = P Q + QR 

Nota: Hemos demostrado más que eso, si α, β ∈ V n entonces 

¿Cuándo se produce igualdad? 

α + β ≤ α + β 

Supongamos que Q pertenece al segmento P R. Sea P = (x1, x2, . . . , xn), R = (z1, z2, . . . , zn). 

Entonces Q = (y1, y2, . . . , yn) es tal que 

yi = xi + λ(zi − xi) i = 1, 2, . . . , n 0 ≤ λ ≤ 1

5.2. VOLÚMENES Y DETERMINANTES 85 

Pero 

zi − yi = zi − xi − (yi − xi) = (1 − λ)(zi − xi) i = 1, 2, . . . , n 

 

n 

P Q + QR = |λ| (zi − xi) 2 

1 

2 

n 

+ |1 − λ| (zi − xi) 2 

i=1 

porque 0 ≤ λ ≤ 1 entonces |λ| = λ, |1 − λ| = 1 − λ. 

i=1 

1 

2 

= P R 

A la inversa, si hay igualdad y alguno entre −→ −→ 

P Q y QR es el vector cero, entonces P = Q 

o Q = R y Q está en el segmento. Supongamos entonces que −→ 

P Q = 0 y −→ 

QR = 0. Hay 

igualdad si −→ −→ −→ −→ 

P Q · QR = P QQR luego 

luego −→ 

P Q = µ −→ 

QR, µ > 0, 

−→ 

P Q 

−→ 

−→ 

QR 

= 

P Q −→ 

QR 

yi − xi = µ(zi − yi) i = 1, 2, . . . , n 

yi = xi + µzi 

1 + µ 

i = 1, 2, . . . , n 

yi = xi + µ 

µ + 1 (zi − xi) 0 < λ = µ 

< 1 , 

µ + 1 

Q está en el interior del segmento P R. 

Definición 5.6 Sean α, β distintos de 0. Llamaremos ángulo γ entre α y β , se 

designa por γ ≡ (α, β), al ángulo γ tal que 0 ≤ γ ≤ π definido por 

cos γ = α · β 

α β . 

Nota: La desigualdad de Cauhy-Schwarz garantiza que la definición es correcta. 

Nota: Sean α, β distintos de cero. Entonces cos γ = 0 sii α · β = 0. Decimos que α y 

β son ortogonales. En R n euclideo, los vectores ei de la base estándar son mutuamente 

ortogonales. 

5.2. Volúmenes y determinantes 

F 

D 

P 

A E B 

Pero 

C 

Queremos describir el parelógramo ABCD analíticamente. 

Sea P un punto interior al paralelógramo o 

bien sobre alguno de sus lados. Por P tracemos paralelas 

a AB y AD respectivamente, sean E, F los 

puntos de intersección en AB y AD respectivamente. 

−→ 

AP = −→ 

AE + −→ −→ −→ 

EP = AE + AF 

−→ −→ 

AE = λ1AB 

0 ≤ λ1 ≤ 1 

−→ −→ 

AF = λ2AD 

0 ≤ λ2 ≤ 1


Luego −→ −→ −→ 

AP = λ1AB 

+ λ2AD, 

0 ≤ λ1, λ2 ≤ 1. 

−→ −→ 

A la inversa, si al aplicar el vector λ1AB 

+ λ2AD 

en A para llevarlo al punto O, tal 

punto P pertenece al paralelógramo si 0 ≤ λ1, λ2 ≤ 1. 

Sean α1, α2 vectores l.i. en V 2 , sea A un punto fijo en R 2 . Llamaremos paralelógramo 

al conjunto de los puntos P ∈ R 2 en los cuales es transformado el punto A al aplicar 

todos los vectores de la forma λ1α1 + λ2α2, 0 ≤ λ1, λ2 ≤ 1 en A. Diremos que α1, α2 

son los lados del paralelógramo. 

Podemos realizar una construcción análoga en R 3 : Sean α1, α2, α3 vectores l.i. en 

V 3 , sea A un punto fijo de R 3 . Llamaremos paralelepípedo al conjunto de los puntos 

P ∈ R 3 en los cuales es transformado el punto A al aplicar todos los vectores de la 

forma λ1α1 + λ2α2 + λ3α3, 0 ≤ λ1, λ2, λ3 ≤ 1 en A. Diremos que α1, α2, α3 son las 

aristas del paralelepípedo. 

Definición 5.7 Sean α1, α2, . . . , αn vectores l.i. en V n , sea A un punto fijo de Rn . 

Llamaremos paralelotopo n-dimensional al conjunto de los puntos P ∈ Rn en los 

n 

cuales es transformado el punto A al aplicar todos los vectores de la forma λiαi, 

0 ≤ λi ≤ 1, i = 1, 2, . . . , n en A. Diremos que α1, α2, . . . , αn son las aristas del 

paralelotopo. 

Nuestro objetivo es definir el volumen de un paralelotopo n-dimensional, para esto 

revisamos las propiedades esenciales que la noción tiene en dos y tres dimensiones. 

En primer lugar, debe ser invariante a traslaciones; por definición, el paralelógramo 

y el paralelepípedo son generados trasladando el punto fijo A mediante los vectores 

λ1α1 + λ2α2, λ1α1 + λ2α2 + λ3α3. Pedir que el volumen del paralelotopo sea invariante 

a traslaciones es, en otras palabras, que área y volumen deben ser independientes 

de la elección del punto A. Si elegimos otro punto, digamos B, el paralelógramo (paralelepípedo) 

resultante debe tener la misma área (volumen). Paralelógramos que tienen 

los mismos lados deben tener la misma área, paralelepípedos con las mismas aristas 

deben tener el mismo volumen. 

El volumen del paralelotopo n-dimensional debe ser solo una función de las aristas, lo 

anotaremos como V (α1, α2, . . . , αn). 

Para establecer una unidad de medida, al paralelotopo cuyas aristas son los vectores 

de la base estándar le asignaremos el volumen 1, esto es 

V (e1, e2, . . . , en) = 1 

En R n euclídeo, los vectores e1, e2, . . . , en tienen longitud uno y aristas mutuamente 

ortogonales. A un paralelotopo n-dimensional cuyas aristas tienen todas la misma longitud 

y son todas mutuamente ortogonales le llamaremos cubo n-dimensional. 

Es claro que debemos exigir V (α1, α2, . . . , αn) ≥ 0. 

Paralelógramos equivalentes (bases de igual longitud y misma altura) tienen la misma 

área, paralelelípedos equivalentes (bases de igual área y misma altura) tienen el mismo 

i=1


volumen. Veamos el significado de esto en términos de las aristas: 

D C E 

a 2 a 1 a 2 

E 

+ 

A B 

H 

a 3 

a 1+ 

a 2 

a 1 

a 1 

F 

D 

a 3 

G 

A B 

donde k = i, 1 ≤ k ≤ n. 

C 

K 

L 

ABCD y ABEC son equivalentes. Los paralelógramos 

cuyas aristas son α1, α2 y α1, 

α1 + α2 tienen la misma área. 

Los paralelepípedos ABCDEF GH y 

ABCDF KLG son equivalentes. Los paralepípedos 

cuyas aristas son α1, α2, α3 y α1, 

α2, α1 + α3 tienen el mismo volumen. 

Puesto que estas combinaciones se pueden 

hacer con cualquier par de aristas (cualquier 

cara puede ser elegida como base) probaremos 

lo siguiente: 

V (α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) = V (α1, α2, . . . , αi + αk, . . . , αn) 

Si en un paralelotopo de aristas α1, α2, . . . , αn reemplazamos la arista αi, 1 ≤ i ≤ n 

por αi + αk, 1 ≤ k ≤ n, k = i, el nuevo paralelotopo de aristas α1, α2, . . . , αi+αk, 

. . . , αn tiene el mismo volumen que el original. 

la2 

A 

D 

a 2 

F 

a 1 

B 

C 

E 

Consideremos los paralelógramos ABCD y ABEF de aristas 

α1, α2 y α1, λα2, λ real. 

Area ABCD 

Area ABEF 

Pedimos entonces que 

= AD 

AF 

α2 1 

= = 

λα2 |λ| 

V (α1, α2, . . . , λαi, . . . , αn) = |λ|V (α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) 

Si en un paralelotopo de aristas α1, α2, . . . , αn reemplazamos la arista αi por λαi el 

volumen queda multiplicado por |λ|. 

En resumen, definiremos el volumen de un paralelotopo n-dimensional de aristas α1, 

α2, . . . , αn como una función real V (α1, α2, . . . , αn) tal que 

i.- V (α1, α2, . . . , αn) ≥ 0 

ii.- V (α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) = V (α1, α2, . . . , αi + αk, . . . , αn) i = k 

iii.- V (α1, α2, . . . , λαi, . . . , αn) = |λ|V (α1, α2, . . . , αn) 

iv.- V (e1, e2, . . . , en) = 1 

Queremos demostrar que tal función existe y es única. Quitemos la restricción de que 

los vectores α1, α2, . . . , αn deben ser l.i. y permitamos que cualquier n-tupla de vectores 

de V n pueda ser argumento de la función V (α1, α2, . . . , αn). Con este propósito


introducimos una nueva función real D(α1, α2, . . . , αn) donde (α1, α2, . . . , αn) es una 

n-tupla de vectores de V n (no necesariamente l.i) y que satisface las propiedades siguientes: 

i.- D(α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) = D(α1, α2, . . . , αi + αk, . . . , αn) i = k 

ii.- D(α1, α2, . . . , λαi, . . . , αn) = λD(α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) 

iii.- D(e1, e2, . . . , en) = 1 

Sean αi = {ai1, ai2, . . . , ain}, i = 1, 2, . . . , n, sea A a matriz de n × n cuyas filas son los 

vectores αi. No es difícil demostrar, usando i), ii) y iii) que D(α1, α2, . . . , αn) goza de 

las mismas propiedades que las de las filas (columnas) de det A, a saber: 

i.- D(α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) = D(α1, α2, . . . , αi + λαk, . . . , αn) i = k, λ real. 

ii.- D(α1, α2, . . . , αi, . . . , αn) = D(α1, α2, . . . , αi + 

iii.- Si αi = 0, 1 ≤ i ≤ n, D(α1, α2, . . . , αn) = 0. 

iv.- Si α1, α2, . . . , αn son l.d., D(α1, α2, . . . , αn) = 0. 

n 

k=1,k=i 

λkαk, . . . , αn). 

v.- D(α1, α2, . . . , αi, . . . , αk, . . . , αn) = −D(α1, α2, . . . , αk, . . . , αi, . . . , αn). 

vi.- D( β + γ, α2, . . . , αn) = D( β, α2, . . . , αn) + D(γ, α2, . . . , αn). 

vii.- Sea αi = 

r 

β k i , i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

⇒ D(α1, α2, . . . , αn) = 

r 

ν1,...,νn=1 

D(β ν1 

1 

viii.- Si α1, α2, . . . , αn son l.i., D(α1, α2, . . . , αn) = 0. 

, βν2 

2 

, βν3 3 , . . . , βνn n ) . 

Tenemos que demostrar que existe una función que satisface las propiedades i), ii) y 

iii) y que es única. La demostración se hace por inducción y no la entregaremos porque 

excede el ámbito de estas notas. Pero lo que se obtiene esencialmente es lo siguiente: 

Si existe un función D(α1, α2, . . . , αn) que satisface i), ii), iii) ella debe tener una 

cierta forma, luego se verifica que la función de la forma obtenida satisface i), ii), iii) 

lo cual prueba la existencia de D(α1, α2, . . . , αn). Finalmente, usando vii) y viii) se 

obtiene una expresión explícita de D(α1, α2, . . . , αn) la cual coincide con la definición 

de det A. Entonces D(α1, α2, . . . , αn) = det A. A D(α1, α2, . . . , αn) la llamaremos función 

determinante. 

Esto último prueba que si H(α1, α2, . . . , αn) es otra función que satisface i), ii), iii) 

entonces ella tiene necesariamente la misma forma que D(α1, α2, . . . , αn) y como satisface 

las propiedades vii), viii), H(α1, α2, . . . , αn) = det A. 

Definamos V (α1, α2, . . . , αn) = |D(α1, α2, . . . , αn)|.


Es claro que se satisfacen las 4 propiedades que le exigimos al volumen. Queremos 

demostrar que es la única que las satisface. 

Sea la función sgn D definida por 

⎧ 

⎨ 1 si D > 0 

sgn D = 0 

⎩ 

−1 

si D = 0 

si D < 0 

Consideremos V (α1, α2, . . . , αn)sgn D(α1, α2, . . . , αn). Queremos demostrar que ella 

satisface las propiedades i), ii), iii) de la función determinante. 

Ni V (α1, α2, . . . , αn) ni sgn D(α1, α2, . . . , αn) cambian cuando se reemplaza αi por 

αi + αk luego satisface i). 

Como (sgn a)(sgn b) = sgn (ab), al reemplazar αi por λαi la función queda multiplicada 

por |λ|sgn λ = λ luego satisface ii). Es claro que satisface iii). Entonces 

Si D(α1, α2, . . . , αn) = 0, 

V (α1, α2, . . . , αn)sgn D(α1, α2, . . . , αn) = D(α1, α2, . . . , αn) 

V (α1, α2, . . . , αn)(sgn D(α1, α2, . . . , αn)) 2 = sgn D(α1, α2, . . . , αn)D(α1, α2, . . . , αn) 

= |D(α1, α2, . . . , αn)| , 

luego observe que si D = 0, (sgn D) 2 = 1. Si D(α1, α2, . . . , αn) = 0, la propiedad 

viii) de la función determinante nos permite concluir que los vectores α1, α2, . . . , 

αn son l.d., pero cualquier función que satisface las propiedades ii) y iii) de la función 

determinante es 0 si los vectores α1, α2, . . . , αn son l.d. Como V (α1, α2, . . . , αn) 

las satisface, V (α1, α2, . . . , αn) = 0 si los vectores α1, α2, . . . , αn son l.d. Entonces 

|D(α1, α2, . . . , αn)| es la única función que satisface las propiedades i), ii), iii), iv) 

exigidas al volumen. 

Definición 5.8 Definimos como volumen de un paralelotopo n-dimensional en R n 

euclídeo a 

V (α1, α2, . . . , αn) = |D(α1, α2, . . . , αn)|

90 CAPÍTULO 5. DISTANCIA Y VOLUMEN EN RN

Capítulo 6 

Sistemas de coordenadas 

Recordemos la definición (4.8). Sea M una variedad lineal, P0 un punto de M y L el 

subespacio que la genera, supongamos L tiene dimensión p > 0. Si α1, α2, . . . , αp es 

una base de L y P un punto arbitrario de M, podemos escribir (de manera única) 

−−→ 

P0P = 

p 

yiαi 

i=1 

Decimos que y1, y2, . . . , yp son las coordenadas del punto P con respecto al sistema de 

coordenadas [P0; α1, α2, . . . , αp]. Puesto que Rn es una variedad lineal n-dimensional, 

si β1, β2, . . . , βn es una base de V n y Q ∈ Rn , para cada P ∈ Rn podemos escribir 

(de manera única) 

n −→ 

QP = 

i=1 

x ∗ i βi 

Decimos que x ∗ 1, x ∗ 2, . . . , x ∗ n son las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas 

[Q; β1, β2, . . . , βn], el punto Q tiene coordenadas 0,0,. . . , 0. 

Elijamos como origen el punto O = (0, 0, . . . , 0) y como base de V n la base estándar 

e1, e2, . . . , en. Sea P = (x1, x2, . . . , xn) un punto arbitrario de R n . Entonces 

−→ 

OP = {x1 − 0, x2 − 0, . . . , xn − 0} = {x1, x2, . . . , xn} 

= x1{1, 0, . . . , 0} + x2{0, 1, . . . , 0} + · · · + xn{0, 0, . . . , 1} 

n 

= xiei . 

i=1 

Con respecto al sistema de coordenadas [O; e1, e2, . . . , en], las coordenadas de P coinciden 

con los elementos de la n-tupla (x1, x2, . . . , xn). 

Definición 6.1 Sea [Q; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas en Rn , sea α = 

{a1, a2, . . . , an} un vector de V n . Entonces α = 

n 

a ∗ i βi (en forma única). Dire- 

i=1 

mos que a∗ 1, a∗ 2, . . . , a∗ n son las componentes de α en el sistema de coordenadas 

[Q; β1, β2, . . . , βn], o bien, las componentes del vector α con respecto a la base β1, β2, 

. . . , βn. 

91

92 CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS 

Es claro que las componentes del vector α son independientes de la elección del origen 

Q. 

Notación: De ahora en adelante escribiremos P = (x1, x2, . . . , xn) sólo si x1, x2, . . . , 

xn son las coordenadas de P en [O; e1, e2, . . . , en] y escribimos α = {a1, a2, . . . , an} 

sólo si a1, a2, . . . , an son las componentes de α con respecto a la base e1, e2, . . . , en. 

Sea [Q; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas en R n , sea P ∈ R n de coordenadas 

x ∗ 1, x ∗ 2, . . . , x ∗ n, sea R ∈ R n de coordenadas y ∗ 1, y ∗ 2, . . . , y ∗ n. Entonces 

−→ 

P R = −→ −→ 

P Q + QR = − 

n 

x ∗ i βi + 

i=1 

n 

y ∗ i βi = 

i=1 

n 

i=1 

(y ∗ i − x ∗ i ) βi 

luego −→ 

P R tiene componentes (y∗ i − x∗i ), i = 1, 2, . . . , n en el sistema dado. Si α = 

n 

a ∗ i n 

βi, λα = 

, i = 1, 2, . . . , n en el 

i=1 

i=1 

sistema dado. Si β = 

(λa ∗ i ) βi luego λα tiene componentes λa ∗ i 

n 

b ∗ i βi entonces 

i=1 

α + β = 

n 

i=1 

(a ∗ i + b ∗ i ) βi , 

α + β tiene componentes a∗ i + b∗i , i = 1, 2, . . . , n en el sistema dado. 

Sean α1, α2, . . . , αn n vectores en V n , sea αi = 

(a ∗ ik) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

a ∗ ik βk, sea 

k=1 

a∗ 11 a∗ 12 · · · a∗ 1n 

a∗ 21 a∗ 22 · · · a∗ 2n 

. 

. 

. 

. 

. .. 

. 

. 

a ∗ m1 a ∗ m2 · · · a ∗ mn 

Llamamos α ∗ i = {a∗i1 , a∗i2 , . . . , a∗in }, i = 1, 2, . . . , n y supongamos que 

Entonces 

m 

λia ∗ ik = 0, k = 1, 2, . . . , n y por lo tanto 

i=1 

m 

m 

λiαi = 

i=1 

i=1 

λi 

n 

k=1 

a ∗ ik βk 

 

= 

n 

 

m 

k=1 

i=1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

λia ∗ ik 

 

βk = 0 . 

m 

λiα ∗ i = 0. 

Luego si las filas de (a ∗ ik ) son l.d. entonces α1, α2, . . . , αn son l.d. con exactamente la 

misma relación lineal. 

A la inversa, supongamos que 

n 

 

m 

k=1 

i=1 

λia ∗ ik 

 

m 

λiαi = 0, entonces 

i=1 

βk = 0 ⇒ 

i=1 

m 

λia ∗ ik = 0 k = 1, 2, . . . , n 

i=1

6.1. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 93 

luego si los vectores α1, α2, . . . , αn son l.d. las filas de (a∗ ik ) son l.d. con la misma 

relación lineal. 

Se concluye que el número de vcetores l.i. que contiene un sistema linealmente independiente 

maximal del conjunto α1, α2, . . . , αm es igual al número de vectores que 

contiene un sistema linealmente independiente maximal del conjunto de filas de la 

matriz (a∗ ik ) y es por lo tanto igual al rango de dicha matriz. 

6.1. Transformación de coordenadas 

Problema: Sean [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn], y [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] dos sistemas de coordenadas 

en R n . Sea P ∈ R n y supongamos que se conocen las coordenadas de P en el primer 

sistema. Se piden las coordenadas de P en el segundo sistema. 

Sean 

−−−→ 

Q ′ Q ′′ = 

βk = 

n 

i=1 

si βi 

n 

vikγi 

i=1 

−−−→ 

Q ′′ Q ′ = 

γk = 

n 

i=1 

n 

tiγi 

i=1 

uik βi 

k = 1, 2, . . . , n 

Sean x1, x2, . . . , xn las coordenadas de P en el primer sistema, y1, y2, . . . , yn las 

coordenadas de P en el segundo sistema. Entonces 

−−→ 

Q ′ P = 

Pero −−→ 

Q ′′ P = −−−→ 

Q ′′ Q ′ + −−→ 

Q ′ P luego 

n 

yiγi = 

i=1 

yi = ti + 

xi = si + 

n 

k=1 

n 

tiγi + 

i=1 

n 

i=1 

xi βi 

n 

xk βk = 

k=1 

−−→ 

Q ′′ P = 

n 

yiγi 

i=1 

n 

tiγi + 

i=1 

n 

 

n 

i=1 

k=1 

vikxk 

vikxk i = 1, 2, . . . , n . Análogamente, −−→ 

Q ′ P = −−−→ 

Q ′ Q ′′ + −−→ 

Q ′′ P luego 

n 

uikyk i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

(6.1) 

Decimos que (6.1) es una transformación de coordenadas del primer sistema al segundo 

o viceversa. 

Problema: ¿Cómo cambian las componentes de un vector frente a una transformación 

de coordenadas? 

Sea α ∈ V n con componentes a1, a2, . . . , an con respecto al primer sistema y componentes 

b1, b2, . . . , bn con respecto al segundo sistema. 

 

γi


Análogamente 

α = 

n 

biγi = 

i=1 

bi = 

n 

ai βi = 

i=1 

ai = 

n 

ak βk = 

k=1 

n 

 

n 

i=1 

n 

i=1 

k=1 

vikak 

n 

 

n 

i=1 

n 

k=1 

k=1 

uikbk 

n 

bkγk 

k=1 

vikak 

uikbk 

Analicemos con mayor detención las expresiones 

βk = 

γk = 

n 

vikγi 

i=1 

n 

i=1 

uik βi 

 

γi 

i = 1, 2, . . . , n 

 

βi 

i = 1, 2, . . . , n 

k = 1, 2, . . . , n 

Como β1, β2, . . . , βn son l.i., el rango de (vik) es igual a n. Como γ1, γ2, . . . , γn son 

l.i., el rango de (uik) es igual a n. Se concluye que det(vik) y det(uik) son distintos de 

cero. 

Problema: Supongamos que sólo [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] es dado y que también el sistema 

de ecuaciones 

n 

yi = ti + 

i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

vikxk 

con det(vik) = 0 es dado. Este sistema de ecuaciones le asigna a un punto P de coordenadas 

x1, x2, . . . , xn con respecto al sistema [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] una n-tupla de 

números y1, y2, . . . , yn. ¿Existe un sistema de coordenadas donde las coordenadas de 

P son precisamente y1, y2, . . . , yn ? 

Sea Vik el adjunto de vik en det(vik). Revisando la demostración de la regla de Cramer 

se obtiene que 

Llamemos 

xk = 

n 

i=1 

n 

(yi − ti)Vik 

i=1 

tiVik 

sk = − 

det(vik) 


uki = Vik 


k = 1, 2, . . . , n 

k = 1, 2, . . . , n

6.2. VARIEDADES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 95 

Obtenemos así el sistema 

xk = sk + 

Sea Q ′′ el punto tal que −−−→ 

Q ′ Q ′′ = 

n 

i=1 

ukiyi 

k = 1, 2, . . . , n 

n 

si βi y definamos γ1, γ2, . . . , γn por 

i=1 

γk = 

n 

uik βi . 

i=1 

El análisis previo nos dice que γ1, γ2, . . . , γn son l.i. entonces [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] es el 

sistema de coordenadas pedido. 

Análogamente, dada una base β1, β2, . . . , βn y el sistema de ecuaciones 

bi = 

n 

vikak i = 1, 2, . . . , n det(vik) = 0 

i=1 

podemos encontrar una segunda base γ1, γ2, . . . , γn tal que estas ecuaciones representan 

las ecuaciones de transición para las componentes de un vector al pasar de la base 

β1, β2, . . . , βn a la base γ1, γ2, . . . , γn. 

6.2. Variedades lineales y sistemas de ecuaciones 

En otro capítulo demostramos que toda variedad lineal es representable mediante un 

sistema lineal de ecuaciones en el sentido que M consiste precisamente de aquellos 

puntos que son las soluciones del sistema de ecuaciones, pero en la deducción está implícito 

que el sistema de coordenadas es [O; e1, e2, . . . , en]. ¿Cuál es la situación cuando 

el sistema de coordenadas es arbitrario? 

Sea [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas en el cual toda variedad lineal de 

dimensión p es representable por un sistema lineal de ecuaciones cuya matriz tiene 

rango n − p y tal que, a la inversa, todo sistema de esa naturaleza representa una 

variedad lineal de dimensión p. Existen sistemas de coordenadas así, [O; e1, e2, . . . , en] 

es uno. 

Supongamos que la variedad lineal M de dimensión p está dada por el sistema de 

ecuaciones 

n 

aikxk = bi i = 1, 2, . . . , m (6.2) 

k=1 

donde el rango de (aik) es n − p. 

Sea [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] otro sistema de coordenadas y supongamos que las ecuaciones 

de transición para pasar del sistema [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] al sistema [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] 

son 

xi = si + 

n 

k=1 

uikyk 

i = 1, 2, . . . , n


Llamemos 

δi = {ui1, ui2, . . . , uin} i = 1, 2, . . . , n 

y = {y1, y2, . . . , yn} 

Entonces xi = si + δi · y, sustituyendo en (6.2) se tiene 

n 

aik(sk + δk · y) = bi 

k=1 

n 

k=1 

aik δk 

 

· y = bi − 

n 

aiksk i = 1, 2, . . . , n (6.3) 

Sea P ∈ M, sean x1, x2, . . . , xn sus coordenadas con respecto a [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn], 

sean y1, y2, . . . , yn con respecto a [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn]. Por hipótesis las coordenadas 

x1, x2, . . . , xn satisfacen las ecuaciones (6.2), como xi = si + δi · y, al reemplazar las 

xi en (6.2), obtenemos que las yi satisfacen el sistema (6.3). 

A la inversa, sean y1, y2, . . . , yn las coordenadas de un punto P en Rn con respecto 

a [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] y supongamos que satisfacen (6.3). Entonces sus coordenadas x1, 

x2, . . . , xn con respecto a [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] satisfacen xi = si + δi · y, i = 1, 2, . . . , n 

n 

y por (6.3) aik(sk + δk · y) = bi luego 

k=1 

n 

k=1 

aikxk = bi 

k=1 

i = 1, 2, . . . , n 

y por lo tanto P ∈ M y (6.3) representa a M en [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn]. 

Consideremos la matriz de coeficientes del sistema (6.3), llamemos 

a sus vectores fila. 

αi = 

n 

k=1 

aik δk 

i = 1, 2, . . . , n 

Los vectores δ1, δ2, . . . , δn son l.i., luego, por un teorema previo, el número de vectores 

de cualquier subconjunto linealmente independiente maximal de α1, α2, . . . , αn 

es igual al rango de (aik) el cual es n−p, de modo que la matriz del sistema (6.3) tiene 

rango n − p. 

Nota: Todo sistema lineal de ecuaciones en las variables y1, y2, . . . , yn y con matriz 

de rango n − p representa una variedad lineal de dimensión p en cualquier sistema de 

coordenadas [Q ′′ ; γ1,γ2, . . . , γn]. Basta usar las ecuaciones 

yi = ti + 

n 

k=1 

vikxk 

i = 1, 2, . . . , n 

y el sistema transforma a un sistema en las variables x1, x2, . . . , xn con matriz de 

rango n−p y referido al sistema de coordenadas [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn] donde por hipótesis

6.3. VOLÚMENES Y SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS 97 

un tal sistema representa a una variedad lineal de dimensión p. 

Si en (6.2) hacemos bi = 0, i = 1, 2, . . . , n, entonces xi = δi · y, i = 1, 2, . . . , n y por lo 

tanto (6.3) es homogéneo; por teoremas previos se tiene entonces: 

Un subespacio de dimensión p se representa en cualquier sistema de coordenadas por 

un sistema homogéneo de ecuaciones cuya matriz tiene rango n − p; a la inversa, 

cualquier sistema lineal homogéneo cuya matriz tiene rango n − p representa a un 

subespacio de dimensión p. 

6.3. Volúmenes y sistemas de coordenadas cartesianas 

Problema: Sean α1, α2, . . . , αn n vectores cuyas componentes están dadas en el sistema 

de coordenadas [Q; β1, β2, . . . , βn]. Se pide el volumen del paralelotopo de aristas 

α1, α2, . . . , αn. 

Sean αi = {ai1, ai2, . . . , ain}, i = 1, 2, . . . , n, sean a ∗ i1 , a∗ i2 , . . . , a∗ in 

αi con respecto a la base β1, β2, . . . , βn, se tiene 

αi = 

n 

ν=1 

a ∗ iν βν 

las componentes de 

Sean vi1, vi2, . . . , vin las componentes del vector βi con respecto a la base estándar, 

se tiene 

n 

βi = {vi1, vi2, . . . , vin} = vikek 

Puesto que αi = 

luego 

n 

aikek tenemos que 

k=1 

n 

aikek = 

k=1 

n 

 

ν=1 

aik = 

a ∗ iν 

k=1 

n 

ν=1 

n 

 

vνkek = 

a ∗ iνvνk 

k=1 

n 

 

n 

k=1 

ν=1 

i, k = 1, 2, . . . , n 

a ∗ iνvνk 

esto es, la matriz (aik) resulta de multiplicar las matrices (a ∗ ik ) y (vik), luego 

det(aik) = det(a ∗ ik) det(vik) (6.4) 

donde el volumen pedido es | det(aik)|. La ecuación (6.4) dice que tal volumen puede 

ser calculado conociendo las componentes de las aristas en el sistema [Q; β1, β2, . . . , βn] 

y las expresiones de los vectores βi en la base estándar. 

Problema: ¿Cómo se comporta el producto escalar en un sistema de coordenadas 

[Q; β1, β2, . . . , βn]? 

 

ek


Sean 

a = {a1, a2, . . . , an} a = 

b = {b1, b2, . . . , bn} b = 

a · b = 

= 

n 

 

n 

aibi = 

i=1 

n 

n 

i=1 k=1 

i=1 

a ∗ i βi 

a ∗ i b ∗ k( βi · βk) 

 

· 

n 

i=1 

n 

i=1 

n 

i=1 

a ∗ i βi 

b ∗ i βi 

b ∗ k βk 

Vemos que la fórmula no es análoga a la original en que las componentes están dadas 

con respecto a la base estándar. Si βi · βk = 0 i = k, βi · βk = 1 si i = k entonces 

a · b = 

n 

i=1 

a ∗ i b ∗ i 

 

(6.5) 

Demostremos que la condición βi · βk = δik es necesaria para que se cumpla (6.5). 

Tomemos a = βi, b = βk, entonces a ∗ j = 0 si j = i, a∗ i = 1, análogamente para b∗ i , 

luego βi · βk = δik. 

Definición 6.2 Diremos que α1, α2, . . . , αp forman un sistema ortonormal de vectores 

si αi · αk = δik, i, k = 1, 2, . . . , p 

Si 

p 

λiαi = 0 entonces 

i=1 

p 

λi(αi · αk) = 0; esto nos dice que todos los λk son cero, 

i=1 

luego todo sistema ortonormal de vectores consta de vectores l.i. 

Definición 6.3 Si [Q; β1, β2, . . . , βn] es tal que β1, β2, . . . , βn es ortonormal diremos 

que [Q; β1, β2, . . . , βn] es un sistema de coordenadas cartesianas. 

Vemos que [Q; e1, e2, . . . , en] es un sistema de coordenadas cartesianas luego no hay 

problema con su existencia. 

Sean [Q ′ ; β1, β2, . . . , βn], [Q ′′ ; γ1, γ2, . . . , γn] cartesianos, sean 

βk = 

γk = 

n 

vikγi 

i=1 

n 

i=1 

uik βi 

k = 1, 2, . . . , n 

Entonces βk · γj = vjk, γk · βj = ujk, 1 ≤ j, k ≤ n. Luego si en la segunda ecuación 

intercambiamos k por j se tiene que 

vjk = ukj 

1 ≤ j, k ≤ n

6.3. VOLÚMENES Y SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS 99 

de donde 

Como γ1, γ2, . . . , γn es ortonormal 

Análogamente se tiene 

βk · βj = 

γk · γj = 

n 

i=1 

n 

i=1 

γk = 

n 

i=1 

vikvij = δkj 

vkivji = δkj 

vki βi 

k, j = 1, 2, . . . , n 

k, j = 1, 2, . . . , n 

(6.6) 

Tenemos entonces que las filas y las columnas de (vik) forman sistemas ortonormales 

de vectores. Tales matrices se dicen ortogonales. 

En 

n 

i=1 

vikvij = δkj multipliquemos por Vhj donde Vhj es el adjunto de vhj en det(vkj), 

donde h es un entero fijo entre 1 y n, luego sumamos las n ecuaciones resultantes: 

n 

 

n 

 

= 

n 

j=1 

i=1 

Como det(vik) = 0 se tiene 

i=1 

⎛ 

n n 

⎝ 

n 

i=1 

j=1 

vhk = Vhk 


vikvijVhj 

vijVhj 

⎞ 

j=1 

⎠ vik = Vhk 

(δih det(vik))vik = Vhk 

vhk det(vik) = Vhk 

δkjVhj 

Estas relaciones caracterizan a una matriz ortogonal, en efecto 

n 

vikvij = 

i=1 

n 

vkivji = 

i=1 

1 ≤ h ≤ n, 1 ≤ k ≤ n (6.7) 

n 

i=1 

n 

i=1 

vik 

vki 

Vij 

= δkj 


Vji 

= δkj 


Nótese que las relaciones (6.7) provienen exclusivamente de 

pero las relaciones 

βk · βj = 

γk · γj = 

n 

i=1 

n 

i=1 

vikvij = δkj 

vkivji = δkj


pueden ser deducidas de las relaciones (6.7), se concluye: 

Si las columnas de una matriz forman un sistema ortonormal, sus filas también forman 

un sistema ortonormal. 

Por otra parte, si las filas de una matriz forman un sistema ortonormal, las columnas 

de la traspuesta forman un sistema ortonormal y por lo tanto las filas de la traspuesta 

también, luego si las filas de una matriz forman un sistema ortonormal, sus columnas 

también forman un sistema ortonormal. 

Sea (vik) ortogonal, entonces 

(det(vik)) 2 = det(vik) det(aik) , donde (aik) = (vik) t 

= det 

n 

ν=1 

viνaνk 

 

= det 

∴ | det(vik)| = 1 

n 

ν=1 

viνvkν 

Problema: Queremos calcular el volumen de un paralelotopo cuyas aristas α1, α2, 

. . . , αn están en un sistema cartesiano [Q; β1, β2, . . . , βn]. 

Si αi = 

es 

n 

a ∗ ik βk y βi = 

k=1 

 

= 1 

n 

vikek como det(ak) = det(a∗ ik ) det(vik) el volumen pedido 

k=1 

| det(aik)| = | det(a ∗ ik)|| det(vik)| , 

como β1, β2, . . . , βn es ortonormal entonces | det(vik)| = 1 luego el volumen pedido 

es | det(a∗ ik )|. Se concluye que la fórmula para el volumen es la misma para todos los 

sistemas cartesianos. 

6.4. Deformación continua de sistemas de coordenadas 

Nota: Sabemos que si β1, β2, . . . , βn son l.i., D( β1, β2, . . . , βn) = 0. Puesto que 

D(λ β1, β2, . . . , βn) = λD( β1, β2, . . . , βn), si r es un real arbitrario distinto de cero, 

siempre existe una base β1, β2, . . . , βn donde D( β1, β2, . . . , βn) = r. En efecto, sea γ1, 

γ2, . . . , γn una base cualquiera, sea D(γ1, γ2, . . . , γn) = d = 0, 

llame β1 = r 

d γ1, βi = γi, i = 2, 3, . . . , n. 

D( r 

d γ1, γ2, . . . , γn) = r 

d D(γ1, γ2, . . . , γn) = r , 

Dividamos los sistemas de coordenadas en dos clases; aquellos para los cuales el valor 

de D( β1, β2, . . . , βn) es positivo y aquellos para los cuales D( β1, β2, . . . , βn) < 0. 

Queremos demostrar que dos sistemas de la misma clase pueden ser deformados continuamente 

el uno en el otro sin que D( β1, β2, . . . , βn) adopte el valor 0 durante el 

proceso de deformación y que esto no es posible para dos sistemas de distinta clase. 

Intuitivamente, esto significa que dos n-edros de la misma clase pueden hacerse coincidir 

mediante un cambio “suave” de sus ángulos y longitudes, piense por ejemplo en

6.4. DEFORMACIÓN CONTINUA DE SISTEMAS DE COORDENADAS 101 

dos trípodes en R 3 . Tratemos de precisar estas ideas. 

Sean β = {v1, v2, . . . , vn}, γ = {u1, u2, . . . , un}, sean fi(t), i = 1, 2, . . . , n funciones 

continuas definidas en c ≤ t ≤ d tales que fi(c) = vi, fi(d) = ui, i = 1, 2, . . . , n. 

Entonces {f1(c), f2(c), . . . , fn(c)} = β, {f1(d), f2(d), . . . , fn(d)} = γ, la función vectorial 

f(t) = {f1(t), f2(t), . . . , fn(t)} 

es una función continua de t en c ≤ t ≤ d. Decimos que el vector β es deformado 

continuamente en el vector γ. 

El intervalo [c, d] es irrelevante. Sea [c ′ , d ′ ] otro intervalo, sea 

t = (c − d)t′ + dc ′ − cd ′ 

c ′ − d ′ 

Si t ′ varía de c ′ a d ′ , t recorre (c, d) de c a d, entonces 

 

′ ′ ′ 

(c − d)t + dc − cd 

fi 

c ′ − d ′ 

, i = 1, 2, . . . , n 

definidas en [c ′ , d ′ ] son funciones gi(t) ′ tales que g(c ′ ) = β, g(d ′ ) = γ luego g(t ′ ) cumple 

con el mismo propósito de f(t). 

Sean [Q; β1, β2, . . . , βn], [Q ∗ ; γ1, γ2, . . . , γn] dos sistemas de coordenadas, sea Q = 

(x1, x2, . . . , xn), Q ∗ = (y1, y2, . . . , yn), tomemos 

fi(t) = xi + t(yi − xi) 0 ≤ t ≤ 1 , i = 1, 2, . . . , n . 

Entonces el punto Q es deformado continuamente en el punto Q ∗ a lo largo del segmento 

QQ ∗ . 

Tenemos que demostrar que el sistema de vectores β1, β2, . . . , βn puede ser deformado 

continuamente en el sistema de vectores γ1, γ2, . . . , γn de modo que la independencia 

lineal se preserve en todo momento del proceso de deformación, esto es, si 

βi = {vi1, vi2, . . . , vin}, γi = {ui1, ui2, . . . , uin}, i = 1, 2, . . . , n tenemos que encontrar 

n 2 funciones continuas fik(t) definidas en c ≤ t ≤ d tales que fik(c) = vik, fik(d) = uik 

y tales que para todo t con c ≤ t ≤ d se tiene que det(fik(t)) = 0. Esto no puede 

suceder si D( β1, β2, . . . , βn) = det(vik) y D(γ1, γ2, . . . , γn) = det(uik) tienen signos 

opuestos, puesto que det(fik(t)) es una función continua de t en c ≤ t ≤ d luego para 

al menos un t0 ∈ [c, d] debería tenerse que det(fik(t0)) = 0. Supondremos entonces 

que det(vik) y det(uik) tienen el mismo signo. Podemos elegir un representativo de 

la clase con determinante positivo, por ejemplo, e1, e2, . . . , en y un representativo 

de la clase con determinante negativo, digamos e1, e2, . . . , -en. Demostraremos que 

cada sistema en una clase puede ser deformado continuamente en su correspondiente 

representativo. Si β1, β2, . . . , βn; γ1, γ2, . . . , γn están en la clase con determinante 

positivo y ambos pueden ser deformados continuamente en e1, e2, . . . , en entonces, de 

manera análoga, podemos deformar e1, e2, . . . , en en γ1, γ2, . . . , γn y así β1, β2, . . . , 

βn puede ser deformado en γ1, γ2, . . . , γn vía e1, e2, . . . , en. Análogamente para el 

caso con determinante negativo.


Teorema 6.4 Sea β1, β2, . . . , βn un sistema de vectores tales que D( β1, β2, . . . , βn) > 

0. Entonces β1, β2, . . . , βn puede ser deformado continuamente en e1, e2, . . . , en 

sin que el determinante del sistema de vectores se anule en ninguna etapa del proceso. 

Análogamente, β1, β2, . . . , βn puede ser deformado en e1, e2, . . . , −en sólo si 

D( β1, β2, . . . , βn) < 0. 

Demostración: Para n = 1, sea β1 = {v}, det(v) = v. Si v > 0, sea f(t) = v+t(1−v), 

0 ≤ t ≤ 1; si v < 0 sea f(t) = v + t(−1 − v), 0 ≤ t ≤ 1. Para n = 1 el teorema es 

verdadero, supongamos que es verdadero para n − 1. 

Lema 6.5 β1, β2, . . . , βn puede ser deformado continuamente en β1, β2, . . . , βi, δ, 

βi+1, . . . , βn donde δ = βi+λ βk, i = k, λ real, de modo que el determinante permanece 

constante durante el proceso de deformación. 

Demostración: Sean fis(t) las n 2 funciones determinadas en 0 ≤ t ≤ λ por: 

esto es, 

fi(t) = βi + t βk, 0 ≤ t ≤ λ; fj(t) = βj, j = i, 0 ≤ t ≤ λ 

fis(t) = vis + tvks 0 ≤ t ≤ λ, s = 1, 2, . . . , n 

fjs(t) = vjs 0 ≤ t ≤ λ, s = 1, 2, . . . , n, j = i 

Dado que D( β1, β2, . . . , βn) = D( β1, β2, . . . , βi + t βk, . . . , βn) el determinante permanece 

constante. 

Lema 6.6 El sistema de vectores β1, β2, . . . , βn puede ser continuamente deformado 

sin cambio alguno en el valor del determinante, en cualquier sistema que provenga de 

él por un cambio simultáneo del signo de dos vectores, digamos, sustituyendo βi, βk 

por − βi, − βk. 

Demostración: Consideremos la operación del primer lema como una del siguiente 

tipo: 

Si j = i, j = k, βj permanece igual. 

βi se reemplaza por βi + λ βk, se anota βi ↦→ βi + λ βk. 

βk se reemplaza por βk, se anota βk ↦→ βk. 

Apliquemos en forma sucesiva esta nueva forma del primer lema: 

βi ↦→ βi + 2 βk 

βk ↦→ βk 

, luego βi + 2 βk ↦→ βi + 2 βk 

βk ↦→ − βi − βk 

, luego 

βi + 2 βk ↦→ − βi 

− βi − βk ↦→ − βi − βk

6.4. DEFORMACIÓN CONTINUA DE SISTEMAS DE COORDENADAS 103 

y por último 

− βi ↦→ − βi 

− βi − βk ↦→ − βk 

. 

Al menos un vector βi debe tener vik = 0, si no es así, det(vik) = 0. Si vnn = 0, hay βi 

con vin = 0 y por el primer lema podemos reemplazar βn por βi + βn, luego podemos 

suponer que vnn = 0. Luego β1 ↦→ β1 − v1n βn, la última componente de este vector es 

vnn 

cero. En general, hacemos βi ↦→ βi − vin βn, 1 ≤ i ≤ n − 1 entonces 

vnn 

 

 

b11 b12 

· · · b1(n−1) 0 

 

b21 b22 

· · · b2(n−1) 0 

 

 

det(vik) = . 

. 

. . 

. 

.. . 

. 

 

. 

 

 

b (n−1)1 b (n−1)2 · · · b (n−1)(n−1) 0 

 

vn1 vn2 · · · vn(n−1) vnn 

 

Apliquemos el primer lema al sistema de columnas de este último determinante: 

(i-ésima columna) ↦→ (i-ésima columna) − vni 

(n-ésima columna) 

(esto implica una deformación continua del sistema de filas de la nueva matriz las 

cuales son en realidad los nuevos vectores βi, esto es porque al deformar continuamente 

el sistema de columnas de la nueva matriz de todos modos hubo que encontrar 

n 2 funciones gik(t) que produjesen la deformación. Para interpretarlas como deformaciones 

continuas de los nuevos βi basta considerarlas en el orden adecuado). 

El nuevo determinante adopta la forma 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b11 

b21 

. 

b (n−1)1 

0 

b12 

b22 

. 

b (n−1)2 

0 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

b1(n−1) b2(n−2) . 

b (n−1)(n−1) 

0 

0 

0 

. 

0 

vnn 

 

 

 

 

 

 

= vnn 

 

 

 

 

b11 

b21 

. 

b (n−1)1 

b12 

b22 

. 

b (n−1)2 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

b1(n−1) b2(n−1) . 

b (n−1)(n−1) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

luego el determinande de (n − 1) × (n − 1), det(bik) es distinto de cero puesto que 

vnn = 0. Sea e ′ 1, e ′ 2, . . . , e ′ n−1 los vectores de la base estándar de R n−1 . Por la hipótesis 

de inducción, el sistema de filas de (bik) puede ser deformado continuamente en e ′ 1, e ′ 2, 

. . . , e ′ n−1 o bien en e ′ 1, e ′ 2, . . . , −e ′ n−1 sin que el determinante cambie de signo; det(bk) 

queda en la forma 

1 0 · · · 0 

 

0 1 · · · 0 

 

. 

. . 

. 

.. . 

 

. 

 

0 0 · · · ±1 

y por lo tanto el determinante original queda en la forma 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

. 

. 

0 

0 

0 

1 

. 

. 

0 

0 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

0 

0 

. 

. 

±1 

0 

0 

0 

. 

. 

0 

vnn 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vnn


Finalmente, si vnn > 0, transformemos vnn continuamente a 1, si vnn < 0 transformemos 

vnn continuamente a −1. Si el elemento (n − 1)(n − 1) de la matriz es +1, 

el teorema está demostrado, si es −1, aplicamos el segundo lema y el determinante 

queda en la forma 

1 

0 

. 

. 

0 

0 

0 

1 

. 

. 

0 

0 

· · · 

· · · 

. .. 

· · · 

· · · 

0 

0 

. 

. 

1 

0 

 

0 

 

0 

 

. 

. 

 

0 

 

±1 

Este determinante vale 1 si el elemento nn vale 1 y vale −1 si el elemento nn vale −1 

y esto depende de si det(vik) > 0 o bien det(vik) < 0, el teorema queda demostrado. 

6.5. Construcción de sistemas ortonormales 

Sea L un subespacio de V n , dim L = p, ¿tiene L una base ortonormal? 

Sea α1, α2, . . . , αp una base de L. Si p = 1, β1 = α1 

α1 

constituye un tal sistema. 

Supongamos que todos los subespacios de dimensión p−1 tienen una base ortonormal, 

sea L ′ el subespacio generado por α1, α2, . . . , αp−1. Por hipótesis, L ′ tiene una base 

ortonormal β1, β2, . . . , βp−1. El sistema β1, β2, . . . , βp−1, αp es l.i. luego un vector βp 

con βp = 1 y ortogonal a β1, β2, . . . , βp−1 debe ser de la forma 

n−1 

βp = λi βi + λpαp . 

i=1 

Haciendo producto punto con βi, 1 ≤ i ≤ p − 1, se obtiene 

0 = λi + λp(αp · βi) ⇒ λi = −λp(αp · βi) 1 ≤ i ≤ p − 1 

luego 

p−1 

βp = λp αp − (αp · 

i=1 

βi) 

βi . Como βp = 1 y β1, β2, . . . , βp−1, αp es l.i. 

 

 

 

podemos concluir que 

αp 

p−1 

− (αp · βi) 

 

 

βi 

= 0 y 

 

luego β1, β2, . . . , βp con 

i=1 

1 

λp = ± 

 

 

 

αp 

p−1 

− (αp · βi) 

 

 

βi 

 

i=1 

p−1 

αp − (αp · βi) βi 

i=1 

βp = ± 

 

 

 

αp 

p−1 

− (αp · βi) 

 

 

βi 

 

i=1

6.6. DISTANCIA Y VARIEDADES LINEALES 105 

es una base ortonormal de L. 

Esta fórmula proporciona un método recursivo para determinar los βi, basta tomar 

β1 = α1 

α1 entonces 

β2 = α2 − (α2 · β1) β1 

α2 − (α2 · β1) β1 , 

luego tenemos β1 y β2 y usamos la fórmula para determinar β3, etc. 

6.6. Distancia y Variedades lineales 

Sea [Q; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas cartesiandas en R n . Si α = 

entonces α · βi = ai, 1 ≤ i ≤ n luego 

α 2 = α · α = 

n 

a 2 i = 

i=1 

n 

(α · βi) 2 

Problema: Sea M una variedad lineal, P /∈ M, M = R n , M contiene más de un punto. 

Sea dim M = p, 0 determinar 

la perperdicular bajada de P a M. 

Sea β1, β2, . . . , βp una base ortonormal de L, la extendemos a una base ortonormal de 

V n , llamaremos L ′ al subespacio generado por βp+1, βp+1, . . . , βn. Es claro que todo 

vector de L ′ es ortogonal a todo vector de L y si α ∈ L ∩ L ′ entonces 

α = 

p 

λi βi = 

i=1 

luego λi = 0, i = 1, 2, . . . , n, y α = 0. 

n 

i=p+1 

Sea α un vector cualquiera que es ortogonal a todos los vectores de L. Entonces 

n 

α = ai βi y a1 = a2 = · · · = ap = 0 luego α ∈ L ′ . Se concluye que el conjun- 

i=1 

i=1 

λi βi 

to de todos los vectores ortogonales a L es el subespacio L ′ . 

Sea Q = (y1, y2, . . . , yn) tal que Q /∈ M. ¿Existe un punto P ∈ M tal que −→ 

P Q es 

ortogonal a todos los vectores de L? 

Sea P0 ∈ M arbitrario, 

y llamemos β = 

p 

i=1 

−−→ 

P0Q = 

n 

i=1 

λi βi 

n 

i=1 

ai βi 

λi βi, al aplicar β en P0, P0 se transforma en P , esto es, −−→ 

P0P = β y 

como β ∈ L entonces P ∈ M. Pero −−→ 

P0Q = −−→ 

P0P + −→ 

P Q luego −→ 

P Q = 

n 

i=p+1 

λi βi, −→ 

P Q ∈ L ′ ,


luego P es uno de los puntos buscados. Queremos demostrar que P es único. Sea P ′ 

otro. −−→ 

P ′ n 

Q = µi βi y −−→ 

P ′ Q · βi = 0, i = 1, 2, . . . , p luego µi = 0, i = 1, 2, . . . , p 


P = P ′ . 

i=1 

−−→ 

P ′ Q = −−→ 

P ′ P + −→ 

P Q 

−−→ 

P ′ P = −−→ 

P ′ Q − −→ 

P Q = 

n 

(µi − λi) βi 

i=p+1 

P ′ P ∈ L ′ y como P ′ , P ∈ M entonces −−→ 

P ′ P ∈ L. Como L ∩ L ′ = {0} se sigue que 

Llamaremos al segmento P Q (o al vector −→ 

P Q) la perpendicular de Q a M, P se llama 

el pie de la perpendicular. 

 

 

 

n 

P Q = λ2 i = 

 

 

 

n 

[( −−→ 

P0Q · βi)] 2 

i=p+1 

i=p+1 

donde P0 es un punto arbitrario de M. Pero 

 

 

 

P0Q = n 

[( −−→ 

P0Q · βi)] 2 

luego P0Q ≥ P Q. 

Hay igualdad sólo si 

i=1 

p 

[( −−→ 

P0Q · βi)] 2 = 0, esto es sólo si −−→ 

P0Q · βi = 0, i = 1, 2, . . . , p, y 

i=1 

esto se da sólo si P0 = P . 

P Q es la distancia más corta de un punto Q a la variedad M. A la inversa, si P0 ∈ M 

y P0Q es la distancia más corta de Q a M entonces P0Q = P Q es la perpendicular de 

Q a M. 

Problema: Supongamos que M está dada por el sistema lineal 

n 

k=1 

aikxk = bi 

i = 1, 2, . . . , r 

Queremos encontrar la perpendicular de Q a M. Suponemos que la matriz del sistema 

tiene rango r, o sea que las r ecuaciones son independientes. 

El subespacio L generador de M tiene dimensión p = n − r y está representado por el 

correspondiente sistema homogéneo 

n 

aikxk = 0 i = 1, 2, . . . , r 

k=1 

y está compuesto por todas las soluciones vectoriales de tal sistema. Si x = {x1, x2, . . . , xn} 

es una solución vectorial y αi = {ai1, ai2, . . . , ain}, i = 1, 2, . . . , r es un vector fila de 

la matriz del sistema se tiene que αi · x = 0, i = 1, 2, . . . , r luego ellos son todos ortogonales 

a L. Sea L ′ el subespacio de todos los vectores ortogonales a L, sabemos que L ′


tiene dimensión n − p = r; como α1, α2, . . . , αr son l.i. y están en L ′ , ellos constituyen 

una base para L ′ . Por el método de ortonormalización, podemos obtener una base 

ortonormal para L ′ a partir de α1, α2, . . . , αr. Recordando que n − p = r, refirámonos 

a esta base ortonormal de L ′ por βp+1, βp+2, . . . , βn. Sea βp+1 = {vi1, vi2, . . . , vin}, 

i = 1, 2, . . . , r y elijamos P0 ∈ M arbitrario pero fijo. Consideremos el sistema lineal 

de ecuaciones 

n 

vikxk = 

k=1 

n 

vikzk i = 1, 2, . . . , r P0 = (z1, z2, . . . , z) (6.8) 

k=1 

Si P = (x1, x2, . . . , xn) es una solución de este sistema, entonces −−→ 

P0P · βp+i = 0, 

i = 1, 2, . . . , r luego −−→ 

P0P ∈ L y por lo tanto P ∈ M. A la inversa, si P ∈ M, −−→ 

P0P ∈ L 

y es solución vectorial del sistema homogéneo, luego es ortogonal a todos los vectores 

de L ′ y por lo tanto es solución de (6.8). Se concluye que (6.8) representa a M. 

Sea Q = (y1, y2, . . . , yn) un punto que no está en M. Entonces 

−−→ 

P0Q · βp+i = 

n 

vik(yk − zk) i = 1, 2, . . . , r 

k=1 

Si P es el pie de la perpendicular de Q a M sabemos que 

 

 

 

n 

P Q = [ −−→ 

P0Q · δi] 2 

i=p+1 

donde P0 ∈ M y es arbitrario y δp+1, δp+2, . . . , δn es una base ortonormal de L ′ . Como 

βp+i, i = 1, 2, . . . , r es una base ortonormal de L ′ tenemos que 

P Q 2 = 

r 

 

n 

vik(yk − zk) 

i=1 

k=1 

El caso más común es aquel en que M es un hiperplano, esto es, M tiene dimensión 

n − 1. En tal caso M está dado por una sóla ecuación 

n 

aixi = b 

i=1 

Entonces L ′ tiene dimensión 1 y es generado por α = {a1, a2, . . . , an}. Sea 

α ∗ = α 

α = {a∗ 1, a ∗ 2, . . . , a ∗ n} a ∗ i = 

Sea P0 = (z1, z2, . . . , zn) un punto arbitrario de M entonces 

n 

a 

i=1 

∗ n aizi 

i zi = 

 

i=1 

n 

 

i=1 

a 2 i 

2 

b 

= 

 

 

n 

 

i=1 

ai 

 

 

 

n 

 

a 2 i 

i=1 

a 2 i


La nueva ecuación de M es 

n aixi 

 

 

i=1 

n 

 

i=1 

y se llama la forma normal de hiperplano M. 

La perpendicular P Q está dada por 

P Q 2 = 

P Q 2 = 

 

n 

a ∗ k(yk − zk) 

⎧ 

k=1 

⎪⎨ n ak 

 

 

k=1 

n 

⎪⎩ 

 

i=1 

a 2 i 

2 

a 2 i 

⎫ 

b 

= 

 

 

n 

 

2 

⎧ 

i=1 

a 2 i 

⎛ 

⎜ 

⎪⎬ ⎪⎨ n 

⎜ 

(yk − zk) = ⎜ 

⎜ 

k=1 ⎜ 

 

⎝ 

 

n 

⎪⎭ ⎪⎩ 

 

akyk 

i=1 

a 2 i 

⎞ 

⎟ 

b 

⎟ − 

⎟ 

 

⎠ 

 

n 

 

Esto nos da una manera mecánica de calcular la distancia de un punto a un hiperplano. 

Escriba el hiperplano en forma normal y acumule todos los términos en el miembro 

izquierdo, reemplace las coordenadas de P = (c1, c2, . . . , cn) por las coordenadas de 

Q = (y1, y2, . . . , yn). El valor absoluto de lo que resulta es la distancia pedida. 

Problema: Sean M1, M2 variedades lineales, queremos encontrar la perpendicular 

común (cuando esta exista). Buscamos P ∈ L1, Q ∈ L2 tales que el vector −→ 

P Q es 

ortogonal a M1 y M2. 

Sea L1 el subespacio generador de M1, L2 el de M2. Sea S = L1 + L2 de dimensión 

s > 0 (M1 y M2 no consisten ambos de un sólo punto). Sea β1, β2, . . . , βs una base 

ortonormal de S. Si s = n, el único vector ortogonal a todos los vectores de S es 0. Un 

vector que es ortogonal a todos los vectores de L1 y L2 debe ser ortogonal a todos los 

vectores de S, luego la perpendicular común es 0, luego P = Q ∈ M1 ∩M2, se concluye 

que M1 ∩ M2 = ∅. 

Pero M1 ∩ M2 = ∅. En efecto, sea P0 ∈ M1, Q0 ∈ M2 entonces −−−→ 

P0Q0 ∈ S porque 

s = n entonces hay α1 ∈ L1, α2 ∈ L2 tales que −−−→ 

P0Q0 = α1 + α2. Supongamos 

que α1 lleva P0 en P y que −α2 lleva a Q0 en Q entonces −−→ 

P0P = α1, −−→ 

QQ0 = α2, 

−−−→ 

P0Q0 = −−→ 

P0P + −→ −−→ 

P Q + QQ0, esto es, 

luego P = Q. 

α1 + α2 = −→ 

P Q + α1 + α2 

Por construcción, P ∈ M1, Q ∈ M2 luego M1 ∩ M2 = ∅. Se concluye que si s = n la 

perpendicular común es 0. 

Supongamos entonces que s < n. Sea β1, β2, . . . , βs base ortonormal de S, la extendemos 

a una base ortonormal de V n , sea L ′ subespacio generado por βs+1, βs+2, . . . , βn, 

i=1 

a 2 i 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

2


L ′ es el subespacio de todos los vectores ortogonales a S, S ∩ L ′ = {0}. Si P0 ∈ M1, 

Q0 ∈ M2 y −−−→ 

P0Q0 = 

n 

λi βi, llamemos γ = 

i=1 

s 

λi βi. γ ∈ S luego hay α1 ∈ L1, α2 ∈ L2 

tales que γ = α1 + α2. Sea P ∈ M1 tal que −−→ 

P0P = α1, Q ∈ M tal que −−→ 

Q0Q = −α2. 

−−−→ 

P0Q0 = −−→ 

P0P + −→ −−→ 

P Q + QQ0 y también 

−−−→ 

P0Q0 = γ + 

n 

λi βi = α1 + α2 + 

n 

λi βi = −−→ 

P0P + −−→ 

QQ0 + 

n 

luego 

i=p+1 

−→ 

P Q = 

i=1 

i=p+1 

n 

i=p+1 

λi βi 

i=p+1 

luego −→ 

P Q ∈ L ′ y es ortogonal a todos los vectores de S y por lo tanto a todos los 

vectores de L1 y L2. 

Sean P ′ ∈ M1, Q ′ ∈ M2 tales que −−→ 

P ′ Q ′ es una perpendicular común. Entonces −−→ 

P ′ Q ′ ∈ 

L ′ luego −→ 

P Q = 

n 

i=p+1 

µi βi y 

−→ 

P Q − −−→ 

P ′ Q ′ = 

n 

(λi − µi) βi 

i=p+1 

también está en L ′ . Pero −→ −−→ −−→ ′ P Q = P P + P ′ Q ′ + −−→ 

Q ′ Q luego −→ −−→ 

P Q− P ′ Q ′ ∈ S luego debe ser 

el vector 0 puesto que L ′ ∩ S = {0} de donde −→ −−→ 

P Q = P ′ Q ′ . Todas las perpendiculares 

comunes son paralelas y de igual longitud. 

También se deduce que −−→ 

P P ′ + −−→ 

Q ′ Q = 0 luego −−→ 

P P ′ = −−→ 

QQ ′ . Pero −−→ 

P P ′ ∈ L1, −−→ 

QQ ′ ∈ L2 


P P ′ = −−→ 

QQ ′ ∈ L1 ∩ L2. 

A la inversa, sea γ ∈ L1 ∩ L2, sean P ′ ∈ M1, Q ′ ∈ M2 tales que −−→ 

P P ′ = γ, −−→ 

QQ ′ = γ. 

Como −−→ 

P P ′ ∈ L1, −−→ 

QQ ′ ∈ L2 y −−→ 

P P ′ = −−→ 

QQ ′ = γ se tiene que −→ −−→ 

P Q = P ′ Q ′ luego −−→ 

P ′ Q ′ es 

una perpendicular común. 

Sean P y Q, P ∈ M1, Q ∈ M2 tales que −→ 

P Q es una perpendicular común. Sea 

D = L1 ∩ L2, sea γ ∈ D. Si P ′ ∈ M1 es tal que −−→ 

P P ′ = γ, Q ′ ∈ M2 es tal que −−→ 

QQ ′ ∈ L2 

entonces −−→ 

P ′ Q ′ también es una perpendicular común y todas se obtienen de esta manera. 

Volvamos atrás, si P0 ∈ M1, Q0 ∈ M2, −−−→ 

P0Q0 = 

modo que −→ 

P Q fuese una perpendicular común entonces −→ 

P Q = 

λi βi 

n 

λi βi y P y Q fueron obtenidos de 

i=1 

n 

i=p+1 

λi βi luego P0Q0 ≥ 

P Q y como todas las perpendiculares comunes tienen igual longitud, la longitud de 

cualquiera de ellas es la distancia más corta entre M1 y M2. Para que exista igualdad 

necesariamente λi = 0, i = 1, 2, . . . , s, luego −−−→ 

P0Q0 ∈ L ′ y es una perpendicular común. 

Se concluye que un segmento que conecta un punto P0 ∈ M1, con un punto Q0 ∈ M2 

es la distancia más corta entre M1 y M2 si y sólo si −−−→ 

P0Q0 es una perpendicular común 

entre M1 y M2.

110 CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS

Capítulo 7 

Movimientos Rígidos 

En el espacio euclidiano R n consideremos transformaciones f : R n → R n tales que si 

f(P ) = P ∗ , f(Q) = Q ∗ entonces P ∗ Q ∗ = P Q. Diremos que una tal transformación es 

un movimiento rígido. 

Sean P ∗ = f(P ), Q∗ = f(Q), R∗ = f(R). Como −→ −→ −→ 

QR = QP + P R 

Como −→ 

QP · −→ 

QP = −→ 

P Q · −→ 

P Q, 

luego 

−→ 

P Q · −→ 

−→ 

QR · −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 

QR = QP · QP + 2QP · P R + P R · P R . 

−→ 

QR · −→ −→ 2 −→ 2 −→ −→ −→ 2 

QR = QR = P Q − 2P Q · P R + P R 

P R = 1 −→ 2 −→ 2 −→ 2 

(P Q + P R − QR ), de manera análoga 

2 

−−−→ 

P ∗ Q ∗ · −−−→ 

P ∗ R ∗ = 1 

2 (−−−→ P ∗ Q ∗ 2 + −−−→ 

P ∗ R ∗ 2 − −−−→ 

Q ∗ R ∗ 2 ) 

y como f es un movimiento rígido se tiene que 

−→ 

P Q · −→ 

P R = −−−→ 

P ∗ Q ∗ · −−−→ 

P ∗ R ∗ 

El producto escalar es invariante frente a movimientos rígidos. 

Sea [O; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas cartesianas en Rn . Sea −−→ 

OPi = βi, i = 

1, 2, . . . , n, sea f un movimiento rígido, sean O∗ = f(O), P ∗ i = f(Pi), i = 1, 2, . . . , n, 

−−−→ 

O∗P ∗ i = β∗ i , i = 1, 2, . . . , n. Entonces 

β ∗ i · β ∗ k = −−−→ 

O ∗ P ∗ i · −−−→ 

O ∗ P ∗ k = −−→ 

OPi · −−→ 

OPk = βi · βk = δik 

Se concluye que [O ∗ ; β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n] es un sistema de coordenadas cartesianas en R n . 

Sea P ∈ R n , sean x1, x2, . . . , xn sus coordenadas con respecto a [O; β1, β2, . . . , βn], 

sean x ∗ 1, x ∗ 2, . . . , x ∗ n las coordenadas de P ∗ en [O ∗ ; β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n]. Entonces 

−→ 

OP = 

n 

i=1 

xi βi , −−−→ 

O ∗ P ∗ = 

111 

n 

i=1 

x ∗ i β ∗ i

112 CAPÍTULO 7. MOVIMIENTOS RÍGIDOS 

luego xi = x ∗ i . 

xi = −→ 

OP · βi = −→ 

OP · −−→ 

OPi 

x ∗ i = −−−→ 

O ∗ P ∗ · β ∗ i = −−−→ 

O ∗ P ∗ · −−−→ 

O ∗ P ∗ i 

Demostremos que un movimiento rígido es 1-1 y sobre. Sea Q ∗ ∈ R n , sean y1, y2, 

. . . , yn sus coordenadas en [O ∗ ; β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n]. Si Q tiene coordenadas y1, y2, . . . , yn 

en [O; β1, β2, . . . , βn] entonces f(Q) = Q ∗ . Si P tiene coordenadas x1, x2, . . . , xn en 

[O; β1, β2, . . . , βn] y f(P ) = Q ∗ entonces xi = yi, i = 1, 2, . . . , n y P = Q. 

Sean [O; β1, β2, . . . , βn], [O ∗ ; β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n] dos sistemas arbitrarios de coordenadas 

cartesianas. 

Sea f : R n → R n definida por: sea P un punto cuyas coordenadas cartesianas en el 

primer sistema son x1, x2, . . . , xn, sea P ∗ el punto cuyas coordenadas en el segundo 

sistema son x1, x2, . . . , xn, definimos f(P ) = P ∗ . 

Sea Q otro punto cuyas coordenadas cartesianas con respecto al primer sistema son 

y1, y2, . . . , yn. Entonces 

 

 

 

P Q = n 

(yi − xi) 2 

Pero Q∗ = f(Q) tiene coordenadas y1, y2, . . . , yn en el segundo sistema y 

 

 

 

n 

(yi − xi) 2 

P ∗ Q ∗ = 

i=1 

i=1 

entonces P Q = P ∗ Q ∗ , f es un movimiento rígido. 

Teorema 7.1 Sea f un movimiento rígido, M una variedad lineal de dimensión p. 

Entonces f(M) es una variedad lineal de dimensión p. 

Demostración: Sea [O; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas cartesianas, en tal 

sistema M se representa mediante un sistema lineal de ecuaciones cuya matriz tiene 

rango n − p. Sea [O∗ ; β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n] el sistema de coordenadas cartesianas obtenido de 

[O; β1, β2, . . . , βn] tomando O∗ = f(O) y si Pi es tal que −−→ 

OPi = βi entonces −−−→ 

O∗P ∗ i = β∗ i , 

i = 1, 2, . . . , n. Si P ∈ M y tiene coordenadas x1, x2, . . . , xn en el primer sistema, 

por lo visto previamente tiene coordenadas x∗ 1, x∗ 2, . . . , x∗ n en el segundo sistema con 

x∗ i = xi y por lo tanto P ∗ = (x∗ 1, x∗ 2, . . . , x∗ n) satisface el mismo sistema de ecuaciones 

con respecto a [O∗ ; β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n]. 

Nota: Sean M1, M2 variedades lineales con espacios generadores L1, L2. Debemos 

recordar que si M1 ∩M2 = ∅ entonces M1 ∩M2 es la variedad lineal obtenida de aplicar 

L1 ∩ L2 en un punto P0 ∈ M1 ∩ M2. 

Teorema 7.2 Sea f un movimiento rígido, M1, M2 variedades lineales. Sea D = 

M1 ∩ M2 = ∅. Entonces D ∗ = M ∗ 1 ∩ M ∗ 2 . 

Demostración: Sea P ∈ D, entonces P ∗ ∈ M ∗ 1 , P ∗ ∈ M ∗ 2 luego P ∗ ∈ M ∗ 1 ∩ M ∗ 2 

luego D ∗ ⊂ M ∗ 1 ∩ M ∗ 2 . Sea P ∗ ∈ M ∗ 1 ∩ M ∗ 2 , hay un único P tal que f(P ) = P ∗ y 

P ∈ M1 ∩ M2 luego P ∗ ∈ D ∗ y M ∗ 1 ∩ M ∗ 2 ⊂ D ∗ .

Nota: Si D = ∅ entonces D ∗ = ∅. En efecto, si P ∗ ∈ D ∗ habría P tal que f(P ) = P ∗ 

y además P ∈ D, esto no puede ser. 

Si M1 ⊂ M2, D = M1, D ∗ = M ∗ 1 luego M ∗ 1 ⊂ M ∗ 2 . 

113 

Sea f un movimiento rígido, sea α ∈ V n . Sea P ∈ Rn , hay Q ∈ Rn tal que α = −→ 

P Q, 

definamos F : V n → V n por F (α) = −−−→ 

P ∗Q∗ . 

Queremos demostrar que F es independiente de la elección de P . Sea P1 arbitrario, 

sea Q1 tal que α = −−−→ 

P1Q1. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas 

[O; β1, β2, . . . , βn], sea [O∗ ; β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n] tal como antes. Los puntos P ∗ , Q∗ , P ∗ 1 , 

Q∗ 1 tienen las mismas coordenadas en [O∗ ; β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n] que P , Q, P1, Q1 tienen en 

[O; β1, β2, . . . , βn] luego los vectores −−−→ 

P ∗Q∗ y −−−→ 

P ∗ 1 Q∗ 1 tienen las mismas componentes en 

el sistema [O∗ ; β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n] que los vectores −→ −−−→ 

P Q y P1Q1 tienen en [O; β1, β2, . . . , βn]. 

Como −→ −−−→ 

P Q = P1Q1 entonces −−−→ 

P ∗Q∗ = −−−→ 

P ∗ 1 Q∗ 1 luego F está bien definida. 

Si F (α1) = F (α2), α1 y α2 tienen las mismas componentes en [O; β1, β2, . . . , βn] luego 

α1 = α2. Es claro que F es sobre. Diremos que f induce la transformación F en V n . 

Problema: Sea [O; β1, β2, . . . , βn] un sistema de coordenadas fijo, sea P un punto de 

coordenadas x1, x2, . . . , xn con respecto a este sistema. Sea f un movimiento rígido. 

Se piden las coordenadas de P ∗ . 

Sabemos que P ∗ tiene coordenadas x1, x2, . . . , xn en [O ∗ ; β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n]. Sean 

−−→ 

OO ∗ = 

n 

i=1 

ti βi 

β ∗ k = 

n 

i=1 

aik βi 

Si P ∗ tiene coordenadas y1, y2, . . . , yn en [O; β1, β2, . . . , βn] entonces 

yi = ti + 

y además (aik) es matriz ortogonal. 

n 

aikxk i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

A la inversa, consideremos el sistema lineal 

yi = ti + 

n 

aikxk i = 1, 2, . . . , n (7.1) 

i=1 

donde x1, x2, . . . , xn representan las coordenadas de P en un cierto sistema de coordenadas 

cartesianas [O, β1, β2, . . . , βn]. Si interpretamos (7.1) como una transformación 

f tal que f(P ) es el punto P ∗ cuyas coordenadas y1, y2, . . . , yn están dadas por (7.1) 

entonces, si (aik) es ortogonal, f es un movimiento rígido. 

En efecto, sea Q otro punto de coordenadas x ′ 1, x ′ 2, . . . , x ′ n, sea Q ∗ de coordenadas y ′ 1,


y ′ 2, . . . , y ′ n donde Q ∗ = f(Q). Entonces 

y ′ i − yi = 

(y ′ i − yi) 2 = 

= 

Sumemos las n ecuaciones: 

n 

aik(x ′ k − xk) i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

n 

(y ′ i − yi) 2 = 

i=1 

luego P Q 2 = P ∗ Q ∗2 . 

n 

k=1 

n 

k=1 j=1 

= 

= 

aik(x ′ k − xk) 

n 

n 

2 

aikaij(x ′ k − xk)(x ′ j − xj) i = 1, 2, . . . , n 

n 

n 

i=1 k=1 j=1 

n 

k=1 j=1 

n 

k=1 j=1 

n 

 

n 

n 

i=1 

aikaij(x ′ k − xk)(x ′ j − xj) 

aikaij 

 

(x ′ k − xk)(x ′ j − xj) 

δkj(x ′ k − xk)(x ′ j − xj) = 

n 

(x ′ k − xk) 2 

Si det(aik) = 1, (7.1) se dice un movimiento rígido propio, si det(aik) = −1 se dice 

impropio. 

Consideremos la transformación inducida por (7.1) en V n . Queremos calcular las componentes 

de f(α) a partir de las componentes de α. Pero las componentes de −→ 

P Q son 

x ′ k − xk, k = 1, 2, . . . , n, y las de −−−→ 

P ∗Q∗ son y ′ i − yi luego ya teníamos que 

y ′ i − yi = 

n 

k=1 

aik(x ′ k − xk) 

Si llamamos ui a las componentes de α y u ∗ i a las componentes de α∗ = F (α) se tiene 

u ∗ i = 

n 

aikui i = 1, 2, . . . , n 

k=1 

Sea Aik el adjunto de aik en det(aik), volviendo a (7.1) se tiene, por la regla de Cramer 

que 

xi = 

1 

det(aik) 

k=1 

n 

Aki(yk − tk) i = 1, 2, . . . , n (7.2) 

k=1 

(7.2) también define una transformación. Si P ∗ es la imagen de P según (7.1) entonces 

P es la imagen de P ∗ según (7.2), luego la transformación definida por (7.2) es la 

inversa de la transformación definida por (7.1). Además como (aik) es ortogonal se 

tiene que ajh = Ajh 

det(aik) .

7.1. MOVIMIENTOS R ÍGIDOS EN R2 115 

Nota: Vimos que un movimiento rígido deja invariante al producto escalar, pero 

para demostrarlo representamos ambos vectores con el mismo punto inicial. Queremos 

hacer ver que esta restricción es superflua. Sean α, β arbitrarios, α ∗ y β ∗ fueron 

definidos independientemente de su punto inicial. Tomemos α = −→ −→ 

P Q, β = P R entonces 

α ∗ = −−−→ 

P ∗Q∗ , β∗ = −−−→ 

P ∗R∗ y α · β = α ∗ · β∗ . 

Nota: Consideremos el paralelotopo n-dimensional generado por los vectores l.i. β1, 

β2, . . . , βn, sean β ∗ 1, β ∗ 2, . . . , β ∗ n sus imágenes según un movimiento rígido. Sea P 

el punto a partir del cual se genera el paralelotopo, sea P ∗ su imagen, aplicando 

n 

los vectores λi β ∗ i , 0 ≤ λi ≤ 1 a partir de P ∗ se obtiene un nuevo paralelotopo, 

i=1 

llamémoslo la imagen del paralelotopo original según el movimiento rígido. Si βi tiene 

componentes ui1, ui2, . . . , uin en el sistema cartesiano [O; γ1, γ2, . . . , γn], β∗ i tiene las 

mismas componentes en [O∗ ; γ ∗ 1,γ ∗ 2, . . . , γ ∗ n]. El volumen del paralelotopo original es 

| det(uik)|. El volumen del paralelotopo cuyas aristas son β∗ 1, β∗ 2, . . . , β∗ n puede ser 

evaluado de la misma manera en términos de los componentes de los vectores β ∗ i 

en el 

sistema [O ∗ ; γ ∗ 1,γ ∗ 2, . . . , γ ∗ n]. Pero dichas componentes son iguales a las de los vectores 

βi en el sistema [O; γ1, γ2, . . . , γn], luego este segundo volumen es igual al original. El 

volumen de un paralelotopo es invariante frente a movimientos rígidos. 

¿Qué sucede con det(uik) si las uik son reemplazadas por las componentes de los β ∗ i 

en el mismo sistema de coordenadas [O; γ1, γ2, . . . , γn]? 

Supongamos que tales componentes son u∗ i1 , u∗i2 , . . . , u∗in . Sabemos que 

Como det(aik) = ±1, 

u ∗ ik 

= 

n 

ν=1 

det(u ∗ ik) = det 

akνuiν 

n 

ν=1 

uiνakν 

i, k = 1, 2, . . . , n 

 

det(u ∗ ik) = ± det(uik). 

7.1. Movimientos rígidos en R 2 

= det(uik) det(aik) 

En un sistema de coordenadas cartesianas un movimiento rígido f está dado por 

y1 = t1 + a11x1 + a12x2 

y2 = t2 + a21x1 + a22x2 

donde (aik) es ortogonal, y para las componentes de los vectores se tiene 

u ∗ 1 = a11u1 + a12u2 

u ∗ 2 = a21u1 + a22u2 

Un vector α se dice invariante bajo f si f(α) = α. Es claro que 0 es invariante bajo 

f. Nos preguntamos si existe algún otro vector invariante. Si es que lo hay debe darse 

que 

u1 = a11u1 + a12u2 

⇒ (a11 − 1)u1 + a12u2 = 0 

(7.3) 

a21u1 + (a22 − 1)u2 = 0 

u2 = a21u1 + a22u2


luego para que algún vector distinto de cero sea invariante, la matriz 

 

(a11 − 1) a12 

(a22 − 1) 

 

debe tener rango R menor que 2. 

a21 

Caso 1: R = 0. Todos los vectores de V 2 son soluciones de (7.3), a11 = a22 = 1, 

a12 = a21 = 0, luego la matriz (aik) es 

definen a f son de la forma 

1 0 

0 1 

y1 = t1 + x1 

y2 = t2 + x2 

 

, det(aik) = 1, y las ecuaciones que 

Si O = (0, 0), O ∗ = (t1, t2), el movimiento rígido es una traslación en −−→ 

OO ∗ ; si 

t1 = t2 = 0, f es la identidad. 

Caso 2: R = 1. 

 

 

0 = 

a11 − 1 

a21 

a12 

a22 − 1 

 

 

 

= det(aik) + 1 − a11 − a22 

 

a11 − 1 

y algún elemento de 

a12 

a22 − 1 

 

es distinto de cero. 

a21 

Si det(aik) = 1 entonces a11 + a22 = 2, pero como 

a 2 11 + a 2 12 = 1 

a 2 21 + a 2 22 = 1 

ningún aik puede ser tal que |aik| > 1 y a11+a22 = 2 se cumple sólo si a11 = a22 = 1. En 

tal caso a12 = a21 = 0 y estamos en el caso 1. Entonces es necesario que det(aik) = −1. 

Pero si det(aik) = −1, como a11 = A11 

det(aik) y A11 = a22 se tiene a11 = −a22 y entonces 

det(aik) + 1 − a11 − a22 = 0 y (aik) tiene rango 1. Luego el caso 2 puede suceder si y 

sólo si det(aik) = −1. 

En tal caso tenemos un subespacio invariante de dimensión 1. Sea β1 un vector unitario 

que es base de este subespacio y extendemos a una base ortonormal β1, β2 de R 2 . Sea 

Q arbitrario, escribamos las ecuaciones de f en [Q; β1, β2]. Las nuevas ecuaciones son 

de la forma 

y1 = t1 + c11x1 + c12x2 

y2 = t2 + c21x1 + c22x2 

u ∗ 1 = c11u1 + c12u2 

u ∗ 2 = c21u1 + c22u2 

Pero β1 es vector invariante y en la base elegida u1 = 1, u2 = 0 luego 

Además 

c22 = 

c12 = 

u1 = c11u1 + c12u2 

u2 = c21u1 + c22u2 

A22 c11 

= 

det(cik) −1 

A12 −c21 

= 

det(cik) −1 

⇒ c11 = 1 

c21 = 0 

luego c22 = −c11 = −1 

luego c12 = c21 = 0


De lo dicho se desprende que las ecuaciones de f en el sistema [Q; β1, β2] deben ser de 

la forma 

y1 = t1 + x1 

y2 = t2 − x2 

(7.4) 

Sea Q1 tal que su coordenada x1 en [Q; β1, β2] es arbitraria pero x2 = 1 

2t2. Por (7.4), 

Q∗ 1 tiene y2 = 1 

2t2 luego la segunda componente de −−−→ 

Q1Q∗ 1 en tal sistema es 0. Como las 

componentes de un vector son independientes del origen y dependen sólo de la base, 

el vector −−−→ 

Q1Q∗ 1 tiene segunda componente igual a cero en el sistema [Q1; β1, β2]. Pero 

en este sistema Q1 tiene coordenadas 0, 0 y por lo tanto la segunda coordenada de Q∗ 1 

en este sistema debe ser 0. Si consideramos (7.4) con respecto al sistema [Q1; β1, β2], 

si x1 = x2 = 0 necesariamente y2 = 0 luego t2 = 0. Se concluye que en el sistema 

[Q1; β1, β2] las ecuaciones de f deben ser de la forma 

y1 = t1 + x1 

y2 = −x2 

La ecuación y1 = t1+x1 nos dice que cada punto del plano es trasladado en la dirección 

del eje x1 en |t1| hacia la derecha o izquierda según t1 > 0 ó t1 < 0 y después se realiza 

una reflexión en el eje x1. 

Caso 3: R = 2. El único vector invariante es 0. Si det(aik) = −1 estamos en el caso 

2. Luego det(aik) = 1. Como a11 = A11 

det(aik) , si a11 = 1 entonces a22 = A11 = 1, 

a12 = a21 = 0 y estamos en el caso 1. Luego a11 = 1. 

A la inversa, si det(aik) = 1 y a11 = 1 tenemos que estar en el caso 3 porque en el caso 

1 se tiene a11 = 1 y en el caso 2 se tiene det(aik) = −1. 

Supongamos que f tiene un punto fijo (x1, x2) entonces 

(a11 − 1)x1 + a12x2 = −t1 

a21x1 + (a22 − 1)x2 = −t2 

x1 = t1 + a11x1 + a12x2 

x2 = t2 + a21x1 + a22x2 

Como el rango de la matriz del sistema es 2, el sistema tiene siempre una única solución 

(x1, x2), sea Q(x1, x2) el punto fijo, sea [Q; β1, β2] un sistema de coordenadas 

cartesianas, la forma de f en este sistema es 

y1 = t1 + a11x1 + a12x2 

y2 = t2 + a21x1 + a22x2 

Para x1 = x2 = 0 se tiene y1 = y2 = 0 luego t1 = t2 = 0. Como a 2 11 + a 2 21 = 1 sea ϕ tal 

que a11 = cos ϕ y pidamos 0 < ϕ < 2π (ϕ = 0 no puede darse porque entonces R = 0) 

luego 

a22 = A22 

det(aik) = a11 = cos ϕ a12 = A12 

det(aik) = −a21 = − sen ϕ 

y1 = x1 cos ϕ − x2 sen ϕ 

y2 = x1 sen ϕ + x2 cos ϕ


en el sistema [Q; β1, β2]. Entonces β1 va al vector β ∗ 1 de componentes cos ϕ, sen ϕ y β2 

va al vector β ∗ 2 de componentes − sen ϕ, cos ϕ luego [Q; β1, β2] va a [Q; β ∗ 1, β ∗ 2] después 

de una rotación en el sentido trigonométrico positivo en torno a Q y ángulo ϕ. Si P es 

arbitrario, P ∗ tiene las mismas coordenadas en [Q; β ∗ 1, β ∗ 2] que P tiene en [Q; β1, β2]. 

Podemos concluir que P ∗ se obtiene de P por una rotación en torno a Q y de ángulo ϕ. 

Nota: det(aik) debe tener el mismo valor en todos los sistemas de coordenadas anteriores, 

porque su valor está determinado por la dimensión del subespacio de vectores 

invariantes, dimensión que es independiente de la elección del sistema de coordenadas. 

7.2. Movimientos rígidos en R 3 

En un sistema cartesiano cualquiera, las ecuaciones de f son 

yi = ti + 

3 

k=1 

(aik) matriz ortogonal, det(aik) = ±1. 

aikxk 

i = 1, 2, 3 , 

Consideremos primero el caso det(aik) = 1. Si el vector de componentes u1, u2, u3 es 

invariante entonces 

3 

ui = 

k=1 

aikui 

luego u1, u2, u3 deben ser soluciones del sistema 

(a11 − 1)u1 + a12u2 + a13u3 = 0 

a21u2 + (a22 − 1)u2 + a23u3 = 0 

a31u1 + a32u2 + (a33 − 1)u3 = 0 

 

 

a11 − 1 a12 a13 

 

a21 a22 

− 1 a23 

 

a31 a32 a33 − 1 = det(aik) − A11 − A12 − A13 + a11 + a22 + a33 − 1 

(7.5) 

Como det(aik) = 1, aik = Aik luego el determinante vale cero. El rango de la matriz 

de (7.5) es a lo más dos luego la dimensión del subespacio de vectores invariantes es 

al menos uno. 

Queremos demostrar que si det(aik) = 1 la dimensión de tal subespacio puede ser 1 

ó 3 pero nunca puede ser 2. 

Supongamos que es 2, entonces el rango de la matriz de (7.5) es a lo más 1 y todos 

sus menores de 2 × 2 son cero, en particular 

 

 

 

a11 

 

− 1 a12 

 

a21 a22 − 1 = A33 − a11 − a22 + 1 = 0 

 

 

 

a11 

 

− 1 a13 

 

a31 a33 − 1 = A22 − a11 − a33 + 1 = 0 

 

 

 

a22 

 

− 1 a23 

 

a33 − 1 = A11 − a22 − a33 + 1 = 0 

a32


Sumando las dos primeras ecuaciones y recordando que aik = Aik se obtiene −2a11 + 

2 = 0, a11 = 1. De manera análoga a22 = a33 = 1. De la ortogonalidad de (aik) se 

obtiene aik = 0, i = k, luego todos los coeficientes en (7.5) son cero, la dimensión del 

espacio invariante es 3, todos los vectores en V 3 son invariantes. 

Consideremos ahora el caso det(aik) = −1, ¿existe algún vector γ que va a −γ? 

Entonces, si las componentes de γ son u1, u2, u3 debe tenerse que u ∗ i = −ui, i = 1, 2, 3 

y deben ser soluciones de 

(a11 + 1)u1 + a12u2 + a13u3 = 0 

a21u2 + (a22 + 1)u2 + a23u3 = 0 

a31u1 + a32u2 + (a33 + 1)u3 = 0 

y el determinante de la matriz del sistema vale 

det(aik) + A11 + A22 + A33 + a11 + a22 + a33 + 1 

y como det(aik) = −1 y aik = −Aik el determinante se anula. 

El subespacio de soluciones tiene al menos dimensión 1. Probaremos que tal dimensión 

es 1 ó 3. Supongamos que tiene dimensión 2, entonces todos los menores de 2 × 2 de 

la matriz del sistema deben ser cero, en particular los principales (a lo largo de la 

diagonal principal). Se obtiene a11 = a22 = a33 = −1 y aik = 0 si i = k, todos los 

coeficientes se anulan y todo V 3 es invariante. 

Sea p la dimensión del subespacio de vectores invariantes, q la dimensión del subespacio 

de vectores γ que van a −γ. 

p y q están definidos para todo movimiento rígido f independientemente si det(aik) = 1 

ó det(aik) = −1. 

Los resultados coleccionados hasta ahora nos dicen que para cualquier f al menos una 

de las siguientes ecuaciones se cumple: 

i.- p = 1 

ii.- p = 3 

iii.- q = 1 

iv.- q = 3 

Demostraremos que para cualquier movimiento rígido en R 3 se cumple exactamente 

una de las cuatro ecuaciones. 

En efecto, ii) se cumple si y sólo si todo V 3 es invariante, eso excluye a las otras. 

Análogamente si iv) se cumple. Luego dos de ellas pueden cumplirse simultáneamente 

sólo si ii) y iv) no se cumplen, esto es, i) y iii) son las únicas alternativas que podrían 

darse juntas. Supongamos que es así, hay γ = 0 que es invariante y δ = 0 que va a − δ. 

Es claro que γ y δ son l.i. Consideremos el subespacio L de los vectores ortogonales a 

γ y δ. La dimensión de L es 1. Sea e ∈ L, e = 0, sea e ∗ su imagen. Entonces 

e · γ = e · δ = 0 ⇒ e ∗ · γ ∗ = e ∗ · δ ∗ = 0 ⇒ e ∗ · γ = e ∗ · (− δ) = 0


luego e ∗ ∈ L, e ∗ = λe. Pero e ∗ = e, entonces λ = ±1. Como e, γ, δ son l.i., si 

e = e ∗ no es posible que p = 1 y si e = −e ∗ no es posible que q = 1. 

Tenemos así los movimientos rígidos en R 3 divididos en cuatro clases mutuamente excluyentes, 

i) y ii) corresponden a det(aik) = 1, iii) y iv) corresponden a det(aik) = −1. 

i.- p = 1. Sea β3 invariante, β3 = 1, extendamos a una base ortonormal β1, β2, β3 

de R 3 , sea [Q; β1, β2, β3] un sistema cartesiano, consideremos las ecuaciones de f 

en tal sistema, sean ellas 

yi = ti + 

u ∗ k 

= 

3 

k=1 

3 

k=1 

aikui 

aikxk 

i = 1, 2, 3 

k = 1, 2, 3 

Como β3 es invariante, u ∗ 1 = u ∗ 2 = 0, u ∗ 3 = 1 luego a13 = a23 = 0, a33 = 1 y de la 

ortogonalidad de (aik) obtenemos a31 = a32 = 0 luego 

y1 = t1 + a11x1 + a12x2 

y2 = t2 + a21x1 + a22x2 

y3 = t3 + x3 

El determinante de la matriz del sistema es 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

De la ortonormalidad se tiene 

a11 a12 0 

a21 a22 0 

0 0 1 

a 2 11 + a 2 12 = 1 

a 2 21 + a 2 22 = 1 

a11 a12 

a21 a22 

También a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0 luego a11a21 + a12a22 = 0. 

 

 

Como det(aik) = 1, 

a11 a12 

a21 a22 

 

 

 

= 1 luego 

a11 a12 

a21 a22 

 

 

 

 

 

es ortogonal. 

(7.6) 

Ella es la matriz de las dos primeras ecuaciones de (7.6), luego estas dos ecuaciones 

definen un movimiento rígido en R2 . Además no es posible tener a11 = 

a22 = 1 porque en tal caso p = 3. Entonces este movimiento rígido en R2 tiene un 

punto fijo, esto es, hay x1, x2 que satisfacen y1 = x1, y2 = x2. Sea S ∈ R3 cuyas 

dos primeras coordenadas en [Q; β1, β2, β3] son x1, x2. S∗ tiene entonces como 

sus dos primeras coordenadas y1 = x1, y2 = x2 y por lo tanto las dos primeras 

componentes de −−→ 

SS∗ son cero. Este resultado, aunque lo hemos obtenido usando 

el sistema de coordenadas [Q; β1, β2, β3], es independiente del origen y es válido 

también en [S; β1, β2, β3], luego S∗ tiene las mismas coordenadas que S en


este nuevo sistema, y, habiendo elegido a S como nuevo origen, esto significa 

que las dos primeras coordenadas tanto de S como de S ∗ son cero. Dado que 

las ecuaciones de f mantienen su forma aunque hayamos cambiado el sistema de 

coordenadas, lo dicho sobre las coordenadas de S y S ∗ visto en (7.6) nos dice que 

las ecuaciones de f en [S, β1, β2, β3] tienen la forma 

 

a11 a12 

Como 

a21 a22 

y1 = a11x1 − a12x2 

y2 = a21x1 + a22x2 

y3 = t3 + x3. 

 

es ortogonal, podemos determinar de manera única un ángu- 

lo ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, tal que a11 = cos ϕ, a21 = sen ϕ, a12 = − sen ϕ, a22 = cos ϕ, 

luego en [S; β1, β2, β3] las ecuaciones de f son 


y2 = x1 sen ϕ + x2 cos ϕ 

y3 = t3 + x3 

Consideremos una recta ℓ paralela a β3. Todos sus puntos tienen sus dos primeras 

coordenadas x1, x2 iguales, su intersección con el plano x1, x2 tiene coordenadas 

x1, x2, 0. Buscamos ℓ ∗ . Sea P ∈ ℓ de coordenadas x1, x2, x3. Las dos primeras 

ecuaciones no dependen de x3 luego todos los P ∗ tienen la misma intersección y1, 

y2, 0 con el plano y1, y2, y las dos coordenadas y1, y2 están determinadas por las 

dos primeras ecuaciones de (7.5) donde x1, x2 son las dos primeras coordenadas 

de la intersección de ℓ con el plano x1, x2. Dicho en otras palabras, ℓ ∗ queda completamente 

determinada una vez conocida la imagen de este punto intersección. 

Por otra parte, estas dos ecuaciones definen una rotación de ángulo ϕ en torno al 

origen. Consideremos la rotación en R 3 en torno al eje x3 y de ángulo ϕ, el punto 

(x1, x2, 0) ∈ ℓ va al punto (y1, y2, 0) ∈ ℓ ∗ luego ℓ va a ℓ ∗ . Como ℓ es arbitraria, 

esto es cierto para cualquier recta paralela a β3. Nuestro movimiento rígido se 

compone de una rotación de R 3 en torno al eje x3 de [S; β1, β2, β3] seguida de 

una traslación en la dirección de dicho eje. 

ii.- p = 3. Vimos que en cualquier sistema cartesiano det(aik) vale 1 y que aik = δik, 

las ecuaciones adoptan la forma 

lo cual representa una traslación. 

y1 = t1 + x1 

y2 = t2 + x2 

y3 = t3 + x3 

iii.- q = 1. En este caso det(aik) = −1 en todo sistema de coordenadas cartesianas. 

Sea γ3, γ3 = 1 tal que γ3 va a −γ3, extendamos a una base ortonormal γ1, γ2, γ3, 

escribamos las ecuaciones de f en [Q; γ1, γ2, γ3]. Sean u1, u2, u3 las componentes 

de γ3. Como γ3 ↦→ −γ3 se tiene que u ∗ 1 = u ∗ 2 = 0, u ∗ 3 = −1 si u1 = u2 = 0 y


u3 = 1. Pero esto es posible sólo si a13 = a23 = 0 y a33 = −1. Se tiene 

y1 = t1 + a11x1 + a12x2 

y2 = t2 + a21x1 + a22x2 

y3 = t3 − x3 

(7.7) 

Sea R ∈ R3 tal que su tercera coordenada es x3 = 1 

2t3 en [Q; γ1, γ2, γ3]. Entonces 

R∗ tiene y3 = 1 

2t3 y la tercera componente de −−→ 

RR∗ es 0. Tal como antes, su 

tercera componente es 0 en [R; γ1,γ2, γ3], donde R tiene coordenadas (0, 0, 0) 

luego y3 = 0 cuando x1 = x2 = x3 = 0, y por lo tanto t3 = 0. El determinante 

del sistema (7.7) es 

 

 

− 

a11 

 

a12 

 

a21 a22 = −1 

 

a11 a12 

luego 

es ortogonal. 

a21 a22 

Si a11 = 1 entonces a22 = a11 = 1 luego a12 = a21 = 0 y las ecuaciones (7.7) 

adoptan la forma 

y1 = t1 + x1 

y2 = t2 + x2 

y3 = −x3; 

en este caso f consiste en una reflexión en el plano x1, x2 seguida de una traslación 

paralela a ese plano. 

Si a11 = 1, hay dos números x1, x2 que sustituídos en las dos primeras ecuaciones 

de (7.7) dan y1 = x1, y2 = x2. Sea S ∈ R 3 tal que sus dos primeras coordenadas 

en [R; γ1, γ2, γ3] son x1, x2 y tal que x3 = 0. Entonces S ∗ tiene coordenadas 

y1 = x1, y2 = x2, y3 = −x3 = 0 ya que t3 = 0. Como S es punto fijo de f, 

x1 = x2 = x3 = 0 entonces y1 = y2 = y3 = 0 y finalmente t1 = t2 = t3 = 0. Sean 

a11 = cos ϕ , a21 = sen ϕ , a12 = − sen ϕ , a22 = cos ϕ , 

en [S; γ1, γ2, γ3] las ecuaciones de f quedan 


y2 = x2 sen ϕ + x2 cos ϕ 

y3 = −x3 

f es una reflexión en el plano x1, x2 seguida de una rotación en torno al eje x3. 

iv.- q = 3. det(aik) = −1 en todo sistema cartesiano, a11 = a22 = a33 = −1, aik = 0 

para i = k. Se tiene 

y1 = t1 − x1 

y2 = t2 − x2 

y3 = t3 − x3


Sea Q ∈ R3 con x1 = 1 

2t1, x2 = 1 

2t2, x3 = 1 

2t3 entonces Q∗ tiene las mismas 

coordenadas que Q. Considere el sistema [Q; γ1,γ2, γ3] en este sistema x1 = x2 = 

x3 = 0 entonces y1 = y2 = y3 = 0, y finalmente t1 = t2 = t3 = 0. Entonces 

y f es una reflexión en el origen. 

y1 = −x1 

y2 = −x2 

y3 = −x3

124 CAPÍTULO 7. MOVIMIENTOS RÍGIDOS

Capítulo 8 

Problemas propuestos 

1. Sean A y B matrices de m × n. Diremos que B es equivalente por filas con A 

si B se obtiene de A mediante una sucesión finita de operaciones elementales fila. 

Sean 

A = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 2 0 −1 5 

1 1 −1 2 1 

3 0 1 1 2 

4 4 −2 1 0 

¿Son A y B equivalentes por filas? 

⎞ 

⎟ 

⎠ , B = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 1 0 2 

0 1 1 1 −1 

4 2 3 1 0 

1 0 1 0 1 

2. Sea R matriz de m × n. Diremos que R es reducida por filas si se cumplen las 

siguientes condiciones: 

i. El primer elemento distinto de cero de una fila no nula es igual a 1 (una fila 

nula es una fila que consta sólo de ceros). 

ii. Toda columna que contiene al primer elemento no nulo de una fila tiene 

todos sus demás elementos iguales a cero. 

Demuestre que toda matriz A de m × n es equivalente por filas a una matriz R 

reducida por filas. Encuentre todas las matrices de 3 × 3 reducidas por filas. 

3. Sea B una matriz de n × p. Encuentre una matriz C de m × p cuyas filas sean 

combinaciones lineales de las filas de B. Demuestre que existe una matriz A de 

m × n tal que C = AB. 

Enuncie y verifique una proposición similar para las columnas. 

4. Sea E de m×m. Diremos que E es elemental si se obtiene de la matriz identidad 

de m × m mediante una sóla operación elemental fila. Sea e operación elemental 

fila, sea A una matriz arbitraria de m×n. Sea e(A) la matriz resultante de aplicar 

e a A, sea e(I) la correspondiente matriz elemental. Demuestre que e(A) = e(I)A. 

125 

⎞ 

⎟ 

⎠

126 CAPÍTULO 8. PROBLEMAS PROPUESTOS 

Sean A y B matrices de m × n. Demuestre que B es equivalente por filas con 

A si y sólo si B = P A donde P es un producto de matrices elementales de m×m. 

5. Sea A matriz invertible de orden n. Demuestre que A es equivalente por filas a 

la matriz identidad de orden n. Invente un algoritmo para calcular la inversa de 

A. Materialice su invención calculando la inversa de 

⎛ 

A = ⎝ 

1 −1 1 

2 0 1 

3 0 1 

6. Sea A de n × n. Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes. 

7. Sea 

i. A es invertible. 

ii. A es equivalente por filas a la identidad. 

iii. A es un producto de matrices elementales. 

iv. AX = 0 tiene sólo la solución trivial. 

v. AX = Y tiene solución para cada matriz Y . 

⎛ 

A = ⎝ 

⎞ 

⎠ 

1 2 1 0 

−1 0 3 5 

1 −2 1 1 

Encuentre una matriz R reducida por filas equivalente por filas a A y encuentre 

P de 3 × 3 tal que R = P A. 

8. a. Sea A de 2 × 1, B de 1 × 2. Demuestre que C = AB no es invertible. 

b. Sea A de m × n, demuestre que si A no es invertible hay B = 0 de n × n tal 

que AB = 0. 

9. Sea R n el conjunto de las n-tuplas de números reales y E n = R n con las definiciones 

de suma y multiplicación por un escalar. 

Sean A = (a1, a2, . . . , an), B = (b1, b2, . . . , bn) puntos de Rn . Sean a, b las mismas 

n-tuplas miradas como elementos de En . Sea h : Rn × Rn → En dada por 

h[(A, B)] = b − a. Diremos que el par (A, B) representa a b − a y lo anotamos 

como −→ 

−→ 

AB; decimos que A es el punto inicial de AB y B es su punto final. 

Demuestre que 

i. Dado A ∈ R n , x ∈ E n , hay un único B ∈ R n tal que el par (A, B) representa 

a x. 

ii. Si (A, B) representa a x, (B, C) representa a y, entonces (A, C) representa 

a z = x + y. 

iii. Si A ∈ R n entonces (A, A) representa a 0 ∈ E n . 

iv. Si (A, B) representa a x entonces (B, A) representa a −x. 

v. Demuestre que si x ∈ En entonces hay infinitos pares (A, B) que lo representan. 

De aquí en adelante, en lugar de escribir que (A, B) representa a 

b − a escribiremos −→ 

AB = b − a. 

⎞ 

⎠

127 

vi. Sea λ real arbitrario. Demuestre que hay un único punto P (λ) ∈ Rn tal 

que −→ 

AP = λ(b − a) y que si p(λ) es la misma n-tupla que corresponde a P 

mirada como elemento de En entonces p(λ) = a + λ(b − a). 

Llamaremos recta por A de dirección −→ 

AB al conjunto de puntos de R n 

{a1 + λ(b1 − a1), a2 + λ(b2 − a2), . . . , an + λ(bn − an) : λ ∈ R n } 

Diremos que p(λ) = a + λ(b − a) es la ecuación vectorial de la recta (la cual 

también puede escribirse como −−−−→ 

AP (λ) = λ −→ 

n AB ). Si C, D ∈ R , llamaremos 

segmento de recta CD al subconjunto de la recta por C y de dirección −−→ 

CD 

correspondiente a 0 ≤ λ ≤ 1. 

Demuestre que si A, B son puntos del segmento CD entonces AB ⊂ CD. 

Demuestre que la recta por A y dirección −→ 

AB es la misma que la original. 

Sean a, b ∈ En . Demuestre que a y b son l.d. si y sólo si −−→ 

AP1 = a, −−→ 

AP2 = b 

son tales que P1 y P2 están sobre la misma recta en Rn . 

10. En E 5 sean 

a1 = (1, 0, 2, −1, 3) 

a2 = (0, 0, 1, 1, −1) 

a3 = (1, 1, 2, 0, 0) 

i. ¿Cuál es la dimensión de L(a1, a2, a3)? 

ii. ¿ Está (1, 0, 0, 0, 0) en L(a1, a2, a3)? 

iii. Si es que dim L(a1, a2, a3) = 3, extienda a1, a2, a3 a una base de E 5 . 

11. En E 4 sean 

Sea L1 = L(a1, a2, a3, a4). Sean 

Sea L2 = L(b1, b2). 

a1 = (3, −1, 1, 2) 

a2 = (4, −1, −2, 3) 

a3 = (10, −3, 0, 7) 

a4 = (−1, 1, −7, 0) 

b1 = (2, −4, −3, 7) 

b2 = (5, 2, 2, −1) 

Encuentre dim L1, dim L2, dim L1 ∩ L2, dim(L1 + L2). 

12. Sea L un subespacio de E n . Sea X = {y ∈ E n : (x − y) ∈ L}, sea Z = {y ∈ E n : 

(z − y) ∈ L}. Demuestre que si X ∩ Z = ∅ entonces X = Z. Llamaremos a X 

la clase del elemento x ∈ E n . Demuestre que si w ∈ X entonces la clase W del 

elemento w es X. A los elementos de una clase los llamaremos representativos


de la clase. Sea E n /L el conjunto de las clases de X. Definimos combinación 

lineal de las clases X e Y a la siguiente clase: sean x ∈ X, y ∈ Y arbitrarios. 

Llamaremos αX + βY a la clase que contiene a αx + βy. Demuestre que la clase 

definida es independiente de la elección de x ∈ X o y ∈ Y . 

13. Sea h : E n → E n /L definida por h(x) = X. Demuestre que h es sobre pero no 

1-1. Demuestre que 

h(x + z) = h(x) + h(z) ∀ x, z ∈ E n 

h(αx) = αh(x) ∀ x ∈ E n , ∀ α ∈ R 

14. Sea AX = B un sistema de n + 1 ecuaciones con n incógnitas. Sea A = (aij), 

B = (Bi) y supongamos que el determinante de la matriz que consiste de las 

primeras n filas de A es distinto de cero. Demuestre que el sistema tiene solución 

si y sólo si det(cij) = 0 donde la matriz (cij) está definida como: cij = aij si 

1 ≤ i ≤ n + 1, 1 ≤ j ≤ n, c i(n+1) = bi, 1 ≤ i ≤ n + 1. 

15. Sea 

 

 

 

 

 

D = 

 

 

 

 

−2 5 0 −1 3 

1 0 3 7 −2 

3 −1 0 5 −5 

2 6 −4 1 2 

0 −3 −1 2 3 

Calcule el valor de D desarrollando por los menores de las filas 2,3 y 5. Verifique 

que su valor es -1032. 

16. Sea A una matriz de m × n. Supongamos que un menor de orden r de A es 

distinto de cero, r < mín(m, n), r > 0. Demuestre que A tiene al menos r filas y 

r columnas l.i. 

17. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales 

(3 + i)z1 − iz2 + z3 = 0 

2z1 + iz2 − (1 − i)z3 = 0 

(1 + i)z1 + 0 · z2 + 2z3 = 0 

z1 − iz2 + (1 + i)z3 = 0 

iz1 − z2 + 3z3 = 0 

donde zj = xj + iyj, j = 1, 2, 3, sin separar parte real e imaginaria. Verifique su 

resultado resolviendo el sistema separando en parte real y parte imaginaria. 

18. Estudie las soluciones del sistema 

como una función de λ. 

λz1 + iz1 + z3 = 1 

iz1 + λz2 + iz3 = iλ 

z1 + (1 − i)z2 + λz3 = iλ 2

19. Sean 

β1 = {1, −1, 2, 0} , 

β3 = {2, 1, 0, −1} , 

β2 = {0, 1, 1, 0} 

β4 = {1, 0, −1, 2} 

129 

vectores en V 4 , sea Q = (1, 1, 1, 1) un punto en R 4 . Verifique que [Q; β1, β2, β3, β4] 

es un sistema de coordenadas en R 4 . Encuentre las coordenadas del punto P = 

(0, 1, 1, 0) en dicho sistema. ¿Cuáles son las coordenadas de Q? Dado α = 

{0, 1, 1, 0} ∈ V 4 , encuentre las componentes de α con respecto al sistema de 

coordenadas dado. ¿Cuáles son las componentes de β1, y las de β1 + β2? Encuentre 

la ley de transformación de coordenadas para pasar del sistema dado a 

[0; e1, e2, e3, e4] y viceversa. Encuentre las coordenadas de P en [O; e1, e2, e3, e4] 

y verifique que sus fórmulas son correctas. ¿Cuál es la ley de transformación para 

las componentes de los vectores? Encuentre las componentes de α en [O; e1, e2, e3, e4] 

y verifique que su ley de transformación es correcta. 

20. Sean α1 = {− 1 3 

2 , 2 , 1, 0}, α2 = {0, 1, 0, 1} vectores en V 4 cuyas componentes 

están dadas en [O; e1, e2, e3, e4]. Sea P0 ∈ R4 de coordenadas (0, 3, 2, 0) en tal 

sistema. Sea L el subespacio de V 4 generado por α1 y α2. Encuentre todos los 

puntos (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 que están sobre la variedad lineal M obtenida de 

copiar L en P0. Demuestre que el conjunto de soluciones del sistema 

es exactamente tal variedad lineal. 

x1 + x2 − x3 − x4 = 1 

x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1 

Encuentre el subespacio L ′ de vectores ortogonales a L, luego encuentre un sistema 

homogéneo cuyo espacio de soluciones es L y a continuación encuentre un 

sistema no homogéneo cuyo conjunto de soluciones sea el de los puntos de M. 

Encuentre el sistema de ecuaciones que representa a M en el sistema [Q; β1, β2, β3, β4] 

del ejercicio (19). 

21. Sean 

α1 = {−1, 1, −1, 1} 

α2 = {2, 1, −1, 1} 

α3 = {0, 1, 1, 1} 

α4 = {0, 0, 1, 1} 

vectores en V 4 cuyas componentes están dadas en la base estándar. Encuentre 

el volumen del paralelotopo de aristas α1, α2, α3, α4. Con respecto al sistema 

de coordenadas [Q; β1, β2, β3, β4] del ejercicio anterior, verifique e interprete la 

fórmula 

det(aik) = det(a ∗ ik) det(vik) (Sección 6.4)


Encuentre la fórmula para el producto escalar en la base β1, β2, β3, β4. Use el 

método de Gram-Schmidt con el producto escalar en la base estándar para obtener 

un sistema ortonormal de vectores α ′ 1, α ′ 2, α ′ 3, α ′ 4 a partir de α1, α2, α3, α4, 

y otro β ′ 1, β ′ 2, β ′ 3, β ′ 4 a partir de β1, β2, β3, β4. Verifique que la matriz de transición 

del sistema α ′ 1, α ′ 2, α ′ 3, α ′ 4 al sistema β ′ 1, β ′ 2, β ′ 3, β ′ 4 es ortogonal. Exprese 

los vectores α1, α2, α3, α4 en el sistema α ′ 1, α ′ 2, α ′ 3, α ′ 4 y verifique e interprete la 

fórmula 

| det(aik)| = | det(a ∗ ik)|| det(vik)| 

22. Sea M la variedad lineal del ejercicio (20) expresada en el sistema de coordenadas 

[O; e1, e2, e3, e4], sea P de coordenadas (1, 1, 0, 0) en tal sistema. Encuentre 

la dirección de la recta perpendicular de P a M, el pie de la perpendicular en 

M y la longitud de tal perpendicular por el método descrito en el libro (sin usar 

el sistema de ecuaciones que representa a M). 

Considere el hiperplano x1 + x2 + x3 + x4 = 1 y el punto P = (1, 1, 0, 0). Encuentre 

la dirección, pie y longitud de la perpendicular de P al hiperplano. Encuentre 

un vector ortogonal a M y al hiperplano dado. 

23. Sea f : R 4 → R 4 dada por 

yi = ti + 

4 

aikxk i = 1, 2, 3, 4 

k=1 

un movimiento rígido (las coordenadas se suponen dadas en [O; e1, e2, e3, e4]. 

Sean P1, P2, P3, P4 tales que −−→ 

OPi = ei i = 1, 2, 3, 4, O∗ = f(O), P ∗ i = f(Pi) i = 

1, 2, 3, 4. Verifique que la matriz (aij) es ortogonal. Sea e ∗ −−−→ 

i = O∗P ∗ i i = 1, 2, 3, 4, 

sea P = (x1, x2, x3, x4). Encuentre las coordenadas de P en el sistema de coordenadas 

[O∗ ; e ∗ 1, e ∗ 2, e ∗ 3, e ∗ 4]. ¿Cuál es la ecuación del hiperplano x1 +x2 +x3 +x4 = 1 

en el segundo sistema?

Bibliografía 

[1] Lectures on Linear Algebra, Gel’fand I. M., New York, Interscience (1961). 

[2] Higher Algebra, Kurosh A. G., Moscow, Mir Publishers (1972). 

[3] Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory, Schreier, O. - Sperner E., 

New York, Chelsea. 

[4] Linear Algebra, Shilov G. E., Engelwood Cliffs, N. J., Prentice Hall (1961). 

[5] Linear Algebra and Multi-dimensional Geometry, Efimov N. V. - Rozendorn E. 

R., Mir Publishers (1975). 

131

Índice alfabético 

R n , 29 

n-tupla, 2, 29 

Ángulo entre vectores, 85 

Adjunto de un menor, 21 

Base, 34 

Base estándar, 35, 65 

Coeficientes, 1 

Combinación lineal, 1, 30 

Compatibilidad de sistemas homogéneos, 

51 

Compatibilidad de sistemas no homogéneos, 

46 

Componentes, 29, 63, 92 

Componentes con respecto a una base, 35 

Consideraciones sobre geometría analítica, 

79 

Construcción de sistemas ortonormales, 104 

Coordenadas, 91 

Deformación continua de sistemas de coordenadas, 

100 

Delta de Kronecker, 36, 59, 98 

Dependencia lineal, 30 

Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 83 

Desigualdad triangular, 84 

Determinante, 8, 11, 12 

Desarrollo por adjuntos, 22 

Propiedades, 13 

Dimensión, 34 

Dimensión de un subespacio, 66, 68 

Distancia, 83 

Distancia a una variedad lineal, 105 

Ecuación lineal con n incógnitas, 1 

Ecuación lineal homogénea, 1 

Espacio euclídeo n-dimensional, 83 

Espacio vectorial n-dimensional, 29 

Independencia lineal, 30 

132 

Inversión, 9 

l.d., 31 

l.i., 31 

Linealmente dependientes, 30 

Linealmente independientes, 30 

Longitud de un segmento, 83 

Longitud de un vector, 83 

Método de eliminación de Gauss, 3 

Matrices 

Igualdad, 55 

Inverso aditivo, 55 

Matriz nula, 55 

Producto de matrices, 56 

Producto por un número escalar, 55 

Suma de matrices, 55 

Matrices elementales, 125 

Matrices equivalentes, 43 

Matrices equivalentes por filas, 125 

Matriz adjunta, 59 

Matriz ampliada, 46 

Matriz diagonal, 43 

Matriz inversa, 60 

Matriz reducida por filas, 125 

Matriz singular, 58 

Matriz traspuesta, 12, 59 

Matriz triangular 

inferior, 23 

superior, 23 

Menor de un determinante, 19 

Menor complementario, 20 

Menor de una matriz, 39 

Menor orlado, 39 

Movimiento rígido, 111 

Movimientos rígidos en R 2 , 115 

Movimientos rígidos en R 3 , 118 

Movimientos rígidos y producto escalar, 

111 

Movimientos rígidos y variedades lineales, 

112

ÍNDICE ALFABÉTICO 133 

Mutuamente ortogonales, 65 

Norma, 83 

Origen de un sistema de coordenadas, 91 

Ortogonalidad, 65, 85 

Ortonormalización de Gram-Schmidt, 104 

Paralelógramo, 86 

lados del, 86 

Paralelepípedo, 86 

aristas del, 86 

Paralelotopo, 86 

aristas del, 86 

Permutación, 8 

Impar, 9 

Par, 9 

Permutación natural, 8 

Producto de determinantes, 56 

Producto escalar, 64 

Proyección ortogonal, 105 

Puntos, 63 

Rango de un sistema de vectores, 37 

Rango de una matriz, 38 

Rango columna, 38 

Rango fila, 38 

Recta, 63, 127 

Reflexión, 117 

Reflexión con respecto a un plano, 122 

Reflexión con respecto al origen, 123 

Regla de Cramer, 8, 25 

Rotación, 118 

Rotación en torno a un eje, 121, 122 

Segmento, 63 

dirigido, 63 

Punto final, 63 

Punto inicial, 63 

Puntos extremos, 63 

Sistema afín de coordenadas, 73 

Sistema de coordenadas, 91 

Sistema de coordenadas cartesianas, 98 

Sistema de ecuaciones compatible, 2 

Sistema de ecuaciones compatible determinado, 

2, 5 

Sistema de ecuaciones compatible indeterminado, 

2, 5 

Sistema de ecuaciones incompatible, 2, 4 

Sistema fundamental de soluciones, 51 

Sistema homogéneo de ecuaciones lineales, 

2, 6 

Sistema linealmente independiente maximal, 

32 

Sistema ortonormal de vectores, 98 

Sistemas de coordenadas, 91 

Sistemas de ecuaciones equivalentes, 2 

Sistemas de vectores equivalentes, 34 

Solución de un sistema de ecuaciones lineales, 

2 

Solución de una ecuación lineal, 1 

Subespacio, 65 

Subespacio de soluciones de un sistema 

homogéneo, 79 

Subespacio generado por un conjunto de 

vectores, 65 

Suma de subespacios, 68 

Sustitución, 10 

Impar, 10 

par, 10 

Término libre, 1 

Teorema de Laplace, 23 

Transformación de coordenadas, 93 

Transformaciones elementales de una matriz, 

42 

Transposición, 8 

Traslación, 121 

Vandermonde 

Determinante de, 18 

Matriz de, 18 

Variedad lineal, 72 

Variedades lineales paralelas, 74 

Variedades lineales y sistemas de ecuaciones, 

95 

Vectores, 29, 63 

Diferencia de vectores, 30 

Inverso aditivo, 29, 64 

Producto por un número escalar, 30, 

64 

Propiedades, 63 

Suma de vectores, 29, 64 

Vector nulo, 29, 63 

Volúmenes y sistemas de coordenadas cartesianas, 

97 

Volumen de un paralelotopo n-dimensional, 

86, 89

Conceptos Básicos de Álgebra Lineal y Geometría Multidimensional

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