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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 

FACULTAD DE INGENIERIA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA 

EVALUACIÓN DE LA APLICACIÓN DE UN HUSO TM PARA CHILE 

CONTINENTAL, APLICABLE A CARTOGRAFÍA DEL MINISTERIO 

DE BIENES NACIONALES 

FERNANDO MILLAR ORDENES 

2003




UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 

FACULTAD DE INGENIERIA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA 

EVALUACION DE LA APLICACIÓN DE UN HUSO TM PARA CHILE 

CONTINENTAL, APLICABLE A CARTOGRAFÍA DEL MINISTERIO 

DE BIENES NACIONALES 

TRABAJO DE TITULACIÓN PRESENTADO EN CONFORMIDAD A LOS 

REQUISITOS PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO DE EJECUCIÓN 

EN GEOMENSURA 

PROFESOR GUÍA: RENÉ ZEPEDA GODOY 

FERNANDO MILLAR ORDENES 

2003




A mis padres 

José e Inés 

Por todo el amor y esfuerzo entregado en pos de mi felicidad. 

A toda mi familia 

Ale y Marco, Mauricio, Abuelos y tíos, por creer en mi. 

A Coyailén 

Fiel compañera en los momentos difíciles y por toda su ayuda y amor entregados. 

Dedico este trabajo, también, a todas aquellas personas que en algún instante de 

mi paso como estudiante de esta universidad, formaron parte de momentos 

inolvidables de felicidad y tristeza, diversión, trabajo y estudio, Pilar, Mayte, 

Carolas, Karina, Tania, Pato, Claudio, Chino, Daniel, Lorena, y muchos más. A los 

que me acompañaron y acompañan en mi formación como deportista y 

montañero, amigos para toda la vida, Andrés, Pilar, Mauricio, Luchos, Pepe, 

Jorge, Zetor, Alberto, y a todos los integrantes de la rama de Andinismo de la 

USACH. 

Especial dedicación para los que ya no están con nosotros en vida, pero siempre 

los he sentido a mi lado. 

Claudio, maestro y amigo, sin ti no hubiese conocido la belleza de las alturas. 

Sergio (Rambo) y Max, los duros de la montaña. 

Rodrigo (Pelao), el más noble. 

Abuelita Elsa, el regalo más grande, contigo aprendí sobre la bondad y las cosas 

simples de la vida que nos hacen felices, tu risa y alegría siempre estarán 

conmigo. 

No hay límites para nuestros sueños, el desafío está en realizarlos. 

“Las Montañas que hay que mover están en nuestra mente”, Reinhold Messner.




Agradecimientos: 

A toda la gente de la División Catastro del Ministerio de Bienes Nacionales, por la 

ayuda prestada en la realización de este trabajo, especialmente a María Silvia 

Céspedes, Claudia López y Estefan Bagladi. 

A mi profesor guía Sr. René Zepeda y a todo el cuerpo de profesores del 

departamento de Geografía, que fueron partícipes de mi formación profesional.




RESUMEN 

El presente trabajo entrega el desarrollo de una investigación cuyo objetivo final es 

obtener los parámetros de una proyección TM que utilice un solo huso en Chile 

Continental, para así elaborar Cartografía del Ministerio de Bienes Nacionales de 

manera uniforme a lo largo de todo el país. 

Mediante este trabajo se presenta una teoría, una hipótesis y se demuestra 

su validez utilizando un método de investigación con cuyo análisis se llega a las 

conclusiones finales. 

El trabajo se ha dividido en cuatro capítulos generales. El primero hace una 

introducción al tema, presenta el problema, plantea la hipótesis y una metodología 

de investigación. El segundo capítulo entrega el marco teórico sobre el cual se 

sustenta la investigación. Este contiene temas tales como, referencias geodésicas, 

cartografía, proyecciones TM y Sistemas de Información Geográfica. 

En el tercer capítulo se muestra todo el desarrollo del trabajo, explicando 

cómo se obtuvieron los parámetros y sus valores, se presentan las fórmulas 

utilizadas, el estudio de las deformaciones obtenidas con los nuevos parámetros y 

la aplicación del nuevo sistema a diversos problemas, tales como, obtención de 

coordenadas TM a partir de coordenadas geodésicas, procesamiento de datos 

GPS y conversión de coberturas cartográficas. 

El capítulo cuatro entrega los análisis de los resultados obtenidos y las 

conclusiones y recomendaciones a partir de esos análisis.




ÍNDICE GENERAL 

1. Introducción.......................................................................................... 1 

1.1. Antecedentes.............................................................................. 1 

1.2. Planteamiento del Problema....................................................... 3 

1.3. Estado Actual.............................................................................. 4 

1.4. Hipótesis del Trabajo................................................................... 5 

1.5. Objetivo general........................................................................... 5 

1.6. Objetivos específicos................................................................... 6 

1.7. Descripción de la contribución esperada..................................... 7 

1.8. Metodología................................................................................. 7 

2. Marco teórico.......................................................................................... 8 

2.1. Referencias geodésicas............................................................... 8 

2.2. Cartografía...................................................................................15 

2.2.1. Definición de cartografía.............................................................. 15 

2.2.2. El problema de las proyecciones................................................. 15 

2.2.3. Deformaciones............................................................................. 18 

2.2.3.1. Deformaciones lineales............................................................. 18 

2.2.3.2. Deformaciones superficiales..................................................... 19 

2.2.3.3. Deformaciones angulares......................................................... 19 

2.2.4. Elipse de Tissot............................................................................ 19 

2.2.4.1. Campo del sistema y escala..................................................... 24 

2.2.4.2. Condiciones de conformidad.................................................... 26 

2.3. Proyección Transversal de Mercator........................................... 32




2.3.1. Generalidades............................................................................ 33 

2.3.2. Conversión analítica entre coordenadas geodésicas y planas.. 37 

2.3.3. Problema directo........................................................................ 42 

2.3.4. Factor de escala......................................................................... 45 

2.3.5. Determinación del coeficiente correspondiente al artificio de 

Tissot.......................................................................................... 47 

2.3.6. Geodésicas transformadas sobre la proyección........................ 49 

2.4. Sistemas de información geográfica.......................................... 52 

2.4.1. Generalidades............................................................................ 54 

2.4.2. Diferencias entre SIG y CAD……………………………………… 55 

2.4.3. Datos.......................................................................................... 56 

2.4.4. Base de datos cartográfica......................................................…57 

2.5. Proyecciones cartográficas en Arc View.................................... 58 

2.5.1 Elegir una proyección cartográfica........................................…. 59 

3. Desarrollo............................................................................................. 62 

3.1. Sistema Nacional Transversal de Mercator NTM....................... 62 

3.2. Generalidades............................................................................ 63 

3.3. Parámetros particulares para la proyección NTM...................... 64 

3.3.1. Falso Este nacional.................................................................... 64 

3.3.2. Falso Norte nacional.................................................................. 65 

3.3.3. Factor de Escala del meridiano central (Ko).............................. 65 

3.4. Fórmulas para la proyección NTM............................................. 70 

3.5. Determinación de la variación de la distorsión lineal................. 70 

3.5.1. Problema directo....................................................................… 70




3.5.1.1. Factor K en función de las coordenadas geodésicas........... 72 

3.5.1.2. Factor K en función de las coordenadas planas................... 74 

3.5.2. Problema inverso..................................................................... 76 

3.5.3. Estudio de las deformaciones en el sistema............................ 79 

3.5.3.1. Valores para la proyección UTM........................................... 86 

3.5.3.2. Valores para la proyección NTM........................................... 89 

3.6. Aplicación del nuevo sistema................................................... 90 

3.6.1. Obtención de coordenadas NTM a partir de coordenadas 

geodésicas (Problema directo)................................................ 90 

3.6.2. Aplicación de los parámetros en el procesamiento de datos 

GPS.......................................................................................… 93 

3.6.3. Conversión de coberturas cartográficas a la proyección NTM. 96 

4. Análisis y conclusiones...................................................................... 107 

4.1. Análisis.................................................................................... 107 

4.2. Conclusiones........................................................................... 112 

Bibliografìa………………………………………………………………………….. 115




1.1.- ANTECEDENTES 

CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN 

La proyección Universal Transversal de Mercator UTM es una proyección 

usada casi mundialmente para la representación en mapas de la superficie 

terrestre, toma como base la proyección Gauss-Kruger, pero se diferencia en que 

esta última utiliza un cilindro transverso tangente a la esfera en un meridiano 

central que por no tener distorsión tendrá un factor de escala igual a 1 a todo lo 

largo de él. 

El sistema (UTM), divide la Tierra entre las latitudes 84º Norte y 80º Sur en 

60 husos de 6º de ancho en longitud. El meridiano de Greenwich, o meridiano 0, 

es el límite entre las zonas 30 y 31. Chile continental, por su ubicación geográfica, 

se encuentra en los husos 18 (meridiano central de longitud –75°) y 19 (meridiano 

central de longitud –69°). 

A fin de evitar excesivos errores de escala (deformaciones) en los bordes 

de cada huso, (la proyección UTM no es equidistante en el meridiano central) sino 

que aplica un factor de escala (Ko) de 0,9996, por lo tanto, el cilindro tangente, 

descrito anteriormente, se transforma en un cilindro secante, que corta al elipsoide 

en dos líneas casi paralelas al meridiano central. De esta forma la proyección 

equidistante se produce aproximadamente a 180 km a ambos lados del meridiano 

central y las deformaciones en los bordes del huso llegan a ser del orden de 

1/1.000 (1m/km). Para que los valores numéricos de las coordenadas en cualquier 

cuadrante sean siempre positivos y aumenten en las direcciones Este y Norte, se 

1




considera como origen de cada sistema de coordenadas planas el Ecuador y el 

Meridiano Central, y se les asigna los valores Falso Este (FE) de 500.000 m y 

Falso Norte (FN) de 0 m para el hemisferio Norte y 10.000.000 m para el 

hemisferio Sur. La cuadrícula ortogonal UTM está formada por las paralelas a las 

proyecciones del Ecuador y del meridiano Central (MC). 

Existe una serie de puntos entre dos husos consecutivos en la que existe 

una duplicidad de las coordenadas UTM, esta línea es la del meridiano existente 

entre dos husos consecutivos. En el caso de Chile esto ocurre sobre el meridiano 

-72, límite entre los husos 18 y 19. 

Con la introducción de lleno, de los sistemas CAD y en general de sistemas 

informáticos en los que se representan información gráfica georreferenciada, como 

los sistemas SIG, y en general cualquier sistema que involucre información de 

carácter espacial, surge el problema que supone la representación de posiciones 

geográficas en proyección UTM existentes en distintos husos. 

Estos sistemas informáticos disponen de un sistema cartesiano x,y ó x,y,z 

sobre el cual se localizan las coordenadas UTM, las coordenadas en cualquier 

otro sistema de proyección y/o incluso las coordenadas geográficas, pero no 

disponen de un sistema en el que incluir dos o más orígenes de coordenadas para 

posiciones geográficas. 

Por ello, para poder representar integradamente coordenadas de todo Chile 

en un sistema informático, se recurre a la representación sobre el huso 19 de 

posiciones geográficas existentes en el huso 18. De esta manera se pasa de tener 

dos orígenes de coordenadas, uno por cada huso, a un solo sistema de 

coordenadas, el del huso 19. 

2




Esta operación se conoce como “forzar” las coordenadas UTM a un 

determinado huso, hecho que es posible pero no recomendable, ya que la 

distribución de husos y el empleo de distintos cilindros de proyección se efectúan 

para evitar, o disminuir en lo posible, la distorsión causada por la proyección, 

factor de escala. Este factor aumenta en forma exponencial conforme aumenta la 

distancia al meridiano central del huso de representación. 

1.2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 

El Ministerio de Bienes Nacionales al igual que todas las instituciones 

estatales o privadas que trabajan con Sistemas de Información Geográfica, y que 

despliegan coberturas a nivel nacional se encuentran con el dilema de transformar 

coberturas de un huso (extendiendo el huso) a otro para tener una visión general, 

el ideal sería contar con un solo huso de tal manera que toda la información 

ministerial se desplegara uniformemente. 

El presente trabajo pretende generar un nuevo Huso TM que abarque Chile 

Continental extendiendo más allá de los 6º el actual huso UTM, para lo cual será 

necesario evaluar factores de escala, errores etc. 

Se efectuará un estudio general utilizando el Modelo Matemático Genérico 

de los Sistemas TM para obtener coordenadas planas y factores de escala a partir 

de coordenadas geodésicas y de esta manera evaluar las deformaciones que se 

generarán a lo ancho del huso, desde el meridiano central, entre las líneas de 

secancia y fuera de ellas. Una vez obtenido los parámetros para el nuevo huso se 

3




realizarán pruebas numéricas y gráficas aplicando estos nuevos parámetros a 

diversas coberturas de Chile Continental en un Sistema de Información 

Geográfica. 

1.3.- ESTADO ACTUAL 

Consciente del acelerado desarrollo tecnológico que ha experimentado el 

campo de la Geodesia, Topografía y Cartografía, el Ministerio de Bienes 

Nacionales, específicamente la División del Catastro Nacional de los Bienes del 

Estado, se ha visto en la necesidad de reformular las condiciones de trabajo y de 

exigencias técnicas que realiza el Ministerio, en lo que respecta a la ejecución de 

levantamientos topográficos, elaboración y archivo de planos, como también a lo 

relativo en las firmas responsables de estos. Actitud que se ve ampliamente 

reforzada con la reciente adquisición de Instrumental de Ingeniería de la más 

moderna tecnología. 

Bajo este planteamiento fue que a partir de 1996 se inició El Programa de 

Actualización Catastral de todo el país, en el cual se introdujeron terrenos desde el 

año 1927 hasta el año 1996 en los diversos formatos imaginables. Se inició un 

proceso de Georreferenciación sobre cartografía regular IGM 1:50.000, proceso no 

óptimo pero con el que se pudo actualizar casi la totalidad del terreno fiscal. 

A partir del año 2000 y, con la introducción de tecnología GPS y 

Automatización Cartográfica con el uso de herramientas CAD, SIG ArcInfo y 

ArcView, se comenzó a construir una red geodésica del Ministerio ajustando la 

información obtenida en el proceso anterior y exigiendo la georreferenciación a 

4




todos los trabajos actuales, además de la entrega de un Mosaico Catastral en 

formato digital (ArcInfo o Arcview). 

De la totalidad del Territorio Nacional Continental, el 32% es fiscal (8 

millones de hectáreas aprox.) del cual casi el 50% es área silvestre protegida 

administrada por CONAF. Actualmente el Ministerio de Bienes Nacionales maneja 

la totalidad de esta información en formato digital, en un Mosaico SIG que 

contiene deslindes, escrituras, información administrativa y todos los elementos 

que exige el Manual de Normas Técnicas, el cual también obliga que toda la 

cartografía se encuentre en coordenadas UTM, pero no está reglamentado cómo 

se representará en el SIG, por lo tanto es arbitraría la utilización de un respectivo 

huso y tampoco se puede tener una visión general del territorio. 

1.4.- HIPÓTESIS DEL TRABAJO 

Es posible desarrollar un sistema de proyección nacional basado en la 

proyección TM, que permita, sin incurrir en deformaciones mayores de la escala, 

la adopción de un solo meridiano central. 

1.5.- OBJETIVO GENERAL 

Estudiar y evaluar el desarrollo de un sistema nacional basado en la 

Proyección TM, que permita, sin incurrir en deformaciones mayores de la escala, 

es decir aplicable a coberturas desplegadas en la proyección UTM a escalas 

1:50.000 y menores, en las que la máxima apreciación es de 10 metros, la 

5




adopción de un solo meridiano central, analizando los errores que se producirán al 

extender más allá de los 6º, un nuevo huso TM. 

1.6.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Determinar el ancho del huso y su Meridiano Central para abarcar a Chile 

Continental. 

Determinar los parámetros del nuevo sistema TM, tales como Factor de Escala 

del Meridiano Central, Falso Este y Falso Norte. 

Determinar la variación de la distorsión lineal a medida que se aleja del 

Meridiano Central y del Ecuador. 

Aplicar, a coberturas de Chile Continental, el nuevo sistema y evaluar las 

deformaciones que se producirán. 

Analizar y comparar en zonas límites de huso, la aplicación del nuevo sistema 

con la aplicación de un huso extendido. 

Realizar una metodología para la obtención de coordenadas del nuevo sistema 

a partir de datos de terreno. 

Realizar una metodología para la actualización de las coberturas existentes en 

formatos UTM al nuevo sistema y viceversa en un SIG. 

6




1.7.- DESCRIPCIÓN DE LA CONTRIBUCIÓN ESPERADA Y EL PRODUCTO A 

OBTENER 

La División del Catastro Nacional de los Bienes del Estado es la autoridad 

técnica en la formación, conservación y actualización del catastro nacional de los 

bienes del Estado y en los trabajos de mensura que se requieren en el 

cumplimiento de los fines propios del Ministerio. Bajo esta definición el Ingeniero 

Geomensor es un profesional capacitado para estudiar, elaborar y proponer 

Normas Técnicas y, controlar la calidad de los trabajos topográficos y cartográficos 

que deban realizarse por el Ministerio y sus dependencias. Contribuir al desarrollo 

del área cartográfica para desplegar uniformemente toda la información ministerial 

no solo beneficia a esta institución del Estado, lo cual ya es un aporte, sino que 

también a todas las instituciones y personas que deseen desarrollar esta área. 

Sobre el producto a obtener, principalmente es entregar los parámetros y 

una metodología sobre la actualización y obtención de coordenadas en el nuevo 

sistema. 

. 

3.- METODOLOGIA 

La metodología a utilizar estará basada en un enfoque sistémico, es decir, 

se analizara el comportamiento del sistema para emitir un diagnóstico del 

problema y luego se planteará una posible solución, primero conceptual y luego en 

detalle. Para ello se utilizarán las fórmulas generales del Modelo Matemático de 

los Sistemas TM. 

7




2.1.- REFERENCIAS GEODESICAS 

2.1.1.- ELIPSOIDE DE REFERENCIA 

CAPITULO 2.- MARCO TEÓRICO 

Los cálculos necesarios para obtener las coordenadas de puntos 

sobre la superficie terrestre deben ser soportados por algún sistema de referencia. 

El geoide no puede servir de referencia ya que es un superficie compleja, por lo 

tato, se debe acomodar una superficie de forma tal que se asemeje al geoide y 

que su representación matemática sea posible. 

Esta superficie corresponde al elipsoide (figura 2.1), el cual es generado a 

partir de la rotación de una elipse en torno a su eje menor (b), es decir, el elipsoide 

es una superficie de revolución. 

Figura 2.1.- Elipsoide 

y 

b 

f2 f1 

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos tal que la suma de sus 

distancias a dos puntos fijos de ella es constate. Estos dos puntos fijos son 

llamados focos (f1 y f2), siendo además a el semieje mayor y b el semieje menor. 

Además se reconoce f como su achatamiento, el cual está en función del semieje 

mayor y menor. 

a 

x 

8




Un elipsoide de referencia es el elipsoide que se usa en un determinado lugar, 

país o región, existiendo incluso elipsoides de carácter global, para esto bastará 

definir sus dimensiones. En Chile, los elipsoides de referencia usados son los 

siguientes: 

Elipsoide Internacional de 1924 a = 6.378.388m f = 1/297 

Elipsoide Sudamericano de 1969 a = 6.378.160m f = 1/298,25 

2.1.2.- ELIPSOIDE GENERAL DE LA TIERRA 

siguientes condiciones: 

Es el más próximo al geoide, tiene carácter global y cumple las 

Igualdad de volúmenes entre elipsoide y geoide. 

Coincidencia de planos ecuatoriales y del centro de masa de la Tierra con el 

centro del elipsoide, incluyendo océanos y atmósfera. 

Hacer mínima la suma de los cuadrados de las alturas geoidales. 

. Un elipsoide general y “moderno” de la Tierra es el GRS-80. 

Elipsoide GRS-80 a = 6.378.137m f = 1/298,257223563 

, siendo este último de uso en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS). 

9




2.1.3.- DATUM GEODESICO HORIZONTAL CLÁSICO 

El elipsoide que ha sido definido (sus dimensiones) y orientado o 

posicionado (colocado en la superficie terrestre) se define como datum geodésico 

horizontal, este proporciona ciertos valores iniciales (cantidades numéricas) que 

servirán de base o referencia para determinar la posición de los puntos de la 

superficie terrestre en el elipsoide. Estos valores numéricos son: dimensiones del 

elipsoide (epígrafe 2.1.1), latitud y longitud de un punto de control (geodésicas y 

astronómicas), azimut (geodésico y astronómico) de ese punto a otro, altura 

ortométrica (ondulación geoidal) y desviación de la vertical en el punto. 

La determinación del datum se puede realizar de dos maneras: 

Por Observación Astronómica Única: se realiza en un punto de triangulación de 

primer orden y se hacen observaciones astronómicas, igualándolas a las 

geodésicas (desviación de la vertical 0, coincidencia de las normales al elipsoide y 

geoide). Se asume que geoide y elipsoide coinciden (altura geoidal 0). Es de uso 

local, al alejarse comienzan a surgir problemas. En Chile un datum de este tipo es 

Hito-XVIII-Elipsoide Internacional de 1924 (en la XII Región). 

Por Orientación Astronómica Geodésica del Datum: Se determina la 

desviación de la vertical en varias estaciones, cubriendo una gran área, estas 

estaciones serán estaciones Laplace ( se puede aplicar la ecuación de Laplace). 

Una de las estaciones se elegirá como origen. Con las observaciones se elegirá la 

posición del elipsoide más adecuada, de tal manera que de mínima la deflexión de 

10




la vertical. En este caso podrá haber una altura geoidal. Estos datums se pueden 

conectar para trabajar en un mismo sistema. Los Datum horizontales de uso en 

Chile son: PSAD-56-Elipsoide Internacional de 1924, origen La Canoa Venezuela, 

= 08° 34’ 17.170” N, = 63° 51’ 34.880” W, h = 178.870 m, Az a Pozo Hondo= 40° 22’45.96” (desde el extremo 

norte hasta la latitud 43º30’ S), SAD-69-Elipsoide sudamericano 1969, origen 

Chua Brazil, = 19° 45’ 41’’.6527 S, = 48° 06’ 04”.0639 W, h = 763.28 m, Az a Uberaba= 271° 30’ 04”.05 (desde 

la latitud 43º30’ S) 

2.1.4.- DATUM SATELITAL 

El Departamento de Defensa de los Estados Unidos ha diseñado, en 

base ha datos satelitales, gravimétricos y astronómicos, un sistema geodésico 

mundial que ha servido como referecia para el GPS (Sistema de Posicionamiento 

Global), y que proporciona entre otra información un mapa de alturas geoidales. 

El Sistema Geodésico Mundial 1984- WGS-84 (World Geodesic System 

1984), es el Datum de uso para GPS y compatible con un Marco de Referencia 

Terrestre Internacional -ITRF- básicamente bajo los siguientes aspectos: 

Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo 

océanos y atmósfera. 

Orientación: 

11




o Eje Z en la dirección del Polo de Referencia establecido por el 

Servicio internacional de Rotación Terrestre – IERS. 

o Eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano 

ecuatorial. 

o Eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido de la mano 

derecha). 

Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también WGS-84, este 

elipsoide posee los parámetros del Sistema de Referencia 1980 - GRS-80. 

Actualmente Sudamérica, para compatibilizar los sistemas geodésicos 

utilizados, se encuentra en proceso de definir y establecer un sistema de 

referencia único con precisión compatible con la actual tecnología de 

posicionamiento. Este sistema, denominado SIRGAS 2000, también es 

geocéntrico. 

2.1.5.- DATUM GEODESICO VERTICAL 

El nivel medio del mar es la superficie de referencia que se utiliza 

para el cálculo de alturas denominadas ortométricas (H). El sistema de referencia 

WGS-84 (utiliza el elipsoide como Datum vertical) es una referencia geométrica 

tridimensional, la altura es referida al elipsoide (h) 

12




otro: 

Es importante conocer las precisiones que se obtienen entre un sistema y 

CATEG. REDES ORDEN ORDEN CLÁSICO ERROR PPM ERROR PROP 

1/X 

GEODINÁMICA 

ITRSs – SIRGAS 2000 

AA - 0,01 100.000.000 

REF. NAC. PRIMARIA 

REDES GPS NACIONALES 

A - 0,1 10.000.000 

REDES LOCALES 

GPS GEODÉSICAS 

WGS 84 

B - 1 1.000.000 

CONTROL MAPEO 

PSAD 56 

SAD69 (CLÁSICAS) 

C 1 er ORDEN 10 100.000 

? B 2 O ORDEN 20 50.000 

2.1.6.- ONDULACIÓN GEOIDAL 

Distancia, separación, entre el geoide y el elipsoide en un 

determinado punto (Figura 2.2). La ondulación geoidal comúnmente es designada 

por N en otras bibliografías, pero para evitar confundirla con la Gran normal se 

designará por hG , así: 

hG = |H - h| (2.1) donde: - H es la altura ortométrica y; 

- h es la altura elipsoidal. 

13




hG 

H 

h 

SUPERFICIE 

TERRESTRE 

GEOIDE 

Figura 2.2.- Ondulación Geoidal 

ELIPSOIDE 

Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la 

determinación de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal hG), lo 

que se ha resuelto en gran parte con la elaboración de mapas geoidales. 

14




2.2.- CARTOGRAFIA 

2.2.1.- DEFINICIÓN DE CARTOGRAFIA 

Se define la cartografía como la ciencia que estudia los diferentes métodos 

o sistemas para representar sobre un plano, una parte, o la totalidad de la 

superficie terrestre, de manera que las deformaciones que se producen sean 

mínimas y siempre conocidas, o bien, que la representación plana obtenida, 

cumpla ciertas condiciones especiales que interesen desde el punto de vista de su 

utilización posterior. También se puede definir como la ciencia que estudia la 

representación plana de la esfera o del elipsoide, tratando de obtener por el 

cálculo las coordenadas de los puntos del plano correspondientes a los situados 

en dichas superficies. 

2.2.2.- EL PROBLEMA DE LAS PROYECCIONES 

Según definición internacionalmente adoptada, proyección es la 

correspondencia matemática biunívoca entre los puntos de una esfera o elipsoide 

y sus transformados en el plano. 

La superficie terrestre total es un espacio curvo, representado 

analíticamente por el elipsoide de referencia que representa al geoide. 

La Tierra, mirada de manera generalizada, es decir, en una primera 

aproximación, puede considerarse una esfera. Más cercana a la realidad en una 

segunda aproximación, la forma de la Tierra puede describirse como un elipsoide. 

15




Una tercera aproximación o acercamiento a la forma real de la Tierra, se define 

como Geoide, forma única y particular del globo terrestre. 

Es relativamente fácil pasar del elipsoide a un esfera de igual superficie a la 

que se llama globo terrestre, sin embargo, para pasar de este elipsoide al plano se 

deberá establecer un ley de correspondencia adecuada entre los elementos del 

elipsoide y sus representaciones en el plano, de manera que se minimicen las 

distorsiones. Este sistema de correspondencia se denomina Sistema de 

Proyección. 

El problema queda resuelto cuando las coordenadas rectangulares del 

plano x e y, se representan en función de las coordenadas geodésicas latitud ( y 

longitud ( en el elipsoide, y viceversa. Mediante ciertas funciones, conforme al 

esquema (Figura 2.3). 

16




ELIPSOIDE REPRESENTACIÓN PLANA 

P() P’(x,y) 

f 

P1(1) P’1(xy1) 

P2(2) P’2(xy2) 

Figura 2.3.- Sistema de proyección 

La limitación de las proyecciones respecto a representar conjuntamente 

todas las cualidades de la realidad, es proporcional al área representada, puesto 

que las deformaciones serán mínimas si la superficie abarcada en la proyección 

es suficientemente pequeña como para excluir la incidencia de la curvatura 

terrestre. Por el contrario, en áreas extensas, y más aún en la representación de la 

totalidad del elipsoide, las deformaciones serán mayores producto de la dificultad 

de traspasar al plano una superficie curva. 

g 

17




2.2.3.- DEFORMACIONES 

Tanto las líneas geodésicas como las superficies terrestres y ángulos 

pueden sufrir variaciones al representarse en el plano de una proyección. 

2.2.3.1.- DEFORMACIONES LINEALES 

Si se representa por S la magnitud de una línea geodésica y por S’ la 

correspondiente en la proyección elegida (este valor es el que lleva al plano o 

mapa), se llama factor de escala o módulo de deformación o anamorfosis lineal, 

en el lugar que se considere, al cuociente: 

K S' 

/ S (2.5) 

Este factor de escala varía con la situación de la línea geodésica sobre el 

elipsoide y puede ser mayor, menor o igual a la unidad, permaneciendo constante 

en ciertos puntos, llamándose en este último caso línea automecoica, o sea, 

cuando para los puntos de la misma se verifica que K = constante. El factor de 

escala es de carácter puntual. 

18




2.2.3.2.- DEFORMACIONES SUPERFICIALES 

Las magnitudes superficiales sufren igualmente deformaciones, 

denominándose módulo de deformación superficial o anamorfosis superficial a 

K A 

A'/ 

A (2.6) 

siendo A’ y A las áreas sobre la proyección y sobre el elipsoide respectivamente. 

2.2.3.3.- DEFORMACIONES ANGULARES 

El ángulo que forman dos líneas geodésicas sobre el elipsoide, le 

corresponde otro ’ sobre la proyección. La diferencia - ’ se llama deformación 

o anamorfosis angular. 

2.2.4.- ELIPSE DE TISSOT 

Al estudiar las deformaciones producidas en la representación del elipsoide 

sobre el plano, el francés Tissot (1860) enunció el siguiente principio: en todo 

punto de la superficie existen dos direcciones perpendiculares tales que en sus 

imágenes planas también lo son, se trata de las direcciones llamadas principales. 

Efectivamente, si se consideran sobre el elipsoide dos geodésicas OGo y OHo 

perpendiculares (Figura 2.4), sus imágenes en el plano serán dos curvas O’G’o y 

O’H’o que en general no serán geodésicas del plano (no son rectas) ni 

19




perpendiculares; supóngase una rotación continua que lleve a la geodésica OGo 

sobre OHo en OG1, en este caso OHo coincidiría con OGo en OH1 (las dos 

geodésicas seguirán siendo perpendiculares sobre el elipsoide). En cambio en el 

plano las transformadas correspondientes han sido O’G’1 y O’H’1, el ángulo que 

inicialmente era agudo se ha vuelto mayor de /2, lo cual indica que ha habido un 

momento durante la rotación en que ambas direcciones fueron perpendiculares. 

Go 

O 

H1 

Figura 2.4.- Deformaciones en la representación del elipsoide sobre el plano. 

Ho 

G1 

Considérese ahora un punto P del elipsoide que describa alrededor de O un 

círculo de radio infinitesimal dr (Figura 2.5). Sobre el plano le corresponderá un 

punto P’ que describirá una elipse de centro O’ (en la figura se dibujan 

superpuestos). Esta elipse cuyos ejes tienen por valor adr y bdr es la llamada 

elipse de Tissot, elipse indicatriz fundamental en este tipo de transformaciones. El 

punto P’ homólogo del perteneciente al elipsoide se obtiene mediante la 

H'1 

O 

G'o 

 

H'o 

G'1 

20




construcción clásica del círculo principal de la elipse. Los puntos C y D tienen 

como imagen los C’ y D’ : es decir los ejes de elipse corresponden por tanto a las 

direcciones principales (direcciones perpendiculares conservadas). 

Evidentemente la escala local 

bdr 

Y=g 

O 

adr 

Figura 2.5.- Elipse de Tissot 

X=f 

O' 

P' 

K será variable en función de la dirección 

OP 

O'C' 

considerada, pasando por un máximo K1 a 

OC 

y por un mínimo 

O' 

D' 

bdr 

K2 b teniendo por tanto que los valores extremos de la escala local 

OD dr 

se manifiestan sobre las direcciones principales. Análogamente se podrían 

estudiar las alteraciones superficiales o angulares, en este caso dadas por las 

diferencias entre direcciones de puntos del círculo y homólogos de la elipse, así 

por ejemplo al ángulo COP del elipsoide le correspondería el C’O’P’. Esta 

21




alteración angular es nula para el par formado por las direcciones principales y 

sólo para ellas, salvo que la representación sea conforme, demostrándose que su 

2 

valor en función de los semiejes a y b es : tg( ' 

) ( b a) 

tg 

/( a btg ) , 

asimismo la máxima alteración U 'U , ( U U 

' 

90) 

viene dada por : 

sen ( 

a b) 

/( a b) 

, con tgU ' b / a y tgU a / b . En cuanto a la alteración 

2 

dS' 

a b dr 

superficial, su magnitud es la siguiente: 

ab . 

dS dr 

Se observa que los semiejes de esta elipse indicatriz evidencian las 

deformaciones del sistema de presentación elegido. Su cálculo basado en los 

teoremas de Apolonio, parte de la determinación de los módulos de deformación 

lineal a lo largo de los meridianos 

E d 

E 1 f 

g 

 

h 

 

y del paralelo 

d 

 

 

 

2 

2 

Gd 

1 f 

g 

 

k 

; pasando por las expresiones 

N cos 

d 

N cos 

 

 

 

h 

2 2 2 2 

k a b y h k I ab 

2 

2 

cos (donde I es la diferencia entre el ángulo recto del 

meridiano y paralelo del elipsoide y su homólogo en el plano), se llega finalmente 

a las ecuaciones: 

22




2 

2 

2 1 g 

1 f 

1 f 

1 g 

 

( b) 

 

 

cos 

 

cos 

 

 

N 

 

N 

 

a (2.7) 

2 

2 

2 1 f 

1 g 

1 g 

1 f 

 

( b) 

 

 

cos 

 

cos 

 

 

N 

 

N 

 

a (2.8) 

que permiten calcular los valores de los semiejes a y b, imágenes de las 

direcciones principales. 

Definición de variables y constantes: 

elemento angular, ' módulo de deformación angular. 

máxima alteración angular. 

U dirección desde el eje X hasta el punto P (fig. 2.5). 

U ' 

dirección desde el eje X hasta el punto P’. 

ds elemento superficial. 

E elemento lineal sobre el paralelo = 

x 

 

 

2 

 

 

 

2 

y 

 

 

 

 

x 

y 

 

G elemento lineal sobre el meridiano = 

 

 

 

x x 

y 

y 

F elemento lineal en función de la latitud y longitud = 

 

 

 

 

f x = eje de las absisas. 

g y = eje de las ordenadas. 

M = Radio de curvatura de la elipse meridiana. 

N Gran Normal. 

a, b, 

e, 

e' 

constantes del elipsoide de referencia. 

r radio del paralelo de latitud 

h = deformación sobre el meridiano 

k = deformación sobre el paralelo 

latitud Isométrica. 

E = denominador de escala. 

K = factor de escala 

Ko = factor de escala en el meridiano central. 

Arco de meridiano. 

2 

2 

23




2.2.4.1.- CAMPO DEL SISTEMA Y ESCALA 

Se define el campo del sistema de representación como el dominio 

sobre el que puede aplicarse sin que las anamorfosis inherentes al proceso 

superen un valor determinado. Así por ejemplo si la representación es conforme 

habrá que estudiar hasta qué extensión se puede considerar aplicada sin que las 

deformaciones lineales excedieran de una constante previamente fijada. Dicho de 

otra forma, si la denominada alteración lineal se fija en K’ = 1/2000 ese es el valor 

que marca el campo del sistema, en el sentido de que si se proyecta una distancia 

no se puede cometer una deformación superior a este valor. En general si la 

escala del mapa, relación entre magnitud de éste y la correspondiente en el 

1 1 1 

terreno es ; sobre su campo debe aplicarse K ' 

1 

K , de ahí el nombre 

E 

E E 

de factor de escala. Si al efectuar una transformación se encuentra una 

incertidumbre próxima a 1/2000 quiere decir que se está en el límite del campo de 

aplicación. Normalmente la cifra fijada como tope es precisamente 

1 

1 

K C 1. 0005 1 

K'C 

KC 

1 

(2.9) 

2000 

2000 

De forma que si en una determinada proyección el factor de escala lineal es mayor 

de 1.0005, no es aplicable para representar el detalle estudiado (habrá que 

alejarse poco del origen de coordenadas en el elipsoide, zona de tangencia en los 

desarrollos). 

24




Se observa que los elementos deformados, o los ejes de la elipse indicatriz 

permiten conocer no solo las alteraciones que se producen en el entorno de un 

punto sino comparar magnitudes lineales medidas en diferentes regiones del 

mapa. La comparación de referencia suele hacerse entre líneas tales que una no 

1 

haya sufrido deformación (línea de secancia k=1) y otra sí. De forma que si es 

E 

la escala general de la representación, ésta sólo se cumplirá para las líneas del 

primer tipo ya que para las segundas, deformadas, la relación que hay que aplicar 

1 1 

sería K , siendo K el módulo de deformación lineal, escala local y más 

E' 

E 

frecuentemente factor de escala y 

propia definición es función del punto, K, 

 

1 

E' la escala real de la representación por su 

K . Ejemplo: si a 1/25000 se miden 

1 1 

5cm y K 1. 002, 

5cm 

1247. 

5m 

y no 1250 m. A veces si la 

E' 

24950 

superficie es grande se acompañan ábacos aclaratorios de la variación de la 

escala. 

25




2.2.4.2.- CONDICIONES DE CONFORMIDAD 

En aquellos casos en que los ejes de la elipse de Tissot son tales que en 

todo punto a = b, es decir a un círculo elemental le corresponde otro como imagen, 

ocurrirá que en cada punto la escala local es idéntica en todas las direcciones 

(pero variable de un punto a otro). En consecuencia, la semejanza de figuras 

manifiesta que la alteración angular sería nula y por tanto la representación 

conservaría los ángulos. Esto significa (Figura 2.6) que si se consideran dos 

curvas C1 y C2 del elipsoide, que admitan en P las tangentes T1 y T2 formando un 

ángulo , su imagen en el plano serían dos curvas C’1 y C’2 que tendrían en P’ dos 

tangentes T’1 y T’2 formando un ángulo tal que cualquiera que fuesen las curvas 

consideradas, se tendría (Aclárese que simultáneamente no puede ocurrir 

que a b 1 y a b (equivalencia y conformidad) en todo punto ya que ello 

implicaría la conservación de las longitudes y ángulos y eso se sabe que es 

imposible al tratarse de superficies no desarrollables). 

26




 

Figura 2.6.- Conservación del ángulo al traspasarlo del elipsoide al plano. 

Por la propia naturaleza de la proyección se desprende por tanto la 

inconsecuencia de que la relación de longitudes ha de ser independiente de la 

dirección considerada. Para llegar a las ecuaciones de conformidad se 

transformará antes la expresión de K 2 dada por 

Como 

Md 

tg 

, dividiendo por 

N cosd 

2 

2 

Etg 2Ftg 

d 

G 

 

2 

2 

2 2 

M M d 

N cos 

2 

tg 1 

 

 

Ed 

2Fdd 

Gd 

2 2 2 2 

M d 

N cos d 

2 2 

2 2 2 M d 

N cos d resultará que: 

2 

tg 

2 

2 

Etg tg M G 

2F 

 

2 

2 

2 2 

M M N costg 

N cos 

2 

tg 1 

2 

2 

Etg 2Ftg 

G 

 

2 

2 

2 

K M Mr r ; (r radio del paralelo de latitud ) 

2 

tg 1 

Generalmente los valores de K 2 variarán lógicamente según la dirección de 

Las tangentes de ese ángulo correspondiente a los valores extremos de la 

2 

. 

 

27




expresión anterior se determinarán resolviendo la ecuación de 2º grado obtenida 

al igualar a cero su derivada con relación a 

K 

 

2 

E G 

E G 

 

 

2 2 

2 2 

2 

tg M r tg 

1 

0 tg 

M r 

F 

2F 

Mr 

Mr 

tg tg 

1 

y tg 

tg 

E 

M 

1 

2 

1 2 

2 

F 

Mr 

G 

2 

r 

E G 

2 2 

M r 

2 

4F 

2 2 

M r 

Al comprobar la primera que las direcciones y correspondientes al máximo y 

mínimo que se ocupa son rectangulares en la superficie elipsoidal; reemplazando 

los valores 1 tg y 2 tg en la expresión de K2 se obtienen las magnitudes de los 

semiejes a y b que como se sabe son también perpendiculares. Si la proyección 

es conforme, se cumple que la deformación es independiente de la dirección 

considerada y 

K 

1 

2 2 2 

a b , es decir que las raíces de la ecuación de 2º grado 

0 

serán de la forma , o dicho de otra forma, como la ecuación ha de satisfacerse 

0 

cualquiera que sea el valor de 

 

F 

tg 

Mr 

E 

 

M 

2 

2 

G 

 

2 tg 

r 

F 

Mr 

E G E G 

y 0 

2 2 , ó 2 2 

M r M r 

Las expresiones 

0 

y F 0 

F 

r 

0 

E G 

y F 0 son las condiciones de 

2 2 2 

M N cos 

conformidad del sistema de representación empleado. A estas condiciones se 

28




puede llegar de varias formas, en efecto si a b a b 0 , luego recordar que 

ambos corchetes han de anularse al ser los dos positivos (elevados al cuadrado). 

1 f 1 g 

1 g 

1 f 

 

a 

cos 

 

cos 

( o que h = K , es decir, 

M 

N M 

N 

2 b 

 

 

0 

la deformación sobre el meridiano igual a la del paralelo). 

1 f 1 g 

 

 

M 

N cos 

 

2 

1 g 1 f 

 

y 

M N cos 

 

2 

ecuaciones también conocidas 

como de Cauchy Riemann; que en el caso de la Tierra esférica, N = M se 

simplificarían adoptando la forma: 

f 1 g 

 

 

 

cos 

 

g 

1 f 

 

y , con (R = 1). 

 

cos 

 

Estas condiciones se pueden volver independientes de la forma del 

meridiano haciendo intervenir una nueva variable, llamada latitud creciente 

M 

(esfera) o Isométrica (elipsoide) definida por la relación d 

d 

, es 

N cos 

decir, tal que el canevas de meridianos y paralelos así formados sea cuadrangular 

meridiano paralelo 

; efectivamente d d 

ya que si se hace d d 

, resulta 

Md 

d 

Md 

N cosd 

(iguala el diferencial del meridiano al del 

N cos 

paralelo). En el caso de la esfera la expresión de esta latitud sería 

1 

d 

d 

. 

cos 

29




 

d 

 

Resulta que Lntg 

 

 

, para el elipsoide se 

cos 4 2 

obtendría 

 

0 

Md 

e 1 

esen 

Lntg Ln 

N 

 

cos 

 

4 2 2 1 

esen 

0 

Para deducir las nuevas condiciones de conformidad se partirá de las 

derivadas f y g respecto a a través de , teniendo: 

g g 

 

y 

 

d 

M g 

g 

M 

 

y 

d 

N cos N cos 

f f 

 

, considerando la expresión de 

 

f 

f 

M 

, 

N cos 

sustituyendo las expresiones halladas para los dos primeros miembros resultaría: 

M f 

g 

M 

M g 

f 

M 

y 

 

N cos N cos 

N cos N cos 

f g 

 

y 

 

conformidad serán: 

f g 

y 

 

g f 

entonces las nuevas ecuaciones de 

 

g g 

 

 

La ecuación general de las proyecciones conformes se obtiene derivando 

los dos miembros de las condiciones, con relación a en la primera y con relación 

a en la segunda: 

2 2 

2 

2 

f g f g 

, 

2 

2 

 

por cumplirse la igualdad de Schwarz ( 2 as 

2 

2 

f g 

derivadas cruzadas) 0 g 

. Se trata de una ecuación en 

2 

2 

 

30




derivadas parciales de segundo orden llamada de las funciones armónicas 

cilíndricas o de Laplace que tiene por integral la función g g i 

g i 

1 

2 

siendo 1 g y g2 funciones arbitrarias e 1 i , para la función f se obtiene una 

fórmula análoga, pero las funciones que contienen estarán ligadas a 1 g y g2 por 

las ecuaciones de las condiciones de conformidad. Se tiene en definitiva que la 

función f y g deben ser reales, la función g2 no puede ser arbitraria una vez 

que haya fijado la 1 g : si se elige para 1 g una función real, g2 será la misma 

función real; si 1 g es imaginaria, g2 sería su conjugada. 

Cabe destacar la utilidad de estas proyecciones conformes para la 

geodesia, puesto que allí son básicos los cálculos en lo que intervienen los 

ángulos siendo esa la causa que limita estudiar sólo este tipo. Ahora bien, aun en 

este supuesto hay que aplicar una corrección sobre el plano, ya que si ABC es un 

triángulo del elipsoide, sus tres geodésicas se transformarán en sendas curvas en 

el plano. Se sabe que se conservan los ángulos de las tangentes y que para 

aplicar las fórmulas de trigonometría plana hay que hallar el triángulo rectilíneo. De 

forma que para cada dirección observada se deberá pasar de la curva 

transformada plana de la geodésica a la cuerda correspondiente, esa reducción 

depende de cada sistema siendo tal que la suma algebraica de las seis que hay 

que aplicar será igual al exceso esférico del triángulo (se conservan los ángulos). 

En resumen, las fórmulas de la representación plana deben permitir: pasar de las 

coordenadas elipsoidales, geodésicas, a las planas recíprocamente, calcular la 

escala de cada punto (alteración lineal) y calcular esa reducción a la cuerda. 

31




2.3.- PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM) 

La representación plana del elipsoide es una necesidad desde el punto de 

vista cartográfico y una comodidad bajo el prisma geodésico. En el primer aspecto, 

la representación más fiel sería un globo homotético al terrestre. 

Desgraciadamente para una representación detallada, a escala, sería necesario 

un globo de grandes dimensiones con los inconvenientes consiguientes: 

fabricación, almacenaje, consulta y transporte sobre el terreno como documento 

de trabajo. Es por tanto evidente la ventaja sustancial de una imagen plana en 

todos los supuestos. 

El análisis del problema de la representación con el enfoque geodésico se 

basa en los cálculos de coordenadas de puntos a partir de medidas realizadas 

sobre el terreno. Aunque se sabe que teóricamente el problema está resuelto 

realizando los cálculos sobre un elipsoide convencional, que se ajusta en gran 

parte a la superficie terrestre sobre una cierta extensión. Es cierto que la 

formulación del problema es enormemente complicada, siendo ese el origen de 

que desde un primer momento se pensara en la simplificación que supone 

transformar el elipsoide en esfera local (globo terráqueo) y usar las fórmulas de la 

trigonometría esférica. Bajo esa misma línea de razonamiento se puede simplificar 

más el problema si el elipsoide se representa sobre el plano, ya que el transporte 

de coordenadas, con todos los cálculos necesarios, se realizaría con las fórmulas 

clásicas de trigonometría plana. 

32




2.3.1.- GENERALIDADES 

La representación TM, es la recomendada para países como Chile, 

extendidos a lo largo de un meridiano, deriva de la proyección Gauss-Krüger. La 

diferencia fundamental entre ambas proyecciones radica en que la Gauss-Krüger 

concibe un cilindro transverso tangente a la esfera en un meridiano central, que 

por no tener distorsión, tendrá un factor de escala igual a 1, por el contrario la 

proyección TM concibe un cilindro secante al elipsoide con un meridiano central 

cuyo factor de escala será distinto a la unidad. 

La siguiente figura ilustra la proyección TM: 

Figura 2.7.- Proyección Transversal de Mercator 

Un sistema cilíndrico transverso conforme, utilizado para toda la superficie 

de referencia, tiene el inconveniente de que a medida que se produce una 

separación en longitud del meridiano central, las deformaciones aumentan, 

33




llegando a alcanzar valores inadmisibles desde el punto de vista de la ingeniería, 

tal y como se desprende de la siguiente figura: 

Figura 2.8.- Deformación producida en la proyección a medida que se produce una separación en 

longitud del meridiano central. 

Para que la proyección TM cubra toda la superficie de referencia, se recurre 

al artificio de subdividir el elipsoide de revolución, en husos (porción de la 

superficie elipsoidal comprendida entre dos meridianos) de igual amplitud. En cada 

34




huso se considerará un desarrollo cilíndrico conforme transverso, se tendrá por 

tanto la cantidad de proyecciones necesarias de manera que se cubra la totalidad 

del elipsoide, pero referida cada una al meridiano central del huso respectivo y al 

Ecuador (Figura 2.9). dado que la superficie de referencia es una superficie de 

revolución, las expresiones que resuelvan el paso directo e inverso de 

transformación de coordenadas, los estudios de deformaciones, etc. Serán iguales 

para cada uno de los husos, sin más que particularizar la longitud geodésica del 

meridiano central correspondiente. 

Figura 2.9.- Sistema de referencia para cada Huso 

35




La proyección TM se define bajo las siguientes condiciones: 

La proyección es conforme. 

El plano de referencia donde se define el sistema rectangular es único para 

todas las zonas. 

Los errores causados por las deformaciones propias de la proyección no 

exceden a una tolerancia dada. 

La transformada del meridiano central de cada huso es una línea automecoica 

(igual factor de escala K0 ). Esta condición, al ser el meridiano una geodésica 

del elipsoide, convierte su transformada en una recta. 

Las expresiones de transformación son las mismas para cualquier huso, pero 

referidas al meridiano central de éste y siempre que se suponga una misma 

superficie de referencia, un mismo elipsoide. 

Para reducir las deformaciones en los extremos de cada huso se aplica el 

artificio de Tissot, es por este motivo que el meridiano central de cada huso es 

automecoico, ya que presenta un factor de escala constante en todos sus puntos 

menor que 1. Esto se traduce en que el cilindro deja de ser tangente, como lo es 

en la proyección Gauss-Krüger, para pasar a ser secante en la proyección TM. 

Finalmente se recurre también al artificio de Tissot para reducir a la mitad las 

alteraciones producidas en las zonas más alejadas del meridiano origen, se trata 

por tanto de una ampliación continuada de la representación de Gauss. 

36




Por el hecho de que haya que utilizar diferentes husos en algunos casos, 

habrá ciertas situaciones extremas, cuando se trabaja en el límite entre dos husos, 

en que se planteará el problema de tener las coordenadas de la proyección en dos 

sistemas distintos, uno para cada huso. 

2.3.2.- CONVERSIÓN ANALÍTICA ENTRE COORDENADAS GEODÉSICAS Y 

PLANAS 

El problema de la transformación de coordenadas geodésicas a planas o a 

la inversa puede enfocarse de un modo general haciendo intervenir el análisis de 

la variable compleja. Efectivamente, se estudió (ver sección 2.2.4.2) que las 

condiciones de conformidad establecían que: 

g f 

 

 

 

siendo f , 

(2.10) y 

g f 

 

 

 

x e y g, 

 

 

= latitud isométrica = 

0 

Md 

N cos 

(2.12) 

(2.11) 

Identificando el par (x,y) con la imagen A’ del punto A del elipsoide a su vez 

determinado por ( Ahora bien, en el estudio de la variable compleja se 

demuestra que las anteriores condiciones de Cauchy Riemann, de igual nombre 

en ese campo, son necesarias y suficientes para que las funciones g y f con 

derivadas parciales continuas sean la parte real e imaginaria de una función 

analítica (con derivada) de variable compleja i 

tal que: 

h 

i 

g 

 

i 

h , f , 

z (2.13) 

37




En las regiones en que h' 0 la transformación es biunívoca (si h' 0 el 

punto es singular), es decir, existirá otra función también compleja, H, que efectúe 

la transformación en el sentido inverso, esto es: 

z Hy 

ix 

 

H i (2.14) 

En general se puede expresar que z h 

, i 

es una transformación 

conforme que por medio de la función analítica h pasa del elipsoide al plano. Al 

ser variable se puede desarrollar según la fórmula de Taylor: 

2 

dh i 

d h 

z h 

, 

n i 

... 2 

d 

2! 

 

(2.15) 

d 

2 

y separando la parte real de la imaginaria, se llega a: 

2 

4 

II IV 

y h 

, 

0 h h ... (2.16) 

2! 

4! 

3 

5 

I III V 

x h h h ... (2.18) 

3! 

5! 

Fórmulas generales de transformación, en donde las derivadas 

I II 

h , h , 

son funciones de la latitud isométrica o creciente (esfera). En la mayoría de los 

casos se puede efectuar el truncamiento con precisión suficiente para las 

necesidades geodésicas y máxima para las topográficas. 

En su aplicación al sistema TM se partirá, por tanto, de las funciones 

y ix 

z h ; Hz i 

definiéndolas por dos series enteras 

de términos imaginarios cuyos coeficientes se deducirán a partir de la condición 

impuesta al meridiano central del huso, alteración lineal nula (Figura 2.10). si la 

longitud es 0 , se toma un punto O sobre el mismo y se hace 0 , 

h 

III 

38




 

0 , 0 

y 0 y y y se tendrá 0 z z z y 0 , con lo 

que las relaciones del sistema z h 

z 

h 

y 

ix 

y 

z 

i x 

H . Desarrollando en serie resultará: 

2 2 

3 3 

dz 

d z 

d z 

z 

h 

 

... (2.19) 

2 

3 

d 

2! 

d 

3! 

d 

2 2 

3 3 

d 

z 

d z 

d 

 

H 

z 

z 

... (2.20) 

2 

3 

dz 2! 

dz 3! 

dz 

resultará: 

Figura 2.10.- Alteración nula en el MC 

Haciendo intervenir sus partes reales e imaginarias de forma explícita 

1 

2 

3 

i 

a i 

a i 

... 

y ix 

a 

(2.21) 

1 

2 

2 

3 

y ix 

b y ix 

b y i 

... 

i b 

x 

(2.22) 

siendo: 

a 

n 

1 d 

 

n! 

d 

 

O 

 

2 

 

n n 

y 

ix 

i 

3 

 

3 

(3.13) y 

b 

n 

o 

 

 

1 d 

 

n! 

d 

 

n n 

 

i 

y 

ix 

(2.23) 

39




Las propiedades de las funciones analíticas permiten obtener las derivadas 

con independencia de la dirección considerada, de modo que si se deriva según el 

meridiano con alteración lineal nula (K = 1): x = 0 e h 

 

y designada por , se 

simplificarán ya que además 0 . Consecuentemente, siendo el arco de 

meridiano sobre el elipsoide a partir del ecuador, resultan los coeficientes: 

a 

n 

N 

M 

n 

n 

y ix 

1 d 

n 

n 

i 

n! 

d 

n 

1 d 

1 d 

(2.24), análogamente bn 

(2.25) 

n 

n! 

d 

n! 

d 

Ahora bien, teniendo en cuenta que: d Md 

, 

e 

2 ' 

2 

2 

1 cos 1 

 


, donde: e'cos 

Md 

d y que 

N cos 

Se calcularán los coeficientes sucesivos mediante las expresiones 

d 

a1 

d 

 

Md 

Md 

N0 

cos0 

(2.26) 

N cos 

1 

a 

2 

0 

2 

2 N0 

cos 0tg0 (2.27) 

0 

2 

2 

1 

 

1 3 

a 3 N0 

cos 0 tg 0 0 (2.28) 

6 

4 

2 

2 

5 9 

4 

1 

4 

a 3 N0 

cos 0tg0 tg 0 0 0 (2.29) 

24 

2 4 

2 2 2 

5 18tg 

tg 14 

58 

... 

1 

5 

a 3 N0 

cos 0 0 0 0 0 tg 0 

(2.30) 

120 

2 4 

2 

2 2 

61 58tg 

tg 270 

300 

... 

1 

6 

a 7 N0 

cos 0tg0 0 0 

0 

0 tg 0 

(2.31) 

720 

Análogamente los coeficientes bn serán: 

40




1 

b1 (2.32) 

N cos 

0 

tg 

0 

0 b2 (2.33) 

2 

2N 0 cos 

0 

b 

b 

b 

b 

2 2 

1 

2tg 

0 

0 

3 (2.34) 

3 

6N 

0 cos0 

tg 

2 2 4 5 6tg 

4 

 

0 

0 

0 0 

4 (2.35) 

4 

24N 

0 cos0 

5 

 

2 

4 

2 2 2 

5 28tg 

24tg 

6 

8tg 

... 

0 

0 0 

0 0 

(2.36) 

5 

120N0 

cos0 

2 

4 

2 

2 2 

61 180tg 

120tg 

46 

48tg 

... 

tg 

0 

0 0 

0 0 

0 

6 (2.37) 

6 

720N 

0 cos0 

Estos desarrollos permitirán resolver con gran exactitud y de forma práctica, 

programando las expresiones anteriores, las cuestiones básicas de toda 

transformación: 

Paso de coordenadas geodésicas a TM y viceversa. 

Cálculo de la convergencia. 

Escala local. 

Reducción a la cuerda. 

41




2.3.3.- PROBLEMA DIRECTO. CONVERSIÓN DE COORDENADAS 

GEODÉSICAS A TM 

En efecto, si P es un punto del elipsoide , 

P del que se desea conocer 

sus coordenadas rectangulares x e y, para posteriormente obtener las 

coordenadas norte y este. Se trazará por P el paralelo de latitud que cortará al 

meridiano automecoico en R (figura 2.10). 

Desplazando el origen hasta este punto se tendrá: 

 

0 ; 

0 y y y y 

y 

0 

0 

zr r 0 

Si ahora se sustituyen estos valores en la expresión incremental de z; 

1 

2 

2 

3 

4 

i a i a ... 

y ix 

a i 

a 

i (2.37) 

3 

2 

4 

6 

como y y , y a 

a 

a 

... (2.38) 

2 

4 

4 

3 

5 

x a 

a 

a 

... (2.39) 

1 

3 

De manera que si se introduce en ellas los valores antes obtenidos para los 

coeficientes, se obtendrán las fórmulas de transformación directa: 

2 2 1 tg 

 

3 

 

3 

x N 

cos 

N cos 

 

6 

5 

 

5 

2 4 

2 2 2 

N cos 5 

18tg 

tg 14 

58tg 

... 

120 

5 

6 

(2.40) 

42




2 2 4 

5 tg 9 

4 

 

3 

4 

 

2 

4 

y N cos tg 

N cos tg 

2 

24 

6 

 

6 

2 4 

2 

2 2 

N cos tg61 

58tg 

tg 27 

330tg 

... 

720 

Sm 

Arco de meridiano 

 

(2.41) 

Lógicamente la eliminación de entrega la ecuación de los meridianos y la 

eliminación de la de los paralelos, sin embargo, su complejidad hace que el 

trazado de esas curvas sea puntual. 

Como eje de ordenadas se adopta la transformada del meridiano central del 

huso y como eje de las abscisas la transformada del Ecuador geodésico (Figura 

2.9). De esta horma, el origen del sistema de referencia de la proyección tendrá 

por coordenadas geodésicas: 0º de latitud geodésica y de longitud geodésica; y 

por coordenadas cartográficas un Falso Norte y un Falso Este asignados. 

Cualquier otro punto del huso tendrá con respecto al mismo un incremento de 

latitud y longitud geodésica. 

De acuerdo a la definición del sistema de referencia sobre la proyección, es 

evidente que: 

Cualquier punto que tenga un incremento de longitud geodésica negativa, 

estará al oeste del meridiano central del huso y por tanto le corresponderá una 

coordenada x negativa . 

43




Cualquier punto que tenga un incremento de latitud creciente negativa, 

pertenecerá al hemisferio sur, por tanto, le corresponderá una coordenada y 

negativa. 

Finalmente, a partir de las coordenadas planas, se obtienen las 

coordenadas Norte y Este en la proyección TM: 

Norte TM 

Este TM 

FN K0 

y (2.42) 

FE K0 

x (2.43) 

donde FN y FE son el Falso Norte y el Falso Este, adoptados para el Ecuador y el 

meridiano central respectivamente. 

44




2.3.4.- FACTOR DE ESCALA 

El factor de escala lineal introducido por una proyección en un punto se 

define a partir de la relación entre la distancia sobre el plano de la proyección y 

sobre la superficie de referencia, el elipsoide. 

En cuanto a la escala local, resultará que si se adopta el factor de reducción 

K0, la ecuación que se planteó en el meridiano automecoico (K = 1) variará 

resultando K y 

h y . Como la escala local es la relación entre los 

0 

elementos lineales del plano y del elipsoide, resultará: 

K 

2 

2 

2 2 

dS' 

dx dy 

 

(2.44) (r = radio de curvatura del paralelo) 

2 2 2 2 2 

dS M dy r d 

por el artificio de Tissot: 

K 

K 

K 

2 

2 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

2 2 dx dy 

2 2 2 

2 

K dS' 

K 

 

(2.45) o bien, 

2 

dS M dy r d 

dx 

 

d 

2 

2 

dy 

 

1 

 

dx 

 

2 

 

2 Md 

 

r 

1 

 

rd 

 

2 

(2.46) 

Si t es la orientación y c el acimut, se tiene: 

dy 

dx 

K 

K 

2 

2 

0 

Arcomeridiano 

Md 

cot gt, 

cot gC 

 

, sustituidos en la expresión anterior: 

Arcoparalelo 

rd 

2 

dx 

2 

r d 

2 

2 

1 

cot g t 

2 1 cot g 

C 

(2.47) o sea, 

K C 

K 

0 

dx 

 

d 

sen 

drsent 

(2.48) 

45




Como la transformación es conforme 

K es independiente del acimut C , de 

 

 

modo que si C dS paralelo constante. Y como t 

2 

2 

K dx 1 dx sec 

. Sustituyendo el valor de 

K d 

r cos 

d 

r 

0 

K0 

2 2 1 tg 

 

2 

dx 

 

3 

N cos 

N cos 

... 

d 

2 

dx 

rd 

2 

 

2 

2 2 

1 cos 1 

tg 

pero sen 

... 

2 

2 

 

2 2 

sec 

1 

1 

 

sen ... 

2 

de manera que multiplicando ambas expresiones resulta: 

2 

2 2 

1 tg 

 

2 

K 

2 

2 

1 cos 

sen , para así obtener K en función de 

K 2 

2 

0 

coordenadas geodésicas: 

2 

1 2 

 

2 

K K0 

1 

cos (2.49) 

2 

como: 

Además, podrá hallarse la convergencia por medio de coordenadas planas 

2 

x 

2 x 

... , 

 

2 2 

N cos 

N cos 

2 

1 2 

x 

K K0 

1 

(2.50) 

2 

2N 

De acuerdo a la definición del factor de escala su carácter es puntual. 

46




2.3.5.- DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CORRESPONDIENTE AL 

ARTIFICIO DE TISSOT 

En principio, la proyección TM en un huso, coincide con la proyección de 

Gauss-Krüger con un desarrollo cilíndrico transverso y conforme. De acuerdo a la 

tangencia del cilindro con la superficie del elipsoide de revolución en un meridiano, 

el central del huso, éste debería ser automecoico y con distorsión lineal nula en el 

caso de la proyección Gauss-Krüger. Sin embargo, para disminuir las 

deformaciones en los extremos del huso se aplica el artificio de Tissot, 

obteniéndose así la proyección TM. 

Geométricamente el artificio implica que el cilindro deja de ser tangente 

para pasar a ser secante. La consecuencia es que aparecerán dos líneas con 

distorsión lineal nula (k=1) en la proyección, al este y al oeste del meridiano 

central, y el meridiano central continua siendo una línea automecoica pero con un 

factor de escala distinto de la unidad. 

tipo: 

Analíticamente implica que el factor de escala adopta una expresión del 

' K K (2.51) 

0 K 

Para deducir el valor de KO se tendrá en cuenta que el artificio de Tissot 

implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso. El factor de 

escala sin artificio de Tissot en los extremos del huso se puede expresar por: 

' 

1 

 

K (2.52) 

 

47




 

Dando a Ko el valor K 0 1 

, el factor de escala, aplicando el artificio de 

2 

Tissot en los extremos valdrá: 

2 

 

 

K 

0 

1 

1 

(2.52) 

2 

2 2 2 

K K 

' 

1 1 

 

Por tanto se reduce la deformación a la mitad en los extremos al pasar de 

 

1 a 1 

 

2 

. 

Dado que K’ para el meridiano central es igual a la unidad, el valor del factor de 

escala tras aplicar el artificio de Tissot será el propio coeficiente Ko. 

El valor de Ko se calcula a partir del valor de K’ para un incremento de 

longitud . Pero además K’ es función de la latitud geodésica. Adoptando un 

valor medio para el dominio de la proyección TM. 

Este artificio tiene como consecuencia que las deformaciones sean nulas en 

ciertas líneas que no coinciden exactamente con meridianos pero son próximas a 

los meridianos de la siguiente figura: 

Figura 2.11.- Líneas de secancia 

48




2.3.6.- GEODÉSICAS TRANSFORMADAS SOBRE LA PROYECCIÓN 

Dados dos puntos sobre el elipsoide y sus respectivas proyecciones sobre 

el plano TM, la transformada de la geodésica que los une sobre el elipsoide no 

coincide con la cuerda que los une sobre la proyección. 

Sean dos puntos A y B situados al este del meridiano central del huso, si se 

trazan los arcos S1 y S2 (correspondientes a sus geodésicas) simétricos respecto 

de la cuerda AB. 

- K1 será el factor de escala para los puntos de la geodésica S1. 

- K2 será el factor de escala para los puntos de la geodésica S2. 

Figura 2.12.- Transformada de la geodésica con la cuerda 

49




Sabiendo que la línea geodésica debe tener una longitud mínima, 

integrando a lo largo de S1 y S2 se tendrá: 

S 

S 

1 

2 

 

 

B 

 

dS 

A K1 

B 

 

dS 

A K 2 

(2.53) 

(2.54) 

como para todos los puntos de S1 (exceptuando A y B), se verifica 1 x2 

K K entonces: 

1 

S S 

1 

2 

2 

x también 

por lo tanto la geodésica correspondería al arco elipsoidal más pequeño S1, la cual 

vuelve su concavidad hacia el meridiano central del huso (figura 2.13). La misma 

demostración se puede aplicar para una geodésica situada al oeste del meridiano 

central del huso. 

Figura 2.13.- Concavidad hacia el meridiano central de la línea geodésica 

50




Las líneas geodésicas que corten el meridiano central del huso, invertirán el 

sentido de su curvatura a uno y otro lado del meridiano, sabiendo que dicha 

curvatura es continua, observándose un punto de inflexión en el corte. 

51




2.4.- SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG) 

Los Sistemas de Información Geográfica son una herramienta esencial para 

el análisis y toma de decisiones en muchas áreas vitales del desarrollo nacional, 

por su capacidad de representar, integrar y modelar variables de interés al realizar 

la planificación y gestión de un espacio geográfico. Para las dependencias 

estatales es un instrumento que permite la planificación de la expansión de las 

ciudades y el uso eficiente de la infraestructura de utilidades de servicios públicos 

y el territorio, así como su administración. 

En las instituciones de investigación y desarrollo, ayuda en el estudio de la 

distribución y monitoreo de recursos, tanto naturales como humanos, así como en 

la evaluación del impacto de las actividades humanas sobre el medio ambiente 

natural. De esta forma puede ayudar en la planificación de actividades tendientes 

a la preservación de los recursos naturales. 

Recientemente el uso de SIG ha sido incorporado al desarrollo de 

actividades del sector empresarial, permitiendo un manejo eficiente de los datos 

de tendencia demográfica, estrategias de segmentación de mercado y distribución 

de los productos entre otros. 

52




Algunos ejemplos específicos de la utilización del SIG son: 

Creación de una cartografía de fácil actualización. 

Planificación del área de siembra de cultivos y plantaciones forestales 

basado en datos de usos potenciales y cobertura de la tierra actualizados 

Facilitar el manejo de información catastral y demográfica 

Manipulación y análisis de imágenes de sensores remotos para diversos 

uso 

Planificación de recursos naturales y evaluación y monitoreo del impacto de 

actividades humanas en el ambiente 

Distribución de recursos en zonas de desastres 

Planificación de mercado de productos 

etc. 

Toda la ayuda que puede proveer un SIG depende enormemente de la 

información que se tiene, es decir, de la base de datos disponible. La calidad de 

esta base de datos y su contenido determinan la cantidad y calidad del resultado 

obtenido en el SIG. 

Es importante reconocer que el esfuerzo o inversión necesario para crear las 

bases de datos necesarias y tener un SIG funcional y eficiente no es 

53




necesariamente pequeño, ni tampoco es una sola inversión millonaria en los 

equipos mas sofisticados y en los programas más caros. Es un esfuerzo continuo 

por aumentar y mejorar los datos almacenados; es una búsqueda constante de la 

forma más eficiente de hacer un trabajo de conversión de datos (por ej. 

transformar mapas en papel a mapas digitales) y en hacerlo con un criterio de 

control de calidad y bajo las normas estandarizadas por la comunidades de 

usuarios de SIG a que se pertenece. Igualmente, es un entrenamiento constante 

de todo el personal involucrado, desde los administradores hasta los técnicos, en 

diversas áreas. 

En otras palabras, un SIG no se compra, sino que se construye. 

2.4.1.- GENERALIDADES 

Un SIG es un sistema computarizado, consistente en la colección 

organizada de equipos, programas, datos con atributos, datos georeferenciados y 

personal. Todos estos trabajan en conjunto para el almacenamiento, análisis y 

despliegue de información espacial asociada a una base de datos de atributos. 

En un SIG se usan herramientas de gran capacidad de procesamiento 

gráfico y alfanumérico, estas herramientas van dotadas de procedimientos y 

aplicaciones para captura, almacenamiento, análisis y visualización de la 

información geoespacial. 

54




La mayor utilidad de un sistema de información geográfico esta íntimamente 

relacionada con la capacidad que posee éste de construir modelos o 

representaciones del mundo real a partir de las bases de datos digitales, esto se 

logra aplicando una serie de procedimientos específicos que generan aún más 

información para el análisis, como lo son, por ejemplo, la unión de múltiples bases 

de datos (join, links) con cartografía digital, obteniéndose como resultado datos 

georeferenciados y enlazados. 

La construcción de modelos o modelos de simulación como se llaman, se 

convierte en una valiosa herramienta para analizar fenómenos que tengan relación 

con tendencias y así poder lograr establecer los diferentes factores influyentes. 

2.4.2. DIFERECIAS ENTRE SIG Y CAD 

Los sistemas CAD se basan en la computación gráfica, que se concentra en 

la representación y el manejo de información visual (líneas y puntos). Los SIG 

requieren de un buen nivel de computación gráfica, pero un paquete exclusivo 

para manejo gráfico no es suficiente para ejecutar las tareas que requiere un SIG 

y no necesariamente un paquete gráfico constituye una buena base para 

desarrollar un SIG. 

El manejo de la información geoespacial requiere una estructura diferente 

de la base de datos comunes, mayor volumen de almacenamiento y tecnología de 

soporte lógico (software) que supere las capacidades funcionales gráficas 

ofrecidas por las soluciones CAD. 

55




Los SIG y los CAD tienen mucho en común, dado que ambos manejan los 

contextos de referencia espacial y topología. Las diferencias consisten en el 

volumen y la diversidad de información, y la naturaleza especializada de los 

métodos de análisis presentes en un SIG. Estas diferencias pueden ser tan 

grandes, que un sistema eficiente para CAD puede no ser el apropiado para un 

SIG y viceversa. 

2.4.3.- DATOS 

El 50% de un sistema de información geográfico lo componen sus datos. 

Los datos geográficos y tabulares pueden ser adquiridos por quien implementa el 

sistema de información, así como por terceros que ya los tienen disponibles. El 

SIG integra los datos espaciales con otros recursos de datos y puede incluso 

utilizar las plataformas de base de datos más comunes para manejar la 

información geográfica. 

Por lo tanto, debe contener la información que garantice el funcionamiento 

analítico del SIG. 

56




2.4.4.- BASE DE DATOS CARTOGRÁFICA 

La esencia de un SIG está constituida por una base de datos cartográfica. 

Esta es, una colección de datos acerca de objetos localizados en una determinada 

área de interés en la superficie de la Tierra, organizados en una forma tal que 

puede servir eficientemente a una o varias aplicaciones. Una base de datos 

cartográfica requiere de un conjunto de procedimientos que permitan hacer un 

mantenimiento de ella tanto desde el punto de vista de su documentación como de 

su administración. La eficiencia está determinada por los diversos tipos de datos 

almacenados en diferentes estructuras. El vínculo entre estas estructuras se 

obtiene mediante el campo clave que contiene el número identificador de los 

elementos. Tal número identificador aparece tanto en los atributos gráficos como 

en los no gráficos. Los atributos no gráficos son guardados en tablas y 

manipulados por medio de un sistema manejador de bases de datos. 

Los atributos gráficos son guardados en archivos y manejados por el 

software de un sistema SIG. Los objetos geográficos son organizados por temas 

de información, o capas de información, llamadas también niveles. Aunque los 

puntos, líneas y polígonos pueden ser almacenados en niveles separados, lo que 

permite la agrupación de la información en temas, son los atributos no gráficos los 

elementos que simplemente son agrupados por lo que ellos representan. Así por 

ejemplo, en una categoría dada, ríos y carreteras, aun siendo ambos objetos línea, 

están almacenados en distintos niveles por cuanto sus atributos son diferentes. 

57




Los formatos estándar para un archivo de diseño son el formato celular o 

RASTER y el formato tipo VECTOR, en el primero de ellos se define una grilla o 

una malla de rectángulos o cuadrados a los que se les denomina células o 

retículas, cada retícula posee información alfanumérica asociada que representa 

las características de la zona o superficie geográfica que cubre, como ejemplos de 

este formato se pueden citar la salida de un proceso de fotografía satelital, la 

fotografía aérea es otro buen ejemplo. 

De otro lado, el formato vectorial representa la información por medio de 

pares ordenados de coordenadas, este ordenamiento da lugar a las entidades 

universales con las que se representan los objetos gráficos, así: un punto se 

representa mediante un par de coordenadas, una línea con dos pares de 

coordenadas, un polígono como una serie de líneas y una área como un polígono 

cerrado. A las diversas entidades universales, se les puede asignar atributos y 

almacenar éstos en una base de datos descriptiva o alfanumérica para tales 

propósitos. 

2.5.- PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS EN ARC VIEW 

ArcView GIS es un software SIG de escritorio, que posee una 

interfase gráfica de usuario que le permite cargar datos tabulares y espaciales 

para que pueda desplegarlos en forma de mapas, tablas y gráficos. ArcView 

58




provee las herramientas necesarias de consulta y de análisis de datos para luego 

presentar sus resultados en mapas de alta calidad. 

Los SIG de escritorio enlazan información a los elementos de un mapa, y 

esta información que representa las características propias de un objeto se llama 

atributos. Este enlace entre elementos de un mapa y los atributos es el principio 

básico de un SIG y es también la fuente de su potencialidad. Los elementos del 

mapa y los atributos están enlazados, permitiendo acceder a los atributos a través 

del elemento o viceversa, también provee de herramientas para realizar análisis 

espacial, geocodificar direcciones y desplegarlos en un mapa, crear y editar datos 

tabulares, espaciales, generar mapas temáticos y crear mapas de salida. 

2.5.1.- ELEGIR UNA PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA 

Las proyecciones cartográficas difieren entre sí en el modo en que utilizan 

áreas , formas, distancias y orientación. Ninguna proyección puede ser fiel a la 

totalidad de esas propiedades, aunque se pueden conservar algunas 

combinaciones, como área y orientación. En la construcción de un mapa, se 

puede decidir cuál de las propiedades es más importante para sus necesidades y 

escoger una proyección que conserve esa propiedad. ArcView brinda una amplia 

gama de proyecciones para elegir. 

59




Si las coordenadas están expresadas en unidades curvilíneas, de latitud y 

longitud, como grados, implica que estos valores no obedecen a ninguna 

proyección, por consiguiente pueden ser transformadas o proyectadas en 

cualquiera de las proyecciones consideradas en ArcView. 

Si los datos espaciales están expresados en unidades lineales planas, 

significa que obedecen a una proyección, en cuyo caso se debe disponer de la 

información sobre ella, de otro modo nunca podrán ser transformados. No se 

podrán visualizar en una proyección distinta desde ArcView, a menos que se 

transformen sus datos originales (metadatos) con otra aplicación (extensión que 

se puede cargar al programa). 

No es imprescindible elegir una proyección cartográfica, porque se puede 

trabajar en ArcView en unidades curvilíneas decimales sin especificar ninguna 

proyección. ArcView trazará la vista tratando simplemente la longitud y la latitud 

como coordenadas planas x,y, asociando las coordenadas curvilíneas a 

coordenadas cartesianas, provocando deformaciones que no obedecen a ninguna 

proyección cartográfica definida. 

Es importante conocer las unidades expresadas por las coordenadas, para 

de esta forma, determinar si se trata de una proyección. 

ArcView trata con coordenadas planas, por lo que no comprueba en qué 

proyección cartográfica están los datos cuando añade un tema, lo cual permitirá 

añadir elementos a una vista incluso si la fuente de los datos utiliza distintas 

proyecciones. Sin embargo, esos elementos no saldrán correctamente alineados y 

60




se obtendrán resultados erróneos si se llevan a cabo consultas y análisis. Hay una 

única excepción. Si la vista contiene imágenes o cuadrículas proyectadas, se le 

pueden añadir datos espaciales en grados decimales y definirle la misma 

proyección utilizada por la imagen o cuadrícula, de modo que sea posible alinear 

los datos en grados decimales con los datos de la imagen trama. Las imágenes y 

cuadrículas no se muestran según el tipo de proyección que se ha elegido para 

una vista. Es necesario conocer entonces los datos específicos de grilla y datum 

de cada tema, los llamados Metadatos o el dato del dato. 

El termino "Metadato" significa un documento que describe el contenido, 

calidad, condición y otras características de un dato (geoespacial). En esencia, los 

metadatos intentan responder a las preguntas quién, que, cuando, donde, porqué 

y cómo, sobre cada una de las facetas relativas a los datos que se documentan. 

Una definición más ilustrativa de un metadato es “La suma total de lo que puede 

decirse sobre cualquier objeto de información en cualquier nivel de agregación” 

(Gilliland 2000). Se entiende por objeto de información a un elemento o conjunto 

de elementos digitales que, independientemente de su tipo o formato, pueden ser 

referenciados o manipulados como un objeto único por medio de una 

computadora. 

61




CAPÍTULO 3.- DESARROLLO 

3.1.- SISTEMA NACIONAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (NTM) 

Una de las formas más comunes para representar grandes áreas de terreno 

que abarquen más de un huso UTM, es su representación a través de 

coordenadas geográficas, mejor denominadas geodésicas, por ser referidas al 

elipsoide. En el caso de Chile, generalmente se usa este tipo de representación 

para mostrar el territorio de manera integrada, con los problemas que ello 

conlleva. Para trabajar con coordenadas planas UTM a lo largo de todo Chile, la 

solución más común es ampliar un huso, hecho que provoca el aumento en la 

distorsión lineal a medida que se aleja de la intersección elipsoide/cilindro (líneas 

de secancia), hacia los bordes. Bajo este contexto se propone una proyección TM 

denominada en el presente trabajo TM Nacional o NTM, como una solución 

integral para tener una visión general del territorio chileno y un aporte al área de la 

geodesia y la cartografía. 

Este capítulo por su parte muestra los temas específicos asociados a la 

aplicación de la Proyección Nacional Transversal de Mercator. 

62




3.2.- GENERALIDADES DE LA PROYECCIÓN NTM 

La proyección NTM, es una proyección de tipo Transversal de Mercator-TM, 

es un sistema cilíndrico transverso conforme, al que se le han impuesto ciertos 

parámetros específicos con el propósito de crear cartografía regional y nacional. 

Como se estudió en el capítulo de Proyección TM, es sabido que en la 

medida que se produce un alejamiento en sentido este-oeste (longitud) desde las 

líneas de secancia, aumentan las deformaciones causadas por los problemas 

propios de la proyección, más aun si se pretende extender el huso más allá del 

límite, como sería el caso de extender el huso 19 al 18, alejándose mucho más del 

meridiano central. A raíz de ello se ha determinado una cobertura en sentido este- 

oeste, para el huso NTM de 8º, cuatro grados a cada lado del meridiano central, y 

así lograr abarcar a todo Chile continental, por lo que el meridiano central será el 

meridiano –71º. En base a esto se determinó un factor de escala en el meridiano 

central de K0 = 0.99928, con una precisión de1:1388,889 

En la proyección NTM, por ser el factor de escala menor que 0.9996, las 

líneas de secancia estarán más alejadas del meridiano central (aproximadamente 

a 2º9’36”) que en la proyección UTM (aproximadamente 1º37’). 

Las coordenadas NTM podrán ser transformadas al sistema UTM y 

viceversa con el fin de relacionar proyectos que estén en distintos sistemas, a 

través de su relación con las coordenadas geodésicas, con las fórmulas 

estudiadas, mediante programas de transformación de coordenadas 

especialmente diseñados para este fin o realizando sencillas modificaciones a los 

63




programas que se encuentran actualmente en uso, según parámetros particulares, 

todo esto con el propósito de unificar datos para relacionar distintos proyectos. 

3.3.- PARAMETROS PARTICULARES PARA LA PROYECCIÓN NTM 

3.3.1.- FALSO ESTE NACIONAL(FEN) 

Un huso NTM siempre comprende una región cuya distancia horizontal, en 

dirección este-oeste, es siempre inferior a 900 km, por eso se adoptó como origen 

de coordenadas Este en la proyección NTM, el valor de 700.000m. Esto significa 

que los extremos del huso tomaran como valores mínimo 256.000m y máximo 

1.144.000m aproximadamente para los extremos izquierdo y derecho 

respectivamente, ya que 1º de longitud equivale a una distancia aproximada de 

111km en el Ecuador, y se hace menor conforme aumenta la latitud hacia ambos 

polos. De esta manera se está dando un Falso Origen o un FALSO ESTE 

NACIONAL. Se pretende así que nunca se usen valores negativos de 

coordenadas NTM. Así: FEN=700.000 metros. 

64




3.3.2.- FALSO NORTE NACIONAL(FNN) 

En este caso se decidió que el Falso Origen de las coordenadas NTM, o 

sea como FALSO NORTE NACIONAL tome el valor 7.000.000m suficiente para 

cubrir el territorio nacional continental, que es la zona que interesa. El origen por lo 

tanto estará en el Ecuador, así: 

FNN=7.000.000 metros. 

Se puede mencionar, a modo de comparación, los valores de los sistemas 

UTM y LTM (local) de uso en ingeniería (ver tabla 3.0). 

Tabla 3.0.- Valores para las distintas proyecciones TM 

Proyección Falso Norte Falso Este Ko 

UTM 10.000.000 m 500.000 m 0,9996 

LTM 7.000.000 m 200.000 m 0,999995 

NTM 7.000.000 m 700.000 m 0,99928 

3.3.3.- FACTOR DE ESCALA DEL MERIDIANO CENTRAL (K0) 

Como se estudió anteriormente ( ver sección 2.3.4), se recurrió al artificio 

de Tissot para reducir las deformaciones en los extremos de los husos, de esta 

forma el meridiano central pasó de tener un valor igual a 1 (Gauss-Krüger) a un 

valor de 0,9996 (UTM). Esto se tradujo en que el cilindro dejó de ser tangente para 

pasar a ser secante. Sin embargo, aún cuando se modificó el valor del factor de 

65




escala la proyección no dejó de ser una proyección del tipo TM, es decir, mantuvo 

las cualidades inherentes a este tipo de proyección. 

Lo anteriormente expuesto deja abierta la posibilidad de utilizar una 

proyección Regional o Nacional para proyectos que abarquen dos o más husos 

UTM, utilizando un cilindro secante, con la diferencia de calcular un factor de 

escala apropiado para el meridiano central u origen de la zona de interés. 

Por lo tanto, aumentando la cobertura del huso a 8º en sentido longitudinal 

y con una adecuada elección del factor de escala del origen del sistema K0, se 

pretende crear una proyección que sea utilizable solamente en el problema en 

estudio. 

Como se estudió anteriormente (sección 2.3.5), el factor de escala adopta 

una expresión del tipo: 

K K 

0 K 

' 

2 

1 2 

2 

K K 0 1 

cos 

2 

donde e'cos 

reemplazando, 

2 

1 ' cos 2 

2 

2 

K K 0 1 

cos e (3.1) 

2 

Para deducir el valor de KO se tendrá en cuenta que el artificio de 

Tissot implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso. El factor 

de escala sin artificio de Tissot en los extremos del huso se puede expresar por: 

K 1 

 

' 

4º 

66




 

Dando a Ko el valor K 0 1 

, el factor de escala, aplicando el 

2 

artificio de Tissot en los extremos valdrá: 

 

 

2 

K K K 

' 

1 1 

4 

º 0 4 

º 

pasar de 

2 

 

1 

1 

2 2 2 

Por tanto se reduce la deformación a la mitad en los extremos al 

 

1 a1 

2 

. 

Dado que K’ para el meridiano central es igual a la unidad, el valor del factor 

de escala tras aplicar el artificio de Tissot será el propio coeficiente Ko. 

El valor de Ko se calcula a partir del valor de K’ para un incremento de 

longitud = 4º, pero además K’ es función de la latitud geodésica, adoptando un 

valor medio para el dominio de la proyección NTM, es decir, º/2 = 40º, se 

tendrá finalmente: 

2 

 

o 

, 40 

 

2 

 

entonces: 

 

 

2 

2 2 

k ' 

o 1 

cos 1 

e' 

cos 

1 

1, 

001436 

 

 

4 

0, 

001436 

k 

0 

 

1 

1 

2 

0, 

0007178 

1 

1 

1390 

 

0, 

99928 

Este artificio tiene como consecuencia que las deformaciones sean nulas en 

ciertas líneas llamadas de secancia, que no coinciden exactamente con 

meridianos pero son próximas a los meridianos como se ilustra en la figura (3.1). 

67




N 

-2°9' 

+2°9' 

500 0 500 1000 Kilometers 

Lineas de Secancia 

Borde del Huso 

Figura 3.1 Líneas de secancia en el nuevo huso 

Secancia_husoMBN 

Mínima deformación 

Meridiano Central del Huso 

Mínima deformación 

Borde del Huso 

Chile 

Paises 

68




El valor del factor de escala en la proyección NTM (Figura 3.2 ), estará 

definido numéricamente por lo siguiente: 

K0 = 0,99928, en el meridiano central; 

0,99928< K1, fuera de las líneas de secancia. 

Resumiendo los parámetros particulares para la proyección NTM son los 


Tabla 3.1 Parámetros para la proyección NTM 

Meridiano Central -71º 

Factor de escala en el MC 0,99928 

Falso Norte en el Ecuador (FNN) 7.000.000 m 

Falso Este en el MC (FEN) 700.000 m 

Figura 3.2 Valores de K en el cilindro de proyección para el Ecuador. 

69




3.4 FÓRMULAS PARA LA PROYECCIÓN NTM 

Las fórmulas particulares para la proyección NTM, serán las mismas que se 

determinaron para la proyección TM, estudiadas en la sección 2.3: Proyección 

Transversal de Mercator, individualizando los parámetros específicos 

determinados en el punto anterior para la NTM. 

3.5.- DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE LA DISTORCIÓN LINEAL 

La variación de la distorsión lineal se debe calcular a través de todo el huso, 

en sentido Este Oeste y Norte Sur, es decir , cómo varía el factor de escala y se 

distribuye simétricamente a cada lado del meridiano central. 

El objetivo es determinar la máxima deformación lineal producida en el 

huso, expresada en porcentaje y metros por kilómetro, así como la media y la 

desviación estándar como análisis estadístico y comparativo. Además, el valor del 

factor de escala K, es el que se utilizará para reducir distancias elipsoidales a 

distancias en la proyección NTM. 

3.5.1 PROBLEMA DIRECTO 

A las distancias geométricas obtenidas en campo, han de aplicarse las 

correcciones oportunas para su paso al elipsoide. Una vez obtenidas estas 

distancias es preciso aplicarles una última corrección para su reducción a la 

proyección NTM. A esta corrección se le denomina factor de escala y se 

70




representa por la letra k y representa la relación de escala, en un punto, entre una 

distancia en el elipsoide y la misma proyectada en el plano NTM. 

La distancia que se utilizará en la proyección será, la que se tenía en el 

elipsoide, multiplicada por este factor k. La deducción de las fórmulas 

correspondientes se pueden encontrar en el capítulo sobre proyección TM. 

D k D 

(3.2) 

NTM 

ELIPSOIDAL 

La obtención del factor k de escala se puede deducir a partir de las 

coordenadas geodésicas o a partir de las coordenadas planas. Para este cálculo 

se utilizarán las fórmulas del Modelo Matemático Genérico de los Sistemas TM 

presentado en el volumen n°2 del Manual de Carreteras. 

Parámetros relacionados al elipsoide: 

a : semi-eje menor del elipsoide. 

f : achatamiento del elipsoide. 

b a ( 1 

f ) ; 

V 

2 

e 

2 

1 ' 

cos 

c 

M ; 

3 

V 

R 

2 

 

c 

V ( V V 

) cos 

2 

2 2 

a 

2 ( a b ) 

c ; e' 

2 

b 

b 

N 

 

3 

2 

c 

R M N ; P N cos 

2 

V 

 

c 

V 

71




Con: 

b: semieje menor. 

e’: 2 a excentricidad. 

M: radio de curvatura de la sección meridiana. 

N: Gran Normal. 

R: radio de curvatura de la sección normal de acimut . 

R: radio medio. 

3.5.1.1 Factor k en función de las coordenadas geodésicas 

Cuando se conocen las geodésicas la fórmula correspondiente es 

1 2 2 

2 

a8 cos ( 1 

e' 

2 

cos 

) 

2 

2 2 

a10 cos ( 4 

( 9 28e' 

) cos 42e' 

24 

donde: 

2 

4 

K K ( 1 

a 

a 

) (3.3) 

1 2 4 

K0 = 0,99928 

( coordenadas geodésicas del punto. 

 

longitud del Meridiano Central = -71° 

Ejemplo 

0 

8 

cos 

Se calculará la distancia reducida a la proyección NTM partiendo de un 

vértice de coordenadas: 

10 

) 

72




Nombre: Arica 

Datum: WGS – 84 

Elipsoide: WGS – 84 

Latitud: -18°28’50,4233’’ 

Longitud: -70°19’55,5468’’ 

Siendo la distancia en el elipsoide de 5.850 m, y que se quiere reducir a la 

proyección NTM. 

Se calculará entonces 

19’55,5468’’ 

a8 = 0,452486923 

a10 = 0,155728566 

por lo tanto K = 0,99934145 

obteniendo como distancia en la proyección 

D NTM 

5. 850 0, 

99934 5. 

846, 

15m 

esto significa una variación de –0,6585 metros por kilómetro (0 , 99934 11000 

). 

También se puede utilizar la fórmula (3.1): 

con e'cos 

, 

2 

1 2 

2 

K K 0 1 

cos 

2 

para el caso anterior, K = 0,99934144, variando minimamente en el 8 vo decimal. 

73




3.5.1.2 Factor k en función de las coordenadas planas 

es 

1 

b8 

2R 

Si se dan coordenadas planas en lugar de geodésicas, la fórmula a emplear 

1 

b10 4 

24R 

Con: 

2 

0 

4 

2 

1 X b X b 

K K (3.4) 

2 2 1 4e' 

cos 

8 

1 

10 

latitud aproximada correspondiente al arco meridiano B (en radianes). 

 

X 

Y 

1 

1 180 

Y 

R 

 

 

E FE 

K 

0 

N FN 

K 

Ejemplo: 

0 

Considerando el mismo problema anterior, en que se conoce la distancia de 

5.850 m, pero se partirá del conocimiento de las coordenadas NTM del vértice. 

Dichas coordenadas son: 

Norte = 4.957.157,22 m 

Este = 770.490,70 m 

74




luego, 

Se obtendrán los siguientes valores: 

X = 70.541,49 

Y = -2.044.314,68 

18°24,6’ 

b8 = 1,23571E-14 

b10 = 2,60671E-29 

por lo tanto K = 0,99934145 

obteniendo como distancia en la proyección 

D NTM 

5. 850 0, 

99934 5. 

846, 

15m 

Los cálculos mostrados se utilizan para distancias menores de 100 km. Para 

distancias mayores, el factor de escala se obtiene de la siguiente expresión: 

1 1 1 4 1 

 

k 6 

 

k 

A k M k B 

(3.5) 

siendo kA y kB los factores correspondientes a los extremos del lado, y kM el 

correspondiente a su punto medio. 

75




3.5.2 PROBLEMA INVERSO 

El problema que se ha analizado para pasar de las distancia geodésica 

(sobre el elipsoide) a la proyección, permite resolver el problema inverso con las 

mimas fórmulas, es decir, la distancia sobre el elipsoide se obtiene a partir de la 

distancia plana dividida por el factor K, por lo tanto: 

D 

ELIPSOIDAL 

DNTM 

(3.6) 

K 

Se podrían deducir distancias planas NTM a partir de distancias planas 

UTM. Bastaría con reemplazar en (3.6) el valor de la distancia elipsoidal por su 

homóloga en función de la distancia UTM: 

D 

K 

UTM 

UTM 

D 

 

K 

NTM 

NTM 

K NTM 

luego, DNTM DUTM 

(3.7) 

K 

UTM 

teóricamente se podría calcular conociendo los valores de K en ambos sistemas, 

para u mismo punto o línea. 

76




3.5.3 ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES EN EL SISTEMA 

La mínima deformación se alcanza cuando el factor K es igual a 1, crece 

hacia los bordes del huso, k > 1, y hacia el meridiano central, K < 1. La máxima 

deformación se determina calculando K en el Ecuador con los siguientes valores 

de entrada: 

 

0 

71 

 

4 

0 

por lo tanto K = 1,001737, lo que representa una deformación de 1,7367 m/km. 

Cabe recordar que en el meridiano central, K = K0 = 0,99928, la deformación 

alcanzará –0,7200 m/km. 

Será fácil calcular, para una cierta latitud, la longitud en la que la 

deformación es mínima, k = 1. Bastará en (3.1) o (3.3) sustituir K en el primer 

miembro por 1 y despejar para luego determinar Se obtendrán las siguientes 

expresiones: 

Para (3.1) 

1 K 

1 

2 

 

K 

 

2 

0 

0 

 

 

1 

 

2 

2 

 

1 

 

 

2 

1 

2 

 

 

K 

cos 

 

2 2 1 e' 

cos 

2 2 4 cos e' 

cos 

0 

2 2 4 cos e' 

cos 

2 

 

1 

 

 

 

 

 

 

77




1 K 0 

2 

 

K 

 

 

 

(3.8) 

0 

 

4 

Para (3.3) 

2 

1 K ( 1 

a 

a 

1 

 

 

K 

0 

10 

0 

2 2 cos e' 

cos 

8 

 

1 

 

a8 

 

a 

2 

10 

a 

4 

 

) 

10 

 

1 

K 

4 

2 

0 

a8 

 

(3.9) 

K 0 

4 

La resolución de la expresión (3.8) resultará bastante sencilla para cualquier 

valor de , bastará con calcular la raíz de un determinado valor. En cambio la 

expresión (3.9) es un polinomio de 4° grado, con lo que se obtendrán valores en el 

conjunto de los números imaginarios. 

Ecuador: 

Por ejemplo, se determinará el valor de para la mínima deformación en el 

K = 1 

0 cos0 

1 

entonces, para (3.9) 

1 K 

2 

 

 

K 

0 

 

 

 

 

0 

 

, con K0 = 0,99928 (3.10) 

2 

1 

e' 

180 

0.037833724 

radianes / 

 

78




2,167713 

209,6' 

ahora tendrá los siguientes valores al Este y Oeste del MC: 

E 

O 

Para (3.10) 

-6849,8' 

-7309,6' 

a8 = 0.503369748 

a10 = 0.212264706 

reemplazando: 

4 

2 1 

0, 

99928 

0, 

2 

0, 

5 

 

(3.11) 

0, 

99928 

se obtienen 4 soluciones complejas en la que la parte real de las dos primeras 

coinciden con las soluciones obtenidas de (3.10). Entonces la mínima deformación 

se alcanza en los meridianos simétricos próximos a 209,6' 

en el Ecuador. 

Se puede observar y analizar gráficamente cómo varía a través de la 

latitud manteniendo K = 1, es decir las líneas de secancia. Bastaría con graficar 

(3.8) en los límites correspondientes al estudio (0°, -80°). 

(3.8) es una función (y = f(x)) de la forma 

correspondientes a la latitud, se obtiene la siguiente gráfica: 

1 

y . Al graficar, con los valores 

cos x 

79




15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

0 

-10 

-20 

Variación de con K = 1 

-30 

-40 

-50 

Latitud 

Gráfico 3.1 Variación de en función de con K = 1 

-60 

-70 

-80 

f(fi) 

-f(fi) 

Se obtiene como valor máximo f ( 80) 

12.52408 

1231,2'. 

A continuación se presentan los valores obtenidos: 

Tabla 3.2 Valores de longitud en el huso para las líneas de secancia 

al Oeste al Este del 

° ' del MC MC 

0 2.167713 -2.167713 2°.09',6 -73°.09',6 -68°.49',8 

-5 2.176048 -2.176048 2°.10',2 -73°.10',2 -68°.49',2 

-10 2.201375 -2.201375 2°.12',0 -73°.12',0 -68°.47',4 

-15 2.244685 -2.244685 2°.14',4 -73°.14',4 -68°.45',0 

-20 2.307735 -2.307735 2°.18',0 -73°.18',0 -68°.41',4 

-25 2.393238 -2.393238 2°.23',4 -73°.23',4 -68°.36',0 

-30 2.505156 -2.505156 2°.30',0 -73°.30',0 -68°.29',4 

-35 2.649208 -2.649208 2°.38',4 -73°.38',4 -68°.21',0 

-40 2.833670 -2.833670 2°.49',8 -73°.49',8 -68°.09',6 

-45 3.070752 -3.070752 3°.04',2 -74°.04',2 -67°.55',2 

-50 3.379006 -3.379006 3°.22',2 -74°.22',2 -67°.37',2 

-55 3.787809 -3.787809 3°.46',8 -74°.46',8 -67°.12',6 

-60 4.346350 -4.346350 4°.20',4 -75°.20',4 -66°.39',0 

-65 5.143406 -5.143406 5°.08',4 -76°.08',4 -65°.51',0 

-70 6.356784 -6.356784 6°.21',0 -77°.21',0 -64°.38',4 

-75 8.401678 -8.401678 8°.24',0 -79°.24',0 -62°.35',4 

-80 12.524083 -12.524083 12°.31',2 -83°.31',2 -58°.28',2 

80




También se puede observar cómo varía K en el Ecuador a medida que se 

aleja del MC. En este caso se utilizará la expresión (3.1) con = 0°, 

reemplazando queda: 

1.00200 

1.00150 

1.00100 

1.00050 

K 1.00000 

0.99950 

0.99900 

0.99850 

0.99800 

-71.0 

-71.5 

2 

1 ' 2 

K 0, 999281 

e 

2 

-72.0 

-72.5 

Longitud 

-73.0 

-73.5 

-74.0 

-74.5 

(3.13) 

se obtiene K en función de que al graficar se ve de la siguiente forma: 

Gráfico 3.2 Variación de K al alejarse del MC 

-75.0 

K con respecto 

al MC 

Se observa que K tiene un crecimiento parabólico a medida que se aleja del MC. 

Los valores de K obtenidos son los siguientes: 

Tabla 3.3 Valores de K en el Ecuador 

K 

-71.0 0.0 0.99928 

-71.5 -0.5 0.99932 

-72.0 -1.0 0.99943 

-72.5 -1.5 0.99962 

-73.0 -2.0 0.99989 

-73.5 -2.5 1.00024 

-74.0 -3.0 1.00066 

-74.5 -3.5 1.00116 

-75.0 -4.0 1.00173 

81




Cabe mencionar que los valores de K al Este del MC son los mismos. 

Otro elemento a observar es la variación de K a medida que se aleja del 

Ecuador en un mismo meridiano, es decir, con constante. Para el estudio se 

utilizará = -4°, o sea, en el borde del huso. Se obtiene la siguiente expresión: 

1.00200 

1.00100 

K 1.00000 

0.99900 

0.99800 

0° 

-10° 

K en el borde del huso 

-20° 

2 

2 2 

1 8cos 

1 

' cos 

K 0, 99928 

e 

(3.14) 

con K en función de . La gráfica resultante es: 

-30° 

-40° 

Latitud 

-50° 

Gráfico 3.3 K en función de en el borde del huso 

-60° 

-70° 

-80° 

K en el borde 

del huso 

En este caso K tiene el comportamiento de una función cos 2 , alcanzando 

un máximo y un mínimo según sea el ángulo, en este caso acotado al hemisferio 

Sur. Máximo con mínimo con Los datos obtenidos son los 


82




Tabla 3.4 Valores de K en los bordes del huso 

cos 2 K 

0 1.00000000 1.0017316 

-5 0.99240388 1.0017129 

-10 0.96984631 1.0016572 

-15 0.93301270 1.0015663 

-20 0.88302222 1.0014431 

-25 0.82139380 1.0012913 

-30 0.75000000 1.0011156 

-35 0.67101007 1.0009214 

-40 0.58682409 1.0007147 

-45 0.50000000 1.0005017 

-50 0.41317591 1.0002890 

-55 0.32898993 1.0000829 

-60 0.25000000 0.9998898 

-65 0.17860620 0.9997155 

-70 0.11697778 0.9995651 

-75 0.06698730 0.9994432 

-80 0.03015369 0.9993534 

83




Anteriormente se vio como varía K en función de y de en forma 

independiente, manteniendo fija una de las dos, pero ¿cómo se aprecia en 

conjunto?, es decir, graficando K en función de y Para ello se utilizará 

nuevamente la fórmula (3.1), función de dos variables independientes, que al ser 

graficada se puede interpretar como una superficie en el espacio. En este caso 

el dominio de K estará acotado a latitudes del hemisferio Sur (0°, -80°) y a 

longitudes dentro del huso (-75°, -67°), obteniendo el siguiente gráfico: 

K 

1.002000 

1.001500 

1.001000 

1.000500 

1.000000 

0.999500 

0.999000 

0.998500 

0.998000 

-75.0° 

-74.0° 

-73.0° 

Longitud 

Variación de K en función de y 

-72.0° 

-71.0° 

-70.0° 

-69.0° 

-68.0° 

-67.0° 

-20 

-40 

-60 

-80 

0 

Gráfico 3.4 Variación de K en función y 

Con los siguientes valores estadísticos: 

Latitud 

Tabla 3.5 Valores estadísticos para K en el huso 

max 0.1730% 1.001737 1.7367 m/km 

min -0.0720% 0.999280 -0.7200 m/km 

Promedio 0.999792948 -0.0207% -0.2071 m/km 

1.001500-1.002000 

1.001000-1.001500 

1.000500-1.001000 

1.000000-1.000500 

0.999500-1.000000 

0.999000-0.999500 

0.998500-0.999000 

0.998000-0.998500 

84




Los valores de K obtenidos para el sentido Oeste del MC son los siguientes: 

Tabla 3.6 Valores de K en función de y 

-75.0 -74.5 -74.0 -73.5 -73.0 -72.5 -72.0 -71.5 -71.0 

-80 0.999353 0.999336 0.999321 0.999309 0.999298 0.999290 0.999285 0.999281 0.999280 

-75 0.999443 0.999405 0.999372 0.999344 0.999321 0.999303 0.999290 0.999283 0.999280 

-70 0.999565 0.999498 0.999440 0.999391 0.999351 0.999320 0.999298 0.999284 0.999280 

-65 0.999715 0.999613 0.999525 0.999450 0.999389 0.999341 0.999307 0.999287 0.999280 

-60 0.999889 0.999747 0.999623 0.999518 0.999432 0.999366 0.999318 0.999290 0.999280 

-55 1.000083 0.999895 0.999732 0.999594 0.999481 0.999393 0.999330 0.999293 0.999280 

-50 1.000289 1.000052 0.999848 0.999674 0.999532 0.999422 0.999343 0.999296 0.999280 

-45 1.000502 1.000216 0.999967 0.999757 0.999585 0.999452 0.999356 0.999299 0.999280 

-40 1.000715 1.000379 1.000087 0.999841 0.999639 0.999482 0.999370 0.999302 0.999280 

-35 1.000923 1.000538 1.000204 0.999921 0.999690 0.999511 0.999383 0.999306 0.999280 

-30 1.001118 1.000687 1.000313 0.999997 0.999739 0.999538 0.999395 0.999309 0.999280 

-25 1.001294 1.000822 1.000412 1.000066 0.999783 0.999563 0.999406 0.999311 0.999280 

-20 1.001447 1.000938 1.000498 1.000126 0.999821 0.999584 0.999415 0.999314 0.999280 

-15 1.001571 1.001033 1.000567 1.000174 0.999852 0.999602 0.999423 0.999316 0.999280 

-10 1.001662 1.001103 1.000619 1.000209 0.999875 0.999614 0.999429 0.999317 0.999280 

-5 1.001718 1.001146 1.000650 1.000231 0.999889 0.999622 0.999432 0.999318 0.999280 

0 1.001737 1.001160 1.000661 1.000238 0.999893 0.999625 0.999433 0.999318 0.999280 

Cabe recordar que las deformaciones son simétricas a ambos lados del MC. Esto 

se puede observar en el gráfico (3.4). 

85




3.5.3.- COMPARACION DE DEFORMACIONES ENTRE SISTEMAS 

K 

Obtenidos los valores de las deformaciones, será necesaria su comparación 

con las de la proyección UTM, en los husos correspondientes y con un huso 

extendido, solución utilizada actualmente para proyectar el territorio nacional 

integradamente. Esto con el fin de evaluar la efectividad de la solución planteada. 

Para esta comparación se utilizarán las mimas fórmulas y procedimientos 

vistos en la sección anterior anterior, pero el dominio de K estará en los límites de 

coordenadas geodésicas para Chile continental. 

3.5.3.1 Valores para la proyección UTM 

HUSO 19: 

1.001000 

1.000800 

1.000600 

1.000400 

1.000200 

1.000000 

0.999800 

0.999600 

0.999400 

0.999200 

0.999000 

0.998800 

-72.0 

-71.0 

-70.0 

-69.0 

Longitud 

-68.0 

-67.0 

Gráfico 3.4 Variación de K para el huso 19 

-66.0 

-56 

-20 

-29 

-38 

-47 

Latitud 

1.000800-1.001000 

1.000600-1.000800 

1.000400-1.000600 

1.000200-1.000400 

1.000000-1.000200 

0.999800-1.000000 

0.999600-0.999800 

0.999400-0.999600 

0.999200-0.999400 

0.999000-0.999200 

0.998800-0.999000 

86




Valores estadísticos: 

Tabla 3.7 Valores estadísticos de K para el huso 19 

Factor de Escala Distorsión lineal % m/km 

max 1.000862 0.0862 0.8621 

min 0.999600 -0.0400 -0.4000 

Promedio 0.999939 -0.0061 -0.0607 

K 

HUSO 19 EXTENDIDO: 

1.005000 

1.004000 

1.003000 

1.002000 

1.001000 

1.000000 

0.999000 

0.998000 

0.997000 

-75.0 

-74.0 

-73.0 

-72.0 

Longitud 

Gráfico 3.5 Variación de K para el huso 19 extendido 


-71.0 

-70.0 

-69.0 

-68.0 

-67.0 

-38 

-47 

-56 

-29 

-20 

Latitud 

Tabla 3.8 Valores estadísticos de K para el huso 19 extendido 

Factor de Escala Distorcion lineal % m/km 

max 1.0047 0.4663 4.6631 

min 0.9996 -0.0400 -0.4000 

Promedio 1.0006 0.0570 0.5702 

1.004000-1.005000 

1.003000-1.004000 

1.002000-1.003000 

1.001000-1.002000 

1.000000-1.001000 

0.999000-1.000000 

0.998000-0.999000 

0.997000-0.998000 

87




HUSO 18 EXTENDIDO 

K 

1.010000 

1.008000 

1.006000 

1.004000 

1.002000 

1.000000 

0.998000 

0.996000 

0.994000 

-75.0 

-74.0 

Valores estadísticos 

-73.0 

-72.0 

Longitud 

-71.0 

-70.0 

-69.0 

-68.0 

-67.0 

-20 

-29 

-38 

-47 

-56 

Latitud 

Gráfico 3.6 Variación de K para el huso 18 extendido 

Tabla 3.9 Valores estadísticos de K para el huso 18 extendido 


max 1.008628 0.8628 8.6283 

min 0.999600 -0.0400 -0.4000 

Promedio 1.001737 0.1737 1.7367 

1.008000-1.010000 

1.006000-1.008000 

1.004000-1.006000 

1.002000-1.004000 

1.000000-1.002000 

0.998000-1.000000 

0.996000-0.998000 

0.994000-0.996000 

88




3.5.3.2.- Valores para la proyección NTM 

K 

1.002000 

1.001500 

1.001000 

1.000500 

1.000000 

0.999500 

0.999000 

0.998500 

0.998000 

-75.0 

-74.0 


-73.0 

-72.0 

Longitud 

-71.0 

-70.0 

-69.0 

-68.0 

-67.0 

-20 

-29 

-38 

-47 

-56 

Latitud 

Gráfico 3.7 Variación de K para el huso NTM 

Tabla 3.10 Valores estadísticos de K para el huso NTM 


max 1.00152 0.1525 1.5247 

min 0.99928 -0.0720 -0.7200 

Promedio 0.99986 -0.0138 -0.1384 

1.001500-1.002000 

1.001000-1.001500 

1.000500-1.001000 

1.000000-1.000500 

0.999500-1.000000 

0.999000-0.999500 

0.998500-0.999000 

0.998000-0.998500 

Los datos estadísticos nos dicen claramente que el nuevo sistema entrega una 

deformación lineal, en promedio, menor que los husos UTM extendidos. 

89




3.6.- APLICACIÓN DEL NUEVO SISTEMA 

Los parámetros del sistema NTM serán aplicados a los modelos genéricos 

de obtención de coordenadas planas a partir de coordenadas geodésicas, en la 

cual se basan muchos sistemas computacionales de cálculo de coordenadas. El 

objetivo es mostrar las herramientas que contienen los programas 

computacionales para la obtención de coordenadas planas en las diversas 

proyecciones existentes y además en nuevos sistemas basados en los clásicos. 

Para ello se utilizará el software de procesamiento de datos GPS Ashtech 

Solutions, como sistema de obtención de coordenadas a partir de datos de 

terreno, y la plataforma ArcView como herramienta de análisis de coberturas 

cartográficas en un ambiente SIG. 

3.6.1 OBTENCION DE COORDENADAS NTM A PARTIR DE COORDENADAS 

GEODESICAS (PROBLEMA DIRECTO) 

Se utilizará para este proceso el Modelo Matemático Genérico de los 

Sistemas TM hecho en una planilla Excel para su rápido cálculo. 

Para el ejemplo se hará uso de cuatro vértices IGM solicitados por el MBN 

para ser usados en la transformación de coordenadas obtenidas en el 

procesamiento de datos GPS, desde el datum WGS84 a SAD69. 

90




Datum : SAD – 69 

Elipsoide : Sudamericano 1969 

Nombre de la 

Estación 

Tabla 3.11 Vértices geodésicos IGM 

Latitud Longitud Zona Altura 

Morro Chico 52°03’24,555’’ 71°25’0,618’’ 19 244,83 

Porpesse 52°56’53,080’’ 70°47’43,842’’ 19 55,88 

Fuerte Bulnes 53°36’57,975 70°56’14,128’’ 19 120,85 

Lagunitas 53°04’34,18’’ 70°11’6,590’’ 19 92,43 

A continuación se mostrarán todos los valores obtenidos en el proceso 

para la estación Morro Chico: 

PARAMETROS DE ENTRADA 

(Elipsoide) 

a f 

6378160 0.003352892 

b c e´2 

6356774.719 6399617.225 0.006739661 

Ko MC 

0.99928 -71 

FN 7000000 

FE 700000 

DATOS DE 

ENTRADA 

52°.03'24'',555 71°.25'00'',618 

Latitud fi longitud 

-52.0568 -71.4168 

91




CALCULO DE 

FACTOR DE 

ESCALA 

a8 0.18952021 

a10 -0.009896036 

-0.416838333 

K 0.99929002 

Arco de Meridiano 

A 1.005052625 111133.3488 

B 0.005063232 16038.95495 

C 1.06281E-05 16.83348992 

D 2.08219E-08 0.021986052 

E 3.93275E-11 3.11448E-05 

F 6.55534E-14 4.15311E-08 

B -5769686.0780 

Y -5769768.0985 

X -28591.4135 

Coordenadas NTM 

N 1234386.13 

E 671429.17 

Para los otros puntos las coordenadas NTM serán: 

Nombre de la 

Estación 

Tabla 3.11 Coordenadas NTM de los vértices 

Norte Este Altura 

Morro Chico 1234386.13 671429.17 244,83 

Porpesse 1135343.30 713735.39 55,88 

Fuerte Bulnes 1061068.59 704149.16 120,85 

Lagunitas 1120808.97 754569.89 92,43 

92




3.6.2 APLICACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN EL PROCESAMIENTO DE 

DATOS GPS 

Para esta aplicación se utilizará el software Ashtech Solutions 1.0, el cual 

posee un módulo llamado Project Settings, en donde se puede configurar un 

sistema de coordenadas basado en un Grid TM (ver figura 3.3 ) 

Figura 3.3 Módulo para cambio de sistema de coordenada 

93




En este módulo se deben ingresar los parámetros de la proyección (figura 3.4) 

Figura 3.4 Ingreso de parámetros NTM 

Se utilizaron datos crudos de la campaña GPS en la XII región del año 

2001. Cómo punto de control se utilizó el vértice IGM Rubens de coordenadas 

geodésicas: 

52°03’29,2624’’ 

72°00’21,1490’’ 

se ingresaron los datos de una sesión con cinco estaciones con los respectivos 

valores de antena (altura, radio, offset) (figura 3.5). 

Figura 3.5 Datos GPS 

94




Luego de ingresar el punto de control se procesan los datos y se obtienen 

las coordenadas NTM de las estaciones. El programa entrega diversos reportes, 

donde también se pueden observar los valores del factor de escala K para cada 

punto y los parámetros del sistema NTM: 

Site 95% Fix Position 

ID Site Descriptor Position Error Status Status 

1 RBNS East. 631058.567 0.000 Fixed Processed 

Nrth. 1233865.610 0.000 Fixed 

Elev. 310.131 0.000 Fixed 

2 PN2_ East. 596035.327 0.035 Processed 

Nrth. 1270888.359 0.061 

Elev. 23.873 0.096 

3 _REN East. 634532.511 0.002 Processed 

Nrth. 1232600.627 0.006 

Elev. 263.050 0.008 

4 RE2_ East. 634332.950 0.000 Processed 

Nrth. 1232352.550 0.002 

Elev. 274.590 0.002 

5 _NA1 East. 596870.121 0.002 Processed 

Nrth. 1271471.064 0.002 

Elev. 58.757 0.004 

Site Scale Elevation 

ID Site Descriptor Convergence Factor Factor 

1 RBNS -0 47.598 0.999338 0.99995142 

2 PN2_ -1 10.917 0.999413 0.99999626 

3 _REN -0 45.218 0.999333 0.99995879 

4 RE2_ -0 45.360 0.999333 0.99995699 

5 _NA1 -1 10.334 0.999411 0.99999079 

Grid System 

Name: NTM 

Projection Type: TM83 

Zone Name: MBN 

Zone Parameters: 

Longitude of Central Meridian = 071°00'00.00"W 

Scale factor at Central Meridian = 0.999280 m 

Longitude of the grid origin = 000°00'00.00"W 

Latitude of grid origin = 00°00'00.00"N 

False easting (m) = 700000.000 m 

False northing (m) = 7000000.000 m 

95




Si se calculan las coordenadas del vértice Rubens (punto de control) con el 

Modelo Matemático en excel, se obtienen los siguientes valores: 

DATOS DE 

ENTRADA 

52°.03'29'',262 72°.00'21'',149 

Latitud fi longitud 

-52.0581 -72.0059 

K 0.99933837 

N 1233865.61 

E 631058.57 

Estos valores coinciden en su totalidad con los calculados por el software, por lo 

que se podría decir que éste utiliza un modelo similar. 

3.6.3 CONVERSIÓN DE COBERTURAS CARTOGRAFICAS A LA 

PROYECCIÓN NTM. 

Como herramienta de estudio, análisis y conversión de coberturas se 

utilizará Arc View, ya descrito anteriormente en la sección 2.4. 

Algunos sistemas que trabajan con coberturas cartográficas, traspasan 

éstas de una proyección a otra ingresando los parámetros correspondientes. Tal 

es el caso del Arc View, con el cual se convertirán coberturas de Chile continental 

a la proyección NTM. 

96




Para en tender cómo trabaja ArcView con las proyecciones cartográfica, se 

procederá a generar una grilla de coordenadas geodésicas en grados decimales 

sobre la representación de Chile continental. Para ello el programa dispone de una 

librería de ejemplos en los que se encuentran los Temas requeridos (figura 3.6) . 

Figura 3.6 Vista en ArcView con grilla de coordenadas geodésicas 

Para el estudio se debe seleccionar Chile, convertirlo a shape y agregarlo como 

tema (figura 3.7). 

Figura 3.7 

97




Ahora se podría proyectar esta vista en UTM huso 19 (figura 3.8) 

Figura 3.8 Proyección UTM 

Se puede apreciar cómo se deforma la gratícula a medida que nos alejamos del 

huso. 

La misma vista ahora proyectada en el sistema NTM (figura 3.9) 

Figura 3.9 Proyección NTM 

No se aprecian diferencias debido a la escala. 

98




A simple vista no se pueden apreciar diferencias entre un sistema y otro, 

pero si se calcula el área o el perímetro del polígono que representa a Chile, se 

podrían determinar diferencias : 

Área polígono proyectado UTM huso 19 = 744809,308 km 2 

Área polígono proyectado NTM =743809,932 km 2 

Los parámetros de la proyección se cambian en las propiedades de la vista como 

se aprecia en la figura 3.10. 

Figura 3.10 Ingreso de los parámetros NTM para la vista 

99




Para representar gráficamente en el territorio nacional, la variación de K en 

una vista (mapa), se deben generar tablas con los datos correspondientes a las 

líneas automecoicas. Estas tablas deben contener la latitud y la longitud a ambos 

lados del MC. Luego, en arcview, se ingresan como temas de punto asignándoles 

la posición correspondiente en el mapa: ejemplo para K = 0.99975 

Tabla 3.12 Valores de 

_AL_OESTE del MC _AL_ESTE_ 

-16 -72.82 -69.18 

-17 -72.83 -69.17 

-18 -72.84 -69.16 

-19 -72.85 -69.15 

-20 -72.86 -69.14 

-21 -72.88 -69.12 

-22 -72.89 -69.11 

-23 -72.90 -69.10 

-24 -72.92 -69.08 

-25 -72.93 -69.07 

-26 -72.95 -69.05 

-27 -72.97 -69.03 

-28 -72.99 -69.01 

-29 -73.00 -69.00 

-29 -73.00 -69.00 

-30 -73.02 -68.98 

-31 -73.05 -68.95 

-32 -73.07 -68.93 

-33 -73.09 -68.91 

-34 -73.11 -68.89 

-35 -73.14 -68.86 

-36 -73.17 -68.83 

-37 -73.20 -68.80 

-38 -73.23 -68.77 

-39 -73.26 -68.74 

-40 -73.29 -68.71 

-41 -73.32 -68.68 

-42 -73.36 -68.64 

-43 -73.40 -68.60 

-44 -73.44 -68.56 

-45 -73.48 -68.52 

-46 -73.53 -68.47 

-47 -73.57 -68.43 

-48 -73.62 -68.38 

-49 -73.67 -68.33 

-50 -73.73 -68.27 

-51 -73.79 -68.21 

-52 -73.85 -68.15 

-53 -73.92 -68.08 

-54 -73.99 -68.01 

-55 -74.06 -67.94 

-56 -74.14 -67.86 

100




Variación de K en el Territorio Nacional 

N 

# 

# 

# 

L -80 

Chile.shp 

1,0005 

1,0005 

0,99975 

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# 

# 

# 

# 

View5 

0,99975 

0,9995 

0,9995 

0,9994 

# 

# 

# 

# 

L -60 

500 0 500 1000 Kilometers 

0,9994 

0,99934 

0,99934 

0,99928 

Figura 3.11 Distribución de los valores de K en el huso NTM 

# 

# 

1 

1 

101




La figura 3.11 muestra el resultado del procedimiento explicado 

anteriormente. Se puede observar gráficamente la variación de las deformaciones 

a medida que se aleja del MC, que es la única columna de puntos que permanece 

recta ya que siempre el valor de K será Ko = 0,9996. En este caso la vista no esta 

proyectada en el sistema NTM. La figura 3.12 muestra la misma situación pero 

proyectada en el sistema NTM. 

Figura 3.12 Distribución de los valores de K en el huso NTM Proyectado 

A continuación se presentará a Chile en la proyección NTM y cuadrícula 

con las coordenadas Norte y Este, además de la presentación de meridianos y 

paralelos (figura 3.13) 

. 

102




N 

5500000 

5000000 

20° 

4500000 

4000000 

3500000 

30° 

3000000 

2500000 

40° 

2000000 

1500000 

1000000 50° 

500000 

90° 

-1000000 

80° 

-500000 

-1000000 -500000 

100° 60° 90° 

CHILE EN COORDENADAS NTM 

0 

0 

80° 

500000 

70° 

1000000 

1500000 

500000 1000000 1500000 

70° 60° 

500 0 500 1000 Kilometers 

Figura 3.13 Representación de Chile con Grilla NTM 

50° 

60° 

5500000 

5000000 

20° 

4500000 

4000000 

30° 

3500000 

3000000 

2500000 

40° 

2000000 

1500000 

50° 

1000000 

500000 

50° 

60° 

103




Para transformar coberturas completas, de un sistema proyectado, a otro, 

se utilizará la extensión Projection Utilility, la cual transforma archivos en formato 

shape que se encuentre en alguna proyección, sin la necesidad de poner el 

archivo en una vista como tema. El programa analiza los Metadatos del archivo y 

detecta el sistema de proyección y el datum.(figura 3.14) 

Figura 3.14 Módulo de Transformación de Proyeciones 

Luego, el programa consulta por el nuevo sistema de coordenadas al cual se 

quiere transformar. Aquí se ingresarán los parámetros de la proyección NTM. 

(figura 3.15) 

104




Figura 3.15 Módulo de selección e ingreso de los parámetros de la proyección 

Por último, el programa solicita un nombre y una ruta para guardar el nuevo 

archivo. A continuación entrega un sumario con los parámetros de entrada y 

salida. (figura 3.16) 

Figura 3.16 Sumario de resumen de los datos de salida 

A continuación se presentará un sector de la décima región transformada a la 

proyección NTM. Los datos de origen se encontraban en el huso 18. (figura 3.17) 

105




2450000 

2440000 

2430000 

2420000 

2410000 

510000 

# 

PARAGUAY 

# 

COLEGUAL 

# 

LONCOTORO 

# 

LAS QUEMAS 

# 

GUAY CHICO 

510000 

N 

# 

520000 

LOS MAITENES 

520000 

Sist_lacustre.shp 

Hidro.shp 

FRUTILLAR 

LOS PELLINES 

# 

SAN ANTONIO 

# 

# 

Leyenda 

530000 

# 

# 

LLANQUIHUE 

LAGUNA PICHILAGUNA 

Ciudad.shp 

Caminos.shp 

Figura 3.17 Cobertura en proyección NTM 

# 

# 

LOS BAJOS 

FRUTILLAR BAJO 

PUERTO VARAS 

NUEVA BRAUNAU 

530000 

# 

540000 

LAGO LLANQUIHUE 

ALERCE 

# 

540000 

10 0 10 Kilometers 

550000 

550000 

Comuna de Puerto Varas 

2450000 

2440000 

2430000 

2420000 

2410000 

Proyección Cartográfica: NTM 

Datum: WGS 84 

Escala 1:250.000 

106




4.1.- ANÁLISIS 

CAPÍTULO 4 .- ANÁLISIS Y CONCLUSIONES 

Con la introducción de la fórmula para el cálculo del Factor de Escala K, en 

función de y en una planilla Excel de doble entrada, se ha determinado la 

variación de K a través de todo un huso UTM y del huso propuesto para la 

proyección NTM. El dominio para ésta se encontrará entre el Ecuador y la latitud 

-80°, y entre las longitudes -67° y -75°. Los valores obtenidos para la proyección 

NTM son: 

K precisión Distorsión 

K0 0,99928 1:1.389 -0,72 metros por kilómetro 

Kmáximo 1,00173 1:578 1,73 metros por kilómetro 

Kpromedio 0,99979 1:4.762 -0,21 metros por kilómetro 

Los valores para un huso UTM (ej: huso 19) son: 

K precisión distorsión 


Kmáximo 1,00098 1:1.020 0,98 metros por kilómetro 


Es evidente que ampliar el ancho del huso de 6° a 8°, manteniendo las 

características de la proyección TM, hace que se incrementen las deformaciones 

producidas por el alejamiento del cilindro secante al meridiano central, aunque no 

107




exageradamente, pero significativas a la hora de evaluar grandes distancias o 

extensiones de terreno. 

Para el objetivo del trabajo, se deben evaluar las deformaciones acotando 

el estudio a los límites del territorio Nacional Continental, de manera integrada, es 

decir, con un solo huso, entre los –17° y –56° de latitud y los –67° y –75° de 

longitud, donde los resultados obtenidos fueron los siguientes: 

Huso proyección NTM: 





Solución huso 19 extendido: 




Kpromedio 1,0006 1:1.667 0,60 metros por kilómetro 

Estos resultados entregan relevante información principalmente por los 

valores promedio, ya que señalan una menor precisión y mayores deformaciones 

al aplicar el huso 19 extendido, del orden de 45 cm más que en la proyección 

NTM. No dejan de llamar la atención también los valores máximos alcanzados 

cuando se extiende el huso 19, del orden de los 4 m por km. 

Es importante mencionar que el dominio de K con el que se realizaron los 

cálculos, son los valores de latitud y longitud extremas del territorio, pero no está 

108




inserto en su totalidad dentro de estos márgenes, debido a su inclinación y forma 

poco homogénea. Si se desprecian gran parte de estos valores, fuera del territorio 

Nacional y se recalculan los promedios, se obtienen los siguientes resultados: 

NTM: 



UTM extendido (huso 19) 


Kpromedio 1,00033 1:3030 0,33 metros por kilómetro 

Los valores obtenidos al acotar aun más el dominio de K para ser más 

representativo del territorio, siguen confirmado una mejor precisión y menores 

deformaciones para la proyección NTM en relación al huso 19 extendido. 

Se debe considerar, al momento de determinar las escalas con las que se 

realizará la cartografía, las deformaciones obtenidas en el huso de manera 

íntegra, es decir como valor máximo de 1,5 metros por kilómetro. Esto implica 

utilizar escalas donde la resolución no permita apreciar gráficamente esta 

distancia. Si el límite de percepción visual alcanza los 0,2 mm , en una escala 

1:25.000 la máxima apreciación será de 5 metros, suficiente para el valor de la 

distorsión. 

109




Ya definido el Campo del sistema y Escala, se pueden utilizar estos valores 

para determinar la escala exacta que se debe utilizar para obtener una distancia 

medida en diferentes regiones del mapa, de forma que si 1/E es la escala general 

de la representación, esta sólo se cumplirá para las líneas de secancia, ya que 

para las otras habrá que aplicar el factor de escala correspondiente a ese punto, 

es decir, 1/E’ = 1/E X K. 

Ejemplo: si a 1/250.000 se miden 5cm y K = 1,0005, 1/E’ = 1/249875, por lo 

tanto 5 cm = 12493,75 m y no 12500 m. Sería lo mismo que obtener la distancia 

elipsoidal a partir de la distancia plana, D = 12500/1,0005 = 12493,75 m. Por lo 

tato se podría generar un ábaco aclaratorio con la variación de la escala. 

Ejemplo para escala 1:250.000: 

Gráfico 4.1 Variación de escala para cartas 1:250.000 e proyección NTM 

-75° 

-74° 

Variación de Escala 

-73° 

-72° 

-71° 

Longitud 

-70° 

-69° 

-68° 

-18° 

-25° 

-35° Latitud 

-45° 

-67° -56° 

Escala 

1:250.150-1:250.200 

1:250.100-1:250.150 

1:250.050-1:250.100 

1:250.000-1:250.050 

1:249.950-1:250.000 

1:249.900-1:249.950 

1:249.850-1:249.900 

1:249.800-1:249.850 

1:249.750-1:249.800 

1:249.700-1:249.750 

1:249.650-1:249.700 

1:249.600-1:249.650 

1:249.550-1:249.600 

1:249.500-1:249.550 

110




Las líneas que conservan la escala (K=1, secancia), a medida que se alejan 

del Ecuador, también se van alejando del Meridiano Central, comenzando a 2°9’ 

del MC en el Ecuador y llegando a los 12°30’ en el límite de la proyección (-80°). 

Hacia los polos esta distancia tenderá a infinito (ver fórmulas 3.8 y 3.9, sección 

3.5.3). En el límite del territorio Nacional, alcanza los 3°46’. Por lo tanto tiene un 

crecimiento exponencial. Es por eso que esta proyección no es aplicable en los 

polos. 

111




4.2.- CONCLUSIONES 

Los resultados obtenidos luego de aplicar los parámetros propuestos para 

la nueva proyección, incurren en errores o deformaciones menores que la 

comparada (UTM extendida), como se apreció en los análisis. Por lo tanto al 

momento de entregar una evaluación del nuevo sistema se resume que éste no 

genera deformaciones mayores a 1,5 metros por kilómetro y que en promedio son 

del orden de 15 cm por kilómetro, valores aceptables para este tipo de 

proyecciones, si se piensa que al extender un huso UTM más allá de sus límites, 

se producen alteraciones mayores. 

Se comprueba, por lo tanto la hipótesis planteada de desarrollar un sistema 

de proyección nacional basado en la proyección TM, adoptando un solo meridiano 

central, incurriendo en deformaciones no significativas dependiendo de la escala. 

En síntesis, se puede solucionar el problema de la duplicidad de 

coordenadas en los límites del huso UTM, sin la necesidad de forzar las 

coordenadas o extender un huso, sino que generando una zona más amplia con 

un factor de escala equivalente. 

El objetivo general de analizar los errores que se producirán en el nuevo 

sistema, se cumplió íntegramente, ya que se estudio desde todos sus aspectos, 

variación de K en función de latitud y longitud, distancias a las que las 

deformaciones son nulas desde el MC, comparación de distorsiones en el huso en 

todo su dominio y acotado al territorio nacional continental, variación de la escala y 

transformación de distancias. 

112




Destacable del trabajo es la determinación de los parámetros para la 

proyección, es decir, meridiano central, ancho de huso que integre la totalidad del 

territorio sin extenderse demasiado como para incurrir en errores mayores y a 

partir de allí calcular el factor de escala para el meridiano central Ko, y por último 

las coordenadas de origen (FEN y FNN) para no tener valores negativos. 

Los cálculos realizados fueron hechos en planillas de cálculo Excel, las que 

optimizaron bastante el trabajo ya que permitieron obtener valores de K de manera 

rápida en tablas de doble entrada, programando una sola celda y copiando para 

las demás, así como la programación del modelo matemático genérico de los 

sistemas TM para obtener las coordenadas del nuevo sistema a partir de 

coordenadas geodésicas. También se utilizó para calcular Ko y generar las 

distintas gráficas mostradas en el trabajo. Esta herramienta permitió observar de 

manera muy precisa cómo varía K en el huso y fuera de éste, así como la 

deformación lineal y la escala, y algo muy importante, cómo están trazadas las 

líneas automecoicas. 

Los procesos actuales, computacionales, facilitan bastante la 

transformación de coberturas cartográficas de un sistema de proyección a otro, así 

como también la obtención de coordenadas en el sistema requerido a partir de 

datos de terreno, como es el caso de los datos GPS. 

Como el objetivo de esta proyección es tener una visión general del 

territorio orientada a coberturas del Ministerio de Bienes Nacionales, se 

recomienda: 

113




Utilizar la proyección NTM en la construcción de planos o traspaso de 

coberturas cartográficas para zonas rurales, específicamente para deslindar 

Parques Nacionales, Áreas Silvestres Protegidas y predios de gran extensión, 

donde el área sea superior a 200 has. y escalas 1:25.000 o menor. 

Si bien es cierto, la proyección es independiente del datum, es decir, se 

pueden proyectar elementos a partir de un datum u otro, este toma vital 

importancia cuando se trata de información ya cartografiada a la cual ya se le ha 

aplicado un datum de origen, en ese caso se deben conservar sus elementos de 

referencia. 

Se puede utilizar información cartográfica basada en PSAD56, ya que la 

mayor escala disponible es 1:25.000, lo que significa que el mínimo elemento 

cartografiable es de 5 m, suficiente para el valor máximo de distorsión obtenido. 

Así mismo IGM en WGS84 escala 1:50.000 o menor en formato digital. 

Si se desea proporcionar coordenadas de arranque para un levantamiento 

bajo cualquier datum, se recomienda utilizar coordenadas UTM y luego 

transformarlas al nuevo sistema, a menos que se trate de un trabajo donde no se 

requiera de gran precisión. 

Si en un futuro se piensa implementar una proyección nacional, ya sea para 

uso interno, en este caso del MBN, o general de Chile, este trabajo representa un 

primer acercamiento a los parámetros a utilizar o la metodología a utilizar para 

determinarlos, para lo cual se deberá normalizar y estandarizar la adquisición, 

generación y transferencia de los datos Territoriales para este sistema. 

114




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116

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