Tema 3. Experimentos unifactoriales CON restricciones en la ...

Diseño de Experimentos
TEMA 3
EXPERIMENTOS UNIFACTORIALES CON RESTRICCIONES
EN LA ALEATORIZACIÓN
(Hicks, cap. 4; Winer, pag. 240 y ss.)
Introducción
En ocasiones los diseños completamente aleatorizados presentan muchas desventajas.
Sería conveniente introducir alguna restricción en la aleatorización para intentar compensar no
sólo la media de las desviaciones, sino eliminar en lo posible la varianza asociada. Veámoslo en
un ejemplo.
Ejemplo 1:
Supongamos que queremos determinar si diferentes lotes de neumáticos presentan pérdidas de
superficie de rodadura distinta después de 20.000 km.
El gerente de una compañía de coches desea considerar cuatro lotes disponibles y decidir cuál
presenta la menor pérdida de superficie de rodadura después de 20.000 km. Los lotes
considerados son A, B, C y D. Aunque las condiciones de conducción pueden simularse en el
laboratorio, quiere probar los cuatro lotes bajo verdaderas condiciones de conducción.
La variable a medir ( y ij ) es la máxima diferencia en “profundidad del dibujo” sobre un
neumático desde que se montó en el coche hasta después de haberlo utilizado durante 20.000 km.
(medida en mils 0.001 inch.). El único factor de interés es el lote ( j ) con j 1,
2,
3,
4 .
Como los lotes se prueban sobre coches y necesitamos alguna medida del error, usaremos más de
una rueda por lote. Será más práctico escoger 4 ruedas de cada lote (es decir, 16 neumáticos en
total), y podríamos entonces tomar también cuatro coches. Podemos tomar, en este caso, el
siguiente diseño:
Coche I II III IV
Lote A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
En este caso, las medias por lotes serían también las medias para los coches. Si éstos se
conducen por diferentes terrenos por conductores distintos, es posible que lo que aparentemente
son diferencias entre los lotes sean, en realidad, diferencias entre los coches. Este diseño se dice
que es completamente confundido (completely confounded) ya que en nuestro análisis no
podemos distinguir entre lotes y coches.
Podemos intentar un diseño completamente aleatorizado (completely randomized) asignando los
16 neumáticos a los cuatro coches de forma aleatoria. Por ejemplo:
Coche I II III IV
Lote (pérdida) C(12) A(14) C(10) A(13)
A(17) A(13) D(11) D(9)
D(13) B(14) B(14) B(8)
D(11) C(12) B(13) C(9)
El propósito del diseño completamente aleatorizado es, en este caso, eliminar las posibles
diferencias entre los coches (que, de existir, estarán “distorsionando” los resultados). El modelo
considerado es yij
j eij
j 1,
2,
3,
4 i 1,
2,
3,
4 . El ANOVA da
Fuente de variación g.d.l. SC CM F F0. 05 F0.
01
Lote ( j ) 3 30.69 10.23 2.43 3.49 2.61
Error ( e ij ) 12 50.25 4.2
Total 15 80.94
Tema 3 1 de 9

Diseño de Experimentos
Por tanto, no rechazo la hipótesis (es decir, las pérdidas medias son estadísticamente iguales).
Diseño por bloques completos totalmente aleatorizado
Si nos fijamos en el diseño completamente aleatorizado del ejemplo anterior,
encontramos que aún presenta ciertos problemas. Por ejemplo, el lote A no se usa en el coche III,
ni el lote B se usa en el coche II. Por lo tanto, cualquier variación dentro del bloque A reflejará
variaciones entre los coches I, II, III y IV. Por consiguiente, el error aleatorio no será sólo un
error experimental sino también incluirá variación entre coches. Como el objetivo principal del
diseño de experimentos es reducir el error experimental, será mejor diseño aquel en el que
eliminemos la variación entre los coches de la variación del error (obsérvese que en el diseño
completamente aleatorizado hemos “compensado” los efectos de los coches, pero no hemos
eliminado la variación entre los coches).
Un diseño que requiere que cada lote se use una sola vez sobre cada coche se dice que es
un diseño por bloques completos aleatorizado (randomized complete block design).
Por ejemplo, para el caso de los coches:
Coche I II III IV
Lote (pérdida) B(14) D(11) A(13) C(9)
C(12) C(12) B(13) D(9)
A(17) B(14) D(11) B(8)
D(13) A(14) C(10) A(13)
En este diseño, el orden en el que se colocan los cuatro neumáticos en el coche es aleatorio, y
cada coche tiene un neumático de cada tipo. De esta forma podemos comparar mejor los lotes, ya
que han sido utilizados todos sobre aproximadamente los mismos terrenos ( mismas
condiciones de conducción para los lotes; por tanto, las “únicas” diferencias existentes serían
entre los lotes). Esto nos proporciona un ambiente más homogéneo para comparar los cuatro
lotes.
En general, estas agrupaciones para obtener homogeneidad se llaman bloques (blocks) y
la aleatorización se restringe ahora dentro de cada bloque. Este diseño permite, además, que la
variación de los bloques (coches) sea independiente, por lo que podemos separarla del término
del error. El modelo es
y
e
ij
donde i representa el efecto del bloque.
Podemos realizar en este caso un análisis de la varianza de dos factores (sin
interacciones).
Ejemplo 1 (cont.):
Reordenando los datos
Lote
Coche
A B C D yi
I 17 14 12 13 56
II 14 14 12 11 51
III 13 13 10 11 47
IV 13 8 9 9 39
y 57 49 43 44 y
=193
i
j
yij 2 823 625 469 492
i,
j
Tema 3 2 de 9
i
j
ij
y
2
ij =2409

Diseño de Experimentos
SC
SC
total
lotes
y
2
2
yij
i,
j N
2
y
j y
n N
j
2
193
2409
16
57
4
2
49
4
2
2
43
4
80.
94
44
4
193
16
30.
69
SCcoches
2 2
yi
y
i n N
2 2 2 2 2
56 51 47 39 193
38.
69
4 4 4 4 16
SCerror
SCtotal
SClotes
SCcoches
80. 94 30.
69 38.
69 11.
56
Nos da la tabla ANOVA
Fuente
variación
de g.d.l. SC CM E(CM)
Lotes 3 30.69 10.23
2
e 4
Coches 3 38.69 12.9 2 2
e 4
Error 9 11.56 1.3 2
e
Total 15 80.94
Tema 3 3 de 9
2
Para contrastar H 0 : A
B
C D , tenemos
10.
23
F 7.
87 6.
99 F3,
9;
0.
01.
1.
3
Por consiguiente, rechazo la hipótesis de que las medias por lotes son iguales (recuérdese que en
el diseño completamente aleatorizado no podíamos rechazarla; sin embargo, al eliminar la
influencia de los bloques – coches – hemos reducido la varianza estimada de 4.2 a 1.3).
También podemos contrastar H 0 : I II III IV , es decir, que el desgaste medio es igual
en todos los coches:
12.
9
F 9.
92 6.
99 ,
1.
3
que también es rechazada al nivel del 1%. Por consiguiente, se detectan diferencias de coche a
coche.
Consideremos un diseño con tres tratamientos realizados así:
Bloque 1 Bloque 2
Trat. 3 Trat. 2
Trat. 1 Trat. 3
Trat. 2 Trat. 1
Cada bloque se divide en k subbloques de igual tamaño. Dentro de cada bloque los k
tratamientos se asignan aleatoriamente a los subbloques. Cada bloque es completo en el sentido
de que contiene todos los tratamientos.
En general, un bloque corresponde con una repetición del experimento bajo condiciones
equiparables. Cada bloque se divide en k subbloques y el número n de bloques es el número de
repeticiones requeridas en el diseño. El propósito principal al agrupar en bloques es eliminar la
variación debida a diferencias entre los bloques del error experimental (es decir, tener un cierto
grado de control sobre la heterogeneidad de las unidades experimentales).
Aunque los bloques pueden considerarse como un factor aleatorio, lo trataremos como
fijo ya que no altera el análisis mientras que nuestro interés recaiga en la eliminación de los
efectos de los bloques del error experimental y mientras que los tests estadísticos se reduzcan a
los efectos de los tratamientos.
2
2

Diseño de Experimentos
Observaciones:
Aunque en este ejemplo se ha separado un efecto debido a los coches (bloques), el objetivo
principal sigue siendo contrastar diferencias entre lotes. Sigue siendo un experimento
unifactorial; los bloques sólo representan una restricción sobre la aleatorización completa
debida al ambiente en el que se desarrolla el experimento.
Cuando los datos se presentan en forma tabular, se sugiere que se dibujen líneas verticales u
horizontales (simples, dobles, etc.) para indicar las restricciones en la aleatorización.
Como realizar bloques es un procedimiento muy útil para reducir el error experimental,
haremos un nuevo ejemplo para ilustrar la situación en la que se observan las mismas unidades
experimentales (animales, personas, etc.) antes del experimento y al concluir el mismo. Son los
diseños antes-después (pre-post contraste), que pueden tratarse como diseño de bloques
aleatorizado donde las unidades experimentales son bloques. El interés primordial está en el
efecto del tratamiento y se pueden “eliminar” los efectos de los bloques para reducir el error
experimental. En algunos textos también se llaman diseños de medidas repetidas (Winer;
repeated-measures designs).
Ejemplo 2:
Un estudio sobre la medida de fuerza física sobre 7 individuos antes y después de un periodo de
entrenamiento da los valores
Individuos Pretest Posttest
1 100 115
2 110 125
3 90 105
4 110 130
5 125 140
6 130 140
7 105 125
Podemos considerarlo como un contraste de datos apareados ( H 0 : d
d medida posttest-medida pretest.
Tenemos
d 15.
71
0 ) donde
Sd
3.
45
y
d
t 12.
05
S n
que es muy significativa (p-valor 0.00002) para 6 g.d.l.
Si lo consideramos como un experimento unifactorial con dos niveles (pre y post) con
siete bloques, nos lleva a un diseño por bloques aleatorizado y el ANOVA es
Fuente de variación g.d.l. SC CM F p-valor
Tratamientos (test) 1 864.29 864.29 145.25 0.00002
Bloques (individuos) 6 2085.71 347.62 58.42

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ANOVA
Para el diseño por bloques completos aleatorizado el modelo es yij i
j eij
o
y
y con la verdadera media del bloque i.
bien
ij
i
j
ij i j
Los mejores estimadores de las medias poblacionales son las correspondientes medias
muestrales (tanto por el método de mínimos cuadrados, que es el que se usa para obtener los
estimadores de los parámetros del ANOVA, como si utilizamos el método de máxima
verosimilitud), luego
y y y y y y y
yij y
i
j
ij i
j
y
de donde, elevando al cuadrado y sumando en todos los valores posibles, se obtiene
k
n
j1
i1
n
k
n k
2
2
2
yy = kyy
+ nyy
+ yyyy ij
i 1
i
Tema 3 5 de 9
j
1
j
i
i1
j1
pues los tres productos cruzados se anulan, por lo que la ecuación fundamental del análisis de la
varianza bifactorial es
SCT SCB SCTr
SCE (1)
total bloques tratamientos
error
donde las sumas de cuadrados tienen asociados, respectivamente, unos grados de libertad
( nk 1)
( n 1)
( k 1)
( n 1)(
k 1)
total
bloques
j1
i1
tratamientos
Además, desarrollando las sumas de cuadrados anteriores, se pueden obtener las
expresiones
k n
k n
2
2
2 y
SCT = yij
y
= y
ij
N
n
SCB = kyy
i
1
i
k
SCTr = nyy
j
1
j
n k
SCE = yyyy
i1
j1
ij
i
j
2
=
i
1
2
k
2
=
=
j1
i1
n
i1
n
j1
i1
k
j1
y
yi
k
error
2
2
y j
n
2
y
N
2
y
N
ij
i
j
n 2 k 2 2
y y
i
j y
k n N
2
ij
i1
j1
SCB SCTr SCE
Los cuadrados medios , , son cuadrados medios independientes
n 1
k 1
n1k1 2
2
con distribución (y estimadores insesgados, bajo H 0 , de ). Se obtiene la tabla
Fuente g.d.l. SC CM
Bloques n-1
n
2
k y i y
SCB
n 1
k
Tratamientos k-1 nyy
j
1
j
n k
Error (n-1)(k-1) yyyy
i1
j1
k n
Total nk-1=N-1 yy ij
j1
i1
i
ij
j
2
2
2
2
SCTr
k 1
SCE
1 k
n 1

Diseño de Experimentos
Omisión de observaciones
En ocasiones se pierden algunas observaciones de un diseño por bloques: se muere un
animal, explota una rueda, etc.; por consiguiente, al menos tenemos una observación perdida.
Para el diseño completamente aleatorizado unifactorial esto no representa ningún
problema, ya que el análisis de la varianza puede realizarse con n j distintas.
Para un análisis bifactorial (two-way) significa una pérdida de ortogonalidad, ya que para
al menos un bloque no se verifica 0 y para al menos un tratamiento 0 tampoco
j
j
se verifica.
Si esto ocurre, el procedimiento habitual es reemplazar el valor por uno que haga mínima
la suma de cuadrados de los errores.
Ejemplo 1 (cont.):
Consideremos nuevamente el ejemplo de los coches. Si se estropea el lote C del coche III (y
restamos 13 a los datos)
Lote
Coche
A B C D Ti
I 4 1 -1 0 4
II
III
1
0
1
0
-1
y
-2
-2
-1
y -2
IV 0 -5 -4 -4 -13
T j
Entonces tenemos
5 -3 y -6 -8 T
= y -12
k n
n 2 k 2 2 y
2 yi
j y
SCE = SCT SCTr SCB = yij
=
j1
i1
i1
k j1
n nk
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2 5
3
y 6
8
4 1 y 2
13 y 12
4 1
1
4
4
4
16
2
2
2
2 98 y 36 12y
186 y 4 4y
y 144
24y
9 2 5
= y 86
= y y 14
4
4
16 16 2
que, al minimizar respecto a y ,
d
SCE dy
9 5
y
8 2
Tema 3 6 de 9
9 5
20
y 0 y
8 2
9
nos da que el valor numérico perdido debería ser sustituido por
20
y
9
20
Reemplazando la y de la tabla por , tendremos un ANOVA aproximado (ahora las sumas
9
de cuadrados no serán insesgadas).
Fuente de g.d.l. SC CM F p-valor
variación
Lotes 3 38.32 12.77 3
Coches 3 28.76 9.58 6
9.1075

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El resultado no es muy diferente al original, aunque hemos perdido un grado de libertad para los
errores.
Podemos repetir el proceso cuando hay más de una observación perdida, obteniendo en
ese caso un sistema de m ecuaciones con m incógnitas (siendo m el número de omisiones). Esto
será válido mientras m no sea un valor muy grande.
En general, si se ha perdido la observación (i,j), podemos poner
' ' '
ny ' i
ky
j y
yij
n1k1 donde los apóstrofes indican que la operación realizada se ha hecho con los valores numéricos
'
observados ( y j y
j y , donde y es la observación perdida anterior).
Diseño para comparar pares aleatorizados.
Muy frecuentemente podemos aumentar considerablemente la precisión si hacemos las
comparaciones dentro de pares asociados (matched pairs) de material experimental. La
aleatorización nuevamente garantiza la validez de dichos experimentos.
Ejemplo 3:
Consideremos las medidas del deterioro de las suelas de los zapatos usados por 10 niños.
Las suelas estaban hechas de dos materiales sintéticos diferentes, A y B. Puede hacerse un
diagrama con los datos de la tabla adjunta de manera que se observe que los resultados se
superponen y parecen sugerir, a primera vista, que no hay un material mejor que el otro.
Un hecho importante de este experimento, que lo diferencia de los hechos hasta ahora, es que se
realizó por pares.
Cada niño llevaba un par especial de zapatos, con una suela hecha con el material A y la otra con
el B. La decisión sobre qué suela (derecha o izquierda) llevaba el material A o el B fue aleatoria
(con una moneda, por ejemplo). Las diferencias B-A para cada niño indican con claridad que el
material A muestra habitualmente menos desgaste que el B.
Los resultados obtenidos se presentan en la tabla adjunta, donde junto con el desgaste del
material A aparece, entre paréntesis, el pie en el que se hizo el experimento con dicho material.
Niño Material A Material B B-A yi.
j
1 13.2 (I) 14 0.8 27.2 370.24
2 8.2 (I) 8.8 0.6 17 144.68
3 9 (D) 11.2 0.3 22.1 244.25
4 14.3 (I) 14.2 -0.1 28.5 406.13
5 10.7 (D) 11.8 1.1 22.5 253.73
6 6.6 (I) 6.4 -0.2 13 84.52
7 9.5 (I) 9.8 0.3 19.3 186.29
8 10.8 (I) 11.3 0.5 22.1 244.33
9 8.8 (D) 9.3 0.5 18.1 163.93
10 13.3 (I) 13.6 0.3 26.9 361.85
y . j
106.3 110.4 4.1 216.7
i
yij 2 1184.05 1275.9 2459.95
Tema 3 7 de 9
yij 2

Diseño de Experimentos
2
2
2 y..
216.
7
SCT yij
2459.
95 112.
0055 19 g.d.l.
N
20
2
2
2
106.
3 110.
4 216.
7
SCTr
0.
8405
10 20
1 g.d.l. CMTr 0.
8405
2 2
2
2
27.
2 17
26.
9 216.
7
SCB
110.
4905
2
20
SCE SCT SCTr SCB 0.
6745
9 g.d.l. CMB 12.
27672
9 g.d.l. CME 0.
07494
DISEÑOS UNIFACTORIALES CON MEDIDAS REPETIDAS
(Single-factor experiments with repeated measures)
En las ciencias sociales los elementos que constituyen habitualmente una población
estadística son personas. Debido a sus diferentes experiencias y antecedentes, las respuestas de la
gente a un mismo tratamiento experimental presentan una gran variabilidad. En muchos casos, la
mayor parte de la variabilidad se debe a diferencias existentes entre las personas antes de realizar
el experimento. Si se puede separar esta variabilidad a priori de los efectos de los tratamientos y
del error experimental, se podrá aumentar la sensibilidad del experimento. Si no pudiera
estimarse, seguiría formado parte de las fuentes de variabilidad incontroladas y, por
consiguiente, formaría parte automáticamente del error experimental.
Uno de los objetivos primordiales de los experimentos en los que se observa a un mismo
sujeto bajo diferentes tratamientos (todos los posibles) es proporcionar un control de las
diferencias entre los sujetos. En este tipo de experimentos, los efectos del tratamiento para el
sujeto i se miden en relación a la respuesta media de dicho sujeto para todos los tratamientos. En
este sentido, cada sujeto sirve como su propio control. Por lo tanto, la variabilidad debida a
diferencias en la “respuesta media” (average responsiveness) de los individuos es eliminada del
error experimental (si el modelo es aditivo).
Los experimentos en los que se usan los mismos elementos bajo los k tratamientos
precisan k observaciones de cada elemento (de ahí el término de medidas repetidas que aparece
en algunos libros para este enfoque, como por ejemplo en Winer pág. 261, aunque, como
veremos a continuación, puede verse como una aplicación del diseño de bloques completos que
acabamos de introducir en este tema).
Ya que las características únicas de los elementos individuales permanecen constantes
bajo los diferentes tratamientos, los pares de observaciones sobre los mismos elementos están
positivamente correlacionados (las observaciones serán dependientes; téngase en cuenta que bajo
la distribución normal multivariante los términos dependientes y correlados son equivalentes).
ANOVA
Consideremos y ij la observación o medida del tratamiento j sobre el individuo i
( j 1, ,
k , i 1, ,
n ). Llamamos, como hasta ahora,
y
k
n
n k
i.
yij
y.
j yij
y..
yi.
y.
j
j1
i1
i
j i1
j1
k
n
n k
1
1
1
y i.
yij
y . j yij
y .. y
ij
k j1
n i1
kn i1
j1
En el análisis de este tipo de experimentos, la variación total se divide en dos: una parte
es función de las diferencias entre las medias de las personas y la otra es función de la variación
ponderada dentro de los individuos.
Tema 3 8 de 9
y
ij

Diseño de Experimentos
La variación total es y y
SCtotal ij .. suma de los cuadrados de las desviaciones
de cada observación respecto a la media general (grand mean). Esta fuente de variación tiene
nk 1
grados de libertad.
La parte de la variación debida a las diferencias entre las medias de la gente es
SC
entre
k
n
i 1
yy i.
..
2
Tema 3 9 de 9
2
, es decir, la variación entre la gente es una función de las variaciones al
cuadrado de las medias de los individuos respecto a la media general (también puede verse como
debida a las diferencias entre todos los posibles pares de y i.
). Tiene n 1
grados de libertad.
k
La variación dentro de la persona i es SC yy dentro
i
j 1
ij
i.
2
, suma de los cuadrados
de las desviaciones de las observaciones de la persona i respecto a su media. Esta fuente de
variación tiene k 1
grados de libertad.
La variación ponderada dentro de las personas viene dada por
SC
dentro
n
i1
SC
dentro
i
n
k
i1
j1
yy ij
i.
2
. Como la variación dentro de cada persona tiene k 1
grados de libertad, tendremos n ( k 1)
grados de libertad.
Las variaciones entre y dentro de las personas son estadísticamente independientes y se
tiene
SCtotal SCdentro
SCentre
(2)
con sus correspondientes grados de libertad nk 1
= n ( k 1)
+ n 1
La diferencia entre dos observaciones de una misma persona dependen en parte de las
diferencias en los efectos de los tratamientos y, en parte, en fuentes de variación incontroladas o
residuales. Por consiguiente, la variación dentro de las personas puede dividirse en dos: una parte
que depende de las diferencias entre las medias de los tratamientos y otro que consiste en
variación residual. La que depende de diferencias en los tratamientos se define como
SC
tratamientos
n
k
j 1
yy 2
. j .. . Esta fuente tiene 1
k grados de libertad.
n k
La variación residual es SC yyyyyy residuos
i1
j1
ij
2
.. i.
.. . j .. y representa
aquellas fuentes de variación en el total que no pueden atribuirse a diferencias entre las personas
y a diferencias entre los tratamientos; sus grados de libertad quedan
gdl( res.)
gdl(
total)
gdl(
entre)
gdl(
tratamientos)
Además, son estadísticamente independientes y
=( nk 1)-(
n 1
)-( k 1)
= ( k 1)( n 1)
SC SC SC (3)
dentro
tratamientos
n ( k 1)
=( k 1)+
( k 1)( n 1)
Puede observarse que esta descomposición de la suma de cuadrados total (componiendo
(2) y (3)) coincide con la descomposición que aparecería de haber considerado a los individuos
como bloques (ver (1)).
residuos