estado del arte - Depto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría ...

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones 

Estado actual y perspectivas del Método de 

Elementos Finitos para sólidos y estructuras 

José M. a Goicolea 

Grupo de Mecánica Computacional 

Escuela de Ingenieros de Caminos, 

Universidad Politécnica de Madrid 

22 de marzo del 2007 


Índice 

1 Estado de la Técnica 

Motivación 

Historia 

Prestaciones 

2 Concepto y características del MEF 

Sistemas discretos 

Sistemas continuos 

Concepto e ingredientes del MEF 

3 Aplicaciones representativas 

Estructuras de hormigón 

Dinámica de estructuras 

Biomecánica Cardiovascular 

4 Perspectivas y conclusiones 

Perspectivas 

Conclusión


Motivación 

Objetivos de los modelos de elementos finitos 

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos 

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones 

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc. 

Influencia de los métodos de simulación por ordenador 

♦ Potencia de cálculo: 

Ordenadores y HW 

Programas de cálculo y SW 

♦ Internet 

♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior): 

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo; 

Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales; 

Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador, 

numérica o simbólica. 


Evolución Método Elementos Finitos (I) 

Primer artículo (✭✭paper✮✮): 

Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp, 

L.J. (1956): Stiffness and deflection analysis of 

complex structures, J. Aeronautical Science, 23. 

Década 1960: problemas lineales 

Tecnología de elementos isoparamétricos 

Cálculo estático 

Industria aeronáutica y nuclear 

Independencia diseño – cálculo


Evolución Método Elementos Finitos (II) 

Década 1970: problemas dinámicos 

Ingeniería sísmica 

Materiales no lineales: metales, suelos, hormigón 

Década 1980: maduración cálculo lineal 

Problemas lineales: integración diseño (CAD) – cálculo → CAE 

Uso extensivo en industria, sectores no tradicionales 

Cálculo no lineal: Geometría, plasticidad, condiciones contorno, 

modelos acoplados, . . . 

Métodos explícitos en aplicaciones civiles (no militares) 


Evolución Método Elementos Finitos (III) 

Década 1990: maduración cálculo no lineal 

Prototipos virtuales 

Uso extensivo en todos los ámbitos industriales 

Generalización modelos de materiales 

Simulación de procesos 

Discontinuidades: localización, fractura, ondas choque. 

Dinámica de Fluidos 

Biomecánica 

Generalización métodos explícitos 

Década 2000: 

Robustez modelos no lineales; eficacia ✭✭solvers✮✮ lineales 

Métodos sin malla 

Métodos multiescala: continuo+atomístico, etc. 

Aplicaciones: Biomecánica, Fluidos, Multifísica,. . .


Prestaciones de los Elementos Finitos 

Elementos 

Definen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica de 

aproximación, como por los aspectos del modelo matemático 

representado. Librerías de elementos. 

Modelos de material 

Librerías modulares, combinables con distintos elementos. 

Procedimientos de cálculo 

Problemas lineales o no lineales. 

Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA). 

Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones Diferenciales 

Ordinarias. 

Procesos acoplados. 


Comportamiento no Lineal 

No linealidad geométrica: 

Grandes Desplazamientos, Rotaciones 

Grandes Deformaciones 

Condiciones de contorno: 

Contactos 

Cargas: dependencia velocidad, cargas seguidoras 

Montaje, procesos constructivos 

No linealidad material 

Plasticidad: metales, suelos, termoplásticos 

Hiperelasticidad: elastómeros, materiales biológicos 

Daño, degradación: hormigón, cerámica, compuestos


Procedimientos de cálculo estático 

Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema de 

ecuaciones algebraicas 

Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuaciones 

algebraicas lineales 

Grandes deformaciones o material no lineal: ecuaciones 

algebraicas no lineales 

Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos, 

considerando la evolución del modelo (geometría, material, 

. . . ), pero sin efectos de inercia. 

Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal; 

régimen post-crítico) 


Procedimientos de cálculo dinámico 

Considera fuerzas de inercia, (−M ¨ d). 

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF) 

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema de 

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) 

Resolución directa, incremental: 

lineal: una sola resolución en cada incremento 

no lineal: varias iteraciones en cada incremento 

Formulación implícita / explícita 

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal


Procedimientos de cálculo acoplado 

Problemas: 

Térmico–mecánico 

Poro–elástico (fluido+esqueleto, consolidación) 

Mecánico–acústico 

Métodos: 

Esquemas monolíticos 

Esquemas particionados 



1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl 

L 

P P 

ℓ 

P P 

σ = Eε 

A 

σ def 

= P def 

; ε = 

a L − ℓ 

P = Ea 

L ∆ℓ 

a 

L 

=⇒ f 

k 

x 

f = kx 

f



Cercha de barras articuladas: N gdl 

F1 

F2 

F3 

K · u = f 

⎛ 

⎞ ⎧ 

k11 k12 . . . k1N ⎪⎨ 

K = ⎝. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ ; u = 

⎪⎩ 

kN1 kN2 . . . kNN 

F4 

⎫ ⎧ 

⎪⎬ ⎪⎨ 

. ; f = 

⎪⎭ ⎪⎩ 



1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl) 

τ(x) 

P P 

dσ(x) 

dx 

x 

a 

u1 

uN 

+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) = du 

dx 

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2 u(x) 

dx 2 

Ecuación diferencial, 

Incógnitas u(x) : [0, L] → R (∞ gdl) 

= 0 

P 

F1 

. 

FN 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

τ(x) 

x



3D: Tensiones 

t(n, x): vector tensión (por unidad 

de área) 

Tensor de tensiones de Cauchy 

σ·n = t; σipnp = ti 

en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB 

σ·n = t ∗ in ∂tB; u = u ∗ in ∂uB 

Componentes de t: 

Tensión normal (σ) y 

tensión tangencial (τ) (cizalladura) 

u ∗ 

∂uB 

tdS 

dS 

n 

B 

t 

∂tB 

t∗ Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones 


3D: Deformaciones (lineales) 

Desplazamientos (pequeños): 

u = x t − x 0 ; ⇔ ui = x t i − x 0 i 

Tensor de deformaciones (lineal): 

ε = 1 

2 (∇u + ∇T u); ⇔ εij = u (i,j) = 1 

2 (ui,j + uj,i) 

ui,j def 

= ∂ui 

∂xj 

τ 

σ



3D: Comportamiento Elástico Lineal 

Ley de Hooke generalizada; Elasticidad isótropa: 

C 

σ σ 

ε 

σ = C:ε; σij = Cijpqεpq = λδijεpp + 2µεij; 



3D: Planteamiento del problema elástico 

Ecuaciones de campo 

Comportamiento elástico 

lineal σ = C : ε 

Compatibilidad 

(deformaciones) 

ε = 1 

2 (∇u + ∇T u) 

Equilibrio (tensiones): 

∇·σ + b = 0 

Condiciones de Contorno 

in ∂tB: σ·n = t ∗ 

in ∂uB: u = u ∗ 

Ù £ 

B0 

Ù 

Ø Ë 

Ë 

Incógnitas 

Ò 

 

Bt 

ε 

σ 

C 

 

Desplazamientos 

u(x) : B → R 3 

Ø 

Ø £


Método de los Elementos Finitos: ¿qué es? 

Ingredientes del Método 

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y de contorno. 

Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞ incógnitas. 

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidad 

de incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales. 

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitas 

básicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . . 

Elementos: Subdominios, soporte compacto para 

funciones de interpolación. Nodos. 

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto de 

ecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas. 

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f 


Ejemplo de aplicación: fémur estándar 

Cargas reales 

Cargas plano 

coronal 

Resultado



Geometría Malla (nodos y elementos) 



Análisis de resultados


Resolución de las Ecuaciones (I) 

Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas): 

✭✭solver✮✮: Núcleo de los algoritmos de resolución 

Solución del problema en caso lineal; 

Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton) 

Métodos Directos (o Matriciales) 

Eliminación Gaussiana, método de Crout: 

 

Ly = r (eliminación); 

K = LU; Ka = LUa = r ⇒ 

Ua = y (sustitución). 

Almacenamiento en banda 

Almacenamiento de columnas activas (✭✭skyline✮✮) 

Proceso y/o almacenamiento por bloques 

Método frontal 

Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos) 

Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación] 

Relajación viscosa [adaptativa] 

Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP] 


Resolución de las Ecuaciones (II) 

Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales: 

Métodos Matriciales: linealización Newton-Raphson: 

residuo: {Ψ(d)} def 

= −({f ext (d)} + {f int (d)}); 

 

∂Ψ 

Linealización: {∆Ψ} = {∆d} = [K 

∂d 

t ]{∆d} 

{Ψi+1} = {0} : ⇒ {di+1} = {di} − [K t ] −1 {Ψi} 

([K t ]: matriz de rigidez tangente) 

Métodos vectoriales: 

{di+1} = [A(d)]{di} 

Esquemas explícitos: i ≤ 1 (no se itera para convergencia)


Resolución de las Ecuaciones (III) 

Métodos Matriciales 

Se forma matriz de rigidez global, [K t ]. 

Cuenta de operaciones: O(n 7/3 

e ). 

Almacenamiento: O(n 3/2 

e ). 

Incondicionalmente estables 

Métodos Vectoriales 

No se forman matrices globales 

Cuenta de operaciones: O(n 3/2 

e ). 

Almacenamiento: O(ne). 

Condicionalmente/Incondicionalmente estables 

Métodos iterativos (GC): ¿robustez?; precondicionamiento 

Métodos explícitos: tratamiento sencillo 


Resolución de las Ecuaciones (IV) 

Dinámica 

Integración explícita (vectorial) 

Integración implícita: 

Newton-Raphson (matricial) 

Gradiente conjugado (vectorial) 

Integradores energía-momento (conservativos) 

Integradores con disipación controlada 

Estática 

Newton-Raphson (matricial) 

Gradiente conjugado (vectorial)

3 


Estructuras de Hormigón 

Tanque de Gas Natural Licuado (GNL) 



Tanque de GNL: Respuesta Sísmica (Modos de Vibración) 

Modo 1 (f1 = 3,65 Hz) 

GNL 

65 m 

Modo 3 (f3 = 6,18 Hz) 

33 m



Tanque de GNL: Pretensado + Operación + Impacto 

Animación de impacto sobre cúpula 



Hormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica 

Chapa metálica, en rojo la zona de 

aplicación de las cargas del caso 1. 

Detalle: tres anillos de hormigón 

resistente (conectado–rojo, no 

conectado–amarillo) y un anillo con 

hormigón fresco (verde).



Hormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica 

Detalle carga caso 1: desplazamientos 

nodales verticales. 

Carga caso 2: desplazamientos nodales 

verticales. 


Temperatura criogénica: −170 ◦ C sobre cara interior de muro de 

hormigón



Fisuración en muro para fuga mayor 

Fase 1: Peso propio + carga muerta 

Tensión MERIDIONAL Tensión CIRCUNFERENCIAL 




Fase 1: Peso propio + carga muerta 

S11:tension vertical (MPa) 

distribucion de tensiones verticales en muro, fase de fin de construccion 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 

pto 1 (cara interior) 

pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 

pto 7 (cara exterior) 

Tensión VERTICAL en el muro 

S22: tension horizontal (MPa) 

distribucion de tensiones horizontales en muro, fase de fin de construccion 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

-8 

-9 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 


Tensión HORIZONTAL en el muro




Fase 2: pretensado 





Fase 2: pretensado 


tensiones verticales en muro, operacion con tanque vacio 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 


-25 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 



tensiones horizontales en muro, operacion con tanque vacio 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 


-10 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 





Fase 3: Peso de GNl en operación 





Fase 3: Peso de GNl en operación 


4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

-12 

-14 

-16 

tensiones verticales en muro, operacion con tanque lleno 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 




tensiones horizontales en muro, operacion con tanque lleno 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

-12 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 






Fase 4: Fuga mayor 





Fase 4: Fuga mayor 


5 

0 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

tensiones verticales en muro, fuga mayor (MLK) 

-30 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 




10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

tensiones horizontales en muro, fuga mayor (MLK) 

-20 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

altura (m) 


pto 2 (0.1333 m) 

pto 3 (0.2666 m) 

pto 4 (0.4000 m) 

pto 5 (0.5333 m) 

pto 6 (0.6666 m) 




Colapso de Cimentaciones 

F (*10 6 N) 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

F 

0.8 m 

2a 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 

d 

Prandtl 

400 elementos 

1600 elementos 

a 


Gran Telescopio de Canarias 

Diseño Conceptual de la Estructura 

Time = 1 

Time = 1


Dinámica de Puentes de Ferrocarril 

Cargas móviles debidas a paso de trenes 

MB,JB 

000000 

111111 

000000 

111111 

Puente isostático bajo carga móvil resonante: 

MB,JB 

0000000 

1111111 

0000000 

1111111 

0000000000000000000000 

1111111111111111111111 

0000000000000000000000 

1111111111111111111111 


Time = 5.34E-01 

Dinámica no lineal 

Lámina en L animación 

Hélice flexible animación 

LB 

dBt 

L 

M,J 

dBd 

Satélite 2D animación 

deB 

Satélite 3D animación


Biomecánica Cardiovascular – Corazón 

Miocardio y Coronarias 

Corazón virtual 


Biomecánica Cardiovascular – Aterosclerosis 

Causas de la aterosclerosis 

Los mecanismos de formación de la aterosclerosis no son bien 

conocidos, aunque incluyen diversos factores biológicos, 

bioquímicos y mecánicos. 

Según investigaciones recientes, valores bajos e irregulares de 

la tensión tangencial sobre el endotelio favorecen la 

acumulación de placa. 

Origen de 

la placa 

Factores químicos 

Factores biológicos 

... 

¿Factores mecánicos?


Estabilidad de la placa vulnerable 

Grandes desplazamientos y rotaciones 

(Lorée, Circ.Res. 1992) 


Estabilidad de la placa vulnerable 

Grandes deformaciones (×1,69) 

Viscoelasticidad


Patient-specific 3D Geometry 

In-vivo biplane angiography reconstructs catheter path 

Internal and external wall contours by segmentation of 

oriented in-vivo IVUS images 

Slager et al [Circulation 2000], Wentzel et al [J. Biom. 2003] 

Example: Negative remodeling affecting flow in bifurcation 


3D Reconstruction - Lumen and Wall 

Bifurcation LAD – CX


Biomecánica Cardiovascular – Stress on Intima 

stationary CFD calculations with FLUENT 

patient specific geometry [García, Goicolea et al, JB 2006] 

Shear stress Total stress (≈ normal) 


Biomecánica Cardiovascular – Properties of Soft Tissue 

Respuesta geométrica no lineal: 

grandes desplazamientos y 

deformaciones 

Respuesta no lineal del material: 

elastina + colágeno, reclutamiento 

y alineamiento progresivos 

Incompresibilidad (fase acuosa) 

Presion 

Alargamiento 

Anisotropía, direcciones preferentes de fibras de colágeno 

Comportamiento reológico (viscoelástico) y ✭✭pseudoelástico✮✮ 

Adaptación a acciones externas. Remodelación: variación de 

características geométricas o mecánicas 

Tensiones iniciales en la configuración sin cargas 

Tono y actividad muscular


In Vitro Experiments – Pressure-Diameter Tests 

post-mortem Autopsies (carotid, splenic, mamary and 

mesenteric, kept frozen). 

Internal pressure cycles, fixed axial stretches. [Guinea, Elices, 

Atienza, Aragoncillo 2003] 


Experiments: Pressure–Diameter 

Fixed Axial Elongation λz 

p (mmHg) 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

increasing λz 

Carótida 29/10/2003; D 0 =9,55 mm; λ z =1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 

λ z =1.0 

λ z =1.1 

λ z =1.2 

λ z =1.3 

λ z =1.4 

λ z =1.5 

λ z =1.6 

−50 

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 

λθ =D/D0 F z (N) 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

increasing λz 

Carótida 29/10/2003; D 0 =9,55 mm; λ z =1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 

λ z =1.0 

λ z =1.1 

λ z =1.2 

λ z =1.3 

λ z =1.4 

λ z =1.5 

λ z =1.6 

−2 

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 

λθ =D/D0 ⇐ θ 

z


Biomecánica Cardiovascular – Bending and Pressure Test 


Biomecánica Cardiovascular – Bending and Pressure Test 

Presión [mmHg] 

200 

175 

150 

125 

100 

75 

50 

25 

λz=1.0 

λz=1.4 

λz=1.6 

λz=1.7 

0 

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 

Diámetro D [mm]


Biomecánica Cardiovascular – Bending and Inflation of 

Aorta 

Mesh employed 1280 elements, 2091 nodes 


Biomecánica Cardiovascular – Bending and Inflation of 

Aorta


Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (I) 

fluido: 16878 elementos sólido: 16425 elementos 

Velocidad 

Líneas de corriente 


Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (II) 

Bifurcación LAD-CX: 

Trayectorias de partículas 

Contornos de presión 

en el modelo 3D. Material 

de Ogden.


Perspectivas 

Problemas acoplados: multifísica 

Fluido-estructura 

– Interacción dinámica 

– Interacción acústica-estructural 

– Turbulencia, combustión (escala) 

Materiales multifásicos 

– Consolidación suelos semisaturados, mat. porosos 

– Materiales biológicos 

Problemas termomecánicos 

– Soldadura por difusión 

– Conformado de metales, fundición 

– Tratamientos térmicos 

Problemas electromecánicos: piezoelectricidad 


Perspectivas 

Problemas con escalas múltiples: 

Delaminación y rotura materiales compuestos 

Daño, fractura y localización en hormigón y geomateriales 

Modelos atomísticos + continuo (descripción del material 

directamente de la estructura atómica) 

Nanomecánica 

Nuevos modelos constitutivos 

Polímeros 

Termoplásticos 

Materiales biológicos: adaptabilidad 

Nuevas aleaciones: materiales superelásticos


Perspectivas 

Adaptatividad y control de calidad solución 

Remallados y control error 

Técnicas ALE, Eulerianas, Lagrangianas, multi-malla 

Mecanismos flexibles: sistemas multicuerpo 

Ingeniería mecánica – Ingeniería estructural 

Simulación Robots, mecanismos espaciales, biomecánica, 

ergonomía, deportes, automóviles. 


Resumen y Conclusiones 

Estado actual Métodos de Elementos Finitos 

Aspectos clave de la formulación 

Cinemática de medios continuos 

Ecuaciones (estática y dinámica) 

Comportamiento no lineal (geométrico, material, . . . ) 

Métodos y algoritmos de resolución 

Algunos ejemplos 

Perspectivas de desarrollo 

Conclusiones: 

Comprensión y planteamiento de problemas complejos 

Menor dificultad del cálculo propiamente dicho


Elementos Finitos en Internet 

(http://members.dencity.com/thefemsite/) 

http://www.engr.usask.ca/~macphed/finite/fe_ 

resources/fe_resources.html 

http://www.swan.ac.uk/civeng/Research/Software/ 

flagshyp/ 

http://www.calculix.de/ 

http://www.abaqus.com/ 

http://www.adina.com/ 

http://www.ansys.com/ 

http://www.tnodiana.com/ 

http://www.ls-dyna.com/ 

http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap 

http://www.ce.berkeley.edu/~sanjay/FEAP/feap.html 

http://mse2.ugr.es/indexfem.html 

http: 

//titan.Colorado.EDU/Felippa.d/FelippaHome.d/ 

http://filemon.mecanica.upm.es/~goico/docmefnl/ 

http://www.mapleapps.com/powertools/fem/fem.shtml

estado del arte - Depto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría ...

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