TEMA 3. OSCILACIONES SIMPLES

TEMA 3. OSCILACIONES SIMPLES
Chantal Ferrer Roca 2008
1. El oscilador armónico simple. Ejemplos de fenómenos que responden a
este modelo.
2. Energía del oscilador armónico simple.
3. Superposición de movimientos armónicos: interferencias, pulsaciones y
trayectorias de Lissajous.
4. Oscilaciones amortiguadas. Caso inframortiguado: tiempo de relajación y
factor de calidad.
5. Oscilaciones forzadas. Efectos Transitorios.
6. Fuerza de tipo armónico. Curva de Resonancia. Amplitud de absorción y
amplitud elástica.
7. Fuerza periódica. Principio de superposición y Teorema de Fourier.
APÉNDICE: Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [French], [Feynman], [Mec-Berk]

TEMA 3. OSCILACIONES SIMPLES
NOTA IMPORTANTE:
Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos
fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes
completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos,
ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con
alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía
Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [French], [Feynman], [Mec-Berk]
Chantal Ferrer Roca 2008

INTRODUCCIÓN
Movimientos periódicos (de vaivén, oscilatorios o vibratorios)
alrededor de una posición de equilibrio
Respiración
Latidos del corazón
Tímpano al oir un sonido
Pestañear
Giro de una rueda
Precesión de una peonza
Mareas
Movimientos planetarios
Ciclo de intensidad solar
Ciclos económicos
Columpio
Balancín
Mecedora
Chantal Ferrer Roca 2008

1. El 
 oscilador armónico simple (O.A.S.)
Movimientos periódicos (de vaivén, oscilatorio o vibratorio)
alrededor de una posición de equilibrio
El más sencillo de describir físicamente: Movimiento Armónico Simple
regla apoyada a una mesa y puesta en
vibración
Péndulo
Masas sujetas a resortes o muelles
Vibración de los átomos de un sólido
Vibración de átomos dentro de una molécula
Vibración de electrones de una antena radiante, de un
plasma, en los átomos , etc…
En este tema : un solo cuerpo que
vibra en 1D o 2D
Chantal Ferrer Roca 2008

1. El oscilador 
 armónico simple (O.A.S.)
Es un modelo de gran utilidad en la explicación de fenómenos físicos, descrito
por la ecuación diferencial:
Ψ magnitud cualquiera (distancia,
2
Ψ& & + ω0
Ψ = 0
ángulo, carga eléctrica, función de
ondas, etc.)
ω o pulsación o frecuencia angular
propia del sistema (radianes/segundo)
Solución: cualquiera de las siguientes expresiones:
Ψ(
t)
= B e
Ψ(
t)
= C
Ψ(
t)
=
1
1
iω
t
0
+
Asin(
ω t + φ)
0
0
0
B
2
e
−iω
t
cosω
t + C
Ψ(
t)
= B cos( ω t + φ)
C
C
1
1
= Acosφ;
C = Asinφ
=
B
1
+
B
2
; C
2
1
2
= i(
B
0
1
sinω
t
− B
2
0
)
A
0
-A
0
Chantal Ferrer Roca 2008
ω ο = 2π/Τ, Τ período
Ψ (t)=Asin(ω t+φ)
φ=0
π 2π 3π
ω t (rad)
A amplitud del movimiento y φ fase inicial.

1. El oscilador armónico 
 simple (O.A.S.)
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
Figura del libro “Física” de
P.A.Tipler y G. Mosca
Ψ &
ω o =
2
+ ω Ψ =
k
x ( x x e ) 0
m
= − + &
MASA CON RESORTE sin rozamiento
Si los desplazamientos x respecto a la posición de equilibrio
son pequeños, se cumple la ley de Hooke:
F = - k(x-xe ) = ma
Ec. movimiento:
Solución:
OAS con
k
m
Figuras del libro “Física” de P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed. Reverté, 2005
Chantal Ferrer Roca 2008
0
x( t)
− xe
= x0
cos( ωt
+ φ)

Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed.
Reverté, 2005
1. El oscilador armónico 
 simple (O.A.S.)
k
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
θ
Lθ
mgsin
θ
m
mg r
θ
k
mgcosθ
Ψ &
2
+ ω Ψ =
PÉNDULO SIMPLE de longitud L
linearizando (ángulos pequeños)
OAS con g
o
L
= ω
− mgsin θ = mL&θ
& & θ&
g
φ = maφ
+ sin θ = 0
L
θ(
t)
= θm
sin( ωt
+ φ)
F
& θ&
g
+ θ = 0
L
x( t)
= xm
sin( ωt
+ φ)
OSCILACIONES TRANSVERSALES de masa sujeta a un muelle
que responde a la ley de Hooke: la fuerza recuperadora NO es lineal en
general, pero puede ser linearizada, como en el caso anterior.
(pequeñas oscilaciones)
0
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1. El oscilador armónico 
 simple (O.A.S.)
Agua en un
tubo en U
Ψ &
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
2
+ ω Ψ =
L
C
ε L
εC
i
esferita que se mueve sobre
superfície esférica
0
OTROS EJEMPLOS en los que hay una fuerza recuperadora lineal o que
puede ser linearizada y que obliga a una masa puntual a oscilar alrededor
de una posición de equilibrio que tomaremos como origen.
O bien, en un ámbito distinto (cargas y f.e.m.):
CIRCUITO LC ambas ddp son iguales ε C =ε L
ε
L
=
di
-L
dt
OAS con
= −Lq&
&
C = ε
q
C
Chantal Ferrer Roca 2008
Partícula moviéndose en un
tunel dentro de la Tierra a
distancia variable del centro
Potencial en las proximidades
de un mínimo
Figuras del libro “Física” de P.A.Tipler y
G. Mosca, Ed. Reverté, 2005
= 0
1
o
LC
= ω q( t)
= qm
sin( ωt
+ φ)
q& &
1
+ q
LC

1. El oscilador 
 armónico simple (O.A.S.)
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
¿posición de equilibrio? DISCUSIÓN
Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed.
Reverté, 2005
Chantal Ferrer Roca 2008
k
&y&
+ y
m
= 0
1
2
k
&y
& + y =
m
k
&y
&'+
y'=
0
m
g
Ψ &
2
+ ω Ψ =
y = y +
y h
h
y
y particular = yeq
= −
y referido a 1
0
particular
= A cos( ωt
+ φ)
mg
k
y'= y'h
= A cos( ωt
+ φ)
Idem en este
caso
y’ referido a 2

2. Energía del oscilador 
 armónico simple.
k
x equil. x
F
m
1 2
E = T + U = mω
A
2
2
E = T +
U
1 2 1
2
T = mx&
= m(
−ωA
sin( ωt
+ φ))
2 2
x
1 2 1
U = −∫
F ⋅dx
= kx = k(
Acos(
ω t + φ))
2 2
0
2
mω
(a.u.)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Energía oscilador armónico simple
T
V
E=
o = ω = ω
Aunque se haya particularizado para el caso de una masa sujeta a un
muelle, esta dependencia con el cuadrado de la amplitud y de la
pulsación es general para TODOS los osciladores lineales (también
aproximación de pequeñas oscilaciones)
Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y
G. Mosca,
Ed. Reverté, 2005
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
Chantal Ferrer Roca 2008
0 50 100 150 200 250 300 350
2
ω t (deg)
k
m

3. Superposición de movimientos 
 armónicos: interferencias
Superposición de movimientos armónicos paralelos de igual frecuencia
USO DE LA SOLUCIÓN COMPLEJA EN PROBLEMAS DE OSCILADORES
2
&x
&1
+ ω x1
= 0
&
2
+ ω x = 0
x 2 2
x
x
1
2
=
=
Amplitud constante
Fase relativa constante
Cálculo en t=0
A e
1
A
2
e
j(
ω t+
θ )
j(
ω t+
φ )
x
A2
φ
=
x
1
x ( 0)
=
+
x
x(
0)
θ
A1
2
jδ
Ae
* 2 2
A = x(
0)
= x(
0)
⋅ x(
0)
= A1
+ A2
+ 2A1
A2
cos( φ −θ
)
δ =
Im x
Re x
Problema 3.1 boletín
A1
sinθ
+ A2
sinθ
=
A cosθ
+ A cosθ
1
2
=
jθ
( A1e
+ A2
Chantal Ferrer Roca 2008
e
x2
jφ
) e
φ −θ
jωt
giro
x(
t)
= x(
0)
e
= x(
0)
e
x(t)
ω t
CASOS: φ−θ =0, interferencia constructiva
φ−θ =π/2, interferencia en cuadratura
x1
jωt
φ−θ =π, interferencia destructiva
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
jωt

3. Superposición de movimientos 
 armónicos: interferencias
Superposición de movimientos armónicos paralelos de igual frecuencia
Problema 3.1 boletín
Chantal Ferrer Roca 2008
CASOS: φ−θ =0, interferencia constructiva
φ−θ =π/2, interferencia en cuadratura
φ−θ =π, interferencia destructiva

3. Superposición de movimientos armónicos : pulsaciones
Superposición de movimientos armónicos paralelos de DISTINTA frecuencia
x
x
jω1t
1 = A1e
jω
1t
jω2t
x x1
+ x2
= A1e
+ A2e
jω2t
2 = A2e
2
( 1 2 1 2 1 2
2 2
A t)
= x = A + A + 2A
A cos( ω −ω
) t
= x
Amplitud variable
A
2
ω2t
CASO PARTICULAR: amplitudes iguales MODULACIÓN DE AMPLITUD
x =
p
2
A(
t)
cosω
t
A m
cosω
t
ν 1 =330 Hz ν 2 =331 Hz
(∆ν=1 Hz)
ν 1 =330 Hz ν 2 =340 Hz (∆ν=10 Hz)
DEMO: Dos diapasones de distinta frecuencia
+
=
Chantal Ferrer Roca 2008
ω1
− ω2
ω1
+ ω2
x = x1
+ x 2 = A(cosω1t
+ cosω2t
) = 2A cos t cos t = 2A
cosωm
t cosωp
t
2 2
T = 2π
/ ω
m
p
m
ω
T = 2π
/ ω
A1
1t
p

3. Superposición de movimientos armónicos 2D: trayectorias de Lissajous.
&
2
x + ωx
x =
2
&y
& + ω y y =
y
0
0
k
k k
m
k
ωx
irracional → trayectorias
ω y
ωx
racional → trayectorias
ω
ω ≠ ω
y
x
abiertas
PEQUEÑAS
OSCILACIONES
cerradas
curvas de Lissajous
trayectorias
y(
x)
Problema 3.2 boletín
POLARIZACIÓN
Chantal Ferrer Roca 2008

4. Oscilaciones amortiguadas.
En los osciladores reales existen fenómenos disipativos que producen un amortiguamiento de la
oscilación. El modelo de oscilador amortiguado introduce un término proporcional a la primera
derivada (término disipativo). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo término
EJEMPLO 1: masa y resorte sujetas a un rozamiento de tipo viscoso
Figuras del libro “Física” de
P.A.Tipler y G. Mosca, Ed.
Reverté, 2005
Término disipativo
Ψ& 2
& + 2βΨ&
+ ω0
Ψ = 0
Factor de amortiguamiento
F e
F b
= − kx
= − bx&
x&
Chantal Ferrer Roca 2008
Nota: el factor 2 que
multiplica a β se introduce
por conveniencia en la
notación, como se podrá
apreciar más adelante
Fuerza de rozamiento de tipo viscoso:
proporcional a la velocidad
m&x & = −kx
− bx&
b k
&x
&+
x&
+ x = 0
m m
2
&x
& + 2β
x&
+ ω0
x = 0

4. Oscilaciones amortiguadas.
EJEMPLO 2: circuito RLC
Término disipativo
Ψ& 2
& + 2βΨ&
+ ω0
Ψ = 0
Condensador con carga inicial q 0 , al cerrar el circuito:
ε
L
+ ε
R
+ ε
C
=
di
L
dt
+ Ri +
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En los osciladores reales existen fenómenos disipativos que producen un amortiguamiento de la
oscilación. El modelo de oscilador amortiguado introduce un término proporcional a la primera
derivada (término disipativo). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo término
Factor de amortiguamiento
El único término disipativo
en este caso corresponde a la
resistencia ( efecto Joule)
q
C
= 0
R 1
&q
& + q&
+ q = 0
L LC
2 &q
& + 2βq&
+ ω0
q = 0

4. Oscilaciones amortiguadas.
SOLUCIÓN
Ψ
r t
( t)
= C1e
+
1 C e
1. APERIÓDICO SOBREAMORTIGUADO β > ω 0
2 2
r = −β
± β −ω
= −β
± ω raices reales
− t ωt
Ψ(
t)
= e ( C1e
+ C2e
0
β −ωt
−βt
Ψ(
t)
= Ae cosh( ωt
+ φ)
2. APERIÓDICO CRÍTICO β = ω 0
r 0
= −β
= −ω
raices reales iguales
−ω0
t
Ψ(
t)
= e ( C1
+ C2t)
A igualdad de condiciones alcanza antes
el valor cero
)
2
r
2
t
x (a.u.)
0.8
0.6
0.4
0.2
2 2
r1, 2 = −β
± β − ω0
1
0
amortiguamiento
crítico ( β=ω)
Chantal Ferrer Roca 2008
CASOS según
β
sobreamortiguamiento
(β>ω)
0 5 10 15 20 25
t(s)
Problema 3.3 boletín
Cuestiones 30,36, 37 a,b
APERIÓDICO
No hay oscilaciones

4. Oscilaciones amortiguadas.
SOLUCIÓN
3. INFRA-AMORTIGUADO β < ω 0
r
= −β
±
Ψ(
t)
=
Ψ(
t)
=
e
β
2
− ω
2
0
( C
= −β
e
± iω'
+ C
e
−βt
iω't
−iω't
1
2
Ae
−βt
A(t)
rt
Ψ( t)
= C1e
+ C2
raices
cos( ω'
t + φ)
Amplitud que disminuye
exponencialmente con el tiempo
A(t=0)=A0 valor inicial
A0
t = 1/β = 2τ A(
t)
=
e
Pulsación menor que la del OAS,
Si β

4. Oscilaciones amortiguadas.
3. INFRAMORTIGUADO β < ω 0
MEDIDA DE LA PÉRDIDA DE AMPLITUD (O DE LA ENERGÍA)
Para t

4. Oscilaciones amortiguadas.
3. INFRAMORTIGUADO β < ω0 ENERGÍA:máxima disipación cuando v es máxima. Supongamos masa con resorte
1 2
T = mx&
2
1 2
U = kx
2
1 2
E = T + U = ... = mA e
2
(demostrar como ejercicio-problema 3.4 del boletín )
E(
τ)
=
E
e
0
1
τ =
2β
Tiempo de relajación: tiempo en el que
la energía promedio desciende a 1/e del
valor inicial
Factor de calidad
E almacenada
Q = 2π
E disipada
Q = 2π
E E τ
= 2π
= 2π
= ω'τ
P T'
T'
E / τ T
π
=
δ
1ciclo
Q = medida de τ (t. relajación) respecto a T’(periodo)
Q grande : poco amortiguamiento (y viceversa)
Cuestión 31
Energía total (J)
Ψ(
t)
= A(
t)
cos( ω'
t + φ)
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
E 0
0
t
Ae β − Chantal Ferrer Roca 2008
−2βt
E
E
( ω
2
0
=
E 0 /e
+ β
2
τ
cos2ω'
t + βω'sin
T + U
E
-
=
EOAS
= E
0
E0e
e
−2β
t
2ω'
t)
−2β
t
= E
− t / τ
0 1 2 3 4 5
t(s)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm
0
e

5. Oscilaciones forzadas. 
 Efectos Transitorios.
(a.u.)
1
0.5
0
-0.5
Existe un mecanismo externo que suministra energía al sistema, compensando las
pérdidas por disipación.
Solución:
2
Ψ + 2βΨ + ω Ψ & &
solución transitoria
solución de la ec. homogénea
(oscilador amortiguado).
Decae con el tiempo:
0
=
Ecuación ( t)
Ec. diferencial no homogénea
INFRA-AMORTIGUADO
Ψ(t)=Ae -β t cos(ωt+φ)
Ae -βt
-1
0 200 400 600 800
ωt(deg)
Ψ(
) = Ψ ( t)
+ Ψ ( t)
t h p
G ext
ψ
2
1
0
-1
-2
solución forzada
(una solución particular que
cumpla la ecuación diferencial).
Es la única solución para t>>τ
CASOS según el tipo de fuerza aplicada
Ef. Transitorios: distorsión
Ψ(
) = Ψ ( t)
+ Ψ ( t)
t h p
Ψh
(t)
Ψp
(t)
Chantal Ferrer Roca 2008
Solución t>>τ
( ) ( t)
Ψ = Ψ
t p
0 2 4 6 8 10
t(s)

5. Oscilaciones forzadas. 
 Efectos Transitorios.
EJEMPLO 1: masa con muellle
F e
F b
= − kx
= − bx&
Fext = F0
sinω
Ft
EJEMPLO 2: circuito RLC Con fuente de alimentación V en alterna
x&
di q
ε L + ε C + ε R = L + + Ri = Vmax
sinωt
dt C
R 1 Vmax
q& & + q&
+ q = sinωt
L LC L
Chantal Ferrer Roca 2008
m&x & = −kx
− bx&
+ F sinωt
2
&
+ 2βx&
+ ω x = Asin
ω t
x 0
F
x ( t)
= x + x
h
q ( t)
=
q + q
h
p
p
0

6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia
Ecuación
Ψ
p
( t)
2
Ψ + 2βΨ
+ ω Ψ = & &
& ( t)
= A sin ω t
2
2 F0
( −ωF
+ i2ω F β + ω0
) C =
m
C =
(( ω
2
0
= (
A
Y
e
iδ
) e
0
A
=
2
− ω ) + i2ω
β)
F
F
A
Y
=
A ext
A
( t)
SOLUCIÓN ESTACIONARIA : supondremos
i(
ωFt
)
i(
ωFt
+ δ)
= D(
ωF)
e
A
Y
=
( ω
2
0
− ω
2
F
Aext 0 F
Número complejo,
expresión polar
A
)
2
−iδ
Y e
Ψ ( ) = D(
ω ) sin( ω t + δ )
p
A(
t)
=
(Parte imaginaria)
t F F
+ ( 2ω
β)
F
A
2
0
e
i F
ω t
Fuerza de tipo armónico de
pulsación ω F ≠ ω 0
sol.
particular ( inspección)
:
ψ ( t)
= Ce
Y
=
δ = tg
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siψ es
( ω
−1
2
0
i F
ω t
− ω
2
F
)
2
Im Y
= tg
Re Y
desplazamiento
+ ( 2ω
β)
−1
− 2ωFβ
2 2
( ω − ω )
−1
ImY
−1
− 2ωFβ
δ = tg = tg 2 2
Re Y ( ω − ω )
0
F
0
2
F
x
F

6. Fuerza de tipo 
 armónico. Resonancia.
Ecuación Solución estacionaria
2
Ψ&
& + 2βΨ&
+ ω Ψ = sinω
t
0
2
0
A F
AMPLITUD: depende de la frecuencia de la
fuerza, con un máximo cuando la frecuencia de
la fuerza se aproxima a la frecuencia propia del
oscilador libre : curva de resonancia
A
A
D(
ωF)
= =
Y
2
2
( ω − ω ) + ( 2βω
)
FRECUENCIA DE RESONANCIA
máximo
dD(
ωF
)
= 0
dω
F
2
F
F
2
ω R = ω −
D(ω R )=D max
A
si β

6. Fuerza de tipo armónico. 
 Resonancia
Ecuación Solución
2
Ψ&
& + 2βΨ&
+ ω Ψ = sinω
t Ψp ( t) = D(
ω F ) sin( ωFt
+ δ )
0
A F
Cuestiones 32, 33, 34, 35, 36c, 37c, 38c, 39
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6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia.
Ecuación
2
Ψ&
& + 2βΨ&
+ ω Ψ = sinω
t Ψ ( ) = D(
ω ) sin( ω t + δ )
0
A F
FASE: diferencia de fase entre la fuerza y el desplazamiento.
π
A. debajo resonancia,
ωF
< ω0
δ <
2
π
B. resonancia,
ωF
= ω0
δ =
2
π
C. encima resonancia,
ωF
> ω0
δ >
2
F
< ω
0
Solución estacionaria
p
t F F
δ = tg
−1
− 2ωF
β
2 2
( ω −ω
)
http://bednorzmuller87.phys.cmu.edu/demonstrations/electricityandmagnetism/timedependentcurrents/demo6503.html
ω
A C
ω
F
= ω
0
SOLUCIÓN GENERAL cerca de la resonancia: aparecen pulsaciones por la
combinación de la frecuencia propia del oscilador y la de la forzada. La ausencia
de pulsaciones garantiza que ambas coinciden y se está en resonancia.
0
F
ω
F
ω >
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm
Chantal Ferrer Roca 2008
B
0

6. Resonancia
Cuando columpiamos a alguien,
introducimos una fuerza
periódica de frecuencia lo más
próxima a la propia del columpio
para obtener amplitud máxima.
Destrucción del
puente Tacoma
Narrows (1940)
FISICA de Feynman (23-4):
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- Respuesta de la atmósfera a excitaciones externas fr =10,5
h. (verificado con explosión de Krakatoa 1883)
- Absorción de radiación infrarroja a través de una película
delgada de Na Cl.
- Bombardeo de un átomo de Litio con protones: pico de
emisión gamma
- Curva de resonancia del efecto Mössbauer
Efecto resonante del sonido en un
tubo de longitud adecuada
Nature 420, 475 (5 December 2002)
Animal communication: Tree-hole
frogs exploit resonance effects
http://www.uv.es/piefisic/w3demos/castellano/catalogo/demos/demo14/Tacoma2.mpg

6. Resonancia
Chantal Ferrer Roca 2008
Medida de la respuesta a las vibraciones de
maquinaria pesada (AMTRI corp.)
Curva de resonancia de un piezoeléctrico
Osciladores micromecánicos o Sistemas Nanoelectromecánicos
sensores
Oro, 50 nm de diámetro
Sensibilidad: 1 attog
Curva de resonancia del
trampolín con y sin E.Coli
permite determinar su masa
2 µm
5 µm
15 µm
Célula de Escherichia coli
http://www.news.cornell.edu/releases/April04/attograms.ws.html

6. Amplitud de absorción y elástica
Ecuación
2
Ψ&
+ 2βΨ&
+ ω Ψ = cosω
t
& Ψ ( ) = D(
ω ) cos( ω t + δ )
0
A F
− δ = = =
A A A
C = De
2 2
(( ω − ω ) + i2ω
β)
Y Y e
0
Otra forma de escribir la solución:
C = D(cosδ
+ isin
δ)
= C − iC
ψ
p
C
C
R
=
Dcos
iω
t
δ =
( ω
2
0
F
F ( t)
= Re( Ce ) = CR
cos ωFt
+ Ci
sin ωFt
i
( − iC )(cosω
t + i sinω
t)
CR i
F
F
=
Dsin
δ =
( ω
2
0
A(
− ω
2
ω0
2 2
F)
2
F
R
F
2
F
− ω )
+ ( 2ω
β)
F
F
A(
2ωFβ)
2
− ω ) + ( 2ω
β)
i
desfasada 90º
respecto a la fuerza
2
2
Amplitud elástica o
"dispersiva"
δ
Amplitud de
absorción
p
Chantal Ferrer Roca 2008
Solución estacionaria
t F
F
Figura del libro “"Waves . Berkeley Physics Course" de
Kittel-Knight-Ruderman. Ed Reverté, 1999.
Ejemplo: modelo resonante de absorción de luz en la materia, constante dieléctrica compleja: la parte real (la
amplitud elástica) depende del índice de refracción y la imaginaria (amplitud de absorción) depende del
coeficiente de absorción del material.

6. Resonancia e Impedancia
Ecuación
Solución estacionaria
Supongamos masa + muelle
2
&x
& + 2βx&
+ ω0x
= A sin ωFt
x p(
t)
= D(
ωF)
sin( ωFt
+ δ)
Impedancia mecánica Z: R resistencia, X reactancia
Z
(recordáis los circuitos de alterna?) igual para una masa con resorte u otro sistema físico forzado
tg φ =
cos φ =
X
R
φ
R
Z
X
mω
−
= −ctg
δ =
b
R
Z
k
F
ωF
Z
=
Z e
vmax
iφ
=
( ω
2
F
− ω
Z = R + iX = b + i(
mω
−
Chantal Ferrer Roca 2008
π
sin( ωFt
+ δ + ) = sin( ωFt
+ φ)
2
k
F
ωF
φ > 0 Velocidad retrasada respecto a la fuerza
φ = 0 Resonancia velocidad y fuerza colineales
φ < 0 Velocidad adelantada respecto a la fuerza
ω
2
0
)
F
2
A
+ ( 2ω
F0
x& p(
t)
= v = sin( ωFt
− φ)
Z
vmax
x& p(
t)
= v = ωFD(
ωF)
cos( ωFt
+ δ)
F
β)
2
=
( mω
)
F
F0
k
−
ω
φ
F
)
2
giro
+ b
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm
F
v
2
ω t

6. Fuerza de tipo armónico. 
 Resonancia e Impedancia
EJEMPLO: circuito RLC
φ > 0
Potencia
ε=
ε
j t
0e ω
Potencia disipada en la
resistencia
Potencia generador
i
P ( t)
=
ε
+ jX
= = jφ
R
Re( i)
Re( V)
ε
Ze
Con fuente de alimentación ε en alterna
di q
VL + VC
+ VR
= L + + Ri = ε = ε0
cosωt
dt C
derivar la ecuación de nuevo:
ε ω
L
2
d i R di 1 0 jωt
+ + = je
2
dt
L
dt
Impedancia Z del circuito
φ = 0
Corriente retrasada respecto a la tensión
Resonancia, corriente en fase con la tensión
φ < 0 Corriente adelantada con respecto a la tensión
i
LC
P ( t)
= Re( i)
Re( V)
= ( i0
cos( ωt
− φ)(
V0
cosωt)
1
1 2
= V0i
0 cosφ
= Ri0
cosφ
2
2
gen ( t)
1
= ε0i
2
cosφ
IGUALES
Chantal Ferrer Roca 2008
P 0
ε
=
Z
0 j(
ωt−φ)
j(
ωt−φ)
e = i0e
i = i cos( ω t − φ )
0
i
0
ε0
=
Z
Z
=
i i =
R
2
j t
0e ω
+ X
tgφ
=
2
=
X
R
Re( ε
0
1
Lω−
= Cω
R
e
Solución
particular
R
2
jωt
)
1
+ ( Lω−
)
Cω
2

6. Resonancia y potencia 
 absorbida
( ) ⎟ ⎛
⎞
⎜
F0
( t)
= F ⋅ x&
ext = F0
sin ωFt
⎜
sin( ω t − φ)
⎝ Z
⎠
Pabs F
2
2
Z = ( mωF
− ) +
ωF
Suponiendo amortiguamiento pequeño:
Máxima potencia absorbida: en la
resonancia
Z = R = b
v
φ = 0
P
P
abs
P
max
( t)
max
=
P
max
abs
( ω
0
)
=
Chantal Ferrer Roca 2008
k
=
( mω
F
2
b
k
−
ω
F
b
)
2
2
1
2
+ b
2
F0
R
2
También Lorentziana
Potencia absorbida o reactiva (transferida al oscilador
por la fuerza impulsora
2
2
1 F0
1 F0
Pabs ( t)
= cosφ
= 2
2 Z 2 Z
Potencia (u.a.)
Pmax
P max
/ 2
R
∆ω
Potencia absorbida
promedio.
También
Lorentziana
∆ω FWHM
Full Width Half Maximum
10 15 ω0 − β 20 ω0 + β 25 30
ω(rad/s)

7. Fuerza periódica. 
 Principio de superposición
Ψ + 2βΨ + ω Ψ = & &
2
0
Fext m
F
ext = ∑
i
c F ( t )
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: si Ψ i es solución de F i , la solución general es la
combinación lineal de soluciones Ψ i
∑
Ψ ( t ) = cΨ
( t )
p i pi
i
definiendo el operador lineal L Ψ ) = ( + a + b)
⋅Ψ
d
dt
2
( 2
d
dt
Ψp ) = L(
∑c
iΨi
) = ∑c
iL(
Ψi
) = ∑
i
i
i
L (
c F ( t)
=
Chantal Ferrer Roca 2008
F ext es Combinación lineal de otras fuerzas
i
i
i
F
i
ext
Ejemplo: problema 3.6

7. Fuerza periódica. Principio 
 de superposición y Teorema de Fourier.
Ψ + 2βΨ + ω Ψ = & &
2
0
Fext m
F ext es función periódica, F(t+T) = F(t)
F ext es Combinación lineal de otras fuerzas
F
ext = ∑
i
c F ( t )
TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica f(t) de período T se puede escribir como la suma de
sus componentes armónicas (senos o cosenos de frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental)
f ( t)
= a 0 + C1
sin( ω1t
+ φ1)
+ C2
sin( 2ω1t
+ φ2
) + .... + Cn
sin( nω1t
+ φ3)
f ( t)
= a 0 + ∑ bn
cosωn
t + ∑a
n sin ωnt
n=
1
ω n = nω 1 armónicos
Chantal Ferrer Roca 2008
∞
∞
n=
1
a 0 =<
2
f ( t)
i
>=
i
1
T
T
∫
0
f
( t)
dt
Las funciones sin (nωt), cos (nωt) son una base ortogonal ya que se cumple que: (n,k=1,2,3....)
T
∫ sin(nωt) sin(kωt)dt = ∫ cos(nωt) cos(kωt)dt = π
ω δnk y ∫ sin(nωt) cos(kωt)dt = 0
0
T
0
T
0
ω 1 =2π/T frecuencia fundamental
2
a n = f ( t)
cos( n t)
dt
T ∫ ω
Ejemplo: problema 3.7
T
0
T
2
bn
= x(
t)
sin( n t)
dt
T ∫ ω
0

7. Fuerza periódica. 
 Principio de superposición y Teorema de Fourier.
Ejemplo: problema 3.7 sinω
t
F ext es función periódica, F(t+T) = F(t)
bk
2
F( t)
= ∑ sin ωkt
( 2k
+ 1)
π
∞
b1
T
ω
1
2π
=
T
k=
0
b3
ω
k
bk
= ( 2k
+ 1)
ω
Sólo términos impares
b5
ω1 2ω1 3ω1 4ω1 5ω1 6ω1 7ω1
b7
1
2
=
2
F3 = F1
+ sin 3ω1t
π
3π
F1 1
2
2
= F3
+ sin 5ω
t
F7 = F5
+ sin 7ω1t
5π
7π
F5 1
2
F9 = F7
+ sin 9ω1t
9π
F2 + 1 F2
k
2
+ sin( 2k
+ 1)
ω t
( 2k
+ 1)
π
k = −1
1
Chantal Ferrer Roca 2008

8. Otros aspectos de 
 los osciladores (mención)
Osciladores no lineales o anarmónicos
2 3
F(
Ψ)
∝ aΨ
+ bΨ
+ cΨ
+ ....
2 3
Ψ + ( aΨ
+ bΨ
+ cΨ
+ ...) = 0
&
EJEMPLO- OIDO HUMANO que oye dos sonidos = oscilador no lineal sometido a dos fuerzas de diferente ω:
solución
x(
t)
⎧ cos ω1t,
cos ω2t
⎪
∝ ⎨ cos 2ω1t,
cos 2ω2t
⎪
⎩cos(
ω1
+ ω2)
t,
cos( ω1
− ω
Osciladores paramétricos
EJEMPLO: Un péndulo que cambie de longitud
con el tiempo: cambia ω
Física en Acción 2003 (Terrasa, Barcelona)
2
) t
Ψ &
2 2
&x
& + ω0x
+ bx = A cos ω1t
+ A cos ω2t
es un sonido más grave que se distingue claramente
de los originales (Tercer sonido de Tartini).
+ a ( t)
Ψ =
0
MÉTODO para poner en
oscilación el botafumeiro de la
catedral de Santiago de
Compostela
Chantal Ferrer Roca 2008
OTRO EJEMPLO: un péndulo que
cambie el momento de inercia con el
tiempo (péndulo físico que cambia la
longitud efectiva: cambia ω): es como
nos columpiamos todos partiendo del
reposo.