Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII
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x2 = 2 ′ 76994818652850<br />
x3 = 2 ′ 76929266290594<br />
x4 = 2 ′ 76929235423870.<br />
d) En este caso la explicación es clara si tenemos en cuenta la gráfica <strong>de</strong> la función:<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
El pico que, en torno a x = 1, forma la gráfica <strong>de</strong> la función f(x) = 3√ x − 1, unido a la obvia<br />
raíz que tiene, es una mala condición para po<strong>de</strong>r apoyarnos en el uso <strong>de</strong> rectas tangentes.<br />
Toda la regularidad que necesitamos, aquí falta, tras acercarse inicialmente, cambia <strong>de</strong> signo,<br />
lo alterna, y se va alejando (diverge).<br />
14. En este ejercicio se pi<strong>de</strong> probar que una forma <strong>de</strong> aproximar el valor 1/a es a través <strong>de</strong><br />
la sucesión xn+1 = xn(2 −axn), esto es trivial con la indicación que dan: la raíz <strong>de</strong> la función<br />
f(x) = 1<br />
x − a es justamente x∗ = 1<br />
a , y el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson genera justamente la<br />
anterior relación <strong>de</strong> recurrencia:<br />
f ′ (x) = −1<br />
x 2<br />
⇒ xn+1 = xn − f(xn)<br />
f ′ (xn) = xn −<br />
1 − a xn<br />
−1<br />
x2 = xn +<br />
n<br />
1 − a xn<br />
1<br />
x2 = xn + xn − ax<br />
n<br />
2 n.<br />
Lo reseñable <strong>de</strong>l ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sino<br />
aproximar con sumas y productos.<br />
16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso <strong>de</strong> una función <strong>de</strong> una única variable.<br />
a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la función dada c(t), consiste en hallar el<br />
máximo <strong>de</strong> concentración, y el momento. Po<strong>de</strong>mos contestar ya a lo segundo: buscamos los<br />
extremos relativos a través <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la función:<br />
c ′ (t) = Ae −t/3 − 1<br />
3 Ate−t/3 = Ae −t/3 (1 − t/3) .<br />
Por tanto, los candidatos a extremos <strong>de</strong> la función c (recuér<strong>de</strong>se que el dominio en que tiene<br />
sentido el problema es [0, ∞)) son {0, 3, ∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y límt→∞ c(t) = 0, <strong>de</strong><br />
modo que la cantidad c(3) = 3e −1 A > 0 es la concentración máxima.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
9 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05