Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII

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$A-1\) Introducción a la Electrostática - CAA EII$

Elegir x0 = 3 es una buena elección: simple y aproximada, esto último es importante ya que el Método de Newton-Raphson es local, por lo que cuánto más cerca se comience de la solución, más garantías de éxito se tendrá al aplicarlo. x0 = 3, x1 = 3 ′ 16, x2 = 3 ′ 1622777, x3 = 3 ′ 1622777 (que ya coincide con el resultado que podemos obtener usando la calculadora). 13. a) En este caso el Método de Newton-Raphson no es aplicable porque el punto inicial anula el denominador f ′ (x) que aparece en la expresión recurrente. En cambio, si tomamos un valor un poco más alejado, por ejemplo, 1 ′ 2, conseguimos aproximar en 9 iteraciones la solución (con un error/tolerancia de 10 −8 ): x1 = −3 ′ 03333333333329 x2 = −1 ′ 69913409071934 x3 = −0 ′ 82229976699472 x4 = −0 ′ 26505557694095 x5 = 0 ′ 05248674618149 x6 = 0 ′ 18268167510526 x7 = 0 ′ 20562357143852 x8 = 0 ′ 20629889908101 x9 = 0 ′ 20629947401548. Empezando en x0 = 0 conseguimos la convergencia (con igual tolerancia) en 4 iteraciones: x1 = 0 ′ 16666666666667 x2 = 0 ′ 20444444444444 x3 = 0 ′ 20629515192918 x4 = 0 ′ 20629947399236. b) La derivada de f se anula en x = 1, con lo que si los cálculos pasan por algún xn = 1, el método no será válido. Y justamente ése es el caso si x1 = 3/2, ya que x2 = 1. Sin embargo, eso no significa que el método en si sea malo para hallar el cero de esta función, sólo que el dato inicial no es el adecuado. En efecto, si empezamos por otro valor, x1 = 0, el método converge en 5 iteraciones: x2 = 0 ′ 25 x3 = 0 ′ 35185185185185 x4 = 0 ′ 36953388762913 x5 = 0 ′ 37003906971704 x6 = 0 ′ 37003947505230. c) Con el dato inicial la sucesión que se obtiene es de 0 y 1 alternante, con lo que nunca convergerá a ningún valor. Aunque no hayamos visto en el desarrollo de teoría las condiciones de convergencia de los métodos de punto fijo (el MNR lo es para la función g(x) = x − f(x) f ′ (x) ), intuimos con este ejemplo que no deben darse condiciones oscilantes en el entorno que tomemos para comenzar la construcción de la sucesión recurrente, sino que debe ser monótona en cierto sentido hacia el cero de la función f. Estos ejemplos muestran simplemente malas elecciones del dato inicial que hacen que en el camino se tope uno con dificultades, que se evitarían (una vez más) empezando por otro dato, más próximo y adecuado: con dato inicial 3 se consigue la aproximación en 4 iteraciones x1 = 2 ′ 8 Ingeniería Técnica Forestal 8 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
x2 = 2 ′ 76994818652850 x3 = 2 ′ 76929266290594 x4 = 2 ′ 76929235423870. d) En este caso la explicación es clara si tenemos en cuenta la gráfica de la función: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 El pico que, en torno a x = 1, forma la gráfica de la función f(x) = 3√ x − 1, unido a la obvia raíz que tiene, es una mala condición para poder apoyarnos en el uso de rectas tangentes. Toda la regularidad que necesitamos, aquí falta, tras acercarse inicialmente, cambia de signo, lo alterna, y se va alejando (diverge). 14. En este ejercicio se pide probar que una forma de aproximar el valor 1/a es a través de la sucesión xn+1 = xn(2 −axn), esto es trivial con la indicación que dan: la raíz de la función f(x) = 1 x − a es justamente x∗ = 1 a , y el Método de Newton-Raphson genera justamente la anterior relación de recurrencia: f ′ (x) = −1 x 2 ⇒ xn+1 = xn − f(xn) f ′ (xn) = xn − 1 − a xn −1 x2 = xn + n 1 − a xn 1 x2 = xn + xn − ax n 2 n. Lo reseñable del ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sino aproximar con sumas y productos. 16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso de una función de una única variable. a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la función dada c(t), consiste en hallar el máximo de concentración, y el momento. Podemos contestar ya a lo segundo: buscamos los extremos relativos a través de la derivada de la función: c ′ (t) = Ae −t/3 − 1 3 Ate−t/3 = Ae −t/3 (1 − t/3) . Por tanto, los candidatos a extremos de la función c (recuérdese que el dominio en que tiene sentido el problema es [0, ∞)) son {0, 3, ∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y límt→∞ c(t) = 0, de modo que la cantidad c(3) = 3e −1 A > 0 es la concentración máxima. Ingeniería Técnica Forestal 9 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
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