Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII

5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
1
0.5
0
−0.5
−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
usando las rectas tangentes: y = f ′ (x0)(x − x0) + f(x0), e y = f ′ (x1)(x − x1) + f(x1).
6. Claramente la única raíz de la función f(x) = 4x−7
x−2 es x∗ = 1 ′ 75. Si implementamos el
método de Newton-Raphson para aproximar la solución
f ′ (x) = −1
(x − 2) 2,
⇒ xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn) = xn + (4xn − 7)(x − 2),
comprobamos que con los tres valores que nos dan se obtienen las siguientes secuencias:
1 ′ 6, 1 ′ 84, 1 ′ 7824, 1 ′ 75419904, 1 ′ 750070528, 1 ′ 75000002, 1 ′ 75, 1 ′ 75, 1 ′ 75 . . .
3, 8, 158, 97658, 38146972658, 5 ′ 82077E + 21, 1 ′ 35525E + 44, 7 ′ 34684E + 88, . . .
1 ′ 5, 2, 2, 2, . . .
es decir que la primera converge a la verdadera solución, la segunda diverge y la tercera
converge a una falsa solución. Ello es debido a que el método es local, y hay que empezar
suficientemente cerca de la solución para tener garantía de convergencia, lo que nos impele a
hacer siempre la comprobación (cuando obtengamos una convergencia hacia cierto valor) de
que la imagen del valor aproximado obtenido está cerca de cero, para evitar falsas soluciones.
[En general los códigos suelen tener dos condiciones para parar: que dos iteraciones consecutivas
estén cerca entre sí y que la imagen de una de ellas esté cerca de cero.]
8. Debemos hallar la raíz de c(t) = 7, o lo que es lo mismo, definiendo f(t) = c(t) − 7,
tenemos que hallar un cero para f. Ambas funciones, c y f tienen por derivada a la función
f ′ (t) = −160e −2t −10e −t/2 . Al ser negativa, sabemos que las funciones c y f son decrecientes
estrictamente, luego si existe solución, es única.
Como c(0) = 100 y límt→∞ c(t) = 0, en tiempo positivo la función c (que es continua)
tomará todos los valores del intervalo (0, 100].
Una vez que hemos concluido que existe una única raíz de c(t) = 7, y por tanto un único
cero de f(t), aplicamos el Método de Newton-Raphson. Como c(0) = 100 dista bastante
del objetivo, conviene, para ahorrar cálculos empezar con un dato inicial del tiempo algo
mayor (no mucho, porque la exponencial decae rápidamente), por tanteo parece conveniente
comenzar con x1 = 2. En cuatro iteraciones conseguimos:
x2 = 2 ′ 27579938312569
x3 = 2 ′ 32768095901589
Ingeniería Técnica
Forestal
6 Fundamentos Matemáticos
Curso 2004/05
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