Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII

complementario de este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip),
aunque por contra la precisión de cálculo deja de ser buena muy pronto. MATLAB, sin embargo,
ofrece mayor exactitud, aunque la adaptación a este lenguaje puede ser algo más tediosa
(se puede hacer con un proceso por lotes, o directamente con una función .m, en todo caso
usando el condicional, que en este programa es IF).
4. Para hallar la raíz cúbica de 17, es una elección evidente tomar la función f(x) = x3 −17.
Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo
de Bisección (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0 ′
ln 1−ln 0 ′ 125
125 debemos efectuar n = E ln 2 =
0−ln(1/8)
E ln2 = E
3ln 2
ln 2 = 3 iteraciones2 , y la solución aproximada resultante es 2 ′ 5625,
mientras que una aproximación mejor es 3√ 17 ∼ 2,5712815906154.
5. Usando el Teorema de Bolzano sabemos que f(x) = 3x − sin x − e x tiene una raíz en el
intervalo [0, 1].
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f(x)=3x−sen(x)−exp(x) .
Como f ′ (x) = 3 + cos(x) − e x , el Método de Newton-Raphson resulta
xn+1 = xn − f(xn)
f ′ (xn) = xn − 3xn + sin(xn) − exn . xn 3 + cos(xn) − e
El primer dato lo podemos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con lo
que x1 = 1/3, x2 = 0 ′ 360170714 y x3 = 0 ′ 36042168. Ya hemos cumplido la condición |xi −
xi−1| ≤ 0 ′ 001 pues |x3 − x2| = 0 ′ 00025. Además, comprobamos efectivamente que f(x3) =
−5,744246611705250 10 −8 . Vemos gráficamente la aproximación realizada en dos etapas (la
derecha es una ampliación)
2 Observa que la calculadora no es indispensable siempre.
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5 Fundamentos Matemáticos
Curso 2004/05