Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII
Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII
Soluciones a algunos ejercicios 1. En efecto, si llamamos f(x) = e x −3x, por el Teorema de Bolzano, al ser f(1) = e−3 < 0, y f(0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una 1 raíz en el intervalo [0, 1]. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 f(x)=exp(x)−3x −0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 f(x) = e x − 3x. Nos piden que hagamos seis iteraciones por el Método de Bisección, esto es, vamos calculando puntos medios de los intervalos, y el valor de la función en dichos puntos, quedándonos con aquél donde haya cambio de signo (dicho de otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuya imagen tenga el mismo signo que f(ci+1)), e iteramos de nuevo: c0 = 1/2 f(c0) = 0 ′ 148 > 0 ⇒ [c0, 1] c1 = 3/4 f(c1) = −0 ′ 133 < 0 ⇒ [c0, c1] c2 = 5/8 f(c2) = −0 ′ 006 < 0 ⇒ [c0, c2] c3 = 9/16 f(c3) = 0 ′ 067 > 0 ⇒ [c3, c2] c4 = 19/32 f(c4) = 0 ′ 029 > 0 ⇒ [c4, c2] c5 = 39/64 f(c5) = 0 ′ 011 > 0 ⇒ [c5, c2]. De modo que c6 = 79/128 ≡ 0 ′ 6171875, y la función ahí vale f(c6) ≡ 0 ′ 002. En efecto, el valor es relativamente pequeño, aunque no una aproximación excelente, y es que c6 dista de la solución exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo único que sabíamos por el método a priori es que la cota de error entre la raíz exacta y la aproximada era |x ∗ − cn| ≤ b−a 2 n+1 = 1 ln(b−a)−ln(δ) ln 2 27 ≡ 0 ′ 0078125, por lo que efectivamente no cabía esperar más de dos decimales exactos. Las iteraciones necesarias para obtener orden δ = 10−4 son n = E = 13. Nota sobre su resolución en el ordenador: Como el orden del método es uno, la aproximación es lenta. Sin embargo, se comprueba que es fácilmente automatizable (i.e. podemos llevar el método al ordenador, evaluando la función en el punto medio, y pidiéndole a la computadora que compare el signo y en función de si sale igual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteración). Con ayuda de Microsoft Excel c○ podemos implementar fácilmente el esquema (buscar la función SI, véase material 1 De hecho, f ′ (x) = e x − 3, con lo que deducimos que en x = ln 3 la derivada se anula y la función tiene un mínimo; como después crecerá mucho, pasará el cero de nuevo una única vez. Ingeniería Técnica Forestal 4 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
complementario de este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip), aunque por contra la precisión de cálculo deja de ser buena muy pronto. MATLAB, sin embargo, ofrece mayor exactitud, aunque la adaptación a este lenguaje puede ser algo más tediosa (se puede hacer con un proceso por lotes, o directamente con una función .m, en todo caso usando el condicional, que en este programa es IF). 4. Para hallar la raíz cúbica de 17, es una elección evidente tomar la función f(x) = x3 −17. Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo de Bisección (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0 ′ ln 1−ln 0 ′ 125 125 debemos efectuar n = E ln 2 = 0−ln(1/8) E ln2 = E 3ln 2 ln 2 = 3 iteraciones2 , y la solución aproximada resultante es 2 ′ 5625, mientras que una aproximación mejor es 3√ 17 ∼ 2,5712815906154. 5. Usando el Teorema de Bolzano sabemos que f(x) = 3x − sin x − e x tiene una raíz en el intervalo [0, 1]. 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f(x)=3x−sen(x)−exp(x) . Como f ′ (x) = 3 + cos(x) − e x , el Método de Newton-Raphson resulta xn+1 = xn − f(xn) f ′ (xn) = xn − 3xn + sin(xn) − exn . xn 3 + cos(xn) − e El primer dato lo podemos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con lo que x1 = 1/3, x2 = 0 ′ 360170714 y x3 = 0 ′ 36042168. Ya hemos cumplido la condición |xi − xi−1| ≤ 0 ′ 001 pues |x3 − x2| = 0 ′ 00025. Además, comprobamos efectivamente que f(x3) = −5,744246611705250 10 −8 . Vemos gráficamente la aproximación realizada en dos etapas (la derecha es una ampliación) 2 Observa que la calculadora no es indispensable siempre. Ingeniería Técnica Forestal 5 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
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- Page 11: 1506 10 3 = 10 6 e λ 4 105 + e λ
Soluciones a algunos ejercicios<br />
1. En efecto, si llamamos f(x) = e x −3x, por el Teorema <strong>de</strong> Bolzano, al ser f(1) = e−3 < 0,<br />
y f(0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una 1 raíz en el intervalo [0, 1].<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
−0.2<br />
f(x)=exp(x)−3x<br />
−0.4<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
f(x) = e x − 3x.<br />
Nos pi<strong>de</strong>n que hagamos seis iteraciones por el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> Bisección, esto es, vamos calculando<br />
puntos medios <strong>de</strong> los intervalos, y el valor <strong>de</strong> la función en dichos puntos, quedándonos<br />
con aquél don<strong>de</strong> haya cambio <strong>de</strong> signo (dicho <strong>de</strong> otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuya<br />
imagen tenga el mismo signo que f(ci+1)), e iteramos <strong>de</strong> nuevo:<br />
c0 = 1/2 f(c0) = 0 ′ 148 > 0 ⇒ [c0, 1]<br />
c1 = 3/4 f(c1) = −0 ′ 133 < 0 ⇒ [c0, c1]<br />
c2 = 5/8 f(c2) = −0 ′ 006 < 0 ⇒ [c0, c2]<br />
c3 = 9/16 f(c3) = 0 ′ 067 > 0 ⇒ [c3, c2]<br />
c4 = 19/32 f(c4) = 0 ′ 029 > 0 ⇒ [c4, c2]<br />
c5 = 39/64 f(c5) = 0 ′ 011 > 0 ⇒ [c5, c2].<br />
De modo que c6 = 79/128 ≡ 0 ′ 6171875, y la función ahí vale f(c6) ≡ 0 ′ 002. En efecto, el<br />
valor es relativamente pequeño, aunque no una aproximación excelente, y es que c6 dista <strong>de</strong><br />
la solución exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo único que sabíamos por el método<br />
a priori es que la cota <strong>de</strong> error entre la raíz exacta y la aproximada era |x ∗ − cn| ≤ b−a<br />
2 n+1 =<br />
1<br />
ln(b−a)−ln(δ)<br />
ln 2<br />
27 ≡ 0 ′ 0078125, por lo que efectivamente no cabía esperar más <strong>de</strong> dos <strong>de</strong>cimales exactos.<br />
Las iteraciones necesarias para obtener or<strong>de</strong>n δ = 10−4 <br />
son n = E<br />
= 13.<br />
Nota sobre su resolución en el or<strong>de</strong>nador:<br />
Como el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l método es uno, la aproximación es lenta. Sin embargo, se comprueba que<br />
es fácilmente automatizable (i.e. po<strong>de</strong>mos llevar el método al or<strong>de</strong>nador, evaluando la función<br />
en el punto medio, y pidiéndole a la computadora que compare el signo y en función <strong>de</strong> si sale<br />
igual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteración). Con ayuda <strong>de</strong> Microsoft<br />
Excel c○ po<strong>de</strong>mos implementar fácilmente el esquema (buscar la función SI, véase material<br />
1 De hecho, f ′ (x) = e x − 3, con lo que <strong>de</strong>ducimos que en x = ln 3 la <strong>de</strong>rivada se anula y la función tiene un<br />
mínimo; como <strong>de</strong>spués crecerá mucho, pasará el cero <strong>de</strong> nuevo una única vez.<br />
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Forestal<br />
4 Fundamentos Matemáticos<br />
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