Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII

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$A-1\) Introducción a la Electrostática - CAA EII$

10. Demostrar que para encontrar la raíz r-ésima de un número a, la fórmula iterativa de Newton se puede expresar como xn+1 = 1 r [(r − 1) · xn + a xn r−1] 11. Hallar la raíz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el método de Newton y comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en los cálculos. 12. Se considera la función F(x) = x 5 +2x. Mediante el Método de Newton, hallar el menor número positivo x (con tres decimales) para el cual F(x) = 4. 13. En los casos siguientes, aplicar el método de Newton con la estimación inicial propuesta, y explicar por qué falla el método. a) y = 2x 3 − 6x 2 + 6x − 1, x1 = 1. b) y = 4x 3 − 12x 2 + 12x − 3, x1 = 3 2 . c) y = −x 3 + 3x 2 − x + 1, x1 = 1. d) y = 3√ x − 1, x1 = 2. 14. Probar, mediante el método de Newton, que la ecuación xn+1 = xn(2 − axn) se puede utilizar para aproximar 1 a si x1 es una estimación inicial del recíproco de a. Nótese que este método de aproximar recíprocos utiliza sólo operaciones de suma y − a.] multiplicación. [Ayuda: Considerar f(x) = 1 x 15. Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, los siguientes recíprocos: a) b) 1 3 . 1 11 . 16. Una medicina administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada por c(t) = Ate −t/3 mg/ml, t horas después de que se hayan administrado A unidades. La máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina concentración de seguridad. a) ¿Qué cantidad debe ser inyectada para alcanzar como máximo esta concentración de seguridad?. ¿Cuándo se alcanza este máximo?. b) Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentración baja a 0 ′ 25 mg/ml. Determínese con un error menor de 1 minuto cuándo debe ponerse esta segunda inyección. Ingeniería Técnica Forestal 2 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
17. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en períodos cortos suponiendo que el crecimiento de la población es una función continua en t mediante una ecuación diferencial cuya solución es N(t) = N0e λt + v e λ λt − 1 , donde N(t) es el número de individuos en el tiempo t (medido en años), λ es la razón de natalidad, N0 es la población inicial y v es un razón constante de inmigración, que se mide en número de inmigrantes al año. Supóngase que una población dada tiene un millón de individuos inicialmente y una inmigración de 400,000 individuos al año. Se observa que al final del primer año la población es de 1,506,000 individuos. Se pide: a) Determinar la tasa de natalidad. b) Hacer una previsión de la población al cabo de tres años. Ingeniería Técnica Forestal 3 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05
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