Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII

10. Demostrar que para encontrar la raíz r-ésima de un número a, la fórmula iterativa de
Newton se puede expresar como
xn+1 = 1
r [(r − 1) · xn + a
xn r−1]
11. Hallar la raíz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el método de Newton
y comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en los
cálculos.
12. Se considera la función F(x) = x 5 +2x. Mediante el Método de Newton, hallar el menor
número positivo x (con tres decimales) para el cual F(x) = 4.
13. En los casos siguientes, aplicar el método de Newton con la estimación inicial propuesta,
y explicar por qué falla el método.
a) y = 2x 3 − 6x 2 + 6x − 1, x1 = 1.
b) y = 4x 3 − 12x 2 + 12x − 3, x1 = 3
2 .
c) y = −x 3 + 3x 2 − x + 1, x1 = 1.
d) y = 3√ x − 1, x1 = 2.
14. Probar, mediante el método de Newton, que la ecuación
xn+1 = xn(2 − axn)
se puede utilizar para aproximar 1
a si x1 es una estimación inicial del recíproco de a.
Nótese que este método de aproximar recíprocos utiliza sólo operaciones de suma y
− a.]
multiplicación. [Ayuda: Considerar f(x) = 1
x
15. Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, los
siguientes recíprocos:
a)
b)
1
3 .
1
11 .
16. Una medicina administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada
por c(t) = Ate −t/3 mg/ml, t horas después de que se hayan administrado A unidades.
La máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina
concentración de seguridad.
a) ¿Qué cantidad debe ser inyectada para alcanzar como máximo esta concentración
de seguridad?. ¿Cuándo se alcanza este máximo?.
b) Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentración
baja a 0 ′ 25 mg/ml. Determínese con un error menor de 1 minuto cuándo debe
ponerse esta segunda inyección.
Ingeniería Técnica
Forestal
2 Fundamentos Matemáticos
Curso 2004/05