Problemas Método de bisección. Método de Newton. - CAA EII
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<strong>Problemas</strong><br />
<strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>bisección</strong>.<br />
1. La ecuación e x − 3x = 0 tiene por raíz a r = 0,61906129. Comenzando con el intervalo<br />
[0, 1], realizar seis iteraciones por el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>bisección</strong> para encontrar la raíz<br />
aproximada. ¿Cuántos <strong>de</strong>cimales significativos tiene dicha aproximación?. ¿Cuántas iteraciones<br />
son necesarias para que la raíz obtenida tenga un error menor que 10 −4 ?<br />
2. Utilizar el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>bisección</strong> para encontrar una solución aproximada con un error<br />
menor que 10 −2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuación x = tg(x).<br />
3. Sabiendo que existe una raíz <strong>de</strong> la ecuación x 3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cuántas<br />
iteraciones son necesarias hasta obtener mediante el método <strong>de</strong> <strong>bisección</strong>, un intervalo <strong>de</strong><br />
amplitud menor o igual que 10 −3 que contenga a la raíz?. Calcular todas las iteraciones<br />
necesarias.<br />
4. Aplicar el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>bisección</strong> a F(x) = x 3 −17 = 0, a fin <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar la raíz cúbica<br />
<strong>de</strong> 17 con un error menor que 0.125.<br />
<strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>.<br />
5. Aplicando el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>, encontrar una raíz próxima a x0 = 0 para la ecuación<br />
f(x) = 3x + senx − e x = 0.<br />
Redon<strong>de</strong>ar los cálculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla | xi −<br />
xi−1 |≤ 0,001.<br />
6. La función f(x) = 4x−7<br />
x−2 tiene una raíz en x=1.75. Utilizar el método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong> con las<br />
siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produce<br />
un proceso convergente o no a la raíz.<br />
a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3<br />
7. Mediante el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong> modificado, encontrar una raíz próxima a x0 = 0 <strong>de</strong> la<br />
ecuación x − 2 −x = 0.<br />
Utilizar tres <strong>de</strong>cimales redon<strong>de</strong>ados en cada iteración hasta que se cumpla | xi −xi−1 |≤<br />
10 −3 .<br />
8. La concentración c <strong>de</strong> una bacteria contaminante en un lago <strong>de</strong>crece según la expresión:<br />
c(t) = 80e −2t + 20e −0,5t<br />
siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el número<br />
<strong>de</strong> bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>).<br />
9. Una <strong>de</strong>terminada sustancia se <strong>de</strong>sintegra según la ecuación A = P · e −0,0248t , don<strong>de</strong> P<br />
es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> t anõs. Si<br />
inicialmente se <strong>de</strong>positan 500 miligramos <strong>de</strong> dicha sustancia, ¿cuánto tiempo habrá <strong>de</strong><br />
transcurrir para que que<strong>de</strong> el 1 por ciento <strong>de</strong> ésta? Utilizar el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
1 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
10. Demostrar que para encontrar la raíz r-ésima <strong>de</strong> un número a, la fórmula iterativa <strong>de</strong><br />
<strong>Newton</strong> se pue<strong>de</strong> expresar como<br />
xn+1 = 1<br />
r [(r − 1) · xn + a<br />
xn r−1]<br />
11. Hallar la raíz cuadrada <strong>de</strong> 10 usando tres iteraciones mediante el método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong><br />
y comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos <strong>de</strong>cimales redon<strong>de</strong>ados en los<br />
cálculos.<br />
12. Se consi<strong>de</strong>ra la función F(x) = x 5 +2x. Mediante el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>, hallar el menor<br />
número positivo x (con tres <strong>de</strong>cimales) para el cual F(x) = 4.<br />
13. En los casos siguientes, aplicar el método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong> con la estimación inicial propuesta,<br />
y explicar por qué falla el método.<br />
a) y = 2x 3 − 6x 2 + 6x − 1, x1 = 1.<br />
b) y = 4x 3 − 12x 2 + 12x − 3, x1 = 3<br />
2 .<br />
c) y = −x 3 + 3x 2 − x + 1, x1 = 1.<br />
d) y = 3√ x − 1, x1 = 2.<br />
14. Probar, mediante el método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>, que la ecuación<br />
xn+1 = xn(2 − axn)<br />
se pue<strong>de</strong> utilizar para aproximar 1<br />
a si x1 es una estimación inicial <strong>de</strong>l recíproco <strong>de</strong> a.<br />
Nótese que este método <strong>de</strong> aproximar recíprocos utiliza sólo operaciones <strong>de</strong> suma y<br />
− a.]<br />
multiplicación. [Ayuda: Consi<strong>de</strong>rar f(x) = 1<br />
x<br />
15. Aproximar, con ayuda <strong>de</strong>l resultado <strong>de</strong>l ejercicio anterior, con tres cifras <strong>de</strong>cimales, los<br />
siguientes recíprocos:<br />
a)<br />
b)<br />
1<br />
3 .<br />
1<br />
11 .<br />
16. Una medicina administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada<br />
por c(t) = Ate −t/3 mg/ml, t horas <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> que se hayan administrado A unida<strong>de</strong>s.<br />
La máxima concentración sin peligro es <strong>de</strong> 1 mg/ml, y a esta cantidad se le <strong>de</strong>nomina<br />
concentración <strong>de</strong> seguridad.<br />
a) ¿Qué cantidad <strong>de</strong>be ser inyectada para alcanzar como máximo esta concentración<br />
<strong>de</strong> seguridad?. ¿Cuándo se alcanza este máximo?.<br />
b) Una cantidad adicional se <strong>de</strong>be administrar al paciente cuando la concentración<br />
baja a 0 ′ 25 mg/ml. Determínese con un error menor <strong>de</strong> 1 minuto cuándo <strong>de</strong>be<br />
ponerse esta segunda inyección.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
2 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
17. El crecimiento <strong>de</strong> poblaciones gran<strong>de</strong>s pue<strong>de</strong> mo<strong>de</strong>larse en períodos cortos suponiendo<br />
que el crecimiento <strong>de</strong> la población es una función continua en t mediante una ecuación<br />
diferencial cuya solución es<br />
N(t) = N0e λt + v<br />
<br />
e<br />
λ<br />
λt <br />
− 1 ,<br />
don<strong>de</strong> N(t) es el número <strong>de</strong> individuos en el tiempo t (medido en años), λ es la razón<br />
<strong>de</strong> natalidad, N0 es la población inicial y v es un razón constante <strong>de</strong> inmigración, que<br />
se mi<strong>de</strong> en número <strong>de</strong> inmigrantes al año.<br />
Supóngase que una población dada tiene un millón <strong>de</strong> individuos inicialmente y una<br />
inmigración <strong>de</strong> 400,000 individuos al año. Se observa que al final <strong>de</strong>l primer año la<br />
población es <strong>de</strong> 1,506,000 individuos. Se pi<strong>de</strong>:<br />
a) Determinar la tasa <strong>de</strong> natalidad.<br />
b) Hacer una previsión <strong>de</strong> la población al cabo <strong>de</strong> tres años.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
3 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
Soluciones a algunos ejercicios<br />
1. En efecto, si llamamos f(x) = e x −3x, por el Teorema <strong>de</strong> Bolzano, al ser f(1) = e−3 < 0,<br />
y f(0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una 1 raíz en el intervalo [0, 1].<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
−0.2<br />
f(x)=exp(x)−3x<br />
−0.4<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
f(x) = e x − 3x.<br />
Nos pi<strong>de</strong>n que hagamos seis iteraciones por el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> Bisección, esto es, vamos calculando<br />
puntos medios <strong>de</strong> los intervalos, y el valor <strong>de</strong> la función en dichos puntos, quedándonos<br />
con aquél don<strong>de</strong> haya cambio <strong>de</strong> signo (dicho <strong>de</strong> otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuya<br />
imagen tenga el mismo signo que f(ci+1)), e iteramos <strong>de</strong> nuevo:<br />
c0 = 1/2 f(c0) = 0 ′ 148 > 0 ⇒ [c0, 1]<br />
c1 = 3/4 f(c1) = −0 ′ 133 < 0 ⇒ [c0, c1]<br />
c2 = 5/8 f(c2) = −0 ′ 006 < 0 ⇒ [c0, c2]<br />
c3 = 9/16 f(c3) = 0 ′ 067 > 0 ⇒ [c3, c2]<br />
c4 = 19/32 f(c4) = 0 ′ 029 > 0 ⇒ [c4, c2]<br />
c5 = 39/64 f(c5) = 0 ′ 011 > 0 ⇒ [c5, c2].<br />
De modo que c6 = 79/128 ≡ 0 ′ 6171875, y la función ahí vale f(c6) ≡ 0 ′ 002. En efecto, el<br />
valor es relativamente pequeño, aunque no una aproximación excelente, y es que c6 dista <strong>de</strong><br />
la solución exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo único que sabíamos por el método<br />
a priori es que la cota <strong>de</strong> error entre la raíz exacta y la aproximada era |x ∗ − cn| ≤ b−a<br />
2 n+1 =<br />
1<br />
ln(b−a)−ln(δ)<br />
ln 2<br />
27 ≡ 0 ′ 0078125, por lo que efectivamente no cabía esperar más <strong>de</strong> dos <strong>de</strong>cimales exactos.<br />
Las iteraciones necesarias para obtener or<strong>de</strong>n δ = 10−4 <br />
son n = E<br />
= 13.<br />
Nota sobre su resolución en el or<strong>de</strong>nador:<br />
Como el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l método es uno, la aproximación es lenta. Sin embargo, se comprueba que<br />
es fácilmente automatizable (i.e. po<strong>de</strong>mos llevar el método al or<strong>de</strong>nador, evaluando la función<br />
en el punto medio, y pidiéndole a la computadora que compare el signo y en función <strong>de</strong> si sale<br />
igual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteración). Con ayuda <strong>de</strong> Microsoft<br />
Excel c○ po<strong>de</strong>mos implementar fácilmente el esquema (buscar la función SI, véase material<br />
1 De hecho, f ′ (x) = e x − 3, con lo que <strong>de</strong>ducimos que en x = ln 3 la <strong>de</strong>rivada se anula y la función tiene un<br />
mínimo; como <strong>de</strong>spués crecerá mucho, pasará el cero <strong>de</strong> nuevo una única vez.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
4 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
complementario <strong>de</strong> este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip),<br />
aunque por contra la precisión <strong>de</strong> cálculo <strong>de</strong>ja <strong>de</strong> ser buena muy pronto. MATLAB, sin embargo,<br />
ofrece mayor exactitud, aunque la adaptación a este lenguaje pue<strong>de</strong> ser algo más tediosa<br />
(se pue<strong>de</strong> hacer con un proceso por lotes, o directamente con una función .m, en todo caso<br />
usando el condicional, que en este programa es IF).<br />
4. Para hallar la raíz cúbica <strong>de</strong> 17, es una elección evi<strong>de</strong>nte tomar la función f(x) = x3 −17.<br />
Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo<br />
<strong>de</strong> Bisección (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0 ′ <br />
ln 1−ln 0 ′ 125<br />
125 <strong>de</strong>bemos efectuar n = E ln 2 =<br />
<br />
0−ln(1/8)<br />
E ln2 = E <br />
3ln 2<br />
ln 2 = 3 iteraciones2 , y la solución aproximada resultante es 2 ′ 5625,<br />
mientras que una aproximación mejor es 3√ 17 ∼ 2,5712815906154.<br />
5. Usando el Teorema <strong>de</strong> Bolzano sabemos que f(x) = 3x − sin x − e x tiene una raíz en el<br />
intervalo [0, 1].<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
f(x)=3x−sen(x)−exp(x) .<br />
Como f ′ (x) = 3 + cos(x) − e x , el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson resulta<br />
xn+1 = xn − f(xn)<br />
f ′ (xn) = xn − 3xn + sin(xn) − exn . xn 3 + cos(xn) − e<br />
El primer dato lo po<strong>de</strong>mos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con lo<br />
que x1 = 1/3, x2 = 0 ′ 360170714 y x3 = 0 ′ 36042168. Ya hemos cumplido la condición |xi −<br />
xi−1| ≤ 0 ′ 001 pues |x3 − x2| = 0 ′ 00025. A<strong>de</strong>más, comprobamos efectivamente que f(x3) =<br />
−5,744246611705250 10 −8 . Vemos gráficamente la aproximación realizada en dos etapas (la<br />
<strong>de</strong>recha es una ampliación)<br />
2 Observa que la calculadora no es indispensable siempre.<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
5 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7<br />
usando las rectas tangentes: y = f ′ (x0)(x − x0) + f(x0), e y = f ′ (x1)(x − x1) + f(x1).<br />
6. Claramente la única raíz <strong>de</strong> la función f(x) = 4x−7<br />
x−2 es x∗ = 1 ′ 75. Si implementamos el<br />
método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson para aproximar la solución<br />
f ′ (x) = −1<br />
(x − 2) 2,<br />
⇒ xn+1 = xn − f(xn)<br />
f ′ (xn) = xn + (4xn − 7)(x − 2),<br />
comprobamos que con los tres valores que nos dan se obtienen las siguientes secuencias:<br />
1 ′ 6, 1 ′ 84, 1 ′ 7824, 1 ′ 75419904, 1 ′ 750070528, 1 ′ 75000002, 1 ′ 75, 1 ′ 75, 1 ′ 75 . . .<br />
3, 8, 158, 97658, 38146972658, 5 ′ 82077E + 21, 1 ′ 35525E + 44, 7 ′ 34684E + 88, . . .<br />
1 ′ 5, 2, 2, 2, . . .<br />
es <strong>de</strong>cir que la primera converge a la verda<strong>de</strong>ra solución, la segunda diverge y la tercera<br />
converge a una falsa solución. Ello es <strong>de</strong>bido a que el método es local, y hay que empezar<br />
suficientemente cerca <strong>de</strong> la solución para tener garantía <strong>de</strong> convergencia, lo que nos impele a<br />
hacer siempre la comprobación (cuando obtengamos una convergencia hacia cierto valor) <strong>de</strong><br />
que la imagen <strong>de</strong>l valor aproximado obtenido está cerca <strong>de</strong> cero, para evitar falsas soluciones.<br />
[En general los códigos suelen tener dos condiciones para parar: que dos iteraciones consecutivas<br />
estén cerca entre sí y que la imagen <strong>de</strong> una <strong>de</strong> ellas esté cerca <strong>de</strong> cero.]<br />
8. Debemos hallar la raíz <strong>de</strong> c(t) = 7, o lo que es lo mismo, <strong>de</strong>finiendo f(t) = c(t) − 7,<br />
tenemos que hallar un cero para f. Ambas funciones, c y f tienen por <strong>de</strong>rivada a la función<br />
f ′ (t) = −160e −2t −10e −t/2 . Al ser negativa, sabemos que las funciones c y f son <strong>de</strong>crecientes<br />
estrictamente, luego si existe solución, es única.<br />
Como c(0) = 100 y límt→∞ c(t) = 0, en tiempo positivo la función c (que es continua)<br />
tomará todos los valores <strong>de</strong>l intervalo (0, 100].<br />
Una vez que hemos concluido que existe una única raíz <strong>de</strong> c(t) = 7, y por tanto un único<br />
cero <strong>de</strong> f(t), aplicamos el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson. Como c(0) = 100 dista bastante<br />
<strong>de</strong>l objetivo, conviene, para ahorrar cálculos empezar con un dato inicial <strong>de</strong>l tiempo algo<br />
mayor (no mucho, porque la exponencial <strong>de</strong>cae rápidamente), por tanteo parece conveniente<br />
comenzar con x1 = 2. En cuatro iteraciones conseguimos:<br />
x2 = 2 ′ 27579938312569<br />
x3 = 2 ′ 32768095901589<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
6 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05<br />
.
x4 = 2 ′ 32908663665517<br />
x5 = 2 ′ 32908761684562.<br />
9. Es propio <strong>de</strong>l material radioactivo <strong>de</strong>sintegrarse con respecto a esa ley (solución <strong>de</strong> cierta<br />
ecuación diferencial que veremos más a<strong>de</strong>lante en el Tema 4). Obsérvese que resolver el<br />
problema equivale a hallar el cero <strong>de</strong> f(t) = 500e −0′ 00248t −5, o lo que es lo mismo (pero mejor<br />
para hacer los cálculos), <strong>de</strong> la función g(t) = 100e −0′ 00248t − 1. Antes <strong>de</strong> aplicar el <strong>Método</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson es a<strong>de</strong>cuado pensar en qué dato inicial tomar (<strong>de</strong> no ser a<strong>de</strong>cuado,<br />
tardaremos mucho o pue<strong>de</strong>, como se ve en algunos ejercicios <strong>de</strong>l tema, que no lleguemos a la<br />
solución).<br />
Es claro geométricamente que, por la forma <strong>de</strong> la exponencial, el método va a ser efectivo<br />
con cualquier dato inicial.<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
g(t) = 100e −0′ 00248t − 1.<br />
Pero por el bajo coeficiente que afecta al exponente, ha <strong>de</strong> pasar mucho tiempo para que la<br />
exponencial comience a <strong>de</strong>crecer <strong>de</strong> forma notable. Por ello, comenzamos con t1 = 100. En 6<br />
iteraciones llegamos a la solución:<br />
t2 = 135 ′ 507554670222<br />
t3 = 164 ′ 214770256907<br />
t4 = 180 ′ 865946787540<br />
t5 = 185 ′ 414686713111<br />
t6 = 185 ′ 691392424226<br />
t7 = 185 ′ 692346197917 años han <strong>de</strong> pasar para quedar 3 el 1 %.<br />
10. Se obtiene tras transformaciones aritméticas inmediatas a<br />
siendo f(x) = x r − a.<br />
xn+1 = xx − f(xn)<br />
f ′ (xn)<br />
11. El ejercicio anterior se aplica con r = 2 y a = 10 generando la sucesión recurrente<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
xn+1 = 1<br />
<br />
xn +<br />
2<br />
10<br />
<br />
.<br />
xn<br />
7 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
Elegir x0 = 3 es una buena elección: simple y aproximada, esto último es importante ya<br />
que el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson es local, por lo que cuánto más cerca se comience <strong>de</strong> la<br />
solución, más garantías <strong>de</strong> éxito se tendrá al aplicarlo. x0 = 3, x1 = 3 ′ 16, x2 = 3 ′ 1622777,<br />
x3 = 3 ′ 1622777 (que ya coinci<strong>de</strong> con el resultado que po<strong>de</strong>mos obtener usando la calculadora).<br />
13. a) En este caso el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson no es aplicable porque el punto inicial<br />
anula el <strong>de</strong>nominador f ′ (x) que aparece en la expresión recurrente. En cambio, si tomamos<br />
un valor un poco más alejado, por ejemplo, 1 ′ 2, conseguimos aproximar en 9 iteraciones la<br />
solución (con un error/tolerancia <strong>de</strong> 10 −8 ):<br />
x1 = −3 ′ 03333333333329<br />
x2 = −1 ′ 69913409071934<br />
x3 = −0 ′ 82229976699472<br />
x4 = −0 ′ 26505557694095<br />
x5 = 0 ′ 05248674618149<br />
x6 = 0 ′ 18268167510526<br />
x7 = 0 ′ 20562357143852<br />
x8 = 0 ′ 20629889908101<br />
x9 = 0 ′ 20629947401548.<br />
Empezando en x0 = 0 conseguimos la convergencia (con igual tolerancia) en 4 iteraciones:<br />
x1 = 0 ′ 16666666666667<br />
x2 = 0 ′ 20444444444444<br />
x3 = 0 ′ 20629515192918<br />
x4 = 0 ′ 20629947399236.<br />
b) La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f se anula en x = 1, con lo que si los cálculos pasan por algún xn = 1,<br />
el método no será válido. Y justamente ése es el caso si x1 = 3/2, ya que x2 = 1. Sin embargo,<br />
eso no significa que el método en si sea malo para hallar el cero <strong>de</strong> esta función, sólo que el<br />
dato inicial no es el a<strong>de</strong>cuado. En efecto, si empezamos por otro valor, x1 = 0, el método<br />
converge en 5 iteraciones:<br />
x2 = 0 ′ 25<br />
x3 = 0 ′ 35185185185185<br />
x4 = 0 ′ 36953388762913<br />
x5 = 0 ′ 37003906971704<br />
x6 = 0 ′ 37003947505230.<br />
c) Con el dato inicial la sucesión que se obtiene es <strong>de</strong> 0 y 1 alternante, con lo que nunca<br />
convergerá a ningún valor. Aunque no hayamos visto en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> teoría las condiciones<br />
<strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong> los métodos <strong>de</strong> punto fijo (el MNR lo es para la función g(x) = x −<br />
f(x)<br />
f ′ (x) ), intuimos con este ejemplo que no <strong>de</strong>ben darse condiciones oscilantes en el entorno que<br />
tomemos para comenzar la construcción <strong>de</strong> la sucesión recurrente, sino que <strong>de</strong>be ser monótona<br />
en cierto sentido hacia el cero <strong>de</strong> la función f. Estos ejemplos muestran simplemente malas<br />
elecciones <strong>de</strong>l dato inicial que hacen que en el camino se tope uno con dificulta<strong>de</strong>s, que se<br />
evitarían (una vez más) empezando por otro dato, más próximo y a<strong>de</strong>cuado: con dato inicial<br />
3 se consigue la aproximación en 4 iteraciones<br />
x1 = 2 ′ 8<br />
Ingeniería Técnica<br />
Forestal<br />
8 Fundamentos Matemáticos<br />
Curso 2004/05
x2 = 2 ′ 76994818652850<br />
x3 = 2 ′ 76929266290594<br />
x4 = 2 ′ 76929235423870.<br />
d) En este caso la explicación es clara si tenemos en cuenta la gráfica <strong>de</strong> la función:<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
El pico que, en torno a x = 1, forma la gráfica <strong>de</strong> la función f(x) = 3√ x − 1, unido a la obvia<br />
raíz que tiene, es una mala condición para po<strong>de</strong>r apoyarnos en el uso <strong>de</strong> rectas tangentes.<br />
Toda la regularidad que necesitamos, aquí falta, tras acercarse inicialmente, cambia <strong>de</strong> signo,<br />
lo alterna, y se va alejando (diverge).<br />
14. En este ejercicio se pi<strong>de</strong> probar que una forma <strong>de</strong> aproximar el valor 1/a es a través <strong>de</strong><br />
la sucesión xn+1 = xn(2 −axn), esto es trivial con la indicación que dan: la raíz <strong>de</strong> la función<br />
f(x) = 1<br />
x − a es justamente x∗ = 1<br />
a , y el <strong>Método</strong> <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson genera justamente la<br />
anterior relación <strong>de</strong> recurrencia:<br />
f ′ (x) = −1<br />
x 2<br />
⇒ xn+1 = xn − f(xn)<br />
f ′ (xn) = xn −<br />
1 − a xn<br />
−1<br />
x2 = xn +<br />
n<br />
1 − a xn<br />
1<br />
x2 = xn + xn − ax<br />
n<br />
2 n.<br />
Lo reseñable <strong>de</strong>l ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sino<br />
aproximar con sumas y productos.<br />
16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso <strong>de</strong> una función <strong>de</strong> una única variable.<br />
a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la función dada c(t), consiste en hallar el<br />
máximo <strong>de</strong> concentración, y el momento. Po<strong>de</strong>mos contestar ya a lo segundo: buscamos los<br />
extremos relativos a través <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la función:<br />
c ′ (t) = Ae −t/3 − 1<br />
3 Ate−t/3 = Ae −t/3 (1 − t/3) .<br />
Por tanto, los candidatos a extremos <strong>de</strong> la función c (recuér<strong>de</strong>se que el dominio en que tiene<br />
sentido el problema es [0, ∞)) son {0, 3, ∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y límt→∞ c(t) = 0, <strong>de</strong><br />
modo que la cantidad c(3) = 3e −1 A > 0 es la concentración máxima.<br />
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De hecho, cualquiera que sea la cantidad inicial A, el máximo <strong>de</strong> la concentración se<br />
alcanza en t = 3. Para que la cantidad máxima no supere 1 mg/ml, simplemente hay que<br />
poner un A menor <strong>de</strong>l que resuelva 3e −1 A = 1, esto es, A ≤ e/3.<br />
b) Supuesta suministrada esta cantidad inicial, A = e/3, nos preguntan cuándo ocurrirá<br />
que<br />
c(t) = e<br />
3 te−t/3 = 0 ′ 25.<br />
Tenemos que resolver pues la ecuación<br />
f(t) = e<br />
3 te−t/3 − 0 ′ 25 = 0.<br />
Pero <strong>de</strong>l análisis anterior sacamos que al máximo llega <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cero y que <strong>de</strong>spués tien<strong>de</strong> a<br />
cero, es <strong>de</strong>cir, cualquier cantidad en (0, A), en particular 0 ′ 25, es alcanzada dos veces y nos<br />
interesa cuando lo alcanza por segunda vez.<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
0 5 10 15<br />
c(t) = e<br />
3 te−t/3 .<br />
Usamos el método <strong>de</strong> <strong>Newton</strong>-Raphson con algún valor numérico que resulte a<strong>de</strong>cuado<br />
(por lo dicho antes, más bien largo que corto, para que la convergencia sea hacia la solución<br />
por encima <strong>de</strong> las tres horas). Por la forma <strong>de</strong> campana, basta tomar cualquier valor inicial<br />
superior a tres horas, p. ej. x0 = 4 genera una sucesión que converge en 4 iteraciones (con<br />
una tolerancia <strong>de</strong> 10 −8 ; nos pedían precisición <strong>de</strong> un minuto, que pasado a horas es 0 ′ 01666,<br />
por tanto bastaba con 10 −3 ):<br />
x1 = 10 ′ 30879920381349<br />
x2 = 11 ′ 02140006874606<br />
x3 = 11 ′ 07757133060878<br />
x4 = 11 ′ 07790357510362 horas= 11 horas, 4 minutos.<br />
17. En este problema nos dan el mo<strong>de</strong>lo<br />
N(t) = N0e λt + v<br />
<br />
e<br />
λ<br />
λt <br />
− 1 ,<br />
los datos N0 = 10 6 , v = 4 10 5 , N(1) = 1506 10 3 , y nos pi<strong>de</strong>n simplemente que <strong>de</strong>spejemos el<br />
valor <strong>de</strong> λ :<br />
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1506 10 3 = 10 6 e λ 4<br />
<br />
105<br />
+ e<br />
λ<br />
λ <br />
− 1 .<br />
Simplificamos antes <strong>de</strong> resolver el cero <strong>de</strong> cierta función asociada:<br />
f(λ) = 1000e λ + 400<br />
λ<br />
<br />
e λ <br />
− 1 − 1506 = 0.<br />
Con un dato inicial bajo x1 = 1 (lo esperable para la natalidad <strong>de</strong> una población que en<br />
un año sólo ha pasado <strong>de</strong> 1400000 a algo más <strong>de</strong> millón y medio <strong>de</strong> habitantes) la respuesta<br />
se obtiene en 4 iteraciones (con precisión 10 −8 ):<br />
x2 = 0 ′ 390820116865<br />
x3 = 0 ′ 12534036450639<br />
x4 = 0 ′ 08560613200322<br />
x5 = 0 ′ 08483943705533<br />
x6 = 0 ′ 08483915873218 ∼ λ.<br />
b) Consiste en sustituir t = 3 en la expresión (ahora totalmente conocida) <strong>de</strong> N(t) :<br />
N(3) = 2656373 ′ 589004676, que significa una población en torno a los 2.656373 habitantes.<br />
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