Integración Numérica

Integración Numérica
Computación / Matemáticas
MA2008
Computación / Matemáticas Integración Numérica

Métodos de Cuadratura Numérica
El método de cuadratura numérica es un método con el cual se
aproxima la integral de una función:
b
f (x) dx ≈
a
n
ai f (xi)
La estrategia consiste en aproximar la función f (x) en el intervalo
[a, b] por medio del polinomio interpolante de Lagrange
Pn(x) =
i=0
n
f (xi) Li(x)
i=0
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Fórmulas Cerradas de Newton-Cotes
n = 1: Regla del trapecio (Aproximando la función por una recta)
x1
x0
f (x) dx = h
2 (f (x0) + f (x1)) − h3
12 f ′′ (ξ)
n = 2: Regla del Simpson (Aproximando la función por una cuadrática)
x2
x0
f (x) dx = h
3 (f (x0) + 4 f (x1) + f (x2)) − h5
90 f (4) (ξ)
n = 3: Regla de tres octavos de Simpson (Aproximando la función por una cúbica)
x3
f (x) dx =
x0
3 h
8 (f (x0)
3 h5
+ 3 f (x1) + 3 f (x2) + f (x3))−
80 f (4) (ξ)
Cerradas? = que usan la evaluación de la función en los
extremos del intervalo de integración.
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Fórmulas Abiertas de Newton-Cotes
n = 0: Regla del trapecio
n = 1:
x2
x−1
x1
n = 2:
x3
f (x) dx =
x−1
x−1
f (x) dx =
f (x) dx = 2 h f (x0) + h3
12 f ′′ (ξ)
3 h
2 (f (x0)
3 h3
+ f (x1)) −
4 f (2) (ξ)
4 h
3 (2 f (x0)
14 h5
− f (x1) + 2 f (x2)) −
45 f (4) (ξ)
Abiertas? = que no usan la evaluación de la función en los
extremos del intervalo de integración.
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Integración Compuesta
Idea: Para aproximar la integral de una función en un intervalo
largo, divida el intervalo largo en pequeños intervalos y aplique las
fórmulas para la aproximación en los pequeños intervalos y después
sume.
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Integración Compuesta: Regla de Simpson
Suponga que el intervalo [a, b] es dividido igualmente en un número
par de secciones por los puntos a = x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h,
. . . , b = xn = xn−1 + h, donde h = (b − a)/n. Entonces:
b
a
f (x) dx = h
3
f (a) + 2 (n/2)−1
j=1
− b−a
180 h4 f (4) (µ)
f (x2 j) + 4 n/2
j=1 f (x2 j−1) + f (b)
donde µ ∈ (a, b). Note que la suma de los puntos intermedios
pares va multiplicada por 2; mientras que la suma de los puntos
intermedios impares va multiplicada por 4.
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Aplicaciones de la Integración I
Volumen: b
A(x) dx
Volumen de sólido de revolución:
b
2 π x f (x) dx
Trabajo:
a
a
b
F (x) dx
Fuerza hidrostática sobre una área:
b
F = P(h) Ancho(h) dh
a
Normalmente P(h) = ρ · g · h (h = profundidad)
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a

Aplicaciones de la Integración II
Longitud de arco:
a
b 2 df (x)
1 + dx
dx
a
Area de un sólido de revolución:
b
2 df (x)
2 π f (x) 1 + dx
dx
Momento de Inercia:
b
b 1
My = ρ x f (x) dx, Mx = ρ
2 (f (x))2 dx
Centro de masa:
¯x = 1
b
A
a
a
x f (x) dx, ¯y = 1
b 1
A a 2 (f (x))2 dx
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a