TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS - Facultad de Matemáticas ...

TEORIA AXIOMATICA DE
CONJUNTOS
Versión Preliminar
Author address:
Renato A. Lewin
Pontificia Universidad Católica de Chile, Facultad de
Matemáticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE.
e-mail: rlewin@mat.puc.cl

Indice
CAPITULO 1. Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel 5
1. El Lenguaje Formalizado L 7
2. Los Axiomas de la Teoría ZF. Conceptos Fundamentales 9
CAPITULO 2. Teoría Elemental 17
1. Operaciones 17
2. Relaciones 23
3. Funciones 30
4. Relaciones de Equivalencia 40
5. Relaciones de Orden 44
CAPITULO 3. Ordinales 57
1. Números Naturales 57
2. Ordinales 64
3. Inducción Transfinita 70
4. Recursión 72
5. Funciones Normales 75
6. Ordinales y Buenos Ordenes 78
7. Aritmética Ordinal 80
8. La Jerarquía Acumulativa de Conjuntos 101
CAPITULO 4. El Axioma de Elección 105
1. Equivalencias del Axioma de Elección 105
2. Aplicaciones 111
CAPITULO 5. Cardinales 117
1. Definiciones y Resultados Básicos 117
2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos 125
3. Aritmética Cardinal 129
4. Cardinales Regulares y Singulares 144
5. La Hipótesis del Continuo 146
Bibliografía 151
Glosario 153
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CAPITULO 1
Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel
Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es
una colección (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que
pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto.
En toda teoría axiomática debemos partir de términos que no podemos
definir para no correr el riesgo de caer en un círculo vicioso. Tal es el
caso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teoría de
Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva
que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el
desarrollo de la teoría no es necesario contar con estas intuiciones.
Una teoría axiomática es un modelo formal de una realidad que
queremos estudiar. Está compuesta por axiomas, o sea, oraciones a
partir de las cuales, usando sólo reglas lógicas, podamos obtener todas
las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan
de establecer las características y propiedades esenciales de los objetos
que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal sería en
primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de
la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que
todas y sólo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan
obtener a partir de nuestra lista.
Diversas teorías axiomáticas de conjuntos han logrado en mayor
o menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio,
obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema
de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ésto es muy sencillo: no
se puede. En efecto, los resultados obtenidos por el lógico Kurt Gödel
alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatización
completa de la Teoría de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teorías
matemáticas como la teoría de números.
Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin embargo
ésto no es así, sólo nos advierte que el ideal es imposible. De hecho
numerosos matemáticos han logrado establecer teorías axiomáticas
que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi
toda la matemática. Estudiaremos una de ellas en estas páginas, a
saber, la teoría de Zermelo–Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del
5

trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teoría en los primeros
años de este siglo.
Un conjunto está definido por los objetos que contiene. Nuestra
intuición nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, es
decir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjunto
formado por los números 1, 2, . . . , 99, le corresponde la propiedad “ser
número entero mayor que cero y menor que cien”. A la inversa, a toda
propiedad le debe corresponder un conjunto, la colección de todos los
objetos que verifican dicha propiedad.
Temprano en el desarrollo de la teoría de conjuntos se descubrió
que esta intuición conducía a contradicciones y que debía descartarse.
A fines del siglo pasado, el matemático inglés Bertrand Russell dió
con la siguiente paradoja. Consideremos el conjunto R definido por la
propiedad “un objeto pertenece al conjunto R si y sólo si no pertenece
a si mismo”. En símbolos 1
R = {x : x ∈ x}.
La pregunta entonces es ¿pertenece R a R?, o en símbolos, ¿R ∈ R?.
Si la respuesta es afirmativa, entonces R verifica la propiedad que define
a R, o sea, R ∈ R. Si la respuesta es negativa, entonces, por definición,
R ∈ R. En cualquier caso obtenemos la contradicción
R ∈ R ↔ R ∈ R .
La paradoja de Russell (y otras) nos dice que el concepto de “propiedad”es
más delicado de lo que suponemos y que definitivamente no
debe corresponder a lo que llamamos un conjunto. Debemos tomar
medidas para evitar que esta paradoja y ninguna otra se produzca en
nuestra teoría.
Sin embargo, la noción de que a cada propiedad debería corresponder
la colección de objetos que la verifican o “extensión”de la propiedad,
tiene fuerte arraigo en nuestra intuición. Algunos matemáticos no han
querido deshacerse de ella y han elaborado teorías bastante complejas,
que incluyen dos tipos de objetos, conjuntos y clases propias. Deciamos
antes que lo que caracteriza a los conjuntos es sus elementos y
por ende para poder afirmar que algo es un conjunto, es preciso ser capaz
de determinar exactamente cuales son los elementos de dicho conjunto.
Las clases son las extensiones de propiedades. Si ésta pertenece
a otra clase, entonces decimos que es un conjunto, si no, hablamos de
1 Supondremos que el lector está familiarizado con la terminología y simbología
conjuntista pero lo prevenimos de que estos tendrán un sentido muy preciso en
nuestra teoría y el que, a veces, difiere del popularizado en la enseñanza básica y
media.
6

una clase propia. Es decir, las clases propias son las extensiones de
una propiedad que de alguna manera son “demasiado grandes”, no las
podemos aprehender. Ejemplos de estas últimas son la clase R definida
anteriormente o la clase V formada por todos los conjuntos (o clase
universal).
En nuestra teoría, ZF, no existen las clases propias, sólo conjuntos.
Esto implica que, por ejemplo, no podemos hablar de la clase R. Sin
embargo, la situación no es tan mala como parece. Si bien no podemos
hablar de R, nada nos impide hablar de la propiedad x ∈ x. Así,
aunque no podemos afirmar “a ∈ R ′′ (porque R no existe dentro de la
teoría), podemos perfectamente decir a ∈ a que significa lo mismo. En
otras palabras, si queremos hablar de una clase propia, en ZFdebemos
hacerlo mediante la propiedad que la define.
La noción de “propiedad” no la hemos definido pero de lo anterior
se desprende que es central en nuestro estudio. Vamos a continuación
a definir este concepto.
Como dijimos, una teoría axiomática se desarrolla a partir de ciertos
enunciados o axiomas mediante la aplicación de reglas lógicas. Por
ello, es fundamental que el lenguaje usado sea lo más preciso posible.
Esto se logra mediante la formalización del lenguaje. Sólo aquellas
expresiones escritas en éste serán aceptables en nuestra teoría y representaran
propiedades.
No es el propósito de este texto introducir al lector a la Lógica
Matemática. Tampoco suponemos que éste sepa lógica más allá de los
conocimientos que se aprende en un curso universitario de Introducción
al Algebra o similar. Cierta madurez matemática es desde luego necesaria
para mantener la fluidez de las demostraciones. Usaremos por lo
tanto un estilo semi formal el que, por un lado, es habitual en el tema
y por el otro, no apabulla al lector con un rigor tedioso y excesivo.
1. El Lenguaje Formalizado L
Un lenguaje formalizado está constituido por un conjunto de símbolos
básicos y por reglas que nos permiten formar expresiones más complicadas
a partir de esos símbolos originales.
Los símbolos de L serán:
1. Variables: x, y, z, X, Y, Z, x1, x2, . . . , en general, las últimas letras
del alfabeto latino, minúsculas o mayúsculas, con o sin
subíndices. Su significado es el habitual en matemáticas y su
rango son los conjuntos.
2. Constantes: a, b, c, A, B, C, . . . , en general, las primeras letras
del alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntos específicos.
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3. Símbolo de pertenencia: ∈
4. Símbolo de igualdad: =
5. Conectivos lógicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔, es decir, los símbolos habituales
para la negación, disyunción, conjunción, implicación y
equivalencia.
6. Cuantificadores: ∀, ∃, con su significado habitual.
7. Paréntesis: ( , ). Usados como signos de puntuación.
Cualquier cadena finita formada por estos símbolos es una expresión
del lenguaje, pero no toda expresión es aceptable o significativa. Sólo
aceptaremos aquellas a las que llamaremos fórmulas de L.
Una fórmula de L es una expresión de L construida como sigue:
1. X ∈ Y, X = Y son fórmulas de L para cualquiera dos variables
o constantes X e Y no necesariamente distintas.
La primera se lee X pertenece a Y o bien Y contiene a
X y la segunda X es igual a Y . Su significado intuitivo es el
obvio. Estas se llamarán fórmulas atómicas.
2. Si ϕ y ψ son fórmulas de L , entonces también lo son (ϕ ∨
ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ).
Estas fórmulas corresponden respectivamente a la disyunción,
conjunción, implicación y equivalencia de ϕ y ψ.
3. Si ϕ es una fórmula de L , entonces ¬ϕ también es una fórmula
de L .
La fórmula ¬ϕ corresponde a la negación de ϕ . También
usaremos los símbolos auxiliares X /∈ Y y X = Y para escribir
¬(X ∈ Y ) y ¬(X = Y ), respectivamente.
4. Si ϕ es una fórmula de L y x es una variable, ∀xϕ, ∃xϕ son
fórmulas de L .
Estas se leen cualquier conjunto x verifica ϕ y existe (por
lo menos) un conjunto x que verifica ϕ , respectivamente. Su
significado es también evidente.
Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicación de (un
número finito de) estas reglas es una fórmula de L .
Si ϕ es una fórmula de L y x una variable que aparece en ϕ ,
decimos que x aparece ligada en ϕ si su aparición se produce bajo
la influencia de un cuantificador ∀x o ∃x. En caso contrario decimos
que x aparece libre en ϕ . Por ejemplo, en ∀x x ∈ y, la variable x
aparece ligada pero y aparece libre y en ∃x(x ∈ y ∨ ∀z x ∈ z), las
variables x y z aparecen ligadas e y aparece libre.
Una fórmula que no contiene variables libres se llama una oración.
Una oración de L es siempre verdadera o falsa (¡pero puede ser que no
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seamos capaces de determinar cuál de las dos se cumple!). Una oración
hace una afirmación acerca de los conjuntos a los que se refiere, una
fórmula que contiene variables libres no hace ninguna afirmación, pero
si asignamos interpretaciones a sus variables libres, entonces sí estaremos
afirmando algo. A menudo escribiremos ϕ(x1, x2, . . . , xn) para
dejar en claro que las variables libres de ϕ están entre x1, x2, . . . , xn.
Como hemos dicho, sólo aceptaremos fórmulas de L para hablar de
objetos y hacer afirmaciones en ZF. Sin embargo, la expresión en L de
conceptos bastante sencillos puede resultar increiblemente complicada.
Así, aceptaremos abreviaciones que faciliten la lectura. Por ejemplo el
concepto de subconjunto se denota x ⊆ y se puede expresar en terminos
de los símbolos básicos de L mediante:
x ⊆ y ssi ∀z(z ∈ x → z ∈ y).
Entonces, como ya sabemos que x ⊆ y puede escribirse en el lenguaje L,
permitiremos el símbolo ⊆ en nuestras fórmulas. Lo mismo sucederá
con otros símbolos. Más aún, en general usaremos expresiones del
castellano y no su formalización en L para trabajar con el concepto
intuitivo y no con la a menudo ilegible fórmula de L . Lo importante
es que dicha traducción sea posible para que, llegado el caso, podamos
hacer una demostración rigurosa de nuestras afirmaciones.
2. Los Axiomas de la Teoría ZF. Conceptos Fundamentales
A1. Axioma de Extensionalidad:
“Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de
Y es un elemento de X , entonces X es igual a Y ”.
Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos,
entonces son iguales. Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un
conjunto son sus elementos.
En L , este axioma se escribe
∀X∀Y (∀z(z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y ).
Definición 1.1. Decimos que X es subconjunto de Y , en símbolos,
X ⊆ Y , si y sólo si todo elemento de X es un elemento de Y . O sea,
X ⊆ Y ↔ ∀x(x ∈ X → x ∈ Y ).
Con esta definición A1 puede escribirse más abreviadamente
∀X∀Y (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X → X = Y ).
A2. Axioma del conjunto vacío:
“Existe un conjunto que no contiene ningún elemento”.
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En L escribimos
∃X∀x x ∈ X.
Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al
menos un conjunto.
Lema 1.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento.
Demostración. Supongamos que existen dos conjuntos distintos
a y b ambos sin elementos.
Por A1 ∃x((x ∈ a ∧ x ∈ b) ∨ (x ∈ b ∧ x ∈ a)), una contradicción.
Luego hay un único conjunto vacío.
Definición 1.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se
llama el conjunto vacío y se le denota ∅ .
Obsérvese que el símbolo ∅ no es la letra griega ϕ .
A3. Axioma de Separación:
“Si ϕ(x) es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces
existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de X
que verifican ϕ(x)”.
En L escribimos ∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ (z ∈ X ∧ ϕ(x)).
Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por
ϕ(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de A formado por
los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto
es único.
Definición 1.3. Si ϕ(x) es una fórmula de L y A un conjunto,
el conjunto cuya existencia está garantizada por A3 se denotará con el
símbolo
{x ∈ A : ϕ(x)}
y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ(x)”.
Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir
el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedad
cualquiera ϕ(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formar
conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos
referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto
dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción
evita que se produzca la paradoja.
Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto
A , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto
R = {x ∈ A : x ∈ x}.
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En este caso tenemos que si R ∈ R, entonces
R ∈ A y R ∈ R,
lo cual es una contradicción, luego R /∈ R, lo que, a diferencia de antes,
no es contradictorio, sólo implica que R /∈ A.
Teorema 1.2. No existe el conjunto de todos los conjuntos.
Demostración. Supongamos que si existe y llamemoslo V . Entonces
en virtud de A3 podemos construir el conjunto de Russell
R = {x ∈ V : x ∈ x}, contradicción.
Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma
sino más bien un esquema. En efecto, para cada fórmula ϕ(x) de
L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de
instancias de este axioma.
A4. Axioma de Pares:
“Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto cuyos únicos
elementos son X e Y ”.
Su expresión en L es
∀X∀Y ∃Z ∀x(x ∈ Z ↔ (x = X ∨ x = Y )).
Resulta claro por A1 que este conjunto es único. Lo denotamos
{X, Y }.
y lo llamamos el par no–ordenado X, Y .
El axioma A1 también garantiza la existencia del conjunto cuyo
único elemento es el conjunto X
{X, X} = {X},
el que a menudo recibe el nombre de singleton X .
A5. Axioma de Uniones:
“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos
son los elementos de los elementos de X ”.
En L escribimos
∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ X)).
Nuevamente por A1, este conjunto es único, se llama la unión de
X y se le denota X.
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Un caso particular que merece una notación especial es el siguiente.
Si X e Y son conjuntos, entonces existe {X, Y }. (¿Por qué ?)
Entonces
x ∈ {X, Y } ↔ (x ∈ X ∨ x ∈ Y ).
{X, Y } se llama la unión de X e Y y se le denota X ∪ Y .
Corresponde al conjunto de todos los conjuntos que pertenecen ya sea
a X o a Y (o a ambos).
Más generalmente, dados los conjuntos X1, X2, . . . , Xn de manera
análoga al caso de la unión de dos conjuntos, definimos
de tal manera que
X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn = {X1, X2, . . . , Xn}.
x ∈ X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ↔ x ∈ X1 ∨ x ∈ X2 ∨ · · · ∨ x ∈ Xn.
El lector seguramente está familiarizado con el concepto de unión
de dos o de una cantidad finita de conjuntos, el axioma A5 generaliza
este concepto a la unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de
conjuntos. Observemos que para definir la unión de dos conjuntos son
necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el Axioma de
Extensionalidad (para garantizar unicidad).
Usando la definición de unión de dos conjuntos, podemos también
definir triples no–ordenados
{x, y, z} = {x, y} ∪ {z}
y, en general, iterando el proceso, podemos definir n–tuplas no–ordenadas
{x1, x2, . . . , xn}.
Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de
un conjunto no–vacío X , en símbolos, X, definida por
X = {x ∈ X : ∀y(y ∈ X → x ∈ y)}.
Observemos que en virtud de A5 y de A3, X es efectivamente un
conjunto. ¿Por qué debemos exijir que X sea no–vacío?
La intersección de dos conjuntos X e Y , X ∩ Y , se define por
y en general
X ∩ Y = {X, Y }
X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn = {X1, . . . , Xn}.
En rigor, para definir x ∩ y no necesitamos A5. ¿Cómo podríamos
hacerlo?
Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si
X ∩ Y = ∅.
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A6. Axioma del Conjunto Potencia:
“Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los
subconjuntos de X ”.
Esto es
∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ z ⊆ X))
(En rigor deberiamos excribir
∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ X))
sin embargo, como la lectura de la fórmula se complica bastante y
ya sabemos cómo definir ⊆ usando sólo ∈ y los símbolos lógicos,
preferimos la escritura abreviada).
Creemos que este axioma se explica por sí mismo.
El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa
por PX y se llama el conjunto potencia de X .
A7 Axioma de Regularidad:
“Todo conjunto no vacío contiene un elemento con el que no comparte
ningún elemento.”
En L escribimos
∀x(x = ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)).
A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este
axioma impide la existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso
a ∈ b ∈ a , o a ∈ c ∈ b ∈ a , etc. Como veremos en su oportunidad,
intuitivamente este axioma dice que ∈ , considerada como una relación
entre conjuntos,verifica una condición análoga a la del orden de los
números naturales, ésta es, que todo conjunto no vacío tiene un menor
elemento.
Teorema 1.3. i) ∀x x ∈ x.
ii) ∀x ∀y(x ∈ y ∨ y ∈ x).
iii) En general, no existen a1, a2, . . . , an tales que a1 ∈ a2 ∈ · · · ∈
an ∈ a1.
iv) No existen conjuntos a1, a2, a3, . . . , an, . . . tales que
· · · ∈ an ∈ · · · ∈ a2 ∈ a1.
Demostración. i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a ,
entonces A = {a} contradice a A7.
ii) Idem i) con A = {x, y}
iii) Idem i) con A = {a1, a2, . . . , an}.
iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisamente
a1, a2, a3, . . . . Llamemoslo A . Entonces A contradice a
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A7 ya que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para algún
m , am+1 ∈ am y am+1 ∈ X, o sea y ∩ X = ∅.
El problema entonces se reduce a verificar que existe tal conjunto
A. Sin embargo para poder hacerlo no bastan los axiomas que tenemos
hasta ahora, necesitamos dos axiomas más. La demostración deberá
posponerse hasta entonces. (Ver ejercicio 7.)
Aunque la mayor parte de las matemáticas puede desarrollarse sin
el axioma de regularidad es más cómodo contar con él.
A8. Axioma del Conjunto Infinito: “Existe un conjunto que
tiene infinitos elementos”.
Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresión que
no es muy transparente.
∃X(∅ ∈ X ∧ ∀y(y ∈ X → y ∪ {y} ∈ X).
Es claro que el conjunto así formado es intuitivamente infinito, basta
verificar que contiene a los siguientes conjuntos
∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .
por supuesto que habría que demostrar además que todos estos conjuntos
son distintos.
Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes
un cierto tipo de fórmula de L . Una fórmula ϕ(x, y) de L con dos
variables libres x e y se dirá función proposicional si para todo conjunto
a existe un único conjunto b tal que ϕ(a, b) se verifica. Ejemplos de
éstas son las fórmulas ϕ(x, y) siguientes:
y = ∪x,
y = Px,
donde a es un conjunto fijo, etc.
y = x ∪ {x},
y = x ∩ a,
A9. Axioma de Reemplazo:
“Si ϕ(x, y) es una función proposicional y A es un conjunto,
entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ(a, b)
para algún a ∈ A”.
Expresado en L , tenemos
∀X∃Y ∀y(y ∈ Y ↔ ∃x(x ∈ X ∧ ϕ(x, y))).
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De hecho, este axioma parece más complicado de lo que es. La
idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo
dominio es A , f[A] = {f(x) : x ∈ A}, es también un conjunto. El
problema se suscita cuando vemos que en nuestra teoría la “función”
x ↦−→ Px
no es, como veremos formalmente más adelante, un objeto de nuestra
teoría, es decir, no es un conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos
una clase propia. Como ya hemos dicho antes, nuestro lenguaje
nos permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define,
lo que para los efectos prácticos es casi lo mismo. Así, ϕ(x, y) no
es una función dentro de nuestra teoría sino más bien una regla que nos
permite asociar a cada elemento de un conjunto A un único elemento.
Algunos matemáticos llaman a la fórmula que define una función, su
gráfico. Siguiendo con esta nomenclatura, el problema aquí es que el
dominio de esta función es la clase de todos los conjuntos que, como
ya vimos, no es un conjunto. Sin embargo, cuando restringimos dicho
“dominio” a un conjunto A , A9 garantiza que existe el recorrido de la
función.
Esta lista de axiomas conforman ZF. Junto con el Axioma de
Elección, que estudiaremos en el capítulo 3, son suficientes para desarrollar
casi toda la matemática. Inmediatamente se nos ocurren varias
preguntas ¿son estos axiomas independientes entre sí ? Es decir, ¿no
pueden obtenerse unos de otros? La respuesta es no, el axioma de pares
puede obtenerse a partir de los axiomas de reemplazo y del conjunto
potencia. Por su parte el axioma del conjunto vacío puede obtenerse a
partir del axioma de especificación y del axioma del conjunto infinito
(habría que darle otra formulación a este último).
El problema de la independencia del axioma de elección del resto
de los axiomas es mucho más complicado. Fue resuelto positivamente
por K. Gödel (1940).
Más importante aún es el problema de la consistencia, es decir,
¿es posible deducir una contradicción a partir de estos axiomas? Este
problema no se ha resuelto y no parece probable que vaya a resolverse
debido a los resultados de Gödel en 1930. Por supuesto no se ha descubierto
ninguna contradicción (de no ser así, no tendría sentido el
estudio de esta teoría) y se estima que sí son consistentes.
El otro problema que surge naturalmente es el de la completud de
este sistema de axiomas. Es decir, ¿son suficientes estos para deducir
todos los teoremas posibles sobre conjuntos? La respuesta es también
no. Mas aún, sabemos (nuevamente en virtud de los trabajos de K.
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Gödel en 1930) que no puede completarse, es decir, aunque agreguemos
una lista de infinitos axiomas a ZF, seguirá siendo incompleto, es decir,
siempre existirá una fórmula ϕ tal que ni ϕ ni ¬ϕ puede demostrarse
a partir de esa lista.
Todos estos problemas requieren de conocimientos de Lógica Matemática
y están fuera del alcance de esta obra. Nos parece interesante
eso sí mencionarlos para que el lector investigue por su cuenta.
Ejercicios.
1. Demuestre que el axioma de pares puede ser reemplazado por el
axioma más débil:
“Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto los contiene
a ambos”.
2. Demuestre que el axioma de uniones puede ser reemplazado por
el axioma más débil:
“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene
a todos los elementos de los elementos de X ”.
3. Demuestre que el axioma del conjunto potencia puede ser reemplazado
por el axioma más débil:
“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene
a todos los subconjuntos de X ”.
4. Demuestre que el Axioma de Pares puede obtenerse a partir de
los axiomas de Reemplazo y del Conjunto Potencia.
5. Demuestre el Axioma del Conjunto Vacío a partir de de los otros
axiomas y el nuevo axioma “Existe un conjunto infinito”.
6. Indique cómo definir x ∩ y sin usar el axioma A5.
7. Use el axioma de reemplazo y el de conjunto infinito para demostrar
que el conjunto A definido en la demostración del teorema
1.3 existe.
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CAPITULO 2
Teoría Elemental
En este capítulo formalizaremos y profundizaremos las nociones de
la teoría intuitiva de conjuntos que el lector probablemente ha estudiado
en cursos de Algebra, Geometría u otros. Por tratarse de material
familiar, la mayoría de las demostraciones se dejarán como ejercicio.
Debemos cuidarnos eso sí de no dar a las intuiciones el carácter de
teoremas y demostrar cuidadosamente todas nuestras afirmaciones a
partir de los axiomas.
Una de las dificultades que enfrenta el principiante en Teoría Axiomática
de Conjuntos es precisamente ese conocimiento intuitivo del
tema. En nuestra teoría todo es un conjunto, así los elementos de un
conjunto son a su vez, conjuntos que contienen elementos que a su vez
son conjuntos. Es decir, la familiar distinción entre elemento y conjunto
no existe y si se dice por ejemplo “ a es elemento de b ” es sólo para
enfatizar que a y b satisfacen a ∈ b, pero no para separar a a y b en
dos categorías distintas. Así, un mismo conjunto puede jugar ambos
papeles en distintas situaciones, por ejemplo:
∅ ∈ {∅}
{∅} ∈ {∅, {∅}}.
Lo mismo puede decirse de pares ordenados, relaciones, funciones
etc, etc, todo ente del cual hablemos será un conjunto.
1. Operaciones
En el capítulo anterior hemos definido las operaciones x ∪ y y
x ∩ y. Definiremos ahora una tercera operación
Definición 2.1. Dados dos conjuntos a y b definimos el complemento
relativo de b con respecto a a , o su diferencia como sigue
a − b = {x ∈ a : x /∈ b}.
Notese que en virtud de A3, a − b es un conjunto.
Como lo demuestra la siguiente proposición, la noción de complemento
de un conjunto a , es decir, el conjunto de aquellos conjuntos
que no pertenecen a a , no puede definirse en ZF.
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Teorema 2.1. No existe el “complemento”, de ningún conjunto.
Demostración. Sea a un conjunto. Si existiera su complemento
llamémoslo a ′ , entonces en virtud de A5, a ∪ a ′ sería un conjunto,
pero a ∪ a ′ = V , la clase de todos los conjuntos que, como vimos, no
es un conjunto.
El siguiente teorema nos da las propiedades de estas tres operaciones.
Teorema 2.2. (Algebra de Conjuntos).
Para todo conjunto a, b, c :
i) Asociatividad
a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c ,
a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c .
ii) Conmutatividad
a ∪ b = b ∪ a ,
a ∩ b = b ∩ a .
iii) Idempotencia
a ∪ a = a ,
a ∩ a = a .
iv) Absorción
a ∪ (a ∩ b) = a ,
a ∩ (a ∪ b) = a .
v) Neutro
a ∪ ∅ = a ,
a ∩ ∅ = ∅ .
vi) Distributividad
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∩ c) ,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) .
vii) Leyes de De Morgan
a − (b ∪ c) = (a − b) ∩ (a − c) ,
a − (b ∩ c) = (a − b) ∪ (a − c) .
viii) a − a = ∅
ix) a = (a ∩ b) ∪ (a − b)
Demostración. Ejercicio
La relación a ⊆ b se relaciona con las otras operaciones como sigue.
Teorema 2.3. Para todo conjunto a, b, c, d.
i) a ∩ b ⊆ a y a ∩ b ⊆ b.
ii) Si c ⊆ a y c ⊆ b, entonces c ⊆ a ∩ b.
iii) a ⊆ b si y sólo si a ∩ b = a.
18

iv) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∩ b ⊆ c ∩ d.
v) a ⊆ a ∪ b y b ⊆ a ∪ b.
vi) Si a ⊆ c y b ⊆ c, entonces a ∪ b ⊆ c.
vii) a ⊆ b si y sólo si a ∪ b = b.
viii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∪ b ⊆ c ∪ d.
Demostración. Ejercicio.
Algunas propiedades del conjunto potencia de un conjunto son interesantes.
Teorema 2.4. Para todo conjunto a, b:
i) ∅ ∈ Pa y a ∈ Pa.
ii) P∅ = {∅}.
iii) Si a ⊆ b, entonces Pa ⊆ Pb.
iv) Pa ∪ Pb ⊆ P(a ∪ b).
v) Pa ∩ Pb = P(a ∩ b).
vi) P(a − b) ⊆ (Pa − P(b)) ∪ {∅}.
Demostración. A modo de ejemplo demostraremos vi). El resto
queda como ejercicio.
Sea x ∈ P(a − b), es decir, x ⊆ a − b.
Si x = ∅, entonces x ∈ (Pa − Pb) ∪ {∅}.
Si x = ∅, entonces para todo z ∈ x, z ∈ a y z /∈ b, o sea, x ⊆ a
y x ⊆ b, luego x ∈ Pa − Pb.
Ejercicios.
1. Determine si a pertenecea , es subconjunto, o ni pertenece ni es
subconjunto de alguno de los siguientes conjuntos.
(a) {{a}, a} ,
(b) a ,
(c) ∅ ∩ a ,
(d) {a} − {{a}} ,
(e) {a} ∪ a ,
(f) {a} ∪ {∅} .
2. Sea a un conjunto. Si para todo conjunto b se tiene a ∪ b = b,
probar que a = ∅ .
19

3. Demostrar que :
(a) {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a, b, c, d, e, f} .
(b) {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a} .
(c) {a} = a = {a} , para todo conjunto a .
(d) ( a) ∩ ( b) = (a ∩ b) .
4. Probar que:
(a) Si a ∩ c = ∅ , entonces a ∩ (b ∪ c) = a ∩ b .
(b) Si a ∩ b = ∅ , entonces a − b = a .
(c) Si a ∩ b = ∅ y a ∪ b = c , entonces a = c − b.
(d) a ∩ (b − c) = (a ∩ b) − c .
(e) (a ∪ b) − c = (a − c) ∪ (b − c) .
(f) Si a ∪ b = ∅ , entonces a = ∅ y b = ∅ .
5. Definamos 0 = ∅ , 1 = 0 ∪ {0} , 2 = 1 ∪ {1} , 3 = 2 ∪ {2} ,
4 = 3 ∪ {3}. Entonces:
(a) Probar que 0 , 1 , 2 , 3 y 4 son conjuntos.
(b) Expresar 0 , 1 , 2 , 3 y 4 usando sólo los símbolos “ { ” ,
“ } ” , “ ∅ ” y “ , ” .
(c) Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
(i) 1 ∈ 2 (ii) 1 ∩ 2 = 0 (iii) (0 ∩ 2) ∈ 1
(iv) 1 ⊆ 2 (v) 1 ∪ 2 = 2 (vi) 3 ⊆ 3
(vii) 4 ∈ 4
(d) Expresar los siguientes conjuntos usando los conjuntos 0,
1, 2, 3 y 4. Simplifique.
∅ , P∅ , ∅ , PP∅ , ∅ , PPP∅.
(e) Si a = {{2, 3}, 4, {4}} , encontrar ( a − 4) .
(f) Construir (P2 − 2) .
(g) Si a = {{1, 2}, {2, 0}, {1, 3}} , construir:
a , a , a , a , a , a.
6. Dar contraejemplo de P(a ∪ b) = Pa ∪ Pb .
7. Probar que:
(a) Pa = a .
(b) a ⊆ P a .
(c) No es cierto que si a ∈ b, entonces Pa ∈ Pb .
(d) Si a ∈ b, entonces Pa ∈ PP a .
(e) {Px : x ∈ a} ⊆ P a.
(f) {∅, {∅}} ∈ PPPa , para todo conjunto a .
(g) Si Pa = Pb, entonces a = b .
8. Se define a+b = (a−b)∪(b−a) , para a y b conjuntos. Probar
que si a, b , c son conjuntos, entonces:
(a) a + ∅ = a
(b) a + a = ∅
20

(c) a + (b + c) = (a + b) + c
(d) a ∩ (b + c) = (a ∩ b) + (a ∩ c)
(e) a − b ⊆ a + b
(f) a = b si y sólo si a + b = ∅
(g) Si a + c = b + c , entonces a = b
(h) a ∪ c = b ∪ c si y sólo si a + b ⊆ c
(i) (a ∪ c) + (b ∪ c) = (a + b) − c
9. Sean
a = {x ∈ Z : x es divisible por 4}
b = {x ∈ Z : x es divisible por 9}
c = {x ∈ Z : x es divisible por 10}
(a) Describir a ∩ b ∩ c .
(b) Sean n , m ∈ Z. Si
d = {x ∈ Z : x es divisible por n}
e = {x ∈ Z : x es divisible por m},
describa d ∩ e . ¿ Qué pasa si m y n son números primos?
¿ Qué pasa si m = −n ?
10. Probar que si a, b , c son conjuntos, entonces
(a ∩ b) ∪ c = a ∩ (b ∪ c) si y sólo si c ⊆ a.
11. Para las siguientes oraciones, dar una demostración o un contraejemplo:
(a) (a − b) − c = a − (b − c) .
(b) Si a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c .
(c) Si a ∪ b = a ∪ c y a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c .
(d) a − b = (a ∪ b) − b = a − (a ∩ b) .
(e) a ∩ b = a − (a − b) .
(f) a − (b − c) = (a − b) ∪ (a ∩ c) .
(g) a − b = b − a .
(h) a ∩ (a − b) = (a − b) .
(i) (a − b) ∪ b = a ∪ b .
(j) (a ∩ b) − b = ∅ .
(k) (a − b) ∩ b = ∅ .
12. Probar que la inclusión ⊆ de conjuntos cumple:
(a) a ⊆ a ( reflexividad );
(b) Si a ⊆ b y b ⊆ a , entonces a = b ( antisimetría );
(c) Si a ⊆ b y b ⊆ c , entonces a ⊆ c ( transitividad ).
13. Si a ⊆ b y b ⊆ c y c ⊆ a, probar que
a = b = c.
21

14. Si b ⊆ a y c ⊆ a , probar que
b ⊆ c si y sólo si (a − c) ⊆ (a − b).
15. Sean b, c, d subconjuntos del conjunto a. Abreviaremos “a−x”
por “ x ′ ” . Probar o dar contraejemplo de:
(a) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c ′ = ∅
(b) b ⊆ c si y sólo si b ′ ∩ c = ∅
(c) b ⊆ c si y sólo si b ′ ∪ c = a
(d) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c ′ ⊆ b ′
(e) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c ′ ⊆ c
(f) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c ′ ⊆ d ∩ d ′
16. Probar o dar contraejemplo de:
(a) a ⊆ b ∩ c si y sólo si a ⊆ b y a ⊆ c
(b) b ∪ c ⊆ a si y sólo si b ⊆ a y c ⊆ a
(c) Si a ⊆ b ∪ c , entonces a ⊆ b ó a ⊆ c
(d) Si b ∩ c ⊆ a , entonces b ⊆ a ó c ⊆ a
17. Probar:
(a)
Si para
todo c ∈ a existe d ∈ b tal que c ⊆ d, entonces
a ⊆ b
(b) {c : c = {x}−b y x ∈ a} = ( {c : c = {x} y x ∈ a})−b
(c)
x = a
(d)
(e)
(f) Si d = ∅, entonces
x∈a
x = a
x∈a
a ∩ ( b) =
(a ∩ c)
c∈b
a ∪ b =
(a ∪ c).
c∈b
18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.2.
19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.3.
20. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.4.
22

2. Relaciones
Vamos ahora a introducir algunos conceptos matemáticos familiares,
como par ordenado, relación, función, etc. Debemos tener especial
cuidado de que estos sean conjuntos en virtud de algún axioma de
ZF. Por otra parte, también queremos que estos conjuntos se comporten
como los objetos con que trabaja el matemático a quien no
preocupan los problemas de fundamento.
Definición 2.2. Dados dos conjuntos a y b llamamos par ordenado
a, b al siguiente conjunto.
〈a, b〉 = {{a}, {a, b}}.
a y b se llaman la primera y segunda coordenada de 〈a, b〉 , respectivamente.
Notemos que 〈a, b〉 es efectivamente un conjunto. Para justificarlo,
basta usar dos veces el axioma de pares.
En el par no ordenado {a, b} no podemos distinguir ambos elementos
ya que {a, b} = {b, a} (¿por qué?). En cambio, los elementos
del par ordenado 〈a, b〉 si y sólo si son distinguibles, es decir, si y sólo
si sabemos cuál es el primero y cuál es el segundo. Este es el contenido
del próximo teorema.
Teorema 2.5. Si 〈a, b〉 = 〈c, d〉 , entonces a = c y b = d.
Demostración. Supongamos que 〈a, b〉 = 〈c, d〉 , ésto es,
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.
Si a = b, tenemos {{a}} = {{c}, {c, d}}, entonces {a} = {c} =
{c, d}, o sea a = b = c = d. (¿Qué axiomas hemos usado?).
Si a = b, {a} = {c} o {a} = {c, d}.
En el primer caso, tenemos a = c y como {a, b} ∈ {{c}, {c, d}} y
a = b, {a, b} = {c, d} luego a = c y b = d.
En el segundo caso, a = c = d , luego {a, b} ∈ {{a}}, o sea b = a ,
contradicción, o sea, este segundo caso no se puede dar. Por lo tanto,
si 〈a, b〉 = 〈c, d〉, entonces
a = c y b = d.
Podemos ahora definir triples ordenados y, en general, n-tuplas ordenadas.
〈a, b, c〉 = 〈〈a, b〉, c〉
〈a, b, c, d〉 = 〈〈a, b, c, 〉, d〉
〈a1, a2, . . . , an〉 = 〈〈a1, . . . , an−1〉, an〉.
23

Lema 2.6. Si a ∈ A y b ∈ A, 〈a, b〉 ∈ PPA.
Demostración. Ejercicio.
Definición 2.3. Llamaremos producto cartesiano de los conjuntos
a y b al conjunto
a × b = {z ∈ PP(a ∪ b) : ∃x∃y(x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z = 〈x, y〉)}.
Notemos que por el axioma de especificación de clases y el axioma
del conjunto potencia, a × b es un conjunto.
Usaremos en general una notación informal aunque más intuitiva
a × b = {〈x, y〉 : x ∈ a ∧ x ∈ b}.
Podemos también introducir productos cartesianos triples y cuadruples
etc., de la manera obvia, por ejemplo
a × b × c = {〈x, y, z〉 : x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z ∈ c}
Algunas propiedades de los productos cartesianos están resumidas
en el siguiente teorema.
Teorema 2.7. Para conjunto a, b , c , d ,
i) a × ∅ = ∅ × a = ∅.
ii) Si a = ∅ y b = ∅, entonces a × b = ∅.
iii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a × b ⊆ c × d.
iv) a × (b ∪ c) = a × b ∪ a × c.
v) a × (b ∩ c) = a × b ∩ a × c.
vi) a × (b − c) = a × b − a × c
Demostración. Ejercicio.
Definición 2.4. Un conjunto R es una relación si todos sus elementos
son pares ordenados.
Definimos también el dominio de R
el recorrido de R
y el campo de R ,
Dom R = {x ∈ R : ∃y〈x, y〉 ∈ R},
Rec R = {y ∈ R : ∃x〈x, y〉 ∈ R}
Cam R = Dom R ∪ Rec R.
Si Dom R ⊆ A y Rec R ⊆ B, decimos que R es una relación
entre A y B o una relación de A en B .
24

Es claro que tanto Dom R como Rec R son conjuntos (¿qué axiomas
usamos?). Lo que no es tan claro es que estos conjuntos correspondan
a la idea informal que tenemos del dominio, es decir, el conjunto
de las primeras coordenadas de los pares que están en la relación, y
recorrido, el conjunto de las segundas coordenadas de los pares que
están en la relación. Basta para ello comprobar que, efectivamente,
ambas coordenadas de los pares que pertenecen a una relación R están
en R. Esto es fácil ya que para 〈a, b〉 ∈ R; a, b ∈ {a, b} ∈
〈a, b〉 ∈ R, lo que implica por definición de unión que
o sea,
o sea,
{a, b} ∈ R ,
a, b ∈ {a, b} ∈ R,
a, b ∈ R.
Definición 2.5. La composición de dos relaciones R y S es la
relación
S ◦R = {u ∈ Dom R×Rec S : u = 〈x, y〉∧∃z(〈x, z〉 ∈ R∧〈z, y〉 ∈ S)}
y la relación inversa de R
y
R −1 = {u ∈ Rec R × Dom S : u = 〈x, y〉 ∧ 〈y, x〉 ∈ R}.
En general escribimos más informalmente
S ◦ R = {〈x, y〉 : ∃z(〈x, z〉 ∈ R ∧ 〈z, y〉 ∈ S)}
R −1 = {〈y, x〉 : 〈x, y〉 ∈ R}.
Es claro que S ◦ R y R −1 son conjuntos.
Teorema 2.8. Si R , S y T son relaciones, entonces
i) (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).
ii) (S ∪ T ) ◦ R = (S ◦ R ∪ T ◦ R), y T ◦ (S ∪ R) = (T ◦ S ∪ T ◦ R).
iii) (S ∩ T ) ◦ R ⊆ (S ◦ R ∩ S ◦ T ), y T ◦ (S ∩ R) ⊆ (T ◦ S ∩ T ◦ R).
iv) Si R ⊆ S, entonces T ◦ R ⊆ T ◦ S y R ◦ T ⊆ S ◦ T.
v) (R −1 ) −1 = R.
vi) (S ◦ R) −1 = R −1 ◦ S −1 .
Demostración. iii) Sea 〈x, y〉 ∈ (S ∩ T ) ◦ R, entonces existe
z tal que 〈x, z〉 ∈ S ∩ T y 〈z, y〉 ∈ R.
25

Esto implica que existe z tal que 〈x, z〉 ∈ S y 〈z, y〉 ∈ S,
vale decir, 〈x, y〉 ∈ S ◦R, pero además, 〈x, z〉 ∈ T y 〈z, y〉 ∈ R,
o sea, 〈x, y〉 ∈ T ◦ R, o sea,
(S ∩ T ) ◦ R ⊆ (S ◦ R) ∩ (T ◦ R).
Para ver que la inclusión anterior no es una identidad basta
dar un ejemplo en el que la inclusión inversa es falsa. Considérese
R = {〈a, b〉, 〈a, a, 〉}, S = {〈b, a〉}, T = {〈a, a〉},
donde a = b. Entonces S ∩ T = ∅, luego (S ∩ T ) ◦ R = ∅.
Sin embargo, como 〈a, b〉 ∈ R y 〈b, a〉 ∈ S, 〈a, a〉 ∈ S ◦ R
y como 〈a, a〉 ∈ R y 〈a, a〉 ∈ T, 〈a, a〉 ∈ T ◦ R, o sea,
〈a, a〉 ∈ S ◦ R ∩ T ◦ R, luego S ◦ R ∩ T ◦ R = ∅.
vi) Sea 〈x, y〉 ∈ (S ◦ R) −1 . Entonces 〈y, x〉 ∈ S ◦ R, o sea, existe
z tal que 〈y, z〉 ∈ R y 〈z, x〉 ∈ S, es decir, existe z tal que
〈x, z〉 ∈ S −1 y 〈z, y〉 ∈ R −1 , o sea, 〈x, y〉 ∈ R −1 ◦ S −1 , luego
(S ◦ R) −1 ⊆ R −1 ◦ S −1
La inclusión inversa se demuestra en forma análoga y se deja
como ejercicio.
El próximo teorema nos da las principales propiedades del dominio
y del recorrido de una relación.
Teorema 2.9. Sean R , S relaciones.
i) Dom (R ∪ S) = Dom R ∪ DomS.
ii) Rec (R ∪ S) = Rec R ∪ Rec S.
iii) Dom (R ∩ S) ⊆ Dom R ∩ DomS.
iv) Rec (R ∩ S) ⊆ Rec R ∩ Rec S.
v) DomR − DomS ⊆ Dom(R − S).
vi) Rec R − Rec S ⊆ Rec(R − S).
vii) Si R ⊆ S, entonces Dom R ⊆ Dom S y Rec R ⊆ Rec S.
viii) Dom R −1 = Rec R y Rec R −1 = Dom R.
ix) Dom S ◦ R ⊆ Dom R y Rec S ◦ R ⊆ Rec S.
vii) Cam R = Cam R −1 .
viii) Cam (S ◦ R) ⊆ Dom R ∪ Rec S.
Demostración. Ejercicio.
La siguiente operación será muy importante especialmente cuando
tratemos con funciones.
26

Definición 2.6. Si R es una relación y a un conjunto la imagen
de a por R es el conjunto.
R ∗ a = {y ∈ Rec R : ∃x(x ∈ a ∧ 〈x, y〉 ∈ R)}.
Las principales propiedades de ∗ están resumidas en el siguiente
teorema.
Teorema 2.10. Sean R , S relaciones y a y b conjuntos.
i) ∅ ∗ a = ∅.
ii) R ∗ ∅ = ∅.
iii) R ∗ (a ∪ b) = R ∗ a ∪ R ∗ b.
iv) R ∗ (a ∩ b) ⊆ R ∗ a ∩ R ∗ b.
v) R ∗ a − R ∗ b ⊆ R ∗ (a − b).
vi) Si a ⊆ b, entonces R ∗ a ⊆ R ∗ b.
vii) (S ◦ R) ∗ a = S ∗ (R ∗ a).
viii) Dom(S ◦ R) = R −1∗ (DomS) y Rec(S ◦ R) = S ∗ (Rec R).
ix) R ∗ a ⊆ Rec R.
Demostración. iv)
x ∈ R ∗ (a ∩ b) ⇔ ∃y(y ∈ a ∩ b ∧ 〈y, x〉 ∈ R)
viii)
⇒ ∃y(y ∈ a ∧ 〈y, x〉 ∈ R) ∧ ∃y(y ∈ b ∧ (y, x) ∈ R)
⇔ x ∈ R ∗ a ∧ x ∈ R ∗ b
⇔ x ∈ R ∗ a ∩ R ∗ b
Es decir R ∗ (a ∩ b) ⊆ R ∗ a ∩ R ∗ b.
Para ver que la inclusión contraria no es válida basta el siguiente
contraejemplo. Sean
a = {∅} , b = {{∅}} y R = {〈∅, ∅〉, 〈{∅}, ∅〉}.
Entonces a ∩ b = ∅, luego R ∗ (a ∩ b) = ∅. Pero R ∗ a = {∅}
y R ∗ b = {∅} luego R ∗ a ∩ R ∗ b = {∅} = ∅.
x ∈ Dom (S ◦ R) ⇔ ∃y 〈x, y〉 ∈ S ◦ R
⇔ ∃y ∃z(〈x, z〉 ∈ R ∧ 〈z, y〉 ∈ S)
⇒ ∃z(〈z, x〉 ∈ R −1 ∧ z ∈ Dom S)
⇔ x ∈ R −1∗ (Dom S).
Esto demuestra que Dom(S◦R) ⊆ R −1∗ (Dom S), la otra inclusión
y el resto del teorema se deja como ejercicio.
27

Ejercicios.
1. Probar que si definimos
entonces se satisface:
〈a, b〉 ′ = {{a, 0}, {b, 1}},
〈a, b〉 ′ = 〈c, d〉 ′ si y sólo si a = c y b = d .
2. Sean a, b, c conjuntos. Definimos el conjunto
〈a, b, c〉 ′ = {{a}, {a, b}, {a, b, c}} .
Probar que 〈a, b, c〉 ′ = 〈d, e, f〉 ′ no implica que a = d y
b = e y c = f .
3. Probar que:
(a) 〈a, b〉 = {a} .
(b) 〈a, b〉 = a = 〈a, b〉 .
(c) 〈a, b〉 = a ∩ b .
(d) ( 〈a, b〉) ( 〈a, b〉 − 〈a, b〉) = b.
4. Mostrar que no siempre el conjunto 〈a, b〉 tiene dos elementos
distintos.
5. Probar que no existe el conjunto de todos los pares ordenados.
6. Probar que no es cierto que 〈〈a, b〉, c〉 es igual a 〈a, 〈b, c〉〉 .
7. (a) Probar que a × b = b × a si y sólo si a = ∅ o b = ∅ o
a = b .
(b) Probar que si a = ∅ y a × b ⊆ a × c , entonces b ⊆ c .
(c) Probar que no es cierto : a × (b × c) = (a × b) × c .
(d) Encontrar conjuntos a, b, c tales que
a ∪ (b × c) = (a ∪ b) × (a ∪ c).
(e) Probar que a × b ∩ c × d = a × d ∩ c × d .
(f) Probar que a × a ∩ b × c = a ∩ b × a × c .
(g) Probar que a × b − c × c = (a − c) × b ∪ a × (b − c) .
(h) Probar que a × a − b × c = (a − b) × a ∪ a × (a − c) .
(i) Probar que no es cierto que a × b = c × d ocurra si y sólo
si a = b y c = d .
8. Si a, b son conjuntos, probar que existe un conjunto c tal que
y ∈ c si y sólo si existe un conjunto d que satisfaga que d ∈ a
e y = {d} × b .
Concluir que a × b = c .
9. (a) Encontrar todas las relaciones cuyo dominio está contenido
en {a, b, c} y cuyo recorrido esta contenido en {s} .
(b) Encontrar todas las relaciones en 2 y en 3 (ver definición
de 2 y de 3 en ejercicios de la sección anterior).
28

(c) ¿Cuántas relaciones se pueden formar en un conjunto de n
elementos?
10. Probar que existe una relación I que actúa como neutro para
la composición de relaciones sobre un conjunto a , es decir, para
cualquier relación R sobre a
R ◦ I = I ◦ R = R.
11. Probar que si R, S, T son relaciones y a, b, c conjuntos, entonces:
(a) S ∩ T y S ∪ T son relaciones .
(b) (S ∩ T ) −1 = S −1 ∩ T −1 .
(c) (S ∪ T ) −1 = S −1 ∪ T −1 .
(d) (R − S) −1 = R −1 − S −1 .
(e) (R ◦ S) − (R ◦ T ) ⊆ R ◦ (S − T ) .
(f) R ⊆ S si y sólo si S −1 ⊆ R −1 .
(g) (a × b) −1 = b × a .
(h) Si a y b no son disjuntos, entonces (a×b)◦(a×b) ⊆ (a×b).
(i) Si a y b son disjuntos, entonces (a × b) ◦ (a × b) = ∅ .
(j) Si b no es vacío, entonces (b × c) ◦ (a × b) = a × c .
(k) Si R ⊆ a × b y S ⊆ b × c , entonces S ◦ R ⊆ a × c .
12. Probar que ∅ es relación y que para todo conjunto a se tiene
que a ◦ ∅ = ∅ ◦ a = ∅ .
13. Se define la suma de dos relaciones R y S por:
R + S = (R ∪ S) ∩ (Cam R) × (Cam S) .
(a) Si R = {〈1, 2〉, 〈1, 3〉} y S = {〈3, 3〉}, calcular R + S y
S + R .
(b) Encontrar Cam (R + S).
(c) Determinar cuáles de las siguientes leyes distributivas son
válidas para la suma de relaciones:
R + (S ∪ T ) = (R + S) ∪ (R + T )
R + (S ∩ T ) = (R + S) ∩ (R + T )
R ∪ (S + T ) = (R ∪ S) + (R ∪ T )
R ∩ (S + T ) = (R ∩ S) + (R ∩ T )
14. Encontrar contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
(a) Dom (R ∩ S) = Dom R ∩ Dom S .
(b) Rec (R ∩ S) = Rec R ∩ Rec S .
(c) Dom R − Dom S = Dom (R − S) .
(d) Rec R − Rec S = Rec (R − S) .
(e) Cam (S ◦ R) = Dom R ∪ Rec S .
(f) R ∗ (a ∩ b) = R ∗ a ∩ R ∗ b .
(g) R ∗ a − R ∗ b = R ∗ (a − b) .
29

(h) R ∗ a = Rec R .
(i) ( R −1 ) ∗ ( R ∗ a ) = a .
(j) R ∗ ( ( R −1 ) ∗ b ) = b .
15. Probar las siguientes afirmaciones:
(a) ( R −1 ) ∗ (a ∪ b) ⊆ ( R −1 ) ∗ a ∪ ( R −1 ) ∗ b .
(b) ( R −1 ) ∗ (a ∩ b) ⊆ ( R −1 ) ∗ a ∩ ( R −1 ) ∗ b .
(c) ( R −1 ) ∗ a − ( R −1 ) ∗ b ⊆ ( R −1 ) ∗ (a − b) .
(d) a ⊆ ( R −1 ) ∗ ( R ∗ a ) .
(e) b ⊆ R ∗ ( ( R −1 ) ∗ b ) .
(f) Si R ⊆ a × b , entonces
R ∗ a = Rec R y ( R −1 ) ∗ b = Dom R .
16. (a) Probar que R ∗ a = ∅ si y sólo si Dom R ∩ a = ∅ .
(b) Probar que Dom R ∩ a ⊆ ( R −1 ) ∗ ( R ∗ a ).
(c) Probar que ( R ∗ a ) ∩ b ⊆ R ∗ (a ∩ ( R −1 ) ∗ b ) .
(d) ¿ Bajo qué condiciones se tiene que Cam (a × b) = a ∪ b?
(e) Probar que si x ∈ Dom R , entonces 〈x, x〉 ∈ R −1 ◦ R .
17. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.7.
18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.8.
19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.9.
20. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.10.
3. Funciones
El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas.
Intuitivamente, una función es una regla que asigna a cada elemento
de un conjunto un único elemento de otro conjunto (no necesariamente
distinto).
Definición 2.7. Una relación F es una función si y sólo si
∀x∀y∀z((〈x, y〉 ∈ F ∧ 〈x, z〉 ∈ F ) → y = z)
Obsérvese que una función es, en particular, una relación, así es que
los conceptos de dominio, recorrido, campo, composición de funciones,
función inversa, imagen, etc. se aplican a ellas tal y como se aplican a
otras relaciones.
Habitualmente se usa la siguiente notación.
Definición 2.8. Sea F una función, x ∈ Dom F ,
F (x) = {z ∈ Rec F : ∀y(〈x, y〉 ∈ F → z ∈ y)}.
30

En otras palabras, F (x) es aquel único conjunto con el que x
está relacionado según la función F . Observemos que el axioma de
extensionalidad aplicado a funciones F y G nos dice que
F = G si y sólo si Dom F = Dom G y ∀x F (x) = G(x).
Observemos también que de acuerdo con esta notación,
Definición 2.9.
G ◦ F (x) = G(F (x)).
i) Si F es una función, Dom F = a y Rec F ⊆ b decimos que
F es una función de a en b y escribimos
ii)
F : a −→ b
x ↦−→ F (x).
a b = {F ∈ P(a × b) : F : a −→ b}.
iii) F es una función inyectiva o uno a uno si
∀x∀y(F (x) = F (y) → x = y),
es decir, a conjuntos distintos F asigna conjuntos distintos.
iv) Un función F de a en b se dice sobreyectiva si
∀y(y ∈ b → ∃x(x ∈ a ∧ y = F (x))),
es decir, todo elemento de b es asignado a algún elemento del
dominio de F .
El siguiente teorema nos da algunas propiedades de las funciones.
Teorema 2.11. Sean F , G , H funciones, a , b , c conjuntos.
i) F es una función de Dom F en Rec F .
ii) F ∈ ∅ a si y sólo si F = ∅.
iii) Si F ∈ a ∅, entonces F = a = ∅.
iv) Si b = ∅, entonces a b = ∅.
v) Si F ∈ a b y b ⊆ c, entonces F ∈ a c.
vi) Si F ∈ a b y G ∈ b c, entonces G ◦ F ∈ a c.
vii) F ∈ a b es inyectiva si y sólo si para todo c y todo
G ∈ c a, H ∈ c a, si F ◦ G = F ◦ H, entonces G = H.
viii) F ∈ a b es sobreyectiva si y sólo si para todo c y todo
G ∈ b c, H ∈ b c, si G ◦ F = H ◦ F , entonces G = H.
Demostración. Demostraremos vii). El resto queda como ejercicio.
31

(⇒) Supongamos que F es inyectiva y sean c un conjunto cualesquiera
y G, H ∈ c a. Supongamos que para todo x ∈ c
F ◦ G(x) = F ◦ H(x) o bien
F (G(x)) = F (H(x)) , y como F es inyectiva,
G(x) = H(x) .
Como además Dom G = Dom H = c, G = H.
(⇐)) Supongamos que se verifica la afirmación de la derecha y que sin
embargo F no es inyectiva. Entonces existen d, e ∈ a , d = e
y F (d) = F (e).
Consideremos el caso particular en que c = a y definamos
G : a −→ a
x ↦−→ d
tonces para todo x ,
H : a −→ a
x ↦−→ e. En-
F ◦ G(x) = F (G(x)) = F (d) = F (e) = F (H(x)) = F ◦ H(x),
es decir F ◦ G = F ◦ H, ya que tienen el mismo dominio. Pero
entonces, por hipótesis, G = H, una contradicción. Luego F
es inyectiva.
Teorema 2.12. Sean F , G funciones.
i) x ∈ F −1∗ a si y sólo si F (x) ∈ a.
ii) Dom (F ◦ G) = G −1∗ (Dom F ) ⊆ Dom G.
iii) Rec (F ◦ G) = F ∗ (Rec G) ⊆ Rec F.
iv) F es inyectiva si y sólo si F −1 es función.
Demostración.
i)
x ∈ F −1∗ a si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ 〈y, x〉 ∈ F −1 )
si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ 〈x, y〉 ∈ F )
si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ y = F (x))
si y sólo si F (x) ∈ a.
ii) y iii), por teorema 2.10, viii).
iv) Ejercicio.
Teorema 2.13. Sean F , G funciones.
i) F −1∗ (a ∩ b) = F −1∗ a ∩ F −1∗ b
ii) F −1∗ (a − b) = F −1∗ a − F −1∗ b
32

Demostración. i) Por el teorema 2.10, iv), basta demostrar
que F −1∗ a ∩ F −1∗ b ⊆ F −1∗ (a ∩ b).
Sea x ∈ F −1∗ a ∩ F −1∗ b. Entonces por teorema 2.12, i),
F (x) ∈ a y F (x) ∈ b, o sea, F (x) ∈ a∩b, luego x ∈ F −1∗ (a∩b).
ii) Ejercicio.
Definición 2.10.
i) Si a es un conjunto, la función
Ia : a −→ a
x ↦−→ x
se llama la función identidad en a .
ii) Si F es una función y a un conjunto. La restricción de F a
a , F ↾ a, es la función
F ↾ a : a ∩ Dom F −→ F ∗ a
x ↦−→ F ↾ a(x) = F (x).
El siguiente teorema nos permite “pegar” funciones que coinciden
en la parte común de sus dominios.
Teorema 2.14. Sean F , G funciones tales que F ↾ a = G ↾ a,
donde a = Dom F ∩ Dom G. Entonces F ∪ G es una función.
Demostración. Recordemos que Dom (F ∪ G) = Dom F ∪
Dom G.
Si x ∈ Dom F − Dom G o x ∈ Dom G − Dom F , entonces es
claro que existe un único y tal que 〈x, y〉 ∈ F ∪ G.
Como F y G son funciones, para x ∈ Dom F ∩ Dom G, existe
un único y y un único z tal que 〈x, y〉 ∈ F y 〈x, z〉 ∈ G. Pero por
hipótesis y = z , luego en este caso también hay un único y tal que
〈x, y〉 ∈ F ∪ G.
Observemos en el teorema anterior que si Dom F ∩ Dom G =
∅, F ∪ G es siempre una función.
El próximo teorema es muy útil para probar que ciertas funciones
son inyectivas o sobreyectivas.
Teorema 2.15. Sea F : a −→ b.
i) Si existe una función G : b −→ a tal que F ◦ G = Ib, entonces
F es sobreyectiva.
ii) F es inyectiva si y sólo si a = ∅ o a = ∅ y existe una función
G : b −→ a tal que G ◦ F = Ia.
33

iii) F es biyectiva si y sólo si existe una función G : b −→ a tal
que F ◦ G = Ib y G ◦ F = Ia. En este caso G = F −1 .
Demostración. i) Sea G : b −→ a tal que F ◦ G = Ib.
Entonces para todo y ∈ b, G(y) ∈ a y
F (G(y)) = F ◦ G(y) = Ib(y) = y,
es decir F es sobreyectiva.
ii) (⇒)
Supongamos F es inyectiva y a = ∅.
Sea c ∈ a y definamos
G = F −1 ∪ {〈x, c〉 : x ∈ b − F ∗ a}
(Obsérvese que G es efectivamente un conjunto. ¿Cómo verificamos
ésto?)
Es fácil ver que G es una función tal que Dom G = b. Para
todo x ∈ a,
G ◦ F (x) = G(F (x)) = F −1 (F (x)) = x,
ya que F (x) ∈ F ∗ a. Y como Dom G ◦ F = Dom F = a,
G ◦ F = Ia .
(⇐)
Si a = ∅, entonces F = ∅ y por lo tanto F es inyectiva.
Si a = ∅ y existe G : b −→ a tal que G ◦ F = Ia.
Supongamos que F (x) = F (y). Entonces G(F (x)) = G(F (y)),
o sea, x = G ◦ F (x) = G ◦ F (y) = y, luego F es inyectiva.
iii) Ejercicio
Notemos que en el teorema anterior parte i) no tenemos una equivalencia
como en ii) y iii). Para demostrar el recíproco de i), es decir,
si F es sobreyectiva, entonces existe G : b → a tal que F ◦ G = Ib,
necesitamos el último axioma de nuestra teoría, el Axioma de Elección.
Debido a la importancia de éste, le dedicaremos un capítulo completo,
el cuarto. Sólo entonces podremos analizar este problema.
Ejercicios.
34

1. Considerando los conjuntos N, Z, Q y R, dé ejemplos de funciones
F tales que:
(a) F : N −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva.
(b) F : N −→ N , F es inyectiva pero no sobreyectiva.
(c) F : N −→ Z , F no es inyectiva ni sobreyectiva.
(d) F : Z −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva.
(e) F : Q −→ R , F no es inyectiva ni sobreyectiva.
(f) F : R −→ Q , F es sobreyectiva pero no inyectiva.
(g) F : R −→ Z , F sobreyectiva tal que F (x) = x para
todo x en R .
2. Probar que no toda inyección de un conjunto en sí mismo es
sobreyectiva.
3. Dar ejemplos de funciones tales que:
(a) F : 1 −→ 1 .
(b) F : 0 −→ 1 .
(c) F : 2 × 3 −→ 6 , F biyección.
4. Supongamos que existe una función de a en b que no es inyectiva.
Probar que a = ∅ y b = ∅ .
5. Supongamos que existe una función de a en b que no es sobreyectiva.
Probar que b = ∅ .
6. Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones. Probar que si
F ⊆ G , entonces F = G .
7. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones. Se define el
producto entre F y G por
(F ∗ G)(x, y) = 〈F (x), G(y)〉
para 〈x, y〉 ∈ a × c. Probar que:
(a) F ∗ G es una función de a × c en b × d .
(b) Si F y G son sobreyectivas, entonces F ∗G es sobreyectiva.
(c) Si F y G son inyectivas, entonces F ∗ G es inyectiva .
(d) Rec (F ∗ G) = (Rec F ) × (Rec G) .
8. Sean F : a −→ b y G : b −→ a funciones. Supongamos que
y = F (x) si y sólo si x = G(y). Probar que F −1 es función y
que F −1 = G .
9. Sean G : b −→ c y H : b −→ c funciones. Supongamos que
G ◦ F = H ◦ F para toda función F : a −→ b, donde a = ∅.
Probar que G = H .
10. Sean G : a −→ b y H : a −→ b funciones. Sea c un conjunto
con más de un elemento y supongamos que F ◦ G = F ◦ H para
toda función F : b −→ c . Probar que G = H .
11. Sean F : a −→ c y G : a −→ b funciones. Probar que
existe una función H : b −→ c tal que F = H ◦ G si y sólo
35

si para todos x, y ∈ a se tiene que G(x) = G(y) implica
F (x) = F (y). Probar que H es única.
12. Sean F : c −→ a y G : b −→ a funciones, con G inyectiva.
Probar que existe una función H : c −→ b tal que F = G ◦ H
si y sólo si Rec F ⊆ Rec G. Probar que H es única .
13. Probar que si F y G son funciones, entonces F ⊆ G si y
sólo si Dom F ⊆ Dom G y para todo x ∈ Dom F se tiene
F (x) = G(x) .
14. Probar que no existe el conjunto de todas las funciones.
15. Sea F : a −→ b función. Se define G por G(y) = F −1∗ {y} .
Probar que G es función y que si F es sobreyectiva, entonces
G es inyectiva . Probar también que el recíproco es falso.
16. Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones:
(a) R es relación de R en R tal que 〈a, b〉 ∈ R si y sólo si
a 2 + b 2 = 1.
(b) R es relación de R en R tal que 〈a, b〉 ∈ R si y sólo si
0 ≤ a < 1 y b = a
1−a .
(c) R es relación entre (R) 2 y R tal que 〈〈a, b〉, c〉 ∈ R si y
sólo si c = a+b
2 .
17. Si F y G son funciones inyectivas, entonces G ◦ F es inyectiva
y (G ◦ F ) −1 = F −1 ◦ G −1 .
18. Construír los conjuntos 3 2, 0 2, 0 0 .
19. Probar que a b = ∅ si y sólo si b = ∅ y a = ∅ .
20. Probar que :
(a) a b = b a implica que a = b .
(b) a ⊆ b implica que c a ⊆ c b .
(c) Si existe una biyección entre a y b , entonces existe una
biyección entre c a y c b .
21. Sea F : a −→ a una función. Sea m un entero positivo. Se
define recursivamente F m por
F 1 = F ;
F m+1 = F ◦ F m .
Supongamos que existe un entero positivo n tal que F n = Ia .
Probar que F es biyección.
22. Sean a, b, c conjuntos tales que b ∩ c = ∅ . Probar que existe
una biyección entre b∪c a y b a × c a.
23. ¿Existe una biyección entre c ( b a) y b×c a?
24. Probar que existe una biyección entre c (a × b) y c a × c b .
25. Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones.
(a) Sea c el conjunto de los x ∈ a tales que F (x) = G(x) .
Probar que F ◦ Ia ↾ c = G ◦ Ia ↾ c .
36

(b) Sea d ⊆ a tal que F ◦ Ia ↾ d = G ◦ Ia ↾ d . Probar que
d ⊆ c .
26. Sea a un conjunto y sea F = {〈x, 〈x, x〉〉 : x ∈ a} . Probar que
F es función biyectiva entre a y Ia .
27. Sea F : b ∪ c −→ a función. Probar que F = F ↾ b ∪ F ↾ c.
28. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones biyectivas, donde
a ∩ c = ∅ y b ∩ d = ∅ . Sea H = F ∪ G. Probar que H es
biyección entre a ∪ c y b ∪ d .
29. Sea F : a −→ b función. Probar que existe una función
biyectiva entre F y a .
30. Sea F : a −→ b función. Sean c ⊆ a y d ⊆ b .
(a) Si F es inyectiva, probar que c = F −1∗ (F ∗ c) .
(b) Si F es sobre, probar que d = F ∗ ( (F ∗ ) −1 d) .
31. Sea F : a −→ b función. Probar que:
(a) Si c ⊆ a y d ⊆ a y F inyectiva, entonces F ∗ c = F ∗ d
implica que c = d .
(b) Si c ⊆ b y d ⊆ b y F sobreyectiva, entonces F −1∗ c =
F −1∗ d implica que c = d .
32. Sea F : a −→ b función y sean c ⊆ a y d ⊆ a .
(a) Probar que F ∗ ( F −1∗ (F ∗ c) ) = F ∗ c .
(b) Probar que F ∗ c − F ∗ d = F ∗ (c − d) si y sólo si F es
inyectiva.
33. Probar que F ↾ a = F (a × Rec F ) .
34. Sea F : Pa −→ Pa función tal que si b ⊆ c y c ⊆ a , entonces
F (b) ⊆ F (c). Sean
d = {b ∈ Pa : F (b) ⊆ b}
e = {b ∈ Pa : b ⊆ F (b)}.
(a) Probar que F (d) = d y F (e) = e .
(b) Probar que si F (b) = b , entonces d ⊆ b ⊆ e .
35. Dar un ejemplo de una función F y un conjunto a tales que
F ∩ (a × a) = F ↾ a .
36. Si F y G son funciones inyectivas, probar o dar contraejemplo
de:
(a) F ∪ G es inyectiva.
(b) F − G es inyectiva.
(c) F ◦ G es inyectiva.
(d) F F −1 es inyectiva.
(e) a ∩ b = ∅ implica que F ↾ a ∪ G ↾ b es inyectiva.
(f) a ∩ b = ∅ implica que F ∗ a ∩ G ∗ b = ∅ .
37

37. Determinar
〈ai : i ∈ I〉,
ai,
ai,
ai si:
i∈I
(a) I = 3 y a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 .
(b) I = 3 y ai = i , para todo i en 3 .
38. Probar que existe una biyección entre a0 × a1 × a2 y
i∈3
i∈I
39. ¿Existe una biyección entre
a
( bi) y
i∈I
ai
i∈I
i∈I
( a bi ) ?
40. Probar que existe una biyección entre
i∈I [i,i+1) R y R.
41. Sea 〈bi : i ∈ I〉 una familia de subconjuntos de a . Probar que
bi ⊆ I a.
i∈I
42. Sean 〈ai : i ∈ I〉 y 〈bi : i ∈ I〉 dos familias de conjuntos con
el mismo conjunto de índices I.
(a) Probar que ai ⊆ bi , para todo i en I , si y sólo si
ai ⊆
bi.
(b) Probar que
(
i∈I
i∈I
i∈I
ai) ∩ (
bi) =
(ai ∩ bi).
i∈I
43. Sean 〈ai : i ∈ I〉 y 〈bj : j ∈ J〉 dos familias de conjuntos.
Probar que:
(a)
(
ai) ∩ (
bj) =
(ai ∩ bj) .
(b)
(c)
i∈I
j∈J
i∈I
〈i,j〉∈I×J
(
ai) ∪ (
bj) =
i∈I
i∈I
j∈J
〈i,j〉∈I×J
(
ai) ∩ (
bj) =
j∈J
38
〈i,j〉∈I×J
(ai ∪ bj) .
(ai ∩ bj) .

(d)
(
ai) ∪ (
bj) =
i∈I
j∈J
〈i,j〉∈I×J
(ai ∪ bj) .
44. Sean 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos y R una relación.
Probar que
R ∗ (
ai) =
R ∗ ai.
i∈I
45. Sea 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos tal que I = J .
Probar que:
(a)
ai =
(
ai).
(b)
i∈I
j∈J
i∈I
i∈j
ai =
(
ai).
i∈I
j∈J
46. Sean 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos y F una función
con dominio adecuado. Probar que:
(a)
F ∗ (
ai) =
F ∗ ai.
(b)
(c)
(d)
i∈I
i∈j
i∈I
F −1∗ (
ai) =
F −1∗ ai.
i∈I
i∈I
F ∗ (
ai) ⊆
i∈I
i∈I
F ∗ ai
y que si F es inyectiva se tiene la igualdad.
F −1∗ (
ai) =
F −1∗ ai.
i∈I
47. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.11.
48. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.12.
49. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.13.
50. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.15.
39
i∈I

4. Relaciones de Equivalencia
En matemática es frecuente que nos interesen sólo ciertas propiedades
de los elementos de un conjunto y que queramos por consiguiente
identificar a todos los que comparten dichas propiedades. Por ejemplo,
al estudiar las rectas del plano podemos identificar a todas las rectas
que son paralelas entre sí. Si definimos la relación R como todos los
pares de elementos que queremos identificar, R es lo que llamamos
una relación de equivalencia. Esta sección estudiará este concepto.
Definición 2.11. Sea R una relación binaria.
i) R es reflexiva sobre a si
∀x(x ∈ a → 〈x, x〉 ∈ R),
R es reflexiva si R es reflexiva sobre Dom R.
ii) R es simétrica si
iii) R es transitiva si
∀x∀y(〈x, y〉 ∈ R → 〈y, x〉 ∈ R).
∀x∀y∀z((〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ R) → 〈x, z〉 ∈ R).
iv) Una relación R es una relación de equivalencia si y sólo si R
es reflexiva, simétrica y transitiva.
Es fácil demostrar que la reflexividad (sobre su propio campo) es
consecuencia de la simetría y transitividad de la relación (ver ejercicios).
Sin embargo, la incluimos en la definición porque tradicionalmente
se le define así y para hacer hincapié en que una relación de
equivalencia verifica esta propiedad.
Teorema 2.16. Sea R una relación.
i) R es transitiva si y sólo si R ◦ R ⊆ R.
ii) R es simétrica si y sólo si R −1 ⊆ R.
iii) R es reflexiva sobre a si y sólo si Ia ⊆ R.
iv) R es de equivalencia si y sólo si R −1 ◦ R = R.
Demostración. i) Supongamos que 〈x, y〉 ∈ R y 〈y, z〉 ∈ R.
Entonces 〈x, z〉 ∈ R ◦ R = R, luego R es transitiva.
ii) y iii), ejercicio.
iv) (⇒)
Supongamos que R es de equivalencia.
Sea 〈x, y〉 ∈ R −1 ◦ R, es decir, existe z tal que 〈x, z〉 ∈ R −1
y 〈z, y〉 ∈ R. Entonces 〈z, x〉 ∈ R y por lo tanto, como R
es simétrica, 〈x, z〉 ∈ R y también 〈z, y〉 ∈ R, y como R es
transitiva, 〈x, y〉 ∈ R. Luego R −1 ◦ R ⊆ R.
40

Sea 〈x, y〉 ∈ R. Por simetría 〈y, x〉 ∈ R, luego 〈x, y〉 ∈ R −1
y por reflexividad, 〈y, y〉 ∈ R. Luego 〈x, y〉 ∈ R −1 ◦ R, o sea,
R ⊆ R −1 ◦ R y por lo tanto, R = R −1 ◦ R.
(⇐)
Supongamos que R = R −1 ◦ R.
Sea 〈x, y〉 ∈ R. Como R = R −1 ◦ R, existe z tal que
〈x, z〉 ∈ R −1 y 〈z, y〉 ∈ R. Entonces 〈y, z〉 ∈ R y 〈z, x〉 ∈ R −1 ,
luego 〈y, x〉 ∈ R −1 ◦ R = R. Esto prueba que R es simétrica.
Por otra parte, como
R −1 = (R −1 ◦ R) −1 = R −1 ◦ (R −1 ) −1 = R −1 ◦ R = R,
tenemos que
R ◦ R = R −1 ◦ R = R,
luego, por i), R es transitiva.
Como se mencionó antes la reflexividad es consecuencia de la
simetría y transitividad. Ver ejercicios.
Definición 2.12. Sea R una relación de equivalencia.
i) Sea x ∈ Dom R. La clase de equivalencia de x se define por
ii)
[x]R = {y ∈ Cam R : 〈x, y〉 ∈ R}.
La clase de equivalencia de x es el conjunto formado por todos
los conjuntos relacionados con x .
P [R ] = {x ∈ P(Cam R) : ∃y(y ∈ Cam R ∧ x = [y]R)}.
o más informalmente
P [R ] = {[y]R : 〈x, y〉 ∈ R}.
P [R ] es el conjunto de todas las clases de equivalencia de R .
Teorema 2.17. Sea R una relación de equivalencia y sean x, y ∈
Cam R.
i) Dom R = Rec R = Cam R.
ii) x ∈ [x]R .
iii) 〈x, y〉 ∈ R si y sólo si [x]R = [y]R .
iv) Si [x]R ∩ [y]R = ∅, entonces [x]R = [y]R .
v) Si x ∈ [y]R, entonces [x]R = [y]R .
vi) Si x, y ∈ [z]R, entonces [x]R = [y]R .
Demostración. Demostraremos sólo [iii)], el resto del teorema se
deja como ejercicio.
Supongamos que 〈x, y〉 ∈ R.
41

Sea z ∈ [x]R. Entonces 〈x, z〉 ∈ R, luego 〈z, x〉 ∈ R por simetría
y 〈z, y〉 ∈ R por transitividad, o sea, z ∈ [y]R. Luego [x]R ⊆ [y]R.
Analogamente, [y]R ⊆ [x]R, luego [x]R = [y]R.
Supongamos que [x]R = [y]R.
Como 〈y, y〉 ∈ R, y ∈ [y]R, luego y ∈ [x]R, es decir, 〈x, y〉 ∈
R.
El teorema anterior nos da las principales propiedades de las clases
de equivalencia. ii) nos dice que todo elemento del campo está en
alguna clase y que toda clase es no vacía. iv) nos dice que dos clases
distintas son disjuntas. Estas tres propiedades definen otro importante
concepto matemático, el de partición de un conjunto.
Definición 2.13. Un conjunto P es una partición de a si
i) a = P.
ii) ∀x(x ∈ P → x = ∅).
iii) ∀x∀y((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ x = y) → x ∩ y = ∅).
Veremos en el próximo teorema la estrecha relación entre los conceptos
de relación de equivalencia y de partición, a saber, toda relación
de equivalencia sobre un conjunto da origen a una única partición de ese
conjunto. A la inversa, toda partición da origen a una única relación
de equivalencia.
Teorema 2.18. i) Sea R una relación de equivalencia con
campo a . Entonces P [R ] es una partición de a .
Llamaremos a P [R ] la partición asociada a R .
ii) Sea P una partición de un conjunto a . Entonces la relación
R[P ] = {〈x, y〉 ∈ a × a : ∃z(z ∈ P ∧ {x, y} ⊆ z})
es una relación de equivalencia en a . Llamaremos a R[P ] la
relación de equivalencia asociada a la partición P .
iii) Dada una partición Q de a , P [R[Q ]] = Q.
Dada una relación de equivalencia S , R[P [S ]] = S.
Demostración. i) Como lo hicimos notar, el teorema 2.17 ii)
y iii) demuestra nuestra afirmación.
ii) Sea P una partición de a .
Para x ∈ a, como a = P , existe z ∈ P tal que x ∈ z, o
sea, {x} ⊆ z, luego 〈x, x〉 ∈ R[P ] y R[P ] es reflexiva.
Si para algún z , {x, y} ⊆ z ∈ P , entonces {y, x} ⊆ z ∈ P ,
luego R[P ] es simétrica.
Si existen u1, u2 ∈ P tales que {x, y} ⊆ u1 y {y, z} ⊆ u2,
entonces u1 ∩ u2 = ∅ luego u1 = u2, por lo tanto, {x, z} ⊆ u1, o
sea, R[P ] es transitiva.
42

iii) Ejercicio.
iv) Ejercicio.
Ejercicios.
1. Construír todas las clases de equivalencia que pueden existir sobre
el conjunto 3 .
2. Demuestre que una relación simétrica y transitiva es también
reflexiva (sobre su propio campo).
3. ¿Existe una relación de equivalencia sobre el conjunto ∅ ?
4. Sea a un conjunto. Demostrar que la igualdad de conjuntos es
relación de equivalencia sobre Pa .
5. Sea A un conjunto no vacío de relaciones de equivalencia sobre
un conjunto a .
(a) Probar que A es relación de equivalencia sobre a .
(b) ¿Lo es siempre A?
(c) Encuentre condiciones para que A sea relación de equivalencia.
6. Sea R una relación sobre a . Probar que si R es transitiva y
refleja, entonces R ◦ R = R . ¿ Es cierto el recíproco ?
7. Sean R y S relaciones de equivalencia sobrea a y b respectivamente.
Definimos la relación T sobre a×b por: 〈〈c, d〉, 〈e, f〉〉 ∈
T si y sólo si c ∈ a , e ∈ a , d ∈ b y f ∈ b , y 〈c, e〉 ∈ R y
〈d, f〉 ∈ S . Probar que T es de equivalencia.
8. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que:
(a) R ◦ S es relación de equivalencia sobre a si y sólo si
R ◦ S = S ◦ R.
(b) R ∪ S es relación de equivalencia sobre a si y sólo si
R ◦ S ⊆ R ∪ S y S ◦ R ⊆ R ∪ S.
(c) Si T y H son relaciones arbitrarias sobre a , entonces si
R ⊆ T y R ⊆ H, entonces R ⊆ T ◦ H.
9. Sea F : a −→ b una función y sea R una relación de equivalencia
sobre b. Sea c el conjunto {〈d, e〉 ∈ a × a : 〈F (d), F (e)〉 ∈ R}.
Probar que c es relación de equivalencia sobre a .
10. Sean para cada entero n , los conjuntos bn = {m ∈ Z : ∃ q(m =
n + 5q)}. Probar que P = {bn : n ∈ Z} es una partición de Z.
Determinar una fórmula para R[P ] .
43

11. Probar que las siguientes relaciones sobre R × R son de equivalencia;
determinar la partición que determina cada una de ellas,
y describir geométricamente los elementos de cada partición:
(a) R = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 } .
(b) S = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : b − a = c − d} .
(c) T = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : a + b = c + d} .
12. Sea a un conjunto. Probar que Ia y a × a son relaciones de
equivalencia sobre a, y describir las particiones correspondientes.
13. Sean P = {ai : i ∈ I} y Q = {bj : j ∈ J} particiones de a y
b respectivamente. Probar que {ai × bj : 〈i, j〉 ∈ I × J} es una
partición de a × b.
14. Sea F : a −→ b una función, y sean {ai : i ∈ I} y {bj : j ∈ J}
particiones de a y b respectivamente. Probar que:
(a) Si F es sobre, entonces {F −1∗ bj : j ∈ J} es una partición
de a .
(b) Si F es inyectiva, entonces F ∗ ai : i ∈ I} es una partición
de Rec F .
15. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que:
(a) [x]R∩S = [x]R ∩ [x]S , para todo x en a .
(b) Si R ∪S es de equivalencia, entonces [x]R∪S = [x]R ∪[x]S,
para todo x en a .
16. Si F : a −→ b es una función, definamos la relación R =
{〈c, d〉 : F (c) = F (d)}.
(a) Probar que R es de equivalencia sobre a . R se dice la
relación de equivalencia determinada por F y se denota
por R [F ].
(b) Probar que R [F ] = F −1 ◦ F .
(c) Si F : a −→ b y G : b −→ c son funciones, determinar
R [G ◦ F ] usando R [G] y F .
17. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.16.
18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.17.
19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.18.
5. Relaciones de Orden
Definición 2.14. Sea R una relación binaria.
i) R es antisimétrica si
∀x∀y((xRy ∧ yRx) → x = y).
44

ii) R es conexa si
∀x∀y(xRy ∨ yRx ∨ x = y).
iii) R es un orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
iv) R es un orden total si R es un orden parcial conexo.
v) Si Dom R = a decimos que R es un orden (parcial, total) sobre
a . Decimos también que a está parcial o totalmente ordenado
por R .
vi) Si R es un orden, en lugar de escribir 〈x, y〉 ∈ R, escribiremos
x R y. Habitualmente los órdenes se designan con los símbolos
≤ o .
Ejemplo.
i) Los números reales con su orden usual constituyen un conjunto
totalmente ordenado.
ii) Los números naturales se pueden ordenar parcialmente de la siguiente
manera, dados dos números naturales n y m definimos.
n m si y sólo si n|m.
A menudo representamos órdenes mediante diagramas que consisten de
nodos unidos por líneas. Los nodos representan conjuntos pertenecientes
campo de la relación R y las líneas al orden mismo, así, si 〈a, b〉 ∈ R,
habrá dos nodos unidos por una línea (ver figura). Mientras más arriba
aparezca un conjunto en el diagrama, más “grande” es.
y
Los diagramas de la figura representan a los ordenes
R = {〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈a, b〉}
S = {〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉, 〈d, d〉, 〈e, e〉, 〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈a, d〉, 〈a, e〉,
〈b, d〉, 〈c, d〉, 〈c, e〉},
45

Definición 2.15.
i) Una relación R es asimétrica sobre a si y sólo si
∀x∀y((x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ xRy) → ¬ yRx).
ii) Una relación es un orden estricto si es transitiva y asimétrica
sobre su campo.
Teorema 2.19. i) Si ≤ es un orden (parcial), entonces la
relación definida por
x < y si y sólo si x ≤ y ∧ x = y
es un orden estricto cuyo campo es el mismo que el de ≤ .
ii) Si R es un orden estricto, entonces la relación definida por
xSy si y sólo si xRy ∨ x = y,
es un orden parcial cuyo campo es el mismo que el de R .
Demostración.
i) Ejercicio.
ii) S es obviamente reflexiva.
Supongamos que xSy, ySx pero x = y. Entonces xRy y
yRx, una contradicción ya que R es asimétrica. Por lo tanto si
xSy y ySx, x = y, o sea, S es antisimétrica.
S es transitiva ya que R lo es.
El más típico ejemplo de orden parcial es la relación de inclusión ⊆
definida sobre el conjunto potencia de algún conjunto. Para ver hasta
qué punto este es el ejemplo típico de orden necesitamos primero una
definición.
Definición 2.16. Sean R y S dos relaciones. Una función F :
Cam R −→ Cam S es un isomorfismo entre R y S si y sólo si F
es biyectiva y para todo a, b ∈ Cam R
aRb si y sólo si F (a) S F (b).
Si tal F existe, decimos que R y S son relaciones isomorfas.
Si R y S son órdenes decimos también que F es un isomorfismo de
orden.
Teorema 2.20. Sea ≤ una relación de orden. Entonces existe un
conjunto a tal que ≤ es isomorfo con S = {〈x, y〉 ∈ a × a : x ⊆ y}.
46

Demostración. Sea b = Cam ≤. Para cualquier conjunto x
definimos yx = {z ∈ b : z ≤ x}.
Notemos que ésta es una fórmula funcional. Luego por el axioma
de reemplazo y dado que b es un conjunto
a = {{z ∈ b : z ≤ x} : x ∈ b},
también es un conjunto.
Consideremos la relación S = {〈x, y〉 ∈ a × a : x ⊆ y}. Entonces
campo S = a. Definimos
F : b −→ a
x ↦−→ {z ∈ b : z ≤ x}.
Observemos que por reflexividad de ≤ , para todo x ∈ b, x ∈
F (x).
Supongamos que x = y. Entonces por antisimetría de ≤ , o bien
x ≤ y o bien y ≤ x, es decir, x /∈ F (y) ó y /∈ F (x), lo que unido a la
observación anterior demuestra que F (x) = F (y), es decir, F es 1–1.
Por otra parte, por definición, F es sobreyectiva, luego F es una
biyección.
Si x, y ∈ b y x ≤ y, entonces por transitividad de ≤ , F (x) ⊆
F (y), es decir, F (x) S F (y).
Si F (x) ⊆ F (y), entonces como x ∈ F (x), x ∈ F (y), o sea x ≤ y,
por lo tanto
xRy si y sólo si F (x) S F (y),
o lo que es lo mismo, F es un isomorfismo.
A menudo nos encontramos con relaciones reflexivas y transitivas
pero no antisimétricas (tal tipo de relación se llama un preorden). Podemos
obtener una relación de equivalencia a partir de un preorden y ordenar
las clases de una manera coherente con el preorden de la manera
indicada en el siguiente teorema. Esta construcción es bastante común
en matemática.
Teorema 2.21. Sea una relación transitiva y reflexiva con
campo a .
Sea S = {〈x, y〉 ∈ a × a : x y ∧ y x}. Entonces S es una
relación de equivalencia.
Más aún, si definimos
[x]S ≤ [y]S si y sólo si x y,
entonces ≤ es un orden parcial sobre P [S ].
47

Demostración. S es obviamente reflexiva y simétrica.
Supongamos que xSy y ySz. Entonces x y, y x, y z y
z y, y como es transitiva, x z y z x, o sea, xSz, lo que
demuestra que S es transitiva.
Para demostrar que ≤ es un orden parcial, sean [x]S ≤ [y]S y
[y]S ≤ [z]S. Entonces x y y y z y como es transitiva x z,
luego [x]S ≤ [z]S.
Supongamos [x]S ≤ [y]S y [y]S ≤ [x]S. Entonces x y y y x,
es decir xSy. Luego [x]S = [y]S, o sea, ≤ es antisimétrica.
Por último es fácil ver que ≤ es reflexiva ya que lo es.
Definición 2.17. Sea ≤ un orden parcial con campo A. Supongamos
que X ⊆ A y a ∈ A.
i) a es una cota superior de X si ∀x(x ∈ X → x ≤ a).
ii) a es una cota inferior de X si ∀x(x ∈ X → a ≤ x).
iii) a es el supremo de X si a es la menor cota superior de X .
iv) a es el ínfimo de X si a es la mayor cota inferior.
v) a es un elemento minimal de X si a ∈ X ∧∀x(x ∈ X → x a).
vi) a es un elemento maximal de X si a ∈ X ∧∀x(x ∈ X → a x).
Los conceptos de cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo son
probablemente familiares para el lector. Nótese que si un conjunto tiene
supremo o ínfimo, éstos son únicos. También es interesante recalcar que
los elementos minimales no tienen por qué ser el menor elemento del
conjunto de hecho, este ni siquiera tiene que existir. En el ejemplo de
la figura a y b son minimales
El siguiente teorema de punto fijo tiene muchas aplicaciones. El
argumento usado en su demostración se usa frecuentemente.
Teorema 2.22. Sea ≤ un orden parcial con campo A y supon gamos
que todo subconjunto de A tiene supremo. Sea F : A −→ A tal que
x ≤ y → F (x) ≤ F (y). Entonces para algún x ∈ A, F (x) = x.
48

Demostración. Observemos primero que A tiene que tener un
menor elemento. En efecto, es obvio que todos los elementos de A
son cota superior de ∅, pues si a ∈ A no lo fuera, existiría x ∈ ∅ tal
que x ≤ a lo que es imposible. Como ∅ ⊆ A, por hipótesis tiene un
supremo s , este es la menor de las cotas superiores, luego tiene que
ser el menor elemento de A .
Sea B = {x ∈ A : x ≤ F (x)}.
Entonces B ⊆ A y B tiene supremo. Llamemos a al supremo
de B . Obsérvese que B = ∅, ya que s ≤ F s, donde s es el menor
elemento de A .
Entonces para todo x ∈ B, x ≤ a y x ≤ F (x) ≤ F (a), luego
F (a) es cota superior de B y tenemos a ≤ F (a).
Por otra parte si a ≤ F (a), F (a) ≤ F F (a) y por lo tanto F (a) ∈
B, luego F (a) ≤ a, es decir, a = F (a).
El concepto definido a continuación es el origen de toda la teoría de
los números ordinales que estudiaremos en el próximo capítulo. Como
veremos es una abstracción de la conocida propiedad del orden de los
números naturales: todo subconjunto no vacío de números naturales
tiene un menor elemento.
Definición 2.18. Sea R una relación.
i) R es bien fundada si para todo ∅ = A ⊆ Cam R, existe a ∈ A
tal que A ∩ {x ∈ Cam R : xRa} = ∅.
ii) ≤ es un buen orden si < es un orden total bien fundado.
Nótese la similitud de la definición de relación bien fundada con la
formulación del axioma de regularidad. De hecho el axioma de regularidad
dice que la relación {〈x, y〉 ∈ a : x ∈ y} para cualquier conjunto
a es bien fundada.
Teorema 2.23. Para un orden parcial ≤ las siguientes condiciones
son equivalentes.
i) ≤ es un buen orden.
ii) ≤ es un orden total y todo subconjunto no vacío del campo de
≤ tiene un menor elemento.
iii) Todo subconjunto no vacío del campo de ≤ tiene un menor
elemento.
Demostración.i)⇒ii) Sea A ⊆ Cam ≤. Escojemos a ∈ A tal
que
A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅,
es decir para todo x ∈ A, x ≤ a y como el orden es total,
a ≤ x, es decir a es el menor elemento de A .
49

ii)⇒iii) Obvio.
iii)⇒i) Dados dos elementos x, y ∈ Cam ≤, consideramos {x, y}, éste
tiene un menor elemento luego x ≤ y o y ≤ x, o sea, ≤ es
orden total.
Sea A ⊆ Cam ≤ y sea a su menor elemento. Entonces es
claro que
Ejercicios.
A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅,
es decir ≤ es bien fundado.
1. Sean a , b , c y d cuatro conjuntos distintos. ¿Cuántos ordenes
parciales existen sobre {a, b}? ¿Sobre {a, b, c}? ¿Sobre
{a, b, c, d}? Haga los diagramas correspondientes.
2. Diga cuáles de los órdenes del ejercicio anterior son isomorfos.
3. Sea a un conjunto con n elementos. Probar que un orden total
sobre a contiene 1n(n
− 1) pares ordenados.
2
4. Probar que una relación R sobre a es antisimétrica si y sólo si
R ∩ R−1 ⊆ Ia.
5. Considere las siguientes relaciones sobre el conjunto
8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
(a) x R1 y si y sólo si y − x ∈ 8.
(b) x R2 y si y sólo si y − x ∈ 8 y y − x = 0.
(c) x R3 y si y sólo si y − x = 0.
(d) x R4 y si y sólo si y − x es un entero par.
(e) x R6 y si y sólo si y − x = 1.
Determinar cuáles de estas relaciones son antisimétricas, asimétricas,
transitivas, conexas, reflejas, de equivalencia o de orden.
6. Si R y S son relaciones y a un conjunto, probar que:
(a) Si R es asimétrica, entonces R es antisimétrica.
(b) Ia es simétrica y antisimétrica.
(c) Si R , es simétrica y antisimétrica, entonces existe un conjunto
b tal que R = Ib.
(d) Si R es asimétrica, entonces R−1 , R ∩ S y R − S son
asimétricas.
50

(e) Si R es antisimétrica, entonces R −1 , R ∩ S y R − S son
antisimétricas.
(f) Si R es transitiva, entonces R −1 es transitiva.
(g) Si R es conexa, entonces R −1 es conexa.
(h) Si R es asimétrica, entonces R ∪ ICam R es antisimétrica.
(i) Si R es antisimétrica, entonces R − ICam R es asimétrica.
(j) Si R es transitiva y antisimétrica, entonces R − ICam R es
transitiva.
7. Dar contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
(a) Si R y S son asimétricas, entonces S ◦ R y R ∪ S son
asimétricas.
(b) Si R y S son antisimétricas, entonces R ∪ S es antisimétrica.
(c) Si R y S son transitivas, entonces R ∪ S y R − S y
S ◦ R son transitivas.
(d) Si R y S son conexas, entonces R ∪ S y R − S y S ◦ R
son conexas.
8. ¿ Es ∅ un orden ?
9. Si a es un conjunto no vacío de órdenes sobre un conjunto b ,
probar que a es un orden sobre b.
10. Si R es un orden sobre a y b ⊆ a, probar que R ∩ (b × b)
es un orden sobre b y que si R es total, entonces R ∩ (b × b)
también lo es.
11. Probar que R −1 es un orden sobre a si y sólo si R es un orden
sobre a .
12. Si R es un orden sobre a, probar que R−Ia es un orden estricto
sobre a y si R es un orden estricto sobre a , probar que R Ia
es un orden (parcial) sobre a .
13. ¿ Es ∅ un orden estricto ?
14. Sean P1 y P2 particiones de a . Se dice que P1 es más fina que
P2 si y sólo si u ∈ P1 implica u ⊆ v para algún v en P2. Probar
que la relación “es más fina que” es un orden sobre el conjunto
de todas las particiones de a .
15. Dar un ejemplo de un conjunto a y un conjunto S de órdenes
sobre a , tales que S no es un orden sobre a .
16. Determinar cuáles de las siguientes relaciones sobre Z son órdenes
y si lo es, de qué tipo de orden se trata:
(a) R = {〈x, y〉 : x + y < 3}.
(b) R = {〈x, y〉 : x divide a y}.
(c) R = {〈x, y〉 : x + y es par }.
(d) R = {〈x, y〉 : x + y es par y x es un múltiplo de y }.
(e) R = {〈x, y〉 : y = x + 1}.
51

17. Sea R una relación sobre a . Probar que R es de orden si y
sólo si R ∩ R −1 = Ia y R ◦ R = R.
18. Sea < un orden estricto sobre a y sea b /∈ a . Definimos

(c) Si b ⊆ a1, entonces c es el supremo (resp. ínfimo) de b en
a si y sólo si F (c) es el supremo (resp. ínfimo) de F ∗ b
en a2.
28. Sea a un conjunto ordenado. Probar que:
(a) Si todo subconjunto de a tiene ínfimo, entonces a tiene
un mayor elemento.
(b) Todo subconjunto de a tiene supremo si y sólo si todo
subconjunto de a tiene ínfimo.
29. Sea relación sobre N × N dada por:
〈m, n〉 〈p, q〉 si y sólo si m < n ó m = p y n ≤ q,
donde ≤ es el orden usual sobre N.
(a) Probar que es un orden sobre N × N.
(b) Encontrar todos los elementos minimales de N×N . ¿Tiene
N × N un menor elemento ?
(c) Sea a = {1, 2} × {1, 2}. Encontrar todas las cotas de a . ¿
Tiene a supremo o ínfimo ? Encontrar todos los elementos
minimales y maximales de a .
30. Sea relación sobre N × N dada por:
〈m, n〉 〈p, q〉 si y sólo si m ≤ p y n ≤ q,
donde ≤ es el orden usual sobre N.
(a) Probar que es un orden sobre N × N.
(b) Si a es un subconjunto no vacío de N×N que tiene alguna
cota superior, entonces a tiene supremo.
(c) Si a es un subconjunto no vacío de N × N, entonces a
tiene ínfimo.
(d) Dar un ejemplo de un subconjunto no vacío de N × N que
tenga cotas superiores e inferiores pero que no tenga menor
elemento ni mayor elemento.
31. Sea R un orden sobre a . Definimos una relación S sobre Pa
por:
si y sólo si
u S v
u = v o bien existe w ∈ v tal que u = {c : c ∈ v ∧ c R w}.
Probar que:
(a) S es un orden sobre Pa .
(b) Si d ⊆ b tal que S es un orden sobre d, entonces d ∈ b
y d es cota superior de d .
32. Sea R un orden sobre a y sea b ⊆ a. Probar que:
53

(a) c es el menor elemento de b respecto de R si y sólo si es
el mayor elemento de b respecto de R −1 .
(b) Análogo para elementos minimales y maximales, para cotas
superiores e inferiores y para supremos e ínfimos.
33. Dar ejemplos de órdenes sobre conjuntos finitos a y subconjuntos
b de a tales que:
(a) b tiene un mayor elemento pero no menor elemento.
(b) b tiene un menor elemento pero no tiene mayor elemento.
34. Sea Pb , con b = ∅ ordenado por inclusión y sea c ∈ Pb.
Probar que:
(a) c es el supremo de c.
(b) c es el ínfimo de c, si c = ∅.
(c) El ínfimo de ∅ es Pb.
35. Probar que todo subconjunto de un conjunto bien ordenado está
bien ordenado.
36. Sea ≤ un orden para a . Definimos el segmento inicial de b :
Sb = {x ∈ a : x < b}. Dado b ∈ a , a bien ordenado, probar
que todo segmento inicial de Sb es a su vez segmento inicial de
a , y que todo segmento incial de a contiene a Sb o es segmento
inicial de Sb.
37. Sea a un conjunto totalmente ordenado. Probar que el orden
de a es un buen orden si y sólo si todo segmento inicial de a
está un bien ordenado por (la restricción de) el orden de a .
38. Si ≤ es buen orden sobre a y F es un isomorfismo entre a y
un subconjunto de a , entonces x ≤ F (x) para todo x ∈ a.
39. Probar que ningún conjunto con un buen orden es isomorfo a un
segmento inicial de sí mismo.
40. Probar que entre dos buenos órdenes hay, a lo más, un isomorfismo.
41. Sean ≤1 y ≤2 buenos órdenes sobre a1 y a2 respectivamente.
Probar que si a1 con ≤1 es isomorfo a un subconjunto de a2 con
≤2, y a2 con ≤2 es isomorfo a un subconjunto de a1 con ≤1,
entonces ≤1 y ≤2 son isomorfos sobre a1 y a2.
42. Sea ≤A un orden total sobre A y ≤B un orden total sobre B .
Definimos
〈a1, b1〉 〈a2, b2〉 si y sólo si a1 ≤A a2 ∨ a1 = a2 ∧ b1 ≤B b2.
Demuestre que la relación así definida es un orden total sobre
A × B. Este orden se llama orden lexicográfico.
Demuestre que si ≤A y ≤B son buenos ordenes, el orden
lexicográfico también es un buen orden.
54

43. Demuestre que la relación definida sobre los números naturales
en 5 es efectivamente un orden.
44. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.16.
45. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el
teorema 2.17.
46. Demuestre que la relación ≤ definida en el teorema 2.21 es
efectivamente un conjunto.
47. Demuestre que el supremo y el ínfimo, con respecto a cualquier
orden, de un conjunto A , si existen, son únicos.
55

CAPITULO 3
Ordinales
En este capítulo estudiaremos un tema un poco más avanzado de
teoría de conjuntos. El lector está seguramente familiarizado con los
números naturales. Los números naturales nos sirven para contar y
para ordenar los conjuntos finitos. Es esta segunda propiedad la que
trataremos de generalizar para conjuntos infinitos, empezaremos por
construir dentro de nuestra teoría el conjunto de los números naturales.
1. Números Naturales
Formalizaremos ahora el concepto intuitivo de número natural dentro
de la teoría ZF.
Definición 3.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto
Sx = x ∪ {x}.
Obsérvese que si x es un conjunto, Sx también lo es (¿Por qué?).
Definición 3.2.
0 = ∅
1 = S0 = {∅}
2 = S1 = {∅, {∅}}
3 = S2 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
.
Cada uno de estos conjuntos es un número natural.
La definición anterior introduce todos los números naturales en
forma bastante sencilla. Debemos destacar algunas características de
ésta. En primer lugar 0 es un número natural. En segundo lugar, si n
es un número natural, su sucesor también lo es. En tercer lugar todo
número natural corresponde a una de esas dos posibilidades, o es 0 o
es el sucesor de algún otro número.
Una segunda observación en el plano intuitivo (y que formalizaremos
en el capítulo 5), es que el número natural n contiene n elementos
57

i.e. 0 no tiene elementos, 1 tienen un elemento, 2 tiene dos elementos,
etc.
Más aún, nótese que
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
.
En general,
Sn = {0, 1, . . . , n} ,
todo número natural esta formado por los naturales que lo preceden,
salvo el 0 uqe no contiene ningún elemento.
Hasta ahora hemos construido cada uno de los números naturales.
¿Existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los números
naturales? La respuesta es sí pero dista de ser obvia, de hecho se
necesita el Axioma de Infinito para poder construir el conjunto de los
números naturales.
Definición 3.3. Decimos que X es inductivo si
i) 0 ∈ X.
ii) Si x ∈ X, entonces Sx ∈ X.
El axioma de infinito nos dice precisamente que existe al menos un
conjunto inductivo. Llamemoslo I.
Definición 3.4. El conjunto ω de los números naturales se define
como sigue:
ω = ∩{x ∈ PI : x es inductivo}
Obsérvese ω es inductivo y que si X es inductivo, ω ⊆ X, es decir,
ω es el más pequeño de los conjuntos inductivos.
Por la manera en que definimos los números naturales, es claro
que todo conjunto inductivo, en particular ω , contiene a todos los
números naturales. Por otra parte, ningún conjunto que no sea un
número natural pertenece a ω. Esto quedará más claro si demostramos
primero el siguiente teorema, del que derivan las propiedades que más
nos interesan de los números naturales, conocido como Principio de
Inducción. En adelante nos referiremos a el simplemente como P.I.
Teorema 3.1. (Principio de Inducción)
Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre x . Supongamos que
i) ϕ(0) se verifica.
58

ii) Para todo n ∈ ω si ϕ(n) se verifica, entonces ϕ(Sn)
también se verifica.
Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω.
El P.I. puede ser enunciado en términos de la relación de pertenencia.
En este caso, resulta más evidente que P.I. simplemente afirma
que ω es el menor conjunto inductivo. Las dos maneras de enunciar
el principio son equivalentes, (ver ejercicios.)
Teorema 3.2. (Principio de Inducción)
Sea B un conjunto tal que
i) 0 ∈ B.
ii) Para todo n , si n ∈ B , entonces Sn ∈ B.
Entonces ω ⊆ B.
Ejemplo
Si x ∈ ω, entonces x = 0 o bien x es el sucesor de un número
natural.
Demostración. Sea
B = {x ∈ ω : x = 0 ó x es el sucesor de un número natural}.
Es claro que B es inductivo, luego ω ⊆ B ⊆ ω.
Resulta interesante notar que
0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ · · · y también o ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 · · ·
Esta observación nos da la intuición de que la relación de pertenencia
entre naturales define una noción de orden apropiada. En estricto rigor,
la verdad es todo lo contrario, los números naturales se definen así para
que la relación de pertenencia sea un orden con buenas propiedades.
Definición 3.5. La relación ≤ se define en ω por:
m ≤ n ssi m ∈ n o bien m = n.
Diremos que m es menor o igual que n . También usaremos el símbolo
< para denotar
m < n ssi m ≤ n y m = n.
Obsérvese que m < n ssi m ∈ n.
Debemos demostrar que esta relación es un orden lineal, más aún,
que es un buen orden.
Lema 3.3. Para todo n, m ∈ ω,
59

i) 0 ≤ n.
ii) Si x ∈ n, entonces x ∈ ω.
iii) m < Sn ssi m ≤ n.
iv) Si n < m, entonces Sn ≤ m.
Demostración. i) Por inducción con ϕ(x) = 0 ≤ x.
– ϕ(0) se verifica.
– Supongamos ahora que ϕ(n) se verifica.
Es decir, 0 ≤ n, o sea 0 ∈ n ó 0 = n. En cualquier caso
0 ∈ n ∪ {n} = Sn, o sea ϕ(Sn) se verifica. Luego, en
virtud de P.I., para todo n ∈ ω, 0 ≤ n.
ii) Por inducción sobre n . Sea
ϕ(x) = ∀y(y < x → y ∈ ω)
– ϕ(0) se verifica trivialmente.
– Supongamos ϕ(m) y sea y ∈ Sm. Entonces y ∈ m ó
y = m.
Si y ∈ m, por hipótesis de inducción, y ∈ ω.
Si y = m, entonces y ∈ ω. En cualquier caso y ∈ ω.
Luego por P.I., todo n ∈ ω verifica ϕ(x)
iii) m < Sn ssi m ∈ Sn = n ∪ {n} sii m ≤ n.
iv) Por inducción sobre m . Consideramos
ϕ(x) = ∀y(y < x → Sy ≤ x).
– ϕ(0) se verifica trivialmente.
– Supongamos ϕ(m), o sea, ∀y(y < m → Sy ≤ m).
Supongamos pues que y < Sm y recordemos que esto
ocurre si y sólo si y ∈ m o y = m.
Si y ∈ m, por hipótesis de inducción, Sy ≤ m y luego
Sy ≤ Sm.
Si y = m, entonces Sy = Sm. En cualquier caso, si
y < Sm, entonces Sy ≤ Sm, es decir, ϕ(Sm) se verifica.
Luego por P.I., para todo m ∈ ω, ϕ(m) se verifica.
Teorema 3.4. ≤ es un orden total sobre ω .
Demostración. i) ≤ es obviamente reflexiva.
ii) ≤ es antisimétrica. En efecto, supongamos que m ≤ n y
n ≤ m, pero m = n. Entonces m ∈ n y n ∈ m lo que
contradice el teorema 1.3.
iii) ≤ es transitiva. Supongamos que k ≤ m y m ≤ n. Demostraremos
que k ≤ n por inducción sobre n . Para ello sea
ϕ(x) = ∀y∀z((z ≤ y ∧ y ≤ x) → z ≤ x).
60

– ϕ(0) se verifica ya que si k ≤ m y m ≤ 0, m = 0 luego
k ≤ 0.
– Si ϕ(n) se verifica, consideremos k ≤ m y m ≤ Sn.
Entonces m < Sn ó m = Sn.
Si m < Sn, entonces por el lema 3.3 iii), m ≤ n y por
hipótesis de inducción k ≤ n. Es decir k ∈ n ó k = n. En
cualquier caso k ∈ Sn, o sea, k ≤ Sn.
Si m = Sn, como k ∈ m ó k = m tenemos k ∈ Sn ó
k = Sn, es decir, k ≤ Sn.
Esto completa la inducción, luego todo número natural n
verifica ϕ(n), o sea, ≤ es transitiva.
iv) ≤es un orden total. Sean m y n dos números naturales.
Demostraremos por inducción sobre n que m < n ó m = n ó
n < m. Para ello sea
ϕ(x) = ∀y(y < x ∨ y = x ∨ x < y)
– ϕ(0) se verifica por el lema 3.3 i).
– Supongamos ϕ(n) se verifica. Entonces para todo m, m <
n ó m = n ó n < m.
Si m < n ó m = n, entonces m ∈ Sn, luego m < Sn.
Si n < m, entonces Sn ≤ m por el lema 3.3 iv).
Luego por P.I., ≤ es un orden total sobre ω .
Para verificar que ≤ es un buen orden, resulta más fácil demostrar
primero otra versión del Principio de Inducción. Para distinguirlo
de P.I., lo llamaremos Principio de Inducción Completa. Debemos
recordar siempre que este nuevo principio es equivalente con P.I. Demostraremos
a continuación una de las implicaciones, la otra se deja
como ejercicio.
Teorema 3.5. (Principio de Inducción Completa).
Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre x . Supongamos que
(∗ ) si ϕ(k) se verifica para todo k < n, entonces ϕ(n) también
se verifica.
Entonces para todo n ∈ ω, se verifica ϕ(n).
Demostración. Demostramos primero por inducción que para
todo n ∈ ω se cumple ψ(n) donde
ψ(x) = ∀y(y < x → ϕ(y))
i) ψ(0) se cumple trivialmente ya que no existe m < 0.
61

ii) Supongamos ψ(n) se verifica. Entonces por (∗), ϕ(n) también,
pero por el lema 3.3 iii), para todo n
y < Sn → (y < n ∨ y = n),
luego ∀y(y < Sn → ϕ(y)), es decir ψ(Sn) es cierta.
Esto completa nuestra inducción, o sea para todo n ∈ ω, se verifica,
en particular, ψ(Sn), y como n < Sn, esto garantiza que se verifica
ϕ(n).
El principio de Inducción Completa también puede plantearse en
terminos de la relación de pertenencia.
Teorema 3.6. Sea B ⊆ ω tal que
(∗ ) si {k ∈ ω : k < n} ⊆ B, entonces n ∈ B.
Entonces B = ω.
Teorema 3.7. ≤ es un buen orden.
Demostración. Hemos visto que ≤ es un orden total. Debemos
demostrar que ≤ es bien fundado, es decir, que si X ⊆ ω, X = ∅,
entonces X tiene un menor elemento.
Para ello suponemos que X no tiene menor elemento y aplicamos
el Principio de Inducción Completa 3.6 a X ∈ ω − X)
Dado n , si para todo k < n , k ∈ ω − X , entonces n ∈ ω − X
porque, si no, n es el menor elemento de X, luego ω −X = ω, es decir,
X = ∅ , lo que es una contradicción. Por lo tanto todo subconjunto no
vacío de ω tiene un menor elemento y ≤ es un buen orden.
Volveremos sobre estas propiedades en un contexto más general en
las próximas secciones.
Teorema 3.8. Si un subconjunto de ω tiene una cota superior,
entonces tiene un máximo elemento.
Demostración. Sea X ⊆ ω, X = ∅, definimos
Y = {x ∈ ω : x es cota superior de X}.
Por hipótesis Y = ∅. Sea m el menor elemento de Y . Por definición
m es el supremo de X. Debemos demostrar que m ∈ X.
Si m = 0, entonces para todo x ∈ X, x ≤ 0, o sea X = ∅ o bien
X = {0}. El primer caso no ocurre por hipótesis y en el segundo, 0 es
el máximo de X.
Si m = 0, entonces m = Sn para algún n. Pero entonces si
m /∈ X, n es cota superior de X y n < m, una contradicción. Luego
m ∈ X y es el mayor elemento de X.
62

Ejercicios.
1. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Principio
de Inducción dadas en el texto, es decir los teoremas 3.1 y
3.2.
2. Demuestre el Principio de Inducción Completa a partir del teorema
3.7
3. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Principio
de Inducción Completa dados en el texto, es decir los teoremas
3.5 y 3.6.
4. Sea 〈ai : i ∈ ω〉 una familia de conjuntos tal que para todo
i ∈ ω, ai ⊂ aSi. Probar que a0 ⊂ an para todo n ∈ ω − 1.
5. Sea 〈ai : i ∈ ω〉 una familia de conjuntos tal que para todo
i ∈ ω , ai ⊆ aSi y
i∈ω ai ⊆ a0. Probar que ai = a0 para todo
i en ω.
6. Probar que si n ∈ ω, Sn = n y que ω = ω.
7. Probar que si a ⊆ ω, a = ∅ y a = a , entonces a = ω.
8. Probar que si m y n están en ω y m = n , entonces:
m si n ∈ m,
(a) m ∪ n =
n si m ∈ n.
n si n ∈ m,
(b) m ∩ n =
m si m ∈ n.
9. Probar que si n ∈ m y n = 0 , entonces existe un mayor
elemento en n .
10. Si a ⊆ b ⊆ ω son no vacíos, n es el menor elemento de a y
m es el menor elemento de b , ¿cuál es la relación entre n y
m ? Justificar y responder para los mayores elementos de a y
de b si estos existen.
11. Probar que si n ∈ ω , entonces no existe k ∈ ω tal que n < k <
Sn.
12. Probar que si n y m están en ω y n < m , entonces Sn < Sm.
13. Probar que no existe una función F : ω −→ ω tal que para
todo n ∈ ω, F (Sn) < F (n).
14. Probar que si ϕ(x) es una fórmula con variable libre x y existe
un k ∈ ω , tal que
(a) ϕ(k) se verifica y
(b) para todo n ∈ ω tal que k ≤ n, si se verifica ϕ(n) entonces
se verifica ϕ(Sn).
Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k.
15. Probar que si ϕ(x) es una fórmula con variable libre x y existe
un k ∈ ω tal que
(a) ϕ(k) se verifica y
63

(b) para todo n ∈ ω tal que n > k, si se verifica ϕ(n) entonces
se verifica ϕ(Sn).
Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k.
2. Ordinales
Los ordinales son conjuntos asociados con buenos órdenes, de hecho,
son los ejemplos típicos de estos últimos en el sentido que todo buen
orden es isomorfo a algún ordinal. La definición de ordinal no hace
sino extender las propiedades de los números naturales estudiadas en
la sección anterior sin embargo, esto no se podrá apreciar sino hasta
que el capítulo esté bastante avanzado.
Definición 3.6. i) a es ∈–transitivo si
∀x∀y((x ∈ y ∧ y ∈ a) → x ∈ a).
ii) a es un ordinal si a es ∈–transitivo y todo elemento de a es ∈–
transitivo. Si x es un ordinal escribiremos Ord (x). Obsérvese
que Ord (x) es una fórmula de nuestro lenguaje en la que x
aparece libre.
Notación: Usaremos letras griegas minúsculas para denotar ordinales.
Nada en la definición indica que haya ordinales, ni siquiera que existan
conjuntos ∈–transitivos. También podría suceder que todo conjunto
es un ordinal. A continuación dilucidaremos estos problemas. De
hecho, el siguiente teorema demuestra que todos los números naturales
son ordinales.
Teorema 3.9. i) 0 es un ordinal.
ii) Ord (x) → Ord (Sx).
iii) ∀x(x ∈ ω → Ord (x)).
iv) Ord (ω).
Demostración. i) Ord (0) trivialmente ya que 0 = ∅.
ii) Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈–transitivo y
todo elemento de x es ∈–transitivo. Como Sx = x ∪ {x}, todo
elemento de Sx es ∈–transitivo.
Para ver que Sx es ∈–transitivo consideremos z , y tales
que z ∈ y ∈ Sx.
Si y ∈ x, entonces z ∈ x, ya que x es ∈–transitivo.
Si y = x, entonces también z ∈ x, es decir, en cualquier
caso, z ∈ x ⊆ Sx, o sea, Sx es ∈–transitivo.
64

iii) Consideramos la fórmula ϕ(x) = Ord (x). Por i) y ii) y P.I.,
todo número natural es un ordinal.
iv) El lema 3.3, ii) demuestra que ω es ∈–transitivo.
Si n ∈ ω, iii) demuestra que n es ∈–transitivo. Luego
Ord (ω).
Ver que no todo conjunto es un ordinal es fácil. De hecho, {{0}}
no es ni siquiera ∈–transitivo. También es fácil ver que ningún par
ordenado 〈a, b〉 es un ordinal.
Teorema 3.10. Si C es un conjunto de ordinales, entonces C
es un ordinal.
Demostración. Para demostrar que C es ∈–transitivo, supongamos
x ∈ y ∈ C. Entonces existe α ∈ C talque y ∈ α. Como
x ∈ y ∈ α y este último es ∈–transitivo, x ∈ α y por lo tanto,
x ∈ C, es decir, C es ∈–transitivo.
Sea x ∈ C. Entonces existe α ∈ C tal que x ∈ α, entonces, x
también es ∈–transitivo.
Por lo tanto C es un ordinal.
El siguiente teorema demuestra que todo ordinal está compuesto
por ordinales.
Teorema 3.11. Si α es un ordinal, entonces todos sus elementos
son ordinales.
Demostración. Supongamos que x ∈ α. Entonces x es ∈–
transitivo. Si y ∈ x, como α es ∈–transitivo, y ∈ α, luego y es
∈–transitivo, luego x es ordinal.
Los ordinales nos proporcionan un nuevo ejemplo de clase propia.
Teorema 3.12. No existe el conjunto de todos los ordinales.
Demostración. Supongamos por el contrario que O es el conjunto
de todos los ordinales. Entonces es claro que O es ∈–transitivo y que
todos sus elementos son ∈–transitivos, es decir, O es un ordinal, luego
O ∈ O, contradicción.
Teorema 3.13. Para todo par de ordinales α, β,
α ∈ β ó α = β ó β ∈ α.
Más aún, sólo una de estas posibilidades se verifica.
65

Demostración. Supongamos por el contrario que existen ordinales
α y β tales que α ∈ β, α = β y β ∈ α.
Sea
A = {x ∈ Sα ∪ Sβ : ∃y(y ∈ Sα ∪ Sβ ∧ x ∈ y ∧ x = y ∧ y ∈ x)}.
Nuestra suposición implica que α, β ∈ A. Luego A = ∅.
Por el axioma de regularidad, existe a ∈ A tal que A ∩ a = ∅.
Definimos entonces el conjunto
B = {x ∈ Sα ∪ Sβ : a ∈ x ∧ a = x ∧ x ∈ a}
B = ∅ ya que a ∈ A.
Por el axioma de regularidad nuevamente sea b ∈ B tal que
B ∩ b = ∅. Como a ∈ B, a = b.
La contradicción se obtiene probando que a = b.
Sea x ∈ a, como a es ordinal, x también lo es. Como a ∩ A =
∅, x ∈ A. Por último como x ∈ a ∈ Sα ∪ Sβ, x ∈ Sα ∪ Sβ, ya que
este último, al ser unión de dos ordinales, es también un ordinal y, por
lo tanto, es ∈–transitivo.
Entonces
∀y(y ∈ Sα ∪ Sβ → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))
en particular como b ∈ Sα ∪ Sβ,
x ∈ b ∨ x = b ∨ b ∈ x.
Si x = b, b ∈ a, luego b ∈ B.
Si b ∈ x, como a es ordinal b ∈ a, luego b ∈ B. En ambos casos
tenemos una contradicción.
Por lo tanto la única posibilidad es x ∈ b, es decir, hemos demostrado
que a ⊆ b.
Supongamos ahora que x ∈ b. Como antes x ∈ Sα ∪ Sβ y x ∈ B
ya que B ∩ b = ∅. Luego
a ∈ x ∨ a = x ∨ x ∈ a .
Si a ∈ x ó a = x, entonces a ∈ b ya que b es ordinal. Luego x ∈ a.
Hemos demostrado que b ⊆ a.
Por lo tanto a = b lo que contradice nuestra suposición, luego
α ∈ β ∨ α = β ∨ β ∈ α .
El teorema 1.3 garantiza que sólo una de las tres posibilidades anteriores
se verifica.
Teorema 3.14. Si A es un conjunto no vacío de ordinales, entonces
A esordinal. Más aún, A ∈ A.
66

Demostración. Si x ∈ A, entonces para todo α ∈ A, x ∈ α,
luego x es ordinal, por lo tanto es ∈–transitivo.
Supongamos x ∈ y ∈ A. Entonces para todo α ∈ A, x ∈ y ∈
α ∈ A, pero α es ordinal, luego para todo α ∈ A, x ∈ α ∈ A, o sea,
x ∈ A y A es ∈–transitivo. Hemos demostrado que A es un
ordinal.
Por 3.13, para todo α ∈ A, A ∈ α ó A = α ó α ∈ A,
pero esta última posibilidad implica que, en particular, α ∈ α. Las
dos primeras posibilidades implican que A ∈ A.
Teorema 3.15. Para cualquier α y β
i) α ∈ β ssi α ⊂ β.
ii) Si C ⊆ α, entonces C = α ó C ∈ α.
iii) α = Sα.
iv) Si α ∈ β, entonces Sα ∈ β ó Sα = β.
v) α = S α ó α = α.
Demostración. i) ⇒ Por ∈–transitividad de β , si x ∈ α,
entonces x ∈ β, o sea, α ⊆ β. Como α ∈ β − α, α = β.
⇐ Si α ⊂ β, entonces α = β y β ∈ α. Luego por el
teorema 3.13, α ∈ β.
ii) C es un ordinal por el teorema 3.10.
Supongamos que α ∈ C, entonces α ∈ x para algún
x ∈ C y como hemos supuesto que C ⊆ α, x ∈ α. O sea
α ∈ x ∈ α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego C ∈
α ó C = α.
iii) Si x ∈ Sα, x ∈ y para algún y ∈ Sα. Entonces y ∈
α ó y = α; en cualquier caso x ∈ α.
Entonces x ∈ α ∈ Sα, luego x ∈ Sα.
iv) Supongamos que β ∈ Sα, o sea, β ∈ α ó β = α. Como por
hipótesis α ∈ β, tendriamos que β ∈ β, lo que contradice el
teorema 1.3. Luego por 3.13, Sα ∈ β ó Sα = β.
v) Sabemos que α es ordinal. Si α = α, entonces por ii),
α ∈ α. Luego por iv), S α ∈ α ó S α = α. Si suponemos
que S α ∈ α, como α ∈ S α, concluiriamos que α ∈
α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego S α = α ó α =
α.
Observemos que iv) es una generalización del lema 3.3, iii). También
es importante notar que todo ordinal es o bien sucesor de algún otro
ordinal o bien la unión de sí mismo.
67

Definición 3.7. Sea α un ordinal. Definimos la relación ≤ en
α como sigue. Para x, y ∈ α
x ≤ y si y sólo si x ∈ y ∨ x = y .
Nótese que, en rigor, para distintos ordinales α el orden recién
definido no es el mismo ya que su campo varía. Sin embargo usaremos
el mismo símbolo ya que es claro dos de estos órdenes coinciden en la
intersección de sus campos.
También debemos notar que éste coincide con el orden que definimos
para los números naturales.
El siguiente teorema resume las principales propiedades de este orden.
Teorema 3.16. Sea α un ordinal.
i) ≤ es un buen orden en α.
ii) Si A ⊆ α y A = ∅, entonces A es el menor elemento de A.
iii) 0 es el menor elemento de α .
iv) β < Sα si y sólo si β ≤ α.
v) α = {β ∈ α : β < α}.
vi) No existe un ordinal β tal que α < β < Sα.
vii) α ≤ β si y sólo si α ⊆ β.
viii) Si A ⊆ α, entonces A es el supremo de A .
ix) α < β si y sólo si Sα ≤ β.
x) Sα = Sβ si y sólo si α = β.
xi) Sα < Sβ si y sólo si α < β.
Demostración. i) ≤ es obviamente reflexiva. Es antisimétrica
por el teorema 1.3. Es transitiva por la ∈–transitividad de α .
Es decir, ≤ es un orden. En virtud del teorema 3.13, ≤ es un
orden total.
Para ver que ≤ es un buen orden, consideremos un subconjunto
no vacío A ⊆ α. Por el teorema 3.14, A ∈ A.
Supongamos x ∈ A ∩ ( A). Entonces para todo α ∈ A x ∈ α,
en particular, x ∈ x, una contradicción. Luego A ∩ ( A) = ∅,
o sea, ≤ es un buen orden.
ii) Quedó demostrado en (i), ∩A es el menor elemento de A
iii) iv) y v) son obvios.
vi) Supongamos existe β tal que α < β < Sα, o lo que es lo
mismo, α ∈ β ∈ Sα, es decir α ∈ Sα = α, por 3.15 iii), una
contradicción.
vii) Es consecuencia inmediata de la parte i) del teorema anterior.
68

viii) Supongamos A ⊆ α, entonces A es un ordinal y para x ∈ A
es claro que x ⊆ A, o sea, por vii), x ≤ A, es decir, A
es cota superior.
Sea β otra cota superior de A. Entonces para todo x ∈ A,
como x ∈ α ∈ A y β es cota superior de A , x ≤ α ≤ β, es
decir, x ∈ β, o sea, A ⊆ β, por lo tanto ∪A es la menor de
las cotas superiores de A .
ix) Si α ∈ β, entonces por ∈–transitividad Sα ⊆ β, o sea, Sα ≤ β.
Si Sα ≤ β, como α < Sα, α < β, por transitividad de < .
x) Supongamos Sα = Sβ y α = β. Entonces como α ∈ Sα =
Sβ, α ∈ Sβ. Pero entonces α ∈ β. Análogamente β ∈ α lo que
es imposible, luego, α = β. Es claro que si α = β, Sα = Sβ.
xi) α < β si y sólo si Sα ≤ β si y sólo si Sα < Sβ por ix) y
iv) respectivamente.
Observación.
En viii) hay un pequeño abuso producido por el hecho de denotar
con el mismo símbolo ordenes distintos. En efecto, si tenemos A =
α, entonces ∪A no está en el campo de ≤, luego no puede ser una
cota superior. Podemos sin embargo entender dicha proposición como
expresada en un orden cuyo campo contiene a α , por ejemplo Sα o
cualquier ordinal más grande. En este caso la proposición es totalmente
correcta.
Ejercicios.
1. Probar que:
(a) α es un ordinal si y sólo si ∈ es un buen orden sobre α
y β ∈ α implica que β ⊆ α.
(b) Si α es totalmente ordenado por ∈ y β ∈ α implica que
β ⊆ α , entonces α es un ordinal.
2. Todo ordinal es segmento inicial de algún otro ordinal.
3. Probar que α ∈ ω si y sólo si α es ordinal y, o bien α = 0 , o
bien α = α y para todo β ∈ α , β = 0 , o β = β.
4. Probar que α ∈ ω si y sólo si α es ordinal y para todo β ⊆ α
tal que β = 0 se tiene β ∈ β.
5. Probar que α es ordinal si y sólo si α es ∈–transitivo y ∈ es
buen orden sobre α .
6. Probar que α ∈ ω si y sólo si todo subconjunto no vacío de α
tiene mayor elemento.
69

7. Sea B un conjunto de ordinales . Probar que si α es un ordinal
y para todo β ∈ B, β ≤ α , entonces β ≤ α. Probar también
que lo anterior no es necesariamente cierto si no se requiere que
α sea ordinal.
8. Probar que si α ∈ ω y β es el mayor elemento de α , entonces
α = Sβ. ¿Es esto cierto si α es ordinal arbitrario?
3. Inducción Transfinita
En esta sección generalizaremos el teorema de inducción de los
números naturales a los ordinales. De hecho, el primero es un caso
particular del segundo.
Teorema 3.17. (Principio de Inducción Transfinita)
Si ϕ(x) es una fórmula con una variable libre y para todo ordinal
α ,
(∗) si para todo β < α, ϕ(β) , entonces ϕ(α).
Entonces para todo ordinal α, ϕ(α).
Demostración. Observemos primero que como no existe ningún
β < 0, por ( ∗ ), ϕ(0) se verifica trivialmente.
Supongamos que el teorema es falso para algún ordinal α. Entonces
el conjunto C = {β ∈ Sα : ¬ϕ(β)} es no vacío, luego tiene un menor
elemento γ. La observación al comienzo de esta demostración implica
que γ = 0. Además, como γ es el menor elemento de C, para todo
β < γ, β ∈ C, es decir, para todo β < γ, ϕ(β), pero entonces por la
hipótesis ( ∗ ), ϕ(γ), pero como γ ∈ C, se llega a una contradicción.
Luego para todo ordinal α ϕ(α).
Nótese que esta formulación del teorema de inducción transfinita
es similar a la del teorema de inducción completa de los números naturales,
A veces es útil usar una forma más parecida al principio de
inducción “por casos”. Para ello recordemos que todo ordinal es o
bien el sucesor de algún otro o es la unión de sí mismo. La próxima
definición y el teorema que le sigue formaliza estas ideas.
Definición 3.8. Un ordinal α es un sucesor si existe : β tal que
α = Sβ. Si α = 0 y α no es un ordinal sucesor, entonces α es un
ordinal límite límite.
Notemos que hay tres clases de ordinales, 0, sucesores y límites.
Teorema 3.18. Sea α un ordinal.
i) α es sucesor si y sólo
α < α.
ii) α es límite si y sólo
α = α = 0.
70

iii) α es límite si y sólo α = 0 ∧ ∀β(β < α → ∃ γ(β < γ < α)).
Demostración. i) Si α = Sβ, entonces por el teorema 3.15
iii), α = Sβ = β < α,
Reciprocamente, si α < α, S α ≤ α. Si suponemos que
S α < α,
α ∈ S α ∈ α,
o sea, α ∈ α, una contradicción. Luego α = S
α y como
α es un ordinal, α es sucesor.
ii) Sabemos por el teorema 3.15 ii), que
α ≤ α. Entonces
por i),
α = α si y sólo si α no es sucesor, luego α = 0 y α = α
si y sólo si α es límite.
iii) Por ii), α es límite si y sólo si α = 0, α = α y esta última
es equivalente a que para todo
β ∈ γ ∈ α.
β ∈ α, existe γ ∈ α tal que
Teorema 3.19. Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre tal
que
i) ϕ(0),
ii) para todo ordinal α , si ϕ(α) , entonces ϕ(Sα) y
iii) para todo ordinal límite α , si ϕ(β) para todo β < α, entonces
ϕ(α).
Entonces para todo ordinal α, ϕ(α).
Demostración. Para demostrar este teorema, demostraremos las
hipótesis del teorema 3.17 a partir de i), ii) y iii).
Sea entonces α un ordinal y supongamos que ϕ(β) para todo
β < α. Debemos demostrar que ϕ(α).
Hay tres casos.
Si α = 0, entonces ϕ(α) por hipótesis i).
Si α es un sucesor, entonces α = Sβ luego β < α y por lo tanto
ϕ(β). Pero entonces por ii), ϕ(Sβ) o sea, ϕ(α).
Si α es un límite, como ϕ(β), para todo β < α, por iii) ϕ(α).
En cualquier caso ϕ(α). Por lo tanto en virtud del teorema 3.17,
para todo ordinal α, ϕ(α).
Este teorema puede demostrarse sin recurrir al teorema 3.17 pero
estimamos que la demostración tiene cierto interés en sí misma. Ver
ejercicios problema 2.
Ejercicios.
71

1. Demuestre que el Principio de Inducción dado en el teorema 3.19
implica al Principio de Inducción del teorema 3.17.
2. Demuestre el Principio de Inducción 3.19 sin usar el teorema
3.17.
3. Demuestre el siguiente Principio de Inducción.
Sean α un ordinal no nulo A ⊆ α tales que
(a) 0 ∈ A,
(b) si β ∈ A y Sβ < α, entonces Sβ ∈ A,
(c) si β = β < α y para todo γ < β, γ ∈ A.
Entonces A = α.
4. Recursión
En esta sección estudiaremos un proceso, íntimamente ligado a la
inducción transfinita, que nos permite definir operaciones entre ordinales,
este es el principio de recursión.
En álgebra elemental frecuentemente nos encontramos con sucesiones
del tipo siguiente
a0 = 1
an+1 = 2an + 1
Es claro que esta sucesión está bien definida ya que para cualquier
n , con algún trabajo, podemos obtener el valor de an. Por otra parte,
es claro que esta definición difiere esencialmente de la de la sucesión
bn = n 2 + 1 .
La diferencia reside en que para conocer el valor de an debemos
primero determinar el valor de an−1, y para conocer éste, debemos
determinar el valor de an−1 y así sucesivamente. No es este el caso de
bn. Decimos que {an}n∈ω está definida recursivamente. A continuación
formalizaremos estos conceptos.
Recordemos que una fórmula ϕ(x, y) tal que para todo a existe un
único b tal que ϕ(a, b) define una operación unaria y habitualmente
escribimos
b = F (a) si y sólo si ϕ(a, b) .
Obsérvese que por el axioma de reemplazo, si a es un conjunto
F (a) y {F (x) : x ∈ a} también lo son.
El siguiente teorema nos permite definir una operación unaria sobre
un conjunto cualquiera conociendo todos los valores de la operación
sobre sus elementos. Una forma alternativa es definir la operación por
casos, para el 0, para ordinales sucesores, para ordinales límites y para
72

conjuntos cualquira. Este último caso es necesario ya que la operación
debe estar definida para todos los conjuntos y no sólo para los ordinales.
Teorema 3.20. i) Sea y = G(x) una operación unaria. Entonces
existe una única operación unaria y = F (x) tal que
∀α(Ord (α) → F (α) = G({F (β) : β ∈ α})∧∀x(¬Ord (x) → F (x) = x)
ii) Sean y = G(x), y = H(x) dos operaciones unarias, entonces
existe una única operación unaria y = F (x) tal que para todo
ordinal α
F (Sα) = G(F (α)) ∧ (α = α → F (α) = H{F (β) : β ∈ α})
y si x no es ordinal,
F (x) = x).
Demostración. i) Demostraremos por inducción que para todo
ordinal α existe una única función fα tal que
a) Domfα = Sα,
b) fα(β) = G(f ∗ α β), para todo β ∈ Sα y
c) si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fα.
Sea entonces α un ordinal y supongamos que para todo
β < α existe fβ con las propiedades a), b) y c). Entonces
definimos
fα(β) =
fβ(β) , si β ∈ α,
G(f ∗ α(α)) , si β = α.
Entonces fα es una función, Dom fα = Sα y fα verifica
b) y c).
Observemos también que f0(0) = G(0).
Para probar la unicidad de fα supongamos que para algún α
existen dos funciones fα y gα con las características anteriores.
Sea α0 el menor tal ordinal. Entonces para β < α0 existe una
única función fβ como arriba. Pero entonces para todo β < α0
y por lo tanto
fα0(β) = fβ(β) = gα0(β),
73

luego
f ∗ α0 α0 = {fα0(β) : β ∈ α0}
= {fβ(β) : β ∈ α0}
= {gα0(β) : β ∈ α0}
= g ∗ α0 α0,
fα0(α0) = G(f ∗ α0 α0) = G(g ∗ α0 α0) = gα0(α0),
Es decir fα0 = gα0 lo que contradice nuestra suposición.
Por lo tanto, por el teorema 3.17, para todo ordinal α existe
una única función fα que verifica a) y b).
Podemos ahora definir nuestra operación unaria y = F (x).
F (x) =
fx(x) si x es ordinal,
x si x no es ordinal.
Por construcción, y = F (x) verifica la tesis del teorema.
ii) Demostraremos por inducción que para todo α existe una única
función fα tal que
a) Dom fα = Sα,
b) Si Sβ ∈ Sα, entonces fα(Sβ) = G(fα(β)),
c) Si β = β ∈ Sα, entonces fα(β) = H(f ∗ αβ).
d) Si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fα.
Si β = 0 , entonces β = β luego definimos f0 con
dominio 1 como sigue:
f0(0) = H(f ∗ 0 (0)) = H(0)
Si β = Sγ, suponemos que existe fγ con Dom fγ = Sγ
y que satisface a), b), c) y d). Definimos entonces fβ de la
siguiente manera
fβ(α) =
fγ(α) si α ∈ β = Sγ,
G(fγ(γ)) si α = β.
Es claro que fβ verifica a), b), c) y d).
Si β = ∪β, suponemos por hipótesis de inducción que para
todo γ ∈ β existe fγ que verifica a), b), c) y d).
Definimos fβ como sigue
fα(α) si α ∈ β = Sγ,
fβ(α) =
H(f ∗ β (β)) si α = β.
74

Ejercicios.
fβ también verifica a), b), c) y d). Luego por inducción, para
todo ordinal α , existe una función fα con las características
indicadas.
La unicidad de fα es obvia y se deja como ejercicio.
Podemos definir la operación unaria F como en i).
1. Definimos la clausura transitiva de a, que denotamos T (a), como
el menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a . Demuestre
que existe la clausura transitiva de cualquier conjunto.
Indicación: Definir recursivamente una función F sobre ω
de tal manera que
F (0) = a
F (n + 1) = F (n)
y luego probar que T (a) =
n∈ω F (n). Intuitivamente
T (a) = a ∪ a ∪ a ∪ a · · · ,
es decir contiene los elementos de a , los elementos de los elementos
de a , etc.
5. Funciones Normales
En esta sección estudiaremos algunas propiedades de las funciones
normales que nos serán útiles en las secciones siguientes.
Definición 3.9. Sean A y B ordinales y µ : A → B una función.
i) µ es no-decreciente si
∀α∀β(α < β → µ(α) ≤ µ(β)).
ii) µ es estrictamente creciente si
iii) µ es continua si
∀α∀β(α < β → µ(α) < µ(β)).
∀α((α = 0 ∧ α = α ∈ A) → µ(α) =
µ(β)).
β∈α
iv) µ es normal si es continua y estrictamente creciente.
Ejemplo.
75

1. La función S es estrictamente creciente pero no continua, por
ejemplo Sω = ω = Sω.
2. La función es continua pero no estrictamente creciente, por
ejemplo, ω < Sω, pero ω = Sω.
3. Sea α un ordinal límite. Definimos para β ∈ α
Sβ , si β es sucesor,
f(β) =
β , si no.
Fácilmente podemos ver que f es normal.
Teorema 3.21. Sean A, B ordinales µ : A → B una función.
Si µ es estrictamente creciente, entonces para todo α ∈ A, α ≤
µ(α).
Demostración. Por inducción.
Teorema 3.22. Sean A, B ordinales µ : A → B una función
continua tal que si Sβ ∈ A, µ(β) < µ(Sβ). Entonces µ es normal.
Demostración. Tenemos que demostrar que µ es estrictamente
creciente. Lo haremos por inducción usando la siguiente fórmula
ϕ(x) = ∀β((β < x ∧ x ∈ A) → µ(β) < µ(x))
i) ϕ(0) se verifica trivialmente.
ii) Si β = Sγ, supongamos que ϕ(γ) se verifica y que Sγ ∈ A.
Entonces para δ < γ, µ(δ) ≤ µ(γ) por hipótesis de inducción
. Si δ = γ, µ(γ) < µ(Sγ), por hipótesis, es decir
luego
∀δ((δ < β = Sγ ∧ Sγ ∈ A) → µ(δ) < µ(beta)),
es decir, ϕ(β).
iii) Si β es límite, entonces por la continuidad de µ , ϕ(β).
Esto que completa muestra inducción. Luego µ es estrictamente creciente
y por lo tanto normal.
Teorema 3.23. Si µ es una función normal y α ∈ Dom µ es un
ordinal límite, entonces µ(α) también es límite.
Demostración. Sea δ ≤ µ(α). Como
µ(α) =
µ(β) ,
β

δ < µ(γ) < µ(α),
ya que como µ es estrictamente creciente, µ(γ) < µ(α). Luego por
teorema 3.18 iii), µ(α) es límite.
Teorema 3.24. Si α es un ordinal, β < α y µ es no decreciente,
entonces
µ(γ) =
µ(γ).
γ

o sea
ν ◦ µ(α) =
ν ◦ µ(δ),
δ

los posibles buenos ordenes. Volveremos sobre este tema en el próximo
capítulo.
Teorema 3.27. Todo buen orden es isomorfo con (el orden de) un
ordinal.
Demostración. Sea R un buen orden cuyo campo es A . Definamos
la operación unaria
∗ R − menor elemento de A − F α si éste es no vacío,
F (α) =
A si no.
(Para ser rigurosos, la operación F debe estar definida para todo
conjunto y no sólo para los ordinales, sin embargo, siempre podemos
definir F en forma arbitraria para un conjunto x que no es ordinal.
Por ejemplo, podemos definir F (x) = A).
Por el axioma de reemplazo,
Γ = {α : F (α) ∈ A}
es un conjunto de ordinales y por lo tanto existe algún ordinal β tal
que F (β) /∈ A. Sea
γ = {β : F (β) /∈ A}.
Observemos que si F (β) /∈ A, entonces F (β) = A y A − F ∗ β = ∅,
luego si α > β, F (α) /∈ A. Esto demuestra que Γ = γ.
Si α < β < γ, entonces F ∗ α ⊂ F ∗ β, luego A − F ∗ β ⊆ A − F ∗ α,
y por lo tanto
R − menor elemento A − F ∗ α ≤ R − menor elemento A − F ∗ β,
es decir, F (α) ≤ F (β).
Por otra parte, si α < β, F (α) ∈ F ∗ β, luego F (α) /∈ A − F ∗ β y
por lo tanto F (α) = F (β).
Esto demuestra que si definimos
f es una biyección y
o sea, R y γ son isomorfos.
f : γ −→ A
α ↦−→ F (α),
α ≤ β si y sólo si f(α)Rf(β),
79

7. Aritmética Ordinal
A continuación definiremos la suma, el producto y la exponenciación
de ordinales.
Las dos primeras operaciones tienen una interpretación bastante
intuitiva en términos de buenos órdenes. Como sabemos todo ordinal
esta bien ordenado por ∈ , es más, como vimos en la sección anterior,
todo buen orden está codificado o representado por algún ordinal.
Ahora bien, la suma de dos ordinales α y β representa al (buen)
orden que resulta de ordenar α ∪ β poniendo todos los elementos de
β después de los de α , gráficamente
− − − − − − −− →
α
− − − − − →
β
Por su parte α · β representa al (buen) orden lexicográfico sobre
α × β (ver ejercicios).
La exponenciación no tiene una interpretación intuitiva.
7.1. Suma de Ordinales.
Definición 3.10. Definimos la suma de ordinales como sigue. Si
α es un ordinal cualquiera
i) α + 0 = α
ii) α + Sβ = S(α + β)
iii) α + λ = ∪{α + β : β ∈ λ}, si 0 = λ = ∪λ
Obsérvese que tal operación está bien definida en virtud del teorema
3.20, ii), donde
G(x) = Sx y H(x) = ∪x.
Además para todo α, β, α + β es un ordinal.
Teorema 3.28. Para todo par de ordinales α y β , la función
es una función normal.
+α : β −→ α + β
γ ↦→ α + γ ,
Demostración. +α es continua por definición.
Supongamos que γ ∈ β y Sγ ∈ β, entonces
+α(γ) = α + γ < S(α + γ) = α + Sγ = +α(Sγ),
luego por el teorema 3.22, +α es normal.
80

Formalizaremos ahora las ideas intuitivas sobre la suma de ordinales
que dimos en la introducción de esta sección.
Teorema 3.29. Dados α y β ordinales, definimos el orden R
cuyo campo es {0} × α ∪ {1} × β como sigue:
〈x0, y0〉 R 〈x1, y1〉
si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones
1. x0 = x1 = 0 y y0 ≤ y1 < α,
2. x0 = 0 , x1 = 1,
3. x0 = x1 = 1 y y0 ≤ y1 < β.
Entonces R es un buen orden isomorfo a α + β.
Demostración. Es fácil demostrar que R es un buen orden (ver
ejercicios).
Definimos:
Entonces
F (x, γ) =
γ si x = 0 y γ < α,
α + γ si x = 1 y γ < β.
Dom F = {〉0, γ〈: γ ∈ α} ∪ {〉1, γ〈: γ ∈ β}
= Cam R .
También es claro que α ⊆ Rec F ⊆ α + β. Para ver que Rec F =
α + β, sea δ ∈ α + β, δ ∈ α. Luego α ≤ δ < α + β. Como +α
es normal, por teorema 3.26, existe un único γ tal que +α(γ) ≤ δ <
+α(γ), o bien
α + γ ≤ δ < α + Sγ = S(α + γ).
Por teorema 3.16, vi) , α + γ = δ. Luego, como γ tiene que ser menor
que β ,
δ = α + γ = F (1, γ) ,
o sea, δ ∈ Rec F y por lo tanto α + β = Rec F .
Por último como +α es normal, es fácil verificar que
y que F es inyectiva.
xRy ssi F (x) ≤ F (y)
Algunas de las propiedades más importantes de la suma de ordinales
están resumidas en el siguiente teorema.
Teorema 3.30. Sean α , β , γ ordinales. Entonces
i) (α + β) + γ = α + (β + γ).
ii) β ≤ α + β.
81

iii) α < β si y sólo si existe γ > 0 tal que α + γ = β.
iv) Si α < β , entonces α + γ ≤ β + γ.
v) Sα = α + 1.
vi) 0 + α = α.
vii) Si β < γ , entonces α + β < α + γ.
Demostración. i) Por inducción sobre γ .
– Si γ = 0
(α + β) + 0 = α + β = α + (β + 0).
– Supongamos que (α + β) + γ = α + (β + γ). Entonces
(α + β) + Sγ = S((α + β) + γ)
= S(α + (β + γ))
= α + S(β + γ)
= α + (β + Sγ).
– Si 0 = λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ, α + (β + γ) =
(α + β) + γ. Entonces como +β(x) = β + x es normal y
λ es límite, por 3.23,
es límite, y por 3.24
β + λ = ∪{β + γ : γ < λ}
∪{β + γ : γ < λ} = ∪{δ : δ < β + λ}.
Similarmente, +α(x) = α + x es normal, luego
α + (β + λ) = α + ∪{β + γ : γ < λ}
= α + ∪{δ : δ < β + λ}
= ∪{α + δ : δ < β + λ}
= ∪{α + δ : β ≤ δ < β + λ}
= ∪{α + (β + γ) : γ < λ}
= ∪{(α + β) + γ : γ < λ}
= (α + β) + λ.
Esto completa la inducción y demuestra por lo tanto la asociatividad
de + .
ii) Por inducción sobre β .
– Si β = 0 , obviamente 0 ≤ α + 0.
– Supongamos β ≤ α + β. Entonces
Sβ ≤ S(α + β) = α + Sβ.
82

– Si 0 = λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ γ ≤ α + γ. Entonces
λ = ∪{γ : γ ∈ λ} ≤ ∪{α + γ : γ ∈ λ} = α + λ.
iii) Supongamos α < β. Como β ≤ α + β,
A = {δ ∈ Sβ : β ≤ α + δ},
es no vacío, luego A tiene un menor elemento γ tal que
β ≤ α + γ.
Supongamos que β < α + γ.
Es claro que γ = 0 ya que α < β.
Si γ es un sucesor, digamos γ = Sε,
β < α + Sε = S(α + ε),
luego β ≤ α + ε, lo que contradice la minimalidad de γ .
Si γ = ∪γ, β < α + γ = ∪{α + δ : δ ∈ γ}, luego β ∈ α + δ
para algún δ < γ, lo que contradice la minimalidad de γ .
Es decir γ no es 0 ni sucesor ni límite lo que no es posible,
luego β = α + γ.
Recíprocamente, si β = α + γ, como α + x es estrictamente
creciente y 0 < γ
iv) Por inducción sobre γ .
– Si γ = 0,
α = α + 0 < α + γ = β.
α + 0 = α < β = β + 0.
– Supongamos que α + γ < β + γ. Entonces
α + Sγ = S(α + γ) < S(β + γ) = β + Sγ.
– Si 0 = λ = ∪λ y para γ < λ, α + γ < β + γ.
Entonces
α + λ = ∪{α + γ : γ ∈ λ}
⊆ ∪{β + γ : γ ∈ λ}
= β + λ.
La desigualdad estricta no se puede lograr ya que, por ejemplo,
1 + ω = 2 + ω.
v) Obvio
vi) 0 + α = α se demuestra por inducción sobre α.
– Si α = 0, entonces 0 + α = 0 = α.
83

– 0 + Sα = S(0 + α) = Sα.
– Si 0 = α = ∪α y para todo γ ∈ α, 0 + γ = γ,
0 + α = ∪{0 + γ : γ ∈ α} = ∪{γ : γ ∈ α} = α,
lo que completa la inducción.
vii) Ya lo demostramos en el teorema 3.28.
La suma de ordinales restringida a ω nos da la suma usual de los
números naturales, por ejemplo, 2 + 2 = 4. En efecto
2 + 2 = 2 + S1 = S(2 + 1) = S(2 + S0) = SS2 = S3 = 4.
En el próximo teorema se demuestran algunas propiedades de la
suma de los números naturales.
Teorema 3.31. Sean m y n números naturales. Entonces
i) m + n es natural.
ii) n + 1 = 1 + n.
iii) m + n = n + m.
Demostración. i) Por inducción sobre n .
– m + 0 = m es natural.
– Si m + n es natural, su sucesor también lo es. Pero
S(m + n) = m + Sn, luego m + Sn también es natural.
Por el principio de inducción, 3.1, para todo natural n, m+
n es natural.
ii) Por inducción sobre n .
– 1 + 0 = 1 = 0 + 1, por 3.30, vi).
– Supongamos que 1 + n = n + 1. Entonces
1 + Sn = S(1 + n) = S(n + 1) = SSn = Sn + 1,
lo que completa la inducción.
iii) Por inducción sobre n .
– m + 0 = 0 + m por 3.30, vi).
– Supongamos que m + n = n + m. Entonces
m + Sn = m + (n + 1) = (m + n) + 1
= (n + m) + 1 = n + (m + 1)
= n + (1 + m) , por ii),
= (n + 1) + m = Sn + m ,
lo que completa la inducción.
84

Notemos que la suma de ordinales no es general conmutativa, en
efecto,
1 + ω = ∪{1 + n : n ∈ ω} = {Sn : n ∈ ω} = ω = ω + 1 .
De hecho esta propiedad caracteriza a los ordinales que no son
números naturales.
Teorema 3.32. ω ≤ α si y sólo si 1 + α = α.
Demostración. Ya vimos que 1 + ω = ω.
Si α ≥ ω, existe γ tal que α = ω + γ. Entonces
1 + α = 1 + (ω + γ) = (1 + ω) + γ = ω + γ = α.
Si α < ω, entonces por 3.31 ii), 1 + α = α + 1 = α.
7.2. Multiplicación de Ordinales.
Definición 3.11. Definimos por recursión el producto por α como
sigue
i) α · 0 = 0.
ii) α · Sβ = α · β + α.
iii) α · λ = ∪{α · β : β ∈ λ}, si 0 = λ = ∪λ.
Como en el caso de la suma, hemos definido la multiplicación por
recursión usando el teorema 3.20, donde
G(x) = x + α y H(x) = ∪x.
Teorema 3.33. Para todo par de ordinales α
función
y β, α = 0 la
×α : β
γ
−→
↦−→
α · β
α · γ ,
es una función normal.
Demostración. ×α es continua por definición.
Para ver que ×α normal, por teorema 3.22, basta verificar que para
todo γ ∈ β ×α (γ) < ×α(Sγ).
×α(γ) = α · γ
< α · γ + α, por teorema 3.30, iii),
= α · Sγ
= ×α(Sγ).
85

Teorema 3.34. Dados α y β ordinales, definimos el orden R
cuyo campo es α × β como sigue:
〈x0, y0〉 R 〈x1, y1〉
si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones
1. y0 ≤ y1 < β,
2. y0 = y1 y x0 ≤ x1 < β.
Entonces R es un buen orden isomorfo a α · β}.
Demostración. Podemos suponer que α y β son distintos de 0.
Es fácil demostrar que R es un buen orden (ver ejercicios).
Para γ ∈ α, δ ∈ β, definimos
F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ.
Entonces Dom F = α × β = Cam R. F es una función y para cada
〈γ, δ〉 ∈ α × β,
F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ
< α · δ + α, por teorema 3.30, vii),
= α · Sδ
≤ α · β, ya que ×α es creciente.
O sea, hemos demostrado que Rec F ⊆ α · β. Para demostrar que
F es sobreyectiva, sea ε ∈ α · β.
Entonces
α · 0 = 0 ≤ ε < α · β.
Como ×α es normal, por el teorema 3.26, existe un único δ tal que
α · δ ≤ ε < α · Sδ = α · δ + α.
Es claro que δ < β y que si β ≤ δ, ε < α · β ≤ α · δ ≤ ε.
Ahora bien, como α · δ ≤ ε, por 3.30, iii) existe un único γ tal que
α · δ + γ = ε. Evidentemente γ < α pues si no,
ε < α · Sδ = α · δ + α ≤ α · δ + γ = ε.
Por lo tanto, dado ε ∈ α · β, existe un único 〈γ, δ〉 ∈ α × β tal
que F (〈γ, δ〉) = ε, o sea, F es sobreyectiva.
Para probar que F es estrictamente creciente, supongamos que
〈γ, δ〉R〈ε, ξ〉, entonces o bien δ < ξ , en cuyo caso
86

F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ
o bien δ = ξ y γ < ε, entonces
< α · δ + α
F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ
= α · Sδ ≤ α · ξ
≤ alpha · ξ + ε = F (〈ε, ξ〉),
= α · ξ + γ
< α · ξ + ε = F (〈ε, ξ〉),
o sea F es estrictamente creciente, luego es inyectiva y por lo tanto
es un isomorfismo.
Observación.
El orden R recién introducido se llama orden antilexicográfico,
corresponde a sustituir cada elemento de β por una copia de α .
Las propiedades básicas de la multiplicación ordinal están resumidas
en el siguiente teorema.
Teorema 3.35. i) α · (β + γ) = α · β + α · γ.
ii) α · (β · γ) = (α · β) · γ.
iii) α · 0 = 0 · α = 0.
iv) α · 1 = 1 · α = α.
v) α · 2 = α + α.
vi) Si α = 0, entonces β ≤ α · β.
vii) Si α = 0 y β < γ, entonces α · β < α · γ.
viii) Si α = 0 y 1 < β, entonces α < α · β.
ix) Si α < β, entonces α · γ ≤ β · γ.
x) Si 1 < α, 1 < β, entonces α + β ≤ α · β.
xi) Si α, β = 0, entonces α · β = 0.
Demostración. i) Por inducción sobre γ .
– Si γ = 0, α · (β + 0) = α · β = α · β + 0 = α · β + α · 0
– Si α · (β + γ) = α · β + α · γ,
87

α · (β + Sγ) = α · S(β + γ)
= α · (β + γ) + α
= (α · β + α · γ) + α
= α · β + (α · γ + α)
= α · β + α · Sγ.
– Si γ = ∪γ = 0 y para todo δ ∈ γ, α · (β + δ) = αβ + αδ
y
α · (β + γ) = α · {β + δ : δ ∈ γ}.
Como +β es normal, {β + δ : δ ∈ γ} es un ordinal límite
luego
α · {β + δ : δ ∈ γ} = {α · (β + δ) : δ ∈ γ}
= {α · β + α · δ : δ ∈ γ}
= α · β + ∪{α · δ : δ ∈ γ},
ya que ×α es normal. Esto completa la inducción, por lo
tanto
α · (β + γ) = α · β + α · γ.
ii) Por inducción sobre γ usando i).
iii) y iv) se demuestran por una sencilla inducción.
v) Por definición.
vii) Por inducción sobre β . Sea 1 ≤ α.
– Si β = 0, 0 ≤ α · 0 = 0.
– Si β ≤ α · β, entonces
Sβ ≤ S(α · β)
= α · β + 1
≤ α · β + α
= α · Sβ.
– Si β = ∪β = 0 y para todo γ < β, γ ≤ α · γ,
β = ∪{γ : γ ∈ β} ≤ ∪{α · γ : γ ∈ β} = α · β,
lo que completa la inducción.
ix) Por inducción sobre γ .
x) Por inducción sobre β .
88

– Si β = 2, entonces como 2 ≤ α,
α + β = α + 2 ≤ α + α = α · 2 = α · β
– Si 1 < β y α + β ≤ α · β,
α + Sβ = S(α + β)
≤ S(α · β)
= α · β + 1
≤ α · β + α
= α · Sβ.
– Si β = ∪β = 0 y para todo γ ∈ β, 1 < γ, entonces
α + γ ≤ α · γ, entonces
α + β = {α + γ : γ ∈ β} ⊆ {α · γ : γ ∈ β} = α · β.
xi) Si no, existen α, β = 0 tales que α · β = 0 pero por vi), como
α = 0, β ≤ α · β = 0, luego β = 0 , contradicción.
El siguiente teorema demuestra que la multiplicación de ordinales
restringida a ω verifica las propiedades que esperamos que ésta verifique,
a saber, que sea conmutativa y que distribuya por la derecha
sobre la suma. Cabe destacar que la multiplicación ordinal en general
no verifica estas propiedades. Por ejemplo,
y por ende
2 · ω = ω = ω + ω = ω · 2
ω = (1 + 1) ω = ω + ω
Teorema 3.36. Sean m , n y l números naturales. Entonces
i) m · n es natural.
ii) m · n = n · m.
iii (m + n) · l = m · l + n · l.
Demostración. i) Por inducción sobre n .
ii) Por inducción sobre n .
– Si n = 0, entonces m · n = n · m = 0
– Si m · k = k · m, demostraremos por inducción sobre m
que para todo m, m · Sk = Sk m.
– Si m = 0, m · Sk = Sk m = 0
89

– Si l · Sk = Sk · l, entonces
Sl · Sk = Sl · k + Sl
= k · Sl + Sl, por hipótesis de inducción sobre m,
= (k · l + k) + Sl
= (l · k + k) + Sl, por hipótesis de inducción sobre, n
= (l · k + Sl) + k, por 3.30, i) y 3.31 iii),
= (l · k + (l + 1)) + k
= (l · k + l) + (k + 1)
= l · Sk + Sk
= Sk · l + Sk, por hipótesis de inducción sobre, m
= Sk · Sl.
Esto completa ambas inducciones.
Nótese que en la demostración anterior se hizo una doble inducción,
es decir, el paso de inducción se demostró, a su vez, por inducción.
Teorema 3.37. (Algoritmo de la división).
Si α y β son ordinales y β = 0, entonces existe un único γ y
un único δ tales que
α = β · γ + δ , γ ≤ α y δ < β.
Demostración. Como ×β es normal, en virtud de 3.26, existe un
único γ tal que
β · γ ≤ α < β · Sγ = β · γ + β.
Por 3.30, iii) existe un único δ tal que
β · γ + δ = α .
Por 3.35, vi), es claro que γ ≤ α. Además, δ < β, pues si β ≤ δ,
α < β · γ + β ≤ β · γ + δ = α.
Teorema 3.38. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i) α es límite.
ii) α = ω · γ, para algún γ = 0.
iii) Para todo m ∈ ω − {0}, m · α = α y α = 0.
Demostración. i) ⇒ ii) Por el algoritmo de división, existen
γ y δ tales que γ ≤ α, δ < ω y
α = ω · γ + δ.
90

Si δ = 0 , δ = Sm, para algún m ∈ ω, entonces α =
ω · γ + Sm = S(ω · γ + m), o sea α no es límite. Por lo tanto
δ = 0 y
α = ω · γ.
Obviamente γ = 0 pues si no, α = 0.
ii) ⇒iii) Primero verifiquemos que para todo m ∈ ω−{0} m·ω = ω.
En efecto, por 3.35, vi),
ω ≤ m · ω = ∪{m · n : n ∈ ω} ⊆ ω,
luego m · ω = ω.
Entonces si m = 0 y α = ω · γ, para algún γ = 0,
m · α = m · (ω · γ) = (m · ω) · γ = ω · γ = α
iii) ⇒i) Supongamos m · α = α, α = 0 y α = Sβ para algún β .
Entonces
α = 2 · α = 2 · Sβ = 2 · β + 2 ≥ β + 2 > β + 1 = α,
una contradicción, luego α es límite.
7.3. Exponenciación de Ordinales.
Definición 3.12. Sean α y β ordinales. Definimos por recursión
la exponenciación de ordinales como sigue.
i) α 0 = 1.
ii) α Sβ = α β · α.
iii) α β = ∪{α γ : γ ∈ β}, si β = β = 0.
Como en el caso de la suma y la multiplicación, hemos definido la
exponenciación por recursión usando el teorema 3.20, donde
G(x) = x · α y H(x) = 1 ∪ x.
Teorema 3.39. Para todo par de ordinales α > 1 y β , la función
es una función normal.
expα : β −→ α β
γ ↦→ α γ ,
Demostración. Como expα es continua por definición, basta
demostrar que es estrictamente creciente. Para ello usamos el teorema
3.22.
Por inducción podemos demostrar que α β = 0 para todo ordinal
β . Luego,
expα(β) = α β = α β · 1 < α β · α = α Sβ = expα(Sβ).
91

Las propiedades de la exponenciación de ordinales se resumen en el
siguiente teorema.
Teorema 3.40.
i)
0 α =
0 , si α es sucesor,
1 , si α es límite o α = 0.
ii) 1 α = 1.
iii) α 0 = 1, α 1 = α y α 2 = α · α.
iv) Si α, β > 1, entonces α < α β .
v) Si α > 1, entonces β ≤ α β .
vi) Si α > 1 y β < γ, entonces α β < α γ .
vii) Si α = 0, entonces α β+γ = α β · α γ .
viii) Si α = 0, entonces (α β ) γ = α β·γ .
ix) Si α > 1 y β = 0, entonces 1 < α β .
x) Si α, β > 1, entonces α · β ≤ α β .
Demostración. i) y ii) se demuestran por inducción.
iii) es obvio.
iv) se verifica porque expα es estrictamente creciente y α 1 = α.
v) se puede demostrar por inducción sobre β o por 3.21 porque
expα es normal para α > 1.
vi) simplemente expresa que expα es creciente para α > 1.
vii) Por inducción sobre γ .
– Si γ = 0, entonces α β+γ = α β = α β · 1 = α β · α 0 = α β · α γ .
– Si α β+γ = α β · α γ , entonces
α β+Sγ = α S(β+γ)
= α β+δ · α
= (α β · α γ ) · α
= α β · (α γ · α)
= α β · α Sγ .
92

– Si γ = ∪γ = 0 y para todo δ ∈ γ, α β+δ = α β · α δ ,
entonces como β + γ es límite y usando el teorema 3.24
α β+γ = {α ε : ε < β + γ}
= {α ε : β ≤ ε < γ}
= {α β+δ : δ ∈ γ}
= {α β · α δ : δ ∈ γ}
= α β · {α δ : δ ∈ γ}
= α β · α γ ,
lo que completa la inducción.
viii) Por inducción sobre γ
– Si γ = 0 , entonces (α β ) γ = (α β ) 0 = 1 = α 0 = α β·0 = α β·γ .
– Si (α β ) γ = α β·γ , entonces
(α β ) Sγ = (α β ) γ · α β
= α β·γ · α β , y por vii),
= α β·γ+β
= α β·Sγ .
– Si γ = ∪γ = 0 y para todo δ ∈ γ, (α β ) δ = α β·δ ,
entonces
(α β ) γ = {(α β ) δ : δ ∈ γ}
= {α β·δ : δ ∈ γ}.
= {α ε : ε ∈ β · γ}
= α β·γ
ya que β · γ es límite. Para demostrar el paso anterior,
debe usarse un argumento similar al empleado en la demostración
de vii). Esto completa la inducción.
ix) Si 1 < α y 0 < β, entonces por vi), 1 = α 0 < α β .
x) Por inducción sobre β .
– Si β = 2, entonces α · β = α · 2 = α + α ≤ α · α = α 2 = α β
93
,

– Si α · β ≤ α β , entonces
α · Sβ = α · β + α
≤ α β + α
≤ α β · α
= α Sβ .
– Si β = ∪β = 0 y para todo γ ∈ β, α · γ ≤ α γ , entonces
α · β = {α · γ : γ < β}
≤ {α γ : γ < β}
= α β .
Esto completa la inducción.
El último teorema de esta sección nos dice que la exponenciación
de ordinales restringida a los números naturales tiene las propiedades
que esperamos que ésta tenga.
Teorema 3.41. Sean l , m y n números naturales. Entonces
i) m n es un número natural.
ii) (l · m) n = l n · m n
Demostración. Ambas se demuestran por inducción sobre n.
Ejercicios.
1. Demuestre que los órdenes definidos en 3.34 y 3.29 son buenos
ordenes.
2. Demuestre la asociatividad de la multiplicación, 3.35, ii).
3. Demuestre también 3.35, iii), iv), v) y ix).
4. Demuestre el teorema 3.41.
5. Encontrar ordinales α, β, γ tales que α + γ = β + γ y α = β.
6. Probar que:
(a) Si α ≤ β, entonces γ + α ≤ γ + β.
(b) Si γ + α < γ + β, entonces α < β.
(c) Si α + γ < β + γ, entonces α < β.
(d) Si α < β, entonces para todo n ∈ ω se tiene α+n < β+n.
(e) Si α + α = α, entonces α = 0.
(f) Si α + α = β + β, entonces α = β.
(g) Probar que si α + β = ω, entonces α ∈ ω y β = ω.
(h) Si γ + α = γ + β, entonces α = β.
94

7. Probar que si β = 0, entonces α + β es ordinal límite si y sólo
si β es ordinal límite.
8. Probar que α + γ = α ∪ {α + β : β ∈ γ}.
9. Probar que si β es ordinal límite, entonces
{α + γ ; γ ∈ β} =
{δ : δ ∈ α + β}.
10. Sea F una operación tal que si α es ordinal, entonces F (α)
es ordinal. Definimos la operación
F sobre los ordinales por:
•
F (0) = 0 ;
• si α es ordinal, entonces
F (Sα) = F (α) + F (α) ;
• si α es ordinal límite, entonces
F (α) = {
F (β) :
β ∈ α} ;
• si α no es ordinal, entonces
F (α) = 0.
Probar que:
(a)
F está bien definida sobre los ordinales.
(b) Si α es ordinal, entonces
F (α) es ordinal.
(c) Definimos
β∈α F (β) = F (α).
(i) Probar que
n∈ω n = ω.
(ii) Para cada n ∈ ω definimos fn por:
(A) Dom (fn) = ω + 1 ;
(B) si m ∈ ω y m = n , entonces fn(m) = m ;
(C) fn(n) = ω ;
(D) fn(ω) = n.
Probar que
α∈ω+1 fn(α) = ω + ω + n.
(iii) Probar que si β < α , entonces
γ∈β F (γ) ≤
γ∈α F (γ).
(iv) Sea α un ordinal. Probar que si G es una operación
que lleva ordinales en ordinales, entonces si para todo
β
β < α implica
que F (β) ≤ G(α) , entonces
β∈α F (β) ≤ β∈α G(β).
Probar que “ ≤ ” se puede reemplazar por “ < ” si
se agrega la condición de que si γ ∈ α , entonces
F (γ) = 0 .
(v) Si F es tal que para todo β < α se tiene F (β) = 1
, entonces α =
β∈α F (β).
(vi) Probar que si α es ordinal límite y para todo β < α
se tiene F (β) = 0 , entonces
β∈α F (β) es también
ordinal límite.
11. Probar que para todo ordinal α existe un ordinal límite β y un
n ∈ ω tales que α = β + n.
12. Probar que no existe un ordinal γ tal que para cualquier par de
ordinales δ y β tales que δ < β se tenga α + δ < γ < α + β.
95

13. Probar que si α = 0 , entonces α + ω < ω + α.
14. Diremos que β es un residuo de γ si β = 0 y existe α tal que
α + β = γ. Probar que si α > β y α y β son residuos de γ ,
entonces β es residuo de α .
15. Probar que:
(a) Si α + β = ω, entonces α · β = ω.
(b) Si γ · α < γ · β, entonces α < β .
(c) Si γ = 0 y γ · α = γ · β , entonces α = β.
(d) Si β · γ < α · γ, entonces β < α .
(e) Si α · γ = β · γ y γ = 0 no es ordinal límite, entonces
α = β.
16. Bajo división por 2 un ordinal tiene por resto a 0 o a 1 , y se dirá
que tal ordinal es par o impar en los respectivos casos. Clasificar
los siguientes ordinales en pares o impares:
(a) ω ;
(b) ω + 1 ;
(c) (ω + 1) 2 ;
(d) (ω + 1) · 2.
17. Por vecindad de un ordinal entendemos un intervalo abierto
(β, γ) = {δ : δ es ordinal y β < δ < γ} al que pertenece el
ordinal. Una operación F sobre el ordinal α que lleva ordinales
en ordinales puede ser representada por (αi)i∈α, donde αi = F (i)
, para todo i ∈ α. En tal caso hablamos de una sucesión de ordinales
(es claro que si F es operacion arbitraria que lleva ordinales
en ordinales, restringiéndola a un ordinal cualquiera la consideramos
como sucesión de ordinales). Diremos que una sucesión de
ordinales tiene límite λ = limi∈α ai si y sólo si dada una vecindad
(β, γ) de λ , existe un ordinal δ ∈ α tal que si δ ≤ i < α se tiene
αi ∈ (β, γ).
(a) Probar que limi∈α αi es el supremo de {αi : i ∈ α} , si
(αi)i∈α es una sucesión de ordinales estrictamente creciente.
(b) Dar un ejemplo de dos sucesiones de ordinales estrictamente
crecientes (αi)i∈α y (βi)i∈α , tales que limi∈α αi +
limi∈α βi = limi∈α(αi + βi).
(c) Probar que α es límite de cualquier sucesión de ordinales tal
que (αi)i∈α ⊆ Sα , pero no existe una sucesión de ordinales
(αi)i∈ω que simultáneamente esté contenida en Sα − {α} y
que tengta a α como límite.
(d) Sea (αi)i∈α una sucesión estrictamente creciente de ordinales
con λ como límite. Probar que αi = λ para todo
i ∈ α. Además, probar que λ es ordinal límite.
96

(e) Sea (αi)i∈α una sucesión de ordinales no necesariamente
creciente. Probar que si α es ordinal sucesor entonces existe
limi∈α αi , pero si α es ordinal límite no necesariamente
existe tal límite.
(f) Si (αi)i∈α es un a sucesión estrictamente creciente de
ordinales, probar que para todo ordinal λ se tiene λ +
limi∈α αi = limi∈α(λ + αi) , pero no necesariamente se
tiene limi∈α αi + λ = limi∈α(αi + λ). Probar también que
λ · (limi∈α αi) = limi∈α(λ · αi) , pero no necesarimente
(limi∈α αi) · λ = limi∈α(αi · λ).
18. Sea (αi)i∈α una sucesión de ordinales tal que αi = β para todo
i ∈ α. Probar que
i∈α αi = β · α.
19. (a) Probar que n · ω = ω si n ∈ ω.
(b) Probar que α es ordinal límite si y sólo si n · α = α para
todo n ∈ ω.
20. Probar que si α = 0 es ordinal sucesor, entonces para todo γ = 0
se tiene (γ + 1) · α > γ · α.
21. Probar que si β es ordinal límite y α = 0 , entonces {α · γ :
γ ∈ β} = {δ : δ ∈ α · β}.
22.
Sea F una operación que lleva ordinales en ordinales. Definimos
F (α) por:
•
F (0) = 1 ;
•
F (Sα) = F (α) · F (α) ;
• Si α es ordinal límite y existe β ∈ α tal que F (β) = 0 ,
entonces
F (α) = 0 ;
• Si α es ordinal límite y para todo β ∈ α se tiene F (β) = 0
, entonces
F (α) = {F (β) : β ∈ α} ;
• Si α no es ordinal, entonces
F (α) = 0.
Probar que:
(a)
F está bien definida.
(b)
F (α) es un ordinal si α lo es.
(c)
F (α) = 0 si y sólo si existe β ∈ α tal que F (β) = 0.
(d) Definimos
β∈α F (β) := F (α).
Para cada n ∈ ω definimos fn por:
(i) Dom (fn) = ω + 1 ;
(ii) si m ∈ ω y m = n , entonces fn(m) = m + 1 ;
(iii) fn(n) = ω ;
(iv) fn(ω) = n + 1.
Entonces
α∈ω+1 fn(α) = ω · ω · (n + 1).
(e) Si para toda γ ∈ α se tiene F (γ) = 0 , entonces si β < α
se tiene
γ∈β F (γ) ≤ γ∈α F (γ).
97

(f) Si G es una operación que lleva ordinales en ordinales,
entonces si para todo β ∈ α se tiene F (β) ≤ G(β) , ello
implica que
β∈α F (β) ≤ β∈α G(β).
23. Simplificar ω + ω · ω y (ω + 1) · ω · ω.
24. Probar que si β > 1 es aditivamente indescomponible y α > 0 ,
entonces α · β es aditivamente indescomponible.
25. Sean α y β ordinales. Probar que si F es una operación
sobre los ordinales tal que F (γ) = α para todo γ ∈ β , entonces
γ∈β F (γ) = αβ .
26. Encontrar la suma y el producto de la sucesión de ordinales
(αi)i∈ω tal que αi = ω i , para todo i ∈ ω.
27. Sea (αi)i∈ω la sucesión de ordinales tal que α0 = ω y αSβ =
(αβ) ω para β ∈ ω. Sea ɛ0 = {αi : i ∈ ω}. Probar que ɛ0 = ω ɛ0 .
(a) Probar que si α < ɛ0, entonces:
(i) α + ɛ0 = ɛ0.
(ii) α · ɛ0 = ɛ0.
(iii) α ɛ0 = ɛ0.
(b) Probar que β ωɛ 0 = β ω·ɛ0 para todo ordinal β
28. Probar que si α es ordinal límite y γ = 0 , entonces α γ es
ordinal límite.
29. Probar que si n ∈ ω , entonces n ω = ω.
30. Probar que si α es ordinal límite y p y q son naturales, entonces
(α · p) q = α q · p.
31. Sean α y β ordinales tales que α = 0 y β > 1. Probar que
existen únicos ordinales γ , δ y ρ tales que α = β γ · δ + ρ y
0 = δ ∈ β y ρ ∈ β γ .
32. Probar que si α = 0 y β = 0 , entonces α · ω β = Sα · ω β .
33. Probar que si α < ω δ y β < ω δ , entonces α + β < ω δ .
34. Probar que si α < ωωδ 35. Calcular:
(a)
α∈ω 2ω .
(b)
α∈ω 2 α 2 .
(c)
n∈ω ω · n.
(d)
n∈ω ωn .
(e)
α∈ω2(α + 1).
(f)
n∈ω ωn .
(g)
n∈ω (ω + n).
y β < ω ωδ
, entonces α · β < ωωδ .
(h) ω ˙1 + ω · 2 + ω · 3 + . . . + 1 + 2 + 3 + . . .
(i) ω · ω 2 · ω 3 · . . . · 1 · 2 · 3 · . . .
(j) ω · ω 2 · ω 3 · . . . · ω n−1 · ω n+1 · . . . · 2 · 3 · . . .
98

36. Expresar en la forma ω αn · an + ω αn−1 · an−1 + . . . + ω α1 · a1 + a0,
donde α1 < α2 < . . . < α n−1 < αn son ordinales , n ∈ ω , y
ai ∈ ω − 1 para i ∈ Sn :
(a) 3 · ω
(b) (ω + 1) 2
(c) ω · 2 · (ω + 1)
(d) (ω + 1) · 2
(e) (ω 2 · 2 + ω · 4 + 3) · 5
(f) 2 + ω · 2 + ω 2
(g) (ω 2 · 3 + ω · 2) · (ω 3 · 2 + ω · 4 + 2)
37. Diremos que α > 1 es ordinal primo si no existen β y γ tales
que 1 < β < α y 1 < γ < α y α = β · γ.
(a) Probar que si n ∈ ω , esta definición coincide con la
definición clásica de ser primo.
(b) Probar que los siguientes ordinales son primos : ω, ω + 1,
ω 2 + 1, ω 3 + 1, ω ω .
(c) Probar que si α > 1 , entonces existe n ∈ ω tal que para
todo m < n existe un ordinal primo αm , con los que se
tiene :
α =
αm.
m∈n
¿ Es única esta representación ? ( ver ω2 ).
(d) Probar que si α es ordinal límite , entonces α es primo si
y sólo si existe un ordinal β tal que α = ωωβ .
(e) Probar que si α > ω es ordinal sucesor, entonces α es
primo si y sólo si existe β > 0 tal que α = ωβ + 1.
38. Probar las siguientes factorizaciones en primos:
(a) ω2 + ω + 1 = (ω + 1) 2
(b) ω2 · 3 + 1 = (ω2 + 1) · 3
(c) ω2 + 2 = 2 · (ω2 + 1)
(d) ω3 · 7 + ω2 · 5 + 3 = 3 · (ω2 + 1) · 5 · (ω + 1) · 7
(e) ωω + ω + 1 = (ω + 1) · (ωω + 1)
(f) ωω+1 + ωω + ω4 + ω2 = ω · ω · (ω2 + 1) · (ωω + 1) · (ω + 1)
39. Expresar como producto de primos:
(a) ω4 + 24
(b) ω · 2 + 1
(c) ω2 + ω · 2 + 1
(d) ω3 · 3 + ω2 · 7 + 6
(e) ωω + ω3 + ω2 (f) ωω+1 · 2 + ωω · 3 + 2
(g) ω6 · 2 + ω5 · 5 + ω3 + ω2 · 7
(h) ωω2 · 6 + ωω+5 · 3 + ωω+1 · 2 + ωω · 4
99

40. Calcular los siguientes límites:
(a) limn∈ω(2 n + n)
(b) limn∈ω n · ω
(c) limn∈ω ω · n
(d) lim β∈ω 2 β · ω
(e) limβ∈ω·2 2 β
(f) limβ∈ω·2 β 2
41. Diremos que el ordinal α es un número épsilon si α = ω α .
(a) Definimos E(α) := (α + 1) + ωα+1 + ωωα+1 + ωωωα+1 + . . .
Probar que E(α) es un número épsilon, que α < E(α) ,
que no existe un número épsilon β tal que α < β < E(α).
Probar también que si α < β y no existe un número épsilon
γ tal que α < γ ≤ β , entonces E(α) = E(β).
(b) Probar que si definimos εα por:
• ε0 = E(0);
• εSα = E(εα);
• si α es ordinal límite, entonces εα = limβ∈α εβ ,
entonces para todo ordinal α se tiene que εα es un número
épsilon y que si β es un número épsilon, entonces existe
un ordinal α tal que β = εα.
(c) Probar que si β es un número épsilon, entonces dado un
ordinal α , se tiene que si 2 ≤ α < β , entonces α+β = β
y α · β = β y α β = β.
(d) Probar que si existe un ordinal α ≥ ω tal que α β = β ,
entonces β es un número épsilon.
(e) Probar que si α β = β, entonces α · β = β.
(f) Probar que si α · β = β, entonces α + β = β.
(g) Probar que si β es un número épsilon, entonces αωβ =
(α ω ) β , para todo ordinal α .
(h) Probar que si α es ordinal límite y β es un número épsilon
tales que α < β , entonces α β·α = (β · α) α .
42. Encontrar un conjunto de racionales tales que bajo su orden usual
sea isomorfo a:
(a) ω + 1
(b) ω · 2
(c) ω · 3
(d) ω ω
43. Si λ =
( Por ejemplo, { n+1
m : n, m ∈ N − {0}} es isomorfo a ω2 ).
γ∈δ βγ , entonces α λ =
γ∈δ αβγ .
44. Probar que:
(a) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ω 2 , entonces
γ∈ω αγ = ω 3 .
100

(b) Si para γ ∈ ω + ω se tiene αγ = ω , entonces
γ∈ω+ω αγ =
ω ω+ω .
(c) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ω γ , entonces
γ∈ω αγ = ω ω
45. Probar que para todo α , ω α es aditivamente indescomponible.
8. La Jerarquía Acumulativa de Conjuntos
En esta sección construiremos recursivamente una clase de conjuntos
que es de gran importancia en el estudio más avanzado de los fundamentos
de la teoría de conjuntos. Si bien estos temas caen fuera
del alcance de este libro, esta construcción, llamada la jerarquía acumulativa
de conjuntos, ayuda a entender la complejidad relativa de los
conjuntos y el rol que juega el axioma de regularidad en la estructura
de los mismos.
Definición 3.13. Para cada ordinal α definimos
V0 = ∅
Vα+1 = PVα
Vλ =
Vγ, si λ es límite.
γ∈λ
La colección de los Vα se llama la jerarquía acumulativa de conjuntos.
Es usual definir también el universo de von Neumann a la clase
propia
V = {Vα : Ord(α)}.
Observemos que los Vα están bien definidos en virtud del teorema
3.20, ii). Las operaciones empleadas son
G(x) = Px y H(x) = x.
Debe tambien tenerse presente que V no es un objeto de nuestra
teoría y debe entenderse sólo como una manera de abreviar un concepto
correspondiente a la fórmula
ϕ(x) = ∃α(Ord(α) ∧ x ∈ Vα).
Como veremos, el axioma de regularidad es equivalente a decir que
todo conjunto verifica varphi(x).
Teorema 3.42. 1. Si α ≤ β, entonces Vα ⊆ Vβ.
2. Si α ∈ β, entonces Vα ∈ Vβ.
3. Para todo α, Vα es ∈–transitivo.
101

El próximo lema es necesario para demostrar el principal teorema
de esta sección.
Lema. Sea a un conjunto, entonces ϕ(a) si y sólo si para todo x ∈ a,
ϕ(x).
Más informalmente, un conjunto pertenece a V si y sólo si todos
sus elementos tertenecen a V.
Demostración. Si a pertenece a V , entonces a ∈ Vα para algún
ordinal α. Pero como Vα es ∈–transitivo, todos los elementos de a
pertenecen a Vα.
Supongamos que todos los elementos de a pertenecen a V. Para
cada x ∈ a, sea γ(x) el menor ordinal γ tal que x ∈ Vγ. Definamos
α = {γ(x) : x ∈ a},
el que está bien definido en virtud del axioma de reemplazo.
Entonces a ⊆ Vα y por lo tanto a ∈ PVα = Vα+1 , lo que termina
nuestra demostración.
Resulta sencillo verificar que la clase V es cerrada bajo uniones,
pares, potencias productos cartesianos y demás construcciones que
hemos estudiado en los capítulos precedentes. Esto implica que todos
los conjuntos que aparecen en la práctica, pertenecen a V. ¿ Existirá
algún conjunto que no está en V? El siguiente teorema, através de una
aplicación del axioma de regularidad, demuestra que este no es el caso.
Teorema 3.43. Todo conjunto pertenece a algún Vα .
(Más informalmente, para todo conjunto x , x ∈ V.)
Demostración. Recordemos que la clausura transitiva de a , que
denotamos T (a), es el menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a ,
ver ejercicio 1 y que intuitivamente
T (a) = a ∪ a ∪ a ∪ a · · · .
Supongamos que existe un conjunto a tal que a /∈ V, o más
formalmente, supongamos ¬ϕ(a), donde varphi(x) es la fórmula de
̷L1 que lo expresa. (Ver más arriba.)
Entonces por el lema 8
b = {x ∈ T (a) : ¬ϕ(x)} = ∅.
Tomemos cualquier elemento c ∈ b. Entonces por el mismo lema,
existe x ∈ c talque ¬ϕ(x), y como además x ∈ T (a), x ∈ b, es decir
x ∈ c ∩ b, lo que contradice el axioma de regularidad.
102

Ejercicios.
1. Demuestre que para todo α, Vα = {PVβ : β < α}.
2. Demuestre el teorema 3.42.
3. Demuestre α es el mayor ordinal que pertenece a Vα.
4. Demuestre el axioma de regularidad a partir del teorema 3.43.
103

104

CAPITULO 4
El Axioma de Elección
El último axioma de la teoría de conjuntos en cierta medida pertenece
a una categoría aparte debido a las importantes consecuencias que de
él se desprenden. Estudiaremos varias formulaciones diferentes de éste
y enseguida algunas de sus aplicaciones.
1. Equivalencias del Axioma de Elección
Axioma de Elección (AC):
“Si A es un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces existe una
función F cuyo dominio es A y tal que para todo x ∈ A, F x ∈ x ”.
Tal función se llama una función de elección para A .
Observemos que
F : A −→ A
x ↦−→ F x ∈ x
La existencia de una función de elección implica elegir simultáneamente
un elemento de cada conjunto que pertenece a A . Esto no
representa ningún problema si A es finito, sin embargo si A es infinito,
no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Nótese también que el
axioma no da ninguna idea de como construir tal función.
La siguiente es una lista de los principios más importantes que son
equivalentes al axioma de elección.
1. Principio Multiplicativo:
Si A es una función y Dom A = I y si Ai = A(i) = ∅,
entonces Πi∈IAi = ∅.
2. Principio de Zermelo:
Si P es una partición de un conjunto A , entonces existe
B ⊆ A tal que para todo M ∈ P , B ∩ M tiene un solo
elemento.
Recordemos que toda partición sobre A induce una relación
de equivalencia cuyo campo es A y cuyas clases de equivalencia
son los elementos de P . El principio de Zermelo nos dice que
podemos escoger un elemento de cada clase de equivalencia, es
decir un sistema de representantes de las clases de equivalencia.
105

3. Principio de Enumeración:
Para todo conjunto A existe un ordinal α y una función
biyectiva entre ellos.
4. Principio de Buen Orden:
Todo conjunto puede bien ordenarse.
5. Lema de Zorn:
Si A es un conjunto parcialmente ordenado por R y todo
subconjunto de A totalmente ordenado por R tiene una cota
superior en A , entonces A tiene un elemento maximal.
Un subconjunto de A totalmente ordenado por R se llama
una R-cadena.
Nótese que la hipótesis del lema de Zorn implica que A = ∅
ya que ∅ es una R-cadena luego tiene una cota superior en A .
6. Principio de Kuratowski:
Si R es un orden parcial y S ⊆ R es un orden total, entonces
hay un orden ⊆-maximal T tal que S ⊆ T ⊆ R.
Dicho de otro modo, todo suborden total de un orden parcial
puede extenderse a un orden total maximal.
7. Principio de Tricotomía:
Dados dos conjuntos A y B , existe una función inyectiva
de A en B o existe una función inyectiva de B en A .
8. Principio de la Imagen Inversa:
Dados dos conjuntos no vacíos A y B , existe una función
sobreyectiva de A en B o existe una función sobreyectiva de
B en A .
Como veremos en el Capítulo 5 estos dos últimos principios son
muy importantes en la teoría de cardinalidad.
Teorema 4.1. Todos los principios anteriores son equivalentes al
axioma de elección.
Demostración. Primero demostraremos AC ⇒ 1) ⇒ 2) ⇒ AC.
AC ⇒ 1).
Sea A una función con Dom A = I tal que para todo i ∈ I,
Ai = ∅, . Entonces, por el axioma de reemplazo, A = {Ai : i ∈ I} es
un conjunto de conjuntos no vacíos.
Por AC, existe F, Dom F = A y para todo i ∈ I, F (Ai) ∈ Ai.
G : I −→
i∈I
Ai
i ↦−→ F (Ai)
106

G ∈ Πi∈IAi , o sea, Πi∈IAi = .
1) ⇒ 2).
Sea P una partición de A . Entonces P ⊆ PA, luego P es un
conjunto. Consideremos IP , la función identidad sobre P . Por 1)
ΠM∈P IP (M) = ΠM∈P M = ∅,
luego existe una función G , tal que Dom G = P y para todo M ∈
P, G(M) ∈ M. Como M ⊆ A para todo M ∈ P, Rec G ⊆ A.
Además, como los elementos de P son disjuntos, para cada M ∈ P ,
M ∩ Rec G = {G(M)}.
2) ⇒ AC.
Sea A un conjunto no vacío de conjuntos no vacíos.
Definamos K = {〈x, y〉 : y ∈ x ∈ A} y P = {{〈x, y〉 : y ∈ x} :
x ∈ A}. Es claro que K es un conjunto (¿por qué?) y que P es una
partición de K .
Escojamos B ⊆ K tal que para cada M ∈ P, B ∩ M tiene
exactamente un elemento. Entonces B es una función de elección para
A . En efecto, para cada x ∈ A,
B ∩ {〈x, y〉 : y ∈ x} = {yx},
para algún yx ∈ x. Luego B es función, Dom B = A y para cada
x ∈ A, B(x) ∈ x.
La equivalencia de los otros principios la demostramos dando un
gran círculo de implicaciones que comienza y termina en AC.
AC ⇒ 3.
Sea A un conjunto. Vamos a encontrar un ordinal α y una función
biyectiva de α en A .
Podemos suponer que A = ∅.
Consideremos PA−{∅}. Este es un conjunto no vacío de conjuntos
no vacíos, luego existe una función de elección F para él. Notemos
que ésta asigna a cada subconjunto no vacío de A un elemento de si
mismo.
Definimos por recursión una operación unaria H como sigue
H(α) =
Si α < β, entonces
F (A − H ∗ α) , si A − H ∗ α = ∅,
A , si A − H ∗ α = ∅.
H ∗ α ⊆ H ∗ β
A − H ∗ β ⊆ A − H ∗ α,
107

luego, si A − H ∗ α = ∅, entonces también A − H ∗ β = ∅. Por lo tanto,
si α < β; y H(α) = A, entonces Hβ = A.
Si α < β y H(β) = A, entonces como H(α) ∈ H ∗ β y por ser F
función de elección, H(β) ∈ A − H ∗ β,
H(α) = H(β).
Demostraremos ahora que existe un ordinal β tal que H(β) = A.
(i.e. A − H ∗ β = ∅). Supongamos por el contrario que no existe.
Entonces como H es una operación unaria (definimos Hx = x si x
no es ordinal) y como para todo par de ordinales α = β, Hα = Hβ,
por el axioma de reemplazo,
B = {α : Hα ∈ PA − {∅}}
es un conjunto. Pero por la suposición anterior, B contiene a todos los
ordinales, luego no es un conjunto, contradicción. Por lo tanto existe
β tal que H(β) = A.
Sea
α = {γ ∈ Sβ : H(γ = A)},
es decir α es el menor ordinal tal que H(α) = A, luego si
β < α , Hβ = A. Definimos
G : α −→ A
β ↦−→ H(β).
Entonces G es una función biyectiva.
3) ⇒ 4).
Sea A un conjunto y sean α y G como en 3).
Entonces R = {〈x, y〉 ∈ A × A : G −1 x ≤ G −1 y} es un buen orden.
4) ⇒ 5).
Sea ≤ un orden parcial con campo A , tal que toda cadena tiene
una cota superior.
Sea S un buen orden cuyo campo es A . Definimos la siguiente
operación unaria.
⎧
⎨ S − menor elemento de {a ∈ A : ∀x(x ∈ F
F (α) =
⎩
∗α → x < a}
si éste es no vacío,
A si no.
Intuitivamente, F (0) elije el S-menor elemento de A . F (1) elije
el S-menor elemento de {a ∈ A : F (0) < a}, etc. En general F (α es
el S-menor elemento de aquellos elementos de A que son ≤-mayores
que aquellos elementos de A que ya han sido elejidos por F en una
etapa anterior a α .
108

Si β < α y F (α) = A, entonces como F (β) ∈ F ∗ α,
F (β) < S − menor{a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗ α → x < a)} = F (α).
Como en la demostración anterior, existe β tal que F (β) = A,
pues si no, por el axioma de reemplazo,
{α : F (α) ∈ A}
es un conjunto de ordinales que contiene a todos los ordinales, lo que
es una contradicción.
Sea α el menor ordinal tal que F (α) = A, es decir,
{a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗ α → x < a)} = ∅.
Vimos antes que para β < γ ∈ α , F (β) < F (γ), es decir, F ∗ α es
una

Entonces, como G es inyectiva, Dom G ⊆ A y Rec G ⊆ B,
T ⊂ T ′ ⊆ R, o sea, T no es maximal, una contradicci’on. Por lo tanto
Dom F = A o bien Rec F = B. En el primer caso F es inyectiva
de A en B , en el segundo caso, F −1 es inyectiva de B en A .
7) ⇒ 8).
Sean A y B conjuntos no vacíos. Supongamos sin pérdida de
generalidad que existe una función inyectiva, f : A −→ B. Sea a ∈ A
y definamos
g : B −→ A
−1 f (x)
g(x) =
a
,
,
si
si
∗ x ∈ f A,
x ∈ B − f ∗A. Entonces g es sobreyectiva.
8) ⇒ AC.
Para demostrar esta implicación debemos demostrar un lema previo.
Lema 4.2. Sea B un conjunto. Entonces
Γ = {α : existe función inyectiva f : α −→ B}
también es un conjunto.
Demostración. Sea M = {R : R es un buen orden y campo
R ⊆ B}. M ⊆ P(PB × PB), por lo tanto M es un conjunto. Como
sabemos, por el teorema 3.27, para todo buen orden R existe un único
ordinal α tal que R y {〈β, γ〉 : β ≤ γ < α}, es decir, el orden de α ,
son isomorfos. Entonces
Γ = {α : existe R ∈ M α es isomorfo con R}.
En efecto, si α ∈ Γ existe una función inyectiva f : α −→ B,
entonces
R = {〈f(β), f(γ)〉 : β ≤ γ < α} ∈ M,
R y α son isomorfos y el isomorfismo es precisamente f .
Supongamos ahora que α es isomorfo a un buen orden R ∈ M y
sea g : α −→ R tal isomorfismo. Entonces por ser isomorfismo, g es
inyectiva y g : α −→ Cam R ⊆ B, es decir α ∈ Γ.
Como M es conjunto, por el axioma de reemplazo, Γ es un
conjunto.
Demostremos ahora el teorema. Sea A un conjunto no vacío de
conjuntos no vacíos. Queremos encontrar una función de elección para
110

A . Como A es conjunto, P A también lo es,luego or el lema recién
demostrado,
Γ = {α : existe función inyectivaf : α −→ P A
es un conjunto de ordinales. Sea β = ∪Γ + 1. Es claro que no
existe una función inyectiva de β en P A ya que β ∈ Γ.
Por otro lado, tampoco existe una función sobreyectiva
f : A −→ β, pues si existiera, podriamos definir
g : β −→ P A
α ↦−→ f −1∗ {α} ,
o sea, existiría una función inyectiva de β en P A, contradiciendo
la última afirmación.
Entonces por 8), existe una función sobreyectiva g : β −→ A.
Definamos
F : A −→ A
a ↦−→ g( g −1∗ a) .
F es una función de elección. En efecto, si x ∈ A, entonces
x ⊆ A y como g es sobreyectiva g −1∗ x = ∅ es un conjunto de
ordinales cuyo menor elemento es g −1∗ x. Es claro entonces que
g( g −1∗ x) ∈ x.
2. Aplicaciones
En todas las ramas de las matemáticas hay importantes aplicaciones
del axioma de elección. A continuación daremos una breve lista con
algunas de éstas.
1. Todo espacio vectorial tiene una base.
2. La unión enumerable de conjuntos enumerables es enumerable.
3. Existe un conjunto de números reales que no es Lebesgue-medible.
4. El producto de espacios compactos es compacto.
5. Todo anillo con unidad tiene un ideal maximal.
6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total.
7. El teorema de Hahn-Banach.
8. El teorema de completud para la lógica de primer orden.
9. Toda álgebra de Boole es isomorfa a un campo de conjuntos.
111

Demostraremos algunas de éstas. Supondremos que el lector maneja
los conceptos involucrados en cada caso.
Teorema 4.3. Todo espacio vectorial tiene una base.
Demostración. Sea V un espacio vectorial y sea A = {B ⊆ V :
B es linealmente independiente}. Consideremos a A parcialmente
ordenado por inclusión.
Sea entonces C = {Bi : i ∈ I} una cadena de elementos de A .
Entonces C ⊆ V y C contiene a todos los miembros de la
cadena.
Veremos ahora que C es linealmente independiente.
Sean v0, v1, . . . , vn−1 ∈ C, luego existe B0, . . . , Bn−1 ∈ C tales
que vi ∈ Bi, i < n. Pero C es una cadena, luego Bi ⊆ Bn−1, i < n,
por lo tanto v0, . . . , vn−1 ∈ Bn−1 y como éste es linealmente independiente,
C es un conjunto linealmente independiente.
Por lo tanto C pertenece a A , luego toda cadena de A tiene
una cota superior y por el lema de Zorn A tiene un elemento maximal.
Probar que un conjunto linealmente independiente maximal es una
base es un ejercicio elemental de algebra lineal.
Teorema 4.4. La unión enumerable de conjuntos enumerables es
enumerable.
Demostración. Recordemos que un conjunto A se dice enumerable
si existe una biyección entre A y ω.
Sea C un conjunto enumerable de conjuntos enumerables. Por simplicidad
podemos suponer que los elementos de C son todos disjuntos.
Si C = {Ai : i ∈ ω}, sea
una biyección. Definimos
fi : ω −→ Ai
F : ω × ω −→ Ai
〈n, m〉 ↦−→ fn(m)
g : ω × ω −→ Ai como sigue
g(n, m) = fn(m).
g es inyectiva ya que si g(n, m) = g(p, q) entonces
fn(m) = fp(q) ∈ An ∩ Ap ,
y como los Aj son disjuntos se tiene que n = p. Entonces como las
fi son inyectivas, m = q, o sea, g es inyectiva.
112

g es sobreyectiva ya que si a ∈ Ai existe n tal que a ∈ An y
como fn es sobreyectiva, existe m tal que
a = fn(m) = g(n, m).
Es decir, existe una biyección g de ω × ω en C .
Por otra parte es bien sabido que existen biyecciones entre ω y
ω × ω (ver el capítulo 5). Si tomamos cualesquiera de ellas, digamos,
h : ω −→ ω × ω,
entonces f = g ◦h es una biyecci’on entre ω y C , luego este último
es enumerable.
Observemos que en la demostración anterior aparentemente no hemos
usado el axioma de elección. Sin embargo éste se usó cuando
escogimos las funciones biyectivas fi , especificamente,
si Bi = {f : ω −→ Ai, f biyectiva }
A = {Bi : i ∈ ω} es un conjunto no vacío de conjuntos no vacíos
(ésto último por hipótesis) luego por el axioma de elección existe para
cada i un elemento
fi ∈ Bi.
Este teorema es el ejemplo clásico de uso encubierto del axioma de
elección. Durante años los matemáticos hicieron uso de argumentos
como el anterior sin darse cuenta de que estaban usando un principio
especial.
Teorema 4.5. Existe un conjunto de números reales que no es
Lebesgue-medible.
Demostración. Definimos sobre [0, 1) la siguiente relación de equivalencia.
x ∼ y ssi x − y ∈ Q
Entonces ∼ induce una partición de [0, 1). Por el principio
de Zermelo, existe un subconjunto B ⊆ [0, 1) tal que B contiene
exactamente un representante de cada clase de equivalencia.
Sea {ri}i∈ω una enumeración de los racionales entre 0 y 1 (ver
capítulo 5) y sea Bi = B + ri = {x + ri : x ∈ B}, donde la suma es
módulo 1 i.e.
x + y =
x + y si x + y < 1
x + y − 1 si x + y ≥ 1
Es bien sabido que si A es un conjunto Lebesgue-medible, entonces
A + a también lo es; más aún, m(A) = m(A + a).
113

Notemos que todo x ∈ [0, 1) pertenece a algún Bi puesto que ∼
induce una partición de [0, 1). Por lo tanto
[0, 1) =
bi.
Además la unión es disjunta ya que Bi ∩ Bj = ∅ si i = j. En efecto,
si x, y ∈ B y
x + ri = y + rj
entonces x − y = rj − ri ∈ Q , o sea, x ∼ y y como B contiene
un solo representante de cada clase de equivalencia, x = y, entonces
ri = rj, o sea, i = j, contradicción, luego
Por lo tanto
i∈ω
i = j ⇒ Bi ∩ Bj = ∅.
m([0, 1) = m(
Bi) =
m(Bi).
i∈ω
Si B fuera medible, por la observación hecha anteriormente, para
todo i ∈ ω, m(Bi) = m(B), entonces si m(B) = 0, m( Bi) = 0 y
si m(B) = 0, m( Bi) = ∞, pero m([0, 1)) = 1, por lo tanto B no
puede ser medible.
Teorema 4.6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total
sobre el mismo campo.
Demostración. Sea ≤ un orden parcial, B = Cam ≤.
Consideremos el conjunto de todos los órdenes totales que extienden
a ≤
A = {R ⊆ B × B : R es un orden total y ∀x, y(x ≤ y → x Ry),
A está ordenado por inclusión.
Sea {Ri}, i ∈ I, una cadena de elementos de A . Es claro que
Ri es un orden total y que si x ≤ y, entonces x Ri y, es decir
Ri es una cota superior de la cadena que pertenece a A , luego, por
el lema de Zorn, A tiene un elemento maximal. Llamemoslo M.
Para demostrar nuestro teorema es suficiente probar que campo
M = B. Supongamos que no es así, entonces existe a ∈ B − Cam M.
Definimos el nuevo orden R como sigue
R = M ∪ {〈x, a〉 : x ∈ Cam M, a ≤ x} ∪ {〈a, x〉 : x ∈ Cam M, x ≤ a}.
114
i∈ω

Es fácil verificar que R es un orden total que extiende a M,
contradicción.
Ejercicios.
1. Demuestre sin usar el axioma de elección que todo conjunto tiene
una función de elección. (Indicación: Use inducción sobre el
número de elementos del conjunto).
2. Demuestre que el conjunto K definido el el teorema 4.1, 2) ⇒
AC es efectivamente un conjunto y que el conjunto P es una
partición de K .
3. Complete los detalles de la demostración de 4.1, 5) ⇒ 6).
4. Demuestre que la relación R definida en la demostración del
teorema 4.1, 6) ⇒ 7), es efectivamente un orden parcial.
5. Demuestre que toda relación binaria contiene una funció con el
mismo domino.
115

116

CAPITULO 5
Cardinales
En este capítulo investigaremos uno de los tópicos más importantes
de la teoría de conjuntos, a saber, la teoría de la cardinalidad o número
de elementos que tiene un conjunto. Hasta el momento sabemos cómo
contar los elementos de los conjuntos finitos. En este capítulo formalizaremos
estos conceptos intuitivos y los generalizaremos a conjuntos
infinitos. La mayor parte de los teoremas de este capítulo dependen
del axioma de elección. Indicaremos éstos mediante el símbolo † .
1. Definiciones y Resultados Básicos
Definición 5.1. i) Dos conjuntos A y B son equinumerosos
ssi existe una biyección entre A y B . En tal caso escribimos
A ∼ B.
ii) Un ordinal α es un cardinal ssi α no es equinumeroso con
ninguno de sus elementos.
Si α es un cardinal escribimos Car (α). En general usaremos
letras góticas minúsculas m, n, p · · · para designar cardinales.
Ejemplo.
1. Dos intervalos de números reales son siempre equinumerosos.
Para demostrar esto basta ver que
f : [a, b] −→ [c, d]
x
es una biyección.
↦−→
d − c cb − ad
x +
b − a b − a
2. Todo intervalo abierto es equinumeroso con el conjunto de los
números reales.
Considérese la función
tan : (− π π
, )
2 2
−→ R
Sabemos que tan x es una biyección. Una función similar a la
del ejemplo anterior demuestra que cualquier intervalo abierto es
equinumeroso con (− π π , 2 2 ).
117

3. ω y ω × ω son equinumerosos.
Considérese la función
f : ω × ω −→ ω
〈m, n〉 ↦−→ 2 m (2n + 1) − 1 .
f es una biyección.
Resulta claro que la relación “ser equinumeroso” es reflexiva, simétrica
y transitiva, pero no es una relación dentro de nuestra teoría
ya que su campo es la clase de todos los conjuntos. Naturalmente,
si nos restringimos a un conjunto particular, ésta es una relación de
equivalencia.
En el caso finito, la cantidad de elementos de un conjunto nos sirve
como una noción de tamaño. Para ello se identifica todos aquellos
conjuntos que tienen el mismo número de elementos, en otras palabras,
todos aquellos que son equivalentes bajo la “relación”anterior. Una
posible idea es definir la cardinalidad de un conjunto como su “clase
de equivalencia” bajo la relación de equinumerosidad, sin embargo, es
claro que la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacío es una
clase propia, por lo tanto no existen dentro de nuestra teoría,luego no
podemos usarlas como “cardinales”.
Para conjuntos finitos, es fácil ver que en cada “clase de equivalencia”
habrá un único número natural, éste se conoce habitualmente
como la cardinalidad o número de elementos del conjunto, vale decir,
aquel único natural con el que es equinumeroso. Podemos tratar de
generalizar la idea anterior a conjuntos infinitos, sin embargo, hay dos
dificultades, la primera es que dado un conjunto infinito cualquiera, no
podemos garantizar que exista algún ordinal que es equinumeroso con
él. De hecho tal afirmación es ni más ni menos, el principio del buen
orden, es decir, equivalente con el axioma de elección. En segundo lugar,
es fácil ver que si existe un ordinal equinumeroso con un conjunto
infinito dado, éste no será nunca único, como lo demuestra por ejemplo
la función que aparece en la demostración del teorema 5.3, la que nos
dice que α y α + 1 son siempre equinumerosos.
Por estos motivos, la manera de extender la noción de cardinalidad
de los conjuntos finitos a los infinitos es suponer el Axioma de Elección
y escoger un representante de cada una de las “clases de equivalencia”,
a saber, el menor ordinal que pertenece a ella. Necesitamos antes un
par de resultados.
Teorema 5.1. Si m = n, entonces m y n no son equinumerosos.
Demostración. Como m y n son ordinales distintos m ∈ n o
n ∈ m, luego m y n no son equinumerosos por definición de cardinal.
118

Teorema 5.2. † Para todo conjunto A existe un único cardinal n
tal que A y n son equinumerosos.
Demostración. Por el principio de enumeración existe un ordinal
α tal que A es equinumeroso con α . Sea
m = {β ∈ Sα : A ∼ β},
o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacío {β ∈ Sα : A ∼ β},
es claro entonces que A ∼ m.
Por último, si existiera β ∈ m tal que β ∼ m, tendríamos que β ∼
A, luego m no es el menor elemento del conjunto anterior, contradicción.
Por lo tanto m es un cardinal.
Resulta claro que m no depende del ordinal α usado en la definición.
Definición 5.2. La cardinalidad |A| de un conjunto A es el único
cardinal m tal que A ∼ m. Decimos también que m es el cardinal de
A .
Teorema 5.3. Si A , B son conjuntos y α es un ordinal,
i) A ∼ B ssi |A| = |B|.
ii) A ∼ |A|.
iii) |α| ≤ α.
iv) Si α ∼ A, entonces |A| ≤ α.
v) α es un cardinal ssi |α| = α.
vi) Si ω ≤ α, entonces |α + 1| = α.
Demostración. vi) Si ω ≤ α, entonces α = ω + γ. Definimos
f : α + 1 −→ α como sique
⎧
⎨ 0 si x = α,
f(x) = x + 1
⎩
x
si
si
x ∈ ω,
x ∈ ω, x = α .
Es claro que f es una biyección.
El próximo teorema es probablemente el resultado más importante
sobre cardinalidad que puede demostrarse sin usar el axioma de elección.
Teorema 5.4. Cantor - Schroeder - Bernstein
Si A y B son dos conjuntos tales que existen funciones inyectivas
f : A −→ B y g : B −→ A, entonces |A| = |B|.
119

Demostración. Notemos primero que si
entonces
A1 = g ∗ f ∗ A
A1 ∼ A
ya que g ◦ f : A −→ A1 es claramente inyectiva y sobreyectiva.
Por otra parte, si D = g ∗ B, entonces D ∼ B.
Sea h = g ◦ f y definamos
A0 = A , D0 = D
An+1 = h ∗ An , Dn+1 = h ∗ Dn
.
En el diagrama los An son los cuadrados y los Dn son los círculos.
Ahora podemos demostrar por inducción que para todo n ∈ ω,
An+1 ⊆ Dn ⊆ An.
Definimos F : A −→ D
h(x) , si x ∈ (An − Dn)
F (x) =
x , si no
Observe que (An − Dn) es la zona sombreada en el dibujo.
F es inyectiva ya que para x, y ∈ A, tenemos tres posibilidades
x, y ∈ (An − Dn), x, y ∈ (An − Dn) ó x ∈ (An − Dn) y
y ∈ (An−Dn). En los dos primeros casos es claro que si F (x) = F (y),
entonces x = y. Nos queda la tercera posibilidad pero en este caso
F (x) = h(x) y x ∈ An − Dn para algún n , luego h(x) ∈ An+1. Si
suponemos que h(x) ∈ Dn+1, entonces h(x) = h(z) para algún z ∈ Dn
(ya que Dn+1 = h ∗ Dn) pero como h es inyectiva, z = x, es decir
x ∈ Dn pero x ∈ An − Dn, contradicción luego h(x) ∈ An+1, o sea,
h(x) ∈ (An − Dn) y por lo tanto
120

F (x) = h(x) = y = F (y).
Para ver que F es sobreyectiva recordemos primero que para todo
n = 0, An ⊆ D ⊆ A. Sea x ∈ D y n el menor natural tal que
x ∈ An, entonces x ∈ An−1. Si x ∈ Dn−1, n − 1 = 0 y entonces x ∈
An−1 − Dn−1 y por lo que vimos anteriormente, x ∈ h ∗ (An−2 − Dn−2),
luego x = h(y) = F (y) para algún y ∈ (An − Dn).
Si x ∈ Dn−1, x ∈ (An − Dn) pues x ∈ An para m ≥ n y
x ∈ Dm para m < n. Por lo tanto, x = F (x). En cualquier caso
x ∈ F ∗ A luego F es sobreyectiva.
Hemos demostrado que
A ∼ D ∼ B, luego |A| = |B|.
Teorema 5.5. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|.
Demostración. Supongamos por el contrario que |B| < |A| y
sean f, g biyecciones
A
f
−→ |A|
j ↓ ↑ i
B
g
−→ |B|
donde i y j son la función identidad. Entonces j : A −→ B es
inyectiva, f −1 ◦ i ◦ g : B −→ A es inyectiva, luego por el teorema 5.4,
|A| = |B|, contradicción luego |A| ≤ |B|.
Teorema 5.6. † Las siguientes tres condiciones son equivalentes.
i) |A| ≤ |B|.
ii) Hay una función inyectiva f : A −→ B.
iii) A = ∅ o hay una función sobreyectiva g : B −→ A.
Demostración. i) ⇒ ii)
Sean f : A −→ |A|, g : |B| −→ B biyecciones, entonces g ◦ f :
A −→ B es inyectiva.
ii) ⇒ iii)
Sea A = ∅, a ∈ A y f : A −→ B inyectiva. Definimos
g : B −→ A como sigue.
g(x) =
entonces g es sobreyectiva.
f −1 (x) , si x ∈ f ∗ A ,
a , si no ,
121

iii) ⇒ i) †
Supongamos A = 0 y sea g : B −→ A sobreyectiva. Entonces
g −1∗ A induce una partición de B , a saber, {g −1∗ {a} : a ∈ A}. Por el
axioma de elección, escogemos un sistema de representantes para esta
partición. Definimos f : A −→ B asignando a x ∈ A el representante
de g −1∗ {x} anteriormente elegido. Es claro que f es inyectiva, luego,
|A| ∼ |f ∗ A| y f ∗ A ⊆ B, luego por 5.5, |A| = |f ∗ A| ≤ |B|.
Observemos que el axioma de elección se usa solamente en la demostración
de iii) ⇒ i). Todas las otras implicaciones se pueden demostrar
sin ese axioma. Todavía no hemos dado ningún ejemplo de
cardinal. Los siguientes dos teoremas remedian esta situación.
Teorema 5.7. Si n ∈ ω, entonces n es un cardinal.
Demostración. Por inducción.
Es claro que 0 es un cardinal.
Supongamos que n es un cardinal y n + 1 no lo es. Entonces
existe m < n + 1 tal que m ∼ n + 1, es claro que m = 0. Sea
f : n + 1 −→ m una biyección. Podemos suponer que f(n) = m − 1,
porque si no, mediante una permutación apropiada lo podemos lograr.
Entonces f ↾ n : n −→ m − 1 es una biyección, luego, por hipótesis
de inducción, m − 1 = n, o sea, m = n + 1, una contradicción. Por lo
tanto n + 1 es cardinal, lo que completa nuestra inducción.
Teorema 5.8. ω es cardinal.
Demostración. Sabemos por 5.3, iii), que |ω| ≤ ω. Si |ω| <
ω, |ω| = m para algún número natural m.
Pero m ⊆ m + 1 ⊆ ω, luego
|ω| = m = |m| ≤ |m + 1| = m + 1 ≤ |ω|
luego m = m + 1, contradicción.
Luego |ω| = ω.
Teorema 5.9. Cantor
Para todo A, |A| < |PA|.
Demostración. Es claro que |A| ≤ |PA| ya que la asignación
a ↦−→ {a} define una función inyectiva de A en PA.
Supongamos que existe una función sobreyectiva f : A −→ PA y
sea
122

B = {x ∈ A : x ∈ f(x)}.
Como B ⊆ A y f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que B = f(a).
Entonces si a ∈ B, por definición a ∈ f(a), luego a ∈ B. Si
a ∈ B, entonces a ∈ f(a), o sea, a ∈ B, es decir,
a ∈ B si y sólo si a ∈ B,
contradicción, luego tal función sobreyectiva no puede existir y |A| =
|PA|.
Corolario 5.10. Dado un ordinal α , existe un cardinal m > α.
Demostración. Basta considerar m = |Pα|.
Corolario 5.11. No existe el conjunto de todos los cardinales.
Demostración. Si existiera el conjunto C de todos los cardinales,
por el teorema recién demostrado, el conjunto
{α ∈ n : α < n}
∈C
contendría a todos los ordinales y por lo tanto éstos constituirían
también un conjunto.
Teorema 5.12. Si Γ es un conjunto de cardinales, entonces Γ
es un cardinal.
Demostración. Supongamos Γ no es un cardinal, entonces,
| Γ| < Γ (recordemos que Γ es un ordinal). Luego, existe
n ∈ Γ
pero n ⊆ Γ y
| Γ| ∈ n ∈ Γ ,
| Γ| < n = |n| ≤ | Γ| .
Definición 5.3. Para todo ordinal α, α + es el menor cardinal
mayor que α .
Definimos la operación ℵ (aleph) recursivamente para todo ordinal.
123

Ejercicios.
ℵ0 = ω
ℵα+1 = (ℵα) +
ℵλ =
ℵα, si λ es límite.
α

13. Demuestre las partes del teorema 5.3 que no fueron demostradas
en el texto.
14. Haga la inducción mencionada en la demostración del teorema
5.4.
15. Demuestre directamente, sin usar el axioma de elección, la equivalencia
de las dos primeras afirmaciones del teorema 5.6.
16. Demuestre directamente, sin usar el axioma de elección, la implicación
i) ⇒ iii) del teorema 5.6.
17. Probar que para intervalos de números reales se tiene (a, b) ∼
[a, b].
18. Probar que ω y | ω 2| son cardinales distintos.
19. Probar que |Q| = |Q[x]| = ω, donde Q[x] es el conjunto de
polinomios en x con coeficientes en Q.
20. Sea R el conjunto de todas las raíces reales de polinomios de
Q[x]. Probar que |R| = ω.
21. Si B ⊆ A y ω ⊆ |B| < |A|, cual es la cardinalidad de A − B ?.
22. Probar que α es un cardinal tal que ω < α si y sólo si α es
ordinal límite.
23. Para α y β ordinales, probar o dar contraejemplo de:
(a) Si α y β son cardinales, entonces α + β es cardinal.
(b) Si α y β son cardinales, entonces α · β es cardinal.
(c) |α + β| = |α| + |β|.
(d) |α · β| = |α| · |β|.
(e) Si α < β, entonces |α| < |β|.
24. Sean A , B y C conjuntos. Probar que:
(a) Si B = ∅, entonces |A| ≤ | B A|.
(b) SI B ⊆ C, entonces | B A| ≤ | C A|.
(c) Si |B| ≥ 2, entonces |A| ≤ | A B|.
25. Probar que para todo α , ℵα es un cardinal.
26. Probar que:
(a) ℵα = ℵβ si y sólo si α = β.
(b) ℵα < ℵβ si y sólo si α < β.
27. Probar que para todo cardinal α existe un ordinal β tal que
α < ℵβ.
2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos
En esta sección daremos un marco formal a la nociones intuitivas
de finitud e infinitud yveremos algunas diferencias entre estos dos tipos
de conjuntos.
Definición 5.4. i) Un conjunto A es finito si |A| < ℵ0.
ii) A es infinito si |A| ≥ ℵ0.
125

iii) A es enumerable si |A| = ℵ0.
Una consecuencia inmediata de esta definición es que los números
naturales son finitos, es más, la cardinalidad de un conjunto finito es
siempre un número natural. Así por ejemplo
|{x}| = 1 ,
|{x, y}| = 2 , si x = y, etc.
Teorema 5.13. Si A ⊆ B o existe una función sobreyectiva f :
B −→ A, entonces:
i) Si A es infinito, B es infinito,
ii) † Si B es finito, A es finito.
Demostración. Si A ⊆ B, use el teorema 5.5.
Si existe una función sobreyectiva f : B −→ A, entonces como
existe una biyección g : |A| −→ A, tenemos que
g ◦ f : |A| −→ B
es una función sobreyectiva, luego por el teorema 5.6, |A| ≤ |B|. (Aquí
es donde hemos usado el axioma de elección.)
La conclusión del teorema se sigue de esta afirmación.
Teorema 5.14. Si A es finito y B ⊂ A, entonces |B| < |A|.
Demostración. Sea b ∈ A − B y f : A −→ m una biyección.
Podemos suponer que f(b) = m − 1 pues si f(b) = m − 1 podemos
permutar dos valores de f y la función resultante sigue siendo biyectiva.
Entonces
f ↾ B : B −→ m − 1
es inyectiva y por el teorema 5.6,
|B| ≤ m − 1 < m = |A|.
Recuérdese que esta parte del teorema 5.6 no requiere del axioma de
elección.
El teorema anterior caracteriza a los conjuntos finitos, de hecho, se
puede definir conjunto infinito como un conjunto que es equinumeroso
con uno de sus subconjuntos propios. Un conjunto que satisface esta
propiedad se dice Dedekind–infinito. Se necesita el axioma de elección
para demostrar que ser infinito y ser Dedekind–infinito es equivalente.
Teorema 5.15. † Un conjunto A es infinito si y sólo si A es
equinumeroso con uno de sus subconjuntos propios.
126

Demostración. ⇐) Por el teorema anterior.
⇒) † Como A es infinito, |A| ≥ ℵ0 = ω, luego existe una función
inyectiva f : ω −→ A. Definamos
h : A −→ A − {f(0)} como sigue
h(x) =
es claro que h es biyectiva.
f(f −1 (x) + 1) si x ∈ f ∗ ω,
x si x ∈ f ∗ ω.
Teorema 5.16. Si A y B son finitos, |A| = |B| y f : A −→ B,
entonces f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva.
Demostración. ⇒) Supongamos f es inyectiva. Si f no es
sobreyectiva, entonces como f ∗ A ⊆ B, por 5.14
|A| = |f ∗ A| < |B|,
contradicción.
⇐) Supongamos que f es sobreyectiva. Entonces f induce la siguiente
partición sobre A :
{f −1∗ {b} : b ∈ B}
Podemos seleccionar un representante de cada elemento de la partición
y definir
g : B −→ A
b ↦−→ el representante de f −1∗ {b} seleccionado.
Obsérvese que como B es finito, la partición indicada es finita y por lo
tanto para seleccionar un representante de cada elemento de la partición
no es necesario el axioma de elección.
Es claro que f(g(b)) = b y que g es inyectiva. Aplicando la primera
parte de esta demostración a g, ésta es sobreyectiva, es decir, g es
biyectiva. Por último f = g −1 , luego f es inyectiva.
Ejercicios.
1. Demuestre que un conjunto A es Dedekind–infinito si existe una
función inyectiva de A en A , que no es sobreyectiva.
2. Sea F una función de A sobre B , con A enumerable. Probar
que |B| ≤ ℵ0.
127

3. Probar que, si A y B son finitos, entonces A ∪ B, A × B y
A B son finitos. Si A o B son enumerables ¿es alguno de los
conjuntos mencionados infinito no numerable?.
4. Probar que A es infinito si y sólo si existe un subconjunto enumerable
de A .
5. Probar que si A es infinito y B no es vacío, entonces A × B es
infinito.
6. Probar que si A es infinito y B ⊆ A es finito, entonces A − B
es infinito.
7. Probar que A es infinito si y sólo si para todo n ∈ ω existe
B ⊆ A con B ∼ n.
8. Sean A infinito y B enumerable. Probar que A ∼ (A ∪ B).
9. Probar que si A es enumerable y x ∈ A, entonces A − {x} es
enumerable.
Probar que A es infinito si y sólo si A ∼ (A − {x}).
10. Probar que si PA es infinito, entonces A es infinito.
11. Probar que todo subconjunto de un conjunto enumerable es finito
o enumerable.
12. Probar que si A y B son enumerables, entonces A × B es
enumerable. Probar lo mismo si B es finito no vacío.
13. Sea (Ai)i∈ω una familia de conjuntos enumerables. Probar que
i∈ω Ai es enumerable.
14. Probar que si A es enumerable, entonces existe B ⊆ A enumerable
tal que A − B es enumerable.
15. Probar que si n ∈ ω, entonces ω n es enumerable (exponen-
ciación ordinal).
16. Probar que si I = ω, entonces
i∈I ωi es enumerable.
17. Probar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un
conjunto enumerable es enumerable.
18. Probar que si A es infinito, entonces A es enumerable si y sólo
si A ∼ B para todo B ⊆ A infinito.
19. Probar que si A es el conjunto de los subconjuntos infinitos de
ω, entonces |A| = | ω 2|.
20. Sea a = (an)n∈ω una familia de naturales. Entonces:
(a) Diremos que a es eventualmente constante si existen n0 ∈
ω y s ∈ ω tales que an = s para todo n ≥ n0. Probar
que el conjunto de las familias eventualmente constantes
de números naturales es enumerable.
(b) Diremos que a es eventualmente periódica si existen n0 ∈
ω y p ∈ ω − 1 tales que an+p = an para todo n ≥
n0. Probar que el conjunto de las familias eventualmente
periódicas de números naturales es enumerable.
128

(c) Diremos que a es progresión aritmética si existe d ∈ ω tal
que an+1 = an + d, para todo n ∈ ω. Probar que el conjunto
de las progresiones aritméticas de números naturales
es enumerable.
21. Probar que una partición de un conjunto enumerable tiene un
conjunto de representantes, sin usar el Axioma de Elección o
alguno de sus equivalentes.
22. Sea ϕ una fórmula con variable libre x . Probar que si A es
finito y se verifica ϕ(∅) y para todo x ∈ A y todo B ⊆ A
si se verifica ϕ(B), también se verifica ϕ(B ∪ {x}), entonces se
verifica ϕ(A).
23. Probar que A es finito si y sólo si A pertenece a todo conjunto
K tal que ∅ ∈ K y para todo x ∈ A y todo B ⊆ A tal que
B ∈ K, se tenga B ∪ {x} ∈ K.
24. Probar que A es finito si y sólo si A pertenece a todo conjunto
K tal que ∅ ∈ K, y x ∈ A implica {x} ∈ K y, si B ∈ K y
C ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K.
25. Probar que A es finito si y sólo si PA es el único conjunto K
tal que K ⊆ PA, ∅ ∈ K, x ∈ A implica {x} ∈ K, y si B ∈ K
y C ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K.
26. Probar que, si A es enumerable, entonces existe una familia B
de conjuntos tal que:
(a) B es enumerable,
(b) si C ∈ B, entonces C es enumerable,
(c) Si C y D están en B , y C = D, entonces C ∩ D = ∅ , y
(d) B = A.
Probar el recíproco usando el Axioma de Elección.
3. Aritmética Cardinal
En esta sección definiremos suma, producto y exponenciación de
cardinales y algunas de sus propiedades. También veremos que estas
operaciones tienen una interpretación intuitiva.
3.1. Suma de Cardinales.
Definición 5.5. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales. La
suma cardinal de los mi denotada por
mi es el cardinal del conjunto
i∈I
{〈i, α〉 : α ∈ mi}
i∈I
129

Si I = 2, escribimos
i∈2
mi = m0 +c m1
Más generalmente si i = n, escribimos
i∈n
mi = m0 +c · · · +c mn−1.
La idea de la definición es que la suma de cardinales representa la
cardinalidad de la unión de conjuntos disjuntos que tienen las cardinalidades
indicadas, así por ejemplo,
como
m0 +c m1 = |{(0, α) : α ∈ m0} {(1, α) : α ∈ m1}|
|{(0, α) : α ∈ m0}| = m0 y |{(1, α) : α ∈ m1}| = m1,
la finalidad de tomar estos conjuntos de pares ordenados es simplemente
disjuntar los conjuntos (obviamente m0 y m1 no son disjuntos).
El siguiente teorema nos dice que no importa qué conjuntos usemos
para calcular la suma siempre que estos sean disjuntos y tengan las
cardinalidades adecuadas.
Teorema 5.17. †
Si 〈Ai : i ∈ I〉 y 〈Bi : i ∈ I〉 son familias de conjuntos disjuntos
dos a dos tales que para todo i ∈ I Ai ∼ Bi, entonces
Ai ∼
Bi ∼
|Ai|
i∈I
i∈I
Demostración. Para i ∈ I, sea fi : Ai −→ Bi una biyección.
Definimos
f :
Ai −→ Bi
i∈I
i∈I
a ↦−→ fi(a) , si a ∈ Ai.
f está bien definida ya que los Ai son disjuntos a pares, luego a no
puede pertenecer a dos de ellos al mismo tiempo. Es claro también que
f es biyectiva. Obsérvese que f =
i∈I fi.
Teorema 5.18.
|
Ai| ≤
|Ai|.
i∈I
130
i∈I

En particular
mi ≤
mi.
i∈I
Demostración. Si |Ai| = mi para cada i ∈ I, sea fi : mi −→ A
biyectiva y definamos:
i∈I
g :
{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→ Ai
i∈I
〈i, α〉 ↦−→ fi(a).
Es fácil ver que g es sobreyectiva luego por 5.6, |
i∈I Ai|
≤
i∈I |Ai|.
Algunas propiedades elementales de la suma de cardinales están
resumidas en el próximo teorema.
Teorema 5.19. i)
0 = 0.
ii)
mi = 0.
i∈I
i∈0
iii) Si I ⊆ J, entonces
mi ≤
mi.
i∈I i∈J
iv) Si mi ≤ ni, para i ∈ I, entonces
v)
1 = m.
β<
i∈I
mi ≤
ni.
Demostración. i) y ii) son obvias a partir de la definición.
iii) Basta notar que
{〈i, α〉 : α ∈ mi} ⊆
{〈i, α〉 : α ∈ mi},
i∈I
luego aplicar 5.5.
iv) Idem iii) ya que
{〈i, α〉 : α ∈ mi} ⊆
{〈i, α〉 : α ∈ ni}
i∈I
v) Obsérvese que
i∈J
i∈I
f : m −→
{〈β, α〉 : α ∈ 1}
β∈
β ↦−→ 〈β, 0〉
131
i∈I

es una biyección.
Teorema 5.20. (Conmutatividad Generalizada)
Si 〈mi : i ∈ I〉 es una familia de cardinales y σ es una permutación
de I (i.e. σ : I −→ I es una biyección), entonces
mi =
i∈I
Demostración. Considérese
i∈I
mσ(i)
f :
{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→
{〈i, α〉 : α ∈ mσ(i)}
i∈I
i∈I
〈i, α〉 ↦−→ 〈σ −1 (i), α〉.
Es claro que f es biyectiva, por ejemplo, para verificar que f es
sobreyectiva, sea 〈k, β〉 ∈
i∈I {〈i, α〉 : α ∈ mσ(i)} es decir k ∈ I y
β ∈ mσ(k).
Sea j = σ(k), entonces
f(〈j, β〉) = 〈σ −1 (j), β〉 = 〈k, β〉,
con 〈j, β〉 ∈
i∈I {〈i, α〉 : α ∈ mi}, luego f es sobreyectiva.
Teorema 5.21. (Asociatividad generalizada)
Sea {〈mij : 〈i, j〉 ∈ I × J〉} una familia de cardinales. Entonces
mij =
(
mij).
〈i,j〉∈I×J
i∈I
j∈J
Demostración. Para cada 〈i, j〉 ∈ I × J definimos
Aij = {〈〈i, j〉, α〉 : α ∈ mij}.
Entonces los Aij sondisjuntos a pares y |Aij| = mij, para todo
〈i, j〉 ∈ I × J. Por el teorema 5.17,
mij = |
Aij|.
〈i,j〉∈I×J
Además, para cada i ∈ I,
〈i,j〉∈I×J
|
Aij| =
j∈J
132
j∈J
mij.

Pero 〈
j∈J Aij : i ∈ I〉 es también una familia de conjuntos disjuntos
a pares luego
|
Aij| = |
(
Aij)|.
i∈I
j∈J
i∈I
j∈J
Para terminar basta con notar que
Aij =
〈i,j〉∈I×J
i∈I j∈J
Aij ,
por asociatividad de la unión. Juntando los cuatro resultados anteriores,
mij =
(
mij.
〈i,j〉∈I×J
Para completar estos resultados sobre la suma cardinal veremos
algunos teoremas sobre cardinales finitos.
Teorema 5.22. Para todo par de números naturales m, n,
i∈I
j∈J
m +c n = m + n
Demostración. Por inducción sobre n .
Si n = 0, es fácil comprobar que m +c 0 = m y lo dejamos como
ejercicio. Luego
m +c 0 = m = m + 0
Antes de demostrar el paso inductivo demostraremos que m+c 1 =
m + 1. En efecto,
f : {〈0, ℓ〉 : ℓ ∈ m} ∪ {〈1, 0〉} −→ m + 1
〈0, ℓ〉 ↦−→ ℓ
〈1, 0〉 ↦−→ m
es una biyección, luego m +c 1 = m + 1.
Supongamos ahora que m +c n = m + n entonces
m +c Sn = m +c (n + 1)
= m +c (n +c 1) , por lema,
= (m +c n) +c 1 , por 5.21,
= (m + n) + 1 , por hipótesis y lema,
= m + (n + 1)
= m + Sn
Esto completa la inducción.
133

Corolario 5.23. Si A y B son finitos, entonces A B también
lo es.
Demostración. Por 5.17, |A∪B| ≤ |A|+c|B| = |A|+|B| < ω.
3.2. Producto de Cardinales.
Definición 5.6. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales.
El producto cardinal de los mi es
Xi∈Imi = |
mi|
Si I = 2, Xi∈Imi se escribe m0 ×c m1.
En general si I = n, Xi∈Imi = m0 ×c m1 ×c · · · ×c mn−1.
Como en el caso de la suma, el producto de cardinales no depende de
los conjuntos que empleemos para calcularlo, sólo de las cardinalidades
de esos conjuntos.
Teorema 5.24. † Si |Ai| = |Bi| para todo i ∈ I, entonces
|
Ai| = |
Bi|.
i∈I
Demostración. Sea fi : Ai −→ Bi una biyección. Consideremos
i∈I
i∈I
f :
Ai −→
i∈I
definida por
f(a)(i) = fi(a(i)),
Para todo a ∈
i∈I Ai.
Veamos que f es inyectiva.
Si
decir
f(a) = f(b), entonces para todo i ∈ I f(a)(i) = f(b)(i), es
i∈I
fi(a(i)) = fi(b(i)),
pero como para todo i ∈ I, las funciones fi son inyectivas, a(i) = b(i),
es decir, a = b.
Para verificar que f es sobreyectiva. Sea b ∈
i∈I Bi y sea
a(i) = f −1
i (b(i)). Tal a(i) existe por ser fi biyectiva. Es claro que
f(a) = b.
Por lo tanto f es biyección y
i∈I Ai ∼
i∈I Bi.
Corolario 5.25. |
i∈I Ai| = Xi∈I|Ai| y en particular |A × B| =
|A| ×c |B|.
134
Bi

El próximo teorema resume algunas propiedades elementales de el
producto cardinal.
Teorema 5.26.
Xi∈Imi = 0.
ii) Xi∈∅mi = 1.
iii) Xi∈I1 = 1.
iv)
i) Si mi = 0 para algún i ∈ I, entonces
m = |I| × m.
i∈I
v) Si mi ≤ ni, para todo i ∈ I, entonces Xi∈Imi ≤ Xi∈Ini.
Demostración. i) En este caso
i∈I mi = ∅.
ii)
i∈∅ mi = {0}
iii)
i∈I 1 = {f}, donde f(i) = 0, para todo i ∈ I.
iv) Nótese que
I × m =
{〈i, α〉 : α ∈ m},
i∈I
luego por definición,
m = |
{〈i, α〉 : α ∈ m}|
v) En este caso
i∈I
i∈I
= |I ×c m|
= |I| ×c m.
mi ⊆
ni.
Teorema 5.27. (Conmutatividad Generalizada)
Si σ es una permutación de I , entonces
i∈I
i∈I
Xi∈Imi = Xi∈Imσ(i).
Demostración. Considérese la biyección
f :
mi −→
definida por
i∈I
i∈I
f(a)(i) = a(σ(i)).
mσ(i),
Teorema 5.28. (Asociatividad Generalizada)
X〈i,j〉∈I×Jmij = Xi∈I(Xj∈Jmij).
135

Demostración. Por el teorema 5.24
Xi∈I(Xj∈Jmij) = |
(
mij)|
i∈I
X〈i,j〉∈I×Jmij = |
j∈J
mij|
〈i,j〉∈I×J
Definimos F :
〈i,j〉∈I×J mij −→
i∈J (j∈J
mij)
Es claro que F es biyección.
F (f)(i)(j) = f(〈i, j〉).
Teorema 5.29. (Distributividad)
Si para todo i ∈ I ni es un cardinal,
ni =
m ×c ni.
n ×c
i∈I
Demostración. Notemos primero que
m ×c ni = |
{〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}|,
i∈I
ya que para todo i ∈ I,
Por otra parte
i∈I
i∈I
n ×c ni ∼ {〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}.
n ×c
ni = |m ×c {〈i, β〉 : β ∈ ni}|.
i∈I
Por último
F : m ×c {〈i, β〉 : β ∈ ni} −→
{〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}
i∈I
es obviamente biyectiva.
i∈I
i∈I
〈α, 〈i, β〉〉 ↦−→ 〈i, α, β〉
El siguiente teorema tiene por consecuencia el que las operaciones
de suma y producto cardinal para el caso infinito son en algún sentido
triviales.
Teorema 5.30. Sea m un cardinal infinito. Entonces
m ×c m = m
136

Demostración. Supongamos que esto es falso. Sea m el menor
cardinal tal que m ×c m = m. Definiremos un orden sobre el producto
cartesiano m ×c m y demostraremos que éste es un buen orden.
Para α, β, γ, δ ∈ m definimos
〈α, β〉 〈γ, δ〉
si y sólo si
1. α = γ y β = δ ó
2. α ∪ β < γ ∪ δ ó
3. α ∪ β = γ ∪ δ y α < γ ó
4. α ∪ β = γ ∪ δ y α = γ y β ≤ δ.
No demostraremos que es un orden lineal sobre m ×c m pues
su demostración es rutinaria. Para ver que es un buen orden, sea
Γ ⊆ m ×c m no vacío.
Sea
γ = {α ∪ β : 〈α, β〉 ∈ Γ},
es claro que γ existe pues es el menor elemento de un conjunto no
vacío de ordinales.
Sea
δ = {α : 〈α, β〉 ∈ Γ} para algún β y α ∪ β = γ}.
Finalmente sea
ε = {β : 〈δ, β〉 ∈ Γ}
Es fácil ver que 〈δ, ε〉 es el menor elemento de Γ.
Luego, es un buen orden con campo m ×c m y por lo tanto es
isomorfo a algún ordinal α .
Sea f : α −→ m ×c m el isomorfismo (i.e. si β < γ ∈ α, entonces
f(β) f(γ)). Nótese que en particular, α ∼ m ×c m.
Supongamos que α ≤ m. Entonces
m ×c m = |m ×c m| = |α| ≤ m = m ×c 1 ≤ m ×c mc
donde para el último paso hemos usado 5.26, v) , o sea, m ×c m = m,
una contradicción.
Por lo tanto α > m, es decir m ∈ Dom f. Sean
f(m) = 〈β, γ〉 ∈ m × m
δ = (β ∪ γ) + 1.
Como m es límite, δ ∈ m y β ∪ γ < δ = δ ∪ δ por lo tanto
(β, γ (δ, δ).
De hecho para todo ε < m
137

Por lo tanto
es inyectiva, luego,
f(ε) f(m) 〈δ, δ〉 y f(ε) = δ.
f ↾ m : m −→ δ × δ
m ≤ |δ × δ| = |δ| ×c |δ|.
Como δ < m, o bien, δ es finito, o bien |δ| ×c |δ| = |δ|.
En el primer caso m es finito. En el segundo m ≤ |δ| y δ < m lo
que contradice el que m sea cardinal. Esto concluye la demostración.
Corolario 5.31. Si m ≥ ℵ0 ó n ≥ ℵ0, entonces m +c n = m ∪ n.
Si además m = 0 y n = 0, m ×c n = m ∪ n.
Si α, β son ordinales, entonces
ℵα + ℵβ = ℵα∪β = ℵα ×c ℵβ.
Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad que m ≥
ℵ0 y m ≥ n. Entonces
Luego
m +c n ≤ m +c m
= m ×c 2 por 5.26 iv),
≤ m ×c m
= m
≤ m +c n
Si además suponemos n > 0,
Luego
m +c n = m = m ∪ n.
m ×c n ≤ m ×c m
= m
= m ×c 1
≤ m ×c n
m ×c n = m = m ∪ n.
La observación respecto de los ℵ ahora es obvia.
Corolario 5.32. Sea m un cardinal infinito, |Ai| ≤ m para todo
i ∈ I y |I| ≤ m. Entonces |
i∈I Ai| ≤ m.
138

Demostración.
|
Ai| ≤
|Ai|
i∈I
i∈I
≤
m
i∈I
= |I| ×c m
≤ m ×c m
= m.
Corolario 5.33. La unión enumerable de conjuntos enumerables
es enumerable.
Teorema 5.34. † (Desigualdad de Zermelo)
Si para todo i ∈ I mi < ni ,
i∈I
mi < Xi∈Ini.
Demostración. Como ni − mi = ∅, existe f ∈
i∈I (ni − mi).
Definimos ahora
F :
{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→
i∈i
f(j)
F (〈i, α〉)(j) =
α
si
si
i = j,
i = j.
F es inyectiva. En efecto, supongamos que
es decir, para todo k ∈ I,
Entonces, si i = j,
F (〈i, α〉) = F (〈j, β〉),
i∈I
F (〈i, α〉)(k) = F (〈j, β〉)(k).
f(j) = F (〈i, α〉)(j) = F (〈j, β〉)(j) = β
pero f(j) ∈ mj y β ∈ mj, contradicción. Luego, i = j. Pero entonces
α = β y F es inyectiva. Por lo tanto,
i∈I
mi ≤ Xi∈Ini.
Supongamos que son iguales. Entonces existe una biyección
h :
{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→
ni.
i∈I
139
i∈I
ni

Para cada i ∈ I definimos
hi : {〈i, α〉 : α ∈ mi} −→ ni
〈i, α〉 ↦−→ h(〈i, α〉)(i) .
Es claro que hi es inyectiva porque h lo es. Entonces
|h ∗ i {〈i, α〉 : α ∈ mi}| ≤ |{〈i, α〉 : α ∈ mi}| = mi < ni
Podemos usar nuevamente el principio multiplicativo y encontrar
ℓ ∈
(ni − k ∗ i {〈i, α〉 : α ∈ mi}).
Como ℓ ∈
i∈I
ℓ = h(〈i, α〉, pero entonces
ni y h es sobreyectiva, existe i ∈ I, α ∈ mi tal que
i∈I
ℓ(i) = h(〈i, α〉)(i) = hi(〈i, α〉) ∈ k ∗ i {〈i, α〉 : α ∈ mi},
contradiciendo la definición de ℓ.
Por último verificamos que el producto de cardinales finitos se comporta
como lo deseamos.
Teorema 5.35. Si m, n son naturales
m ×c n = m · n
Demostración. Por inducción
- m ×c 0 = 0 = m · 0
- Supongamos m ×c n = m · n. Entonces
m ×c Sn = |m × (n ∪ {n})|
= |m × n ∪ m × {n}|
y como la unión es disjunta y m × {n} ∼ m,
m ×c Sn = m ×c n +c m
= m · n + m
= m · Sn.
Corolario 5.36. El producto finito de cardinales finitos es finito.
140

3.3. Exponenciación de Cardinales. Para terminar con esta
sección definiremos la operación de exponenciación de cardinales. Debemos
tener presente que al igual que en el caso de las sumas y los productos,
la exponenciación cardinal difiere radicalmente de la exponenciación
ordinal. Sin embargo, diferencia de las otras dos operaciones,
no existe una buena manera de distinguir notacionalmente ambas exponenciaciones.
Para no recargar aún más una notación de suyo algo
engorrosa, hemos optado por usar la misma notación para las dos dejando
al contexto como indicador de cuál de las dos exponenciaciones
se está usando. En general, como las letras góticas designan cardinales,
no hay demasiada poibilidad de confusión.
Definición 5.7. Si m y n son cardinales,
m = | m|
Es decir la exponenciación de m por n es la cardinalidad del conjunto
de todas las funciones de m en n . Por simplicidad notacional, cuando
el exponente sea un ℵ no lo subrayaremos.
Teorema 5.37. Dados dos conjuntos A y B ,
| A B| = |B| |A|
Demostración. Basta probar que A B ∼ |A| |B|. Consideremos las
biyecciones f y g como en el diagrama.
Definimos
A
x
−→ B
f ↓ ↑ g
|A|
F (x)
−→ |B|
F : A B −→ |A| |B|
x ↦−→ g ◦ x ◦ f
F es una biyección porque f y g lo son.
Teorema 5.38. i) m 0 = 1.
ii) Si m = 0, entonces 0 = 0.
iii) 1 = 1.
iv) m 1 = m.
v) Xi∈Im = m |I| .
141

Demostración. i) - iv) Son obvias.
v) Basta notar que
i∈I m = I m.
Teorema 5.39. i) m i∈I i = Xi∈Im i .
ii) (Xi∈Imi) = Xi∈Im i .
Demostración. i) Sea
F : i∈I {〈i,α〉:α∈i}
m −→ ( im) i∈I
f ↦−→ F ◦ f
donde F (f)(i) es la función de ni en m definida por
ii) Sea
F :
F (f)(i)(α) = f(〈i, α〉).
mi −→
( mi)
i∈I
donde F (f)(i) es la función de n en mi definida por
i∈I
F (f)(i)(α) = f(α)(i)
Tanto en i) como en ii) F es biyectiva.
Teorema 5.40.
Demostración. La función
definida por
es la biyección requerida.
(m ) = m ×c .
F : ( m) −→ ×c m
F (f)(〈α, β〉) = f(β)(α)
El siguiente teorema es bastante útil.
Teorema 5.41. Para cualquier conjunto A ,
|P(A)| = 2 |A|
142

Demostración. Asociamos a cada conjunto de A su función característica:
χ : P(A) −→ A 2
B ↦−→ χB,
donde
1
χB(x) =
0
si
si
x ∈ B,
x ∈ B .
Es claro que χ es biyectiva.
Teorema 5.42. Sean 1 < m ≤ n dos cardinales y n > ℵ0, entonces
m = 2 .
Demostración.
m ≤ (2 )
= 2 ×c
= 2
≤ m ,
en donde hemos usado el hecho de que la exponenciación es creciente
(ver ejercicios) y dos teoremas anteriores. Luego m = 2 .
Ejercicios.
1. ¿Dónde usamos el axioma de elección en el teorema 5.17?
2. Probar que si m ≤ n, entonces m +c p ≤ n +c p.
3. Probar que si m +c 1 = m, entonces m es infinito.
4. Probar que si m es infinito, entonces ℵ0 +c m = m.
5. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales que no contiene
a su mayor elemento. Probar que para todo j ∈ I se tiene
mj <
i∈I mi .
6. Asumiendo que cada suma es de ℵ0 términos, probar que:
(a) 1 +c 2 +c 3 +c · · · = ℵ0.
(b) n +c n +c n +c · · · = ℵ0.
(c) ℵ0 +c ℵ0 +c ℵ0 +c . . . = ℵ0.
7. Probar que m ≤ n si y sólo si existe p tal que m +c p = n.
8. Probar que:
(a)
β≤α ℵβ = ℵα.
(b) Si α es ordinal límite, entonces
β∈α ℵβ = ℵα.
(c) Si (αi)i∈I es una familia de ordinales, con
i∈I αi ⊆ α,
entonces ℵα =
ℵαi i∈I si y sólo si α = i∈I αi .
143

9. Probar que si m ≤ n, entonces m ×c p ≤ n ×c p.
10. (a) Probar que si m ≤ n, entonces m ≤ n .
(b) Sea p = 0. Probar que si m < n, entonces p ≤ p .
Probar también que si p < p , entonces m < n.
(c) Más generalmente, demuestre que si m ≤ n con m = 0
y p ≤ q, entonces m ≤ n .
11. Probar que si n ∈ ω y c = 2ℵ0 , entonces:
(a) (n+c2) ℵ0 ℵ0 = ℵ0 = n+cc = n×cc = cn = ℵ0+cc = ℵ0×cc =
cℵ0 = c +c c = c ×c c = c2 = c.
(b) (n +c 2) = ℵ 0 = c = 2 .
(c) ℵ0 = c = 2 .
12. Probar que si I = ω − 1, entonces
i∈I i = c.
13. Probar que {m : mℵ0 = m} es infinito.
14. Probar que si m +c n = p, entonces (r + s) ≥ r × s .
15. Si m ≥ ℵ0 y m ≤ n ×c p, probar que m ≤ n o m ≤ p.
16. Un cardinal infinito m se dice dominante si n < m y p < m
implica n < m. Probar que m es dominante si y sólo si p < m
implica 2 < m.
17. Probar que si mi
≤ n para todo i ∈ I, con |I| ≤ n, entonces
i∈I mi ≤ n y
i∈I mi ≤ 2 .
18. Probar que ℵ0 ≤ 2ℵ0 .
19. Probar que m2 = n2 implica m = n.
20. Probar que si mi = c, entonces
i∈ω mi = c.
21. Probar que
β≤α ℵβ = ℵ |α|
α , y si α es ordinal límite, entonces
β∈α ℵβ = ℵ |α|
α .
22. Si α y β son ordinales tales que |α| ≤ ℵγ y |β| ≤ ℵγ,
entonces |α + β| ≤ ℵγ y |α · β| ≤ ℵγ.
23. Si a es un subconjunto propio de ℵα, entonces |ℵα − a| = ℵα.
24. Probar que ℵ ℵβ
α+1 = ℵ ℵβ
α ×c ℵα+1.
25. Probar que si 2 ℵβ ≥ ℵα, entonces ℵ ℵβ
α = 2 ℵβ.
26. Probar que si n ∈ ω, entonces ℵ ℵβ
n = ℵn ×c 2 ℵβ.
27. Probar que
n∈ω ℵn = ℵ ℵ0
ω .
28. Probar que ℵ ℵ1
ω = ℵ ℵ0
ω ×c 2 ℵ1 .
4. Cardinales Regulares y Singulares
Definición 5.8. Decimos que el ordinal β es cofinal con el ordinal
α si existe una función estrictamente creciente f : β −→ α que no es
acotada en α .
La cofinalidad de α es el menor ordinal cofinal con α y se le denota
cof (α).
144

Obsérvese que si α = β + 1 es un sucesor, la función f : 1 −→ α
tal que f(0) = β no es acotada en α , lo que prueba que la cofinalidad
de un sucesor es siempre 1, por lo que este concepto tiene interés solo
para ordinales límite. El siguiente lema es consecuencia inmediata de
la definición y puede ser usado como definición alternativa.
Lema. Si β es cofinal con α , entonces existe una función f : β −→ α
tal que
f(γ) = α.
γ

Teorema 5.44. † Todo cardinal sucesor infinito es regular.
Demostración. Consideremos el cardinal ℵα+1 y sea f : β −→
ℵα+1 una función creciente donde β < ℵα+1.
Para cada γ < β, f(γ) ≤ ℵα, luego
|
| ≤
|f(γ)| ≤
ℵα = |β| ×c ℵα ≤ ℵα ×c ℵα = ℵα.
γ

En la década del 30, K. Gödel demostró que HC es compatible con
ZFC, es decir, que si existe un modelo de ZFC, entonces existe un
modelo en el cual HC también es válido. En otras palabras, es imposible
demostrar a partir de ZFCque HC es falsa. En la década del 60, P.
Cohen demostró que HC tampoco es demostrable a partir de ZFC.
Estos dos resultados conjuntamente implican que HC es independiente
de ZFCy que tanto ella como su negación pueden ser agregadas como
nuevo axioma de la teoría obteniéndose resultados muy distintos.
La Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC) es la afirmación
2 ℵα = ℵα+1.
Los resultados de Gödel y Cohen también se aplican a HGC.
Es interesante también notar que con posterioridad a los trabajos
de Cohen, se ha demostrado que es consistente con ZFCque 2 ℵ0 =
ℵ1, ℵ2, . . . , pero como veremos a continuación, no puede tomar cualquier
valor.
Lema.
ℵω < ℵ ℵ0
ω .
Demostración. Como sabemos, ℵω =
n∈ω ℵm. Por la desigualdad
de Zermelo 5.34, como ℵm < ℵω,
Corolario 5.45.
ℵω <
m∈ω
2 ℵ0 = ℵω.
= ℵ ℵ0
ω .
Demostración. Si 2 ℵ0 = ℵω, entonces
una contradicción.
2 ℵ0 < (2 ℵ0 ) ℵ0 = 2 ℵ0×cℵ0 = ℵ0,
Suponiendo HGC resulta bastante fácil calcular las exponenciales
de cardinales.
Teorema 5.46. Si n es un cardinal infinito, entonces n cof () > n.
147

Demostración. Sea F : cof(n) −→ n be such that
F (α) = n. Entonces
α

2. (Hausdorff) Demuestre que
ℵ ℵβ
α+1 = ℵ ℵβ
α ×c ℵα+1.
3. Demuestre que dados dos cardinales m y n, m > 2 y n > ℵ0,
se tiene cof (m ) > n.
Concluya que 2 ℵ0 = ℵω.
149

150

Bibliografía
[1] Chuaqui, R. B. Aximatic Set Theory. Impredicative Theories of Classes. North–
Holland, 1981.
[2] Di Prisco, C. A. Una Introducción a la Teoría de Conjuntos y los Fundamentos
de las Matemáticas. IVIC., Venezuela, 1996. Notas de Clase.
[3] Enderton, H. B. Introduction to Set Theory. Academic Press, 1977.
[4] Hrbacek, K. y Jech, T. Introduction to Set Theoru. Marcel Dekker, 1984.
[5] Kunen, K. Set Theory, an Introduction to independence proofs. North-Holland,
1980.
[6] Kuratowski, K. y Mostowski, A. Set Theory, with an introduction to descriptive
set theory. North–Holland, 1976.
[7] Monk, J. D. Introduction to Set Theory, Mac Graw-Hill, New York, 1969.
[8] Moore, G. H. Zermelo’s Axiom of Choice. Its origins, Development, and influence.
Springer–Verlag, 1982.
151

152

clase propia 6
pertenencia 8
Axioma de Extensionalidad 9
subconjunto 9
Axioma del Conjunto Vacío 9
conjunto vacío 10
∅ 10
Axioma de Separación 10
Axioma de Pares 11
par no-ordenado 11
singleton 11
Axioma de Uniones 11
unión 11
intersección 12
conjuntos disjuntos 12
Axioma del Conjunto Potencia 13
conjunto potencia 13
Axioma de Regularidad 13
Axioma del Conjunto Infinito 14
función proposicional 14
Axioma de Reemplazo 14
complemento relativo 17
diferencia de conjuntos 17
complemento 18
par ordenado 23
producto cartesiano 24
relación 24
dominio de una relación 24
recorrido de una relación 24
campo de una relación 25
composición de relaciones 25
inversa de una relación 25
imagen de un conjunto por una relación
27
función 30
dominio de una función 30
recorrido de una función 30
campo de una función 30
composición de funciones 30
Glosario
153
función inversa 30
imagen de un conjunto por una función
30
función de a en b 31
función inyectiva 31
función uno a uno 31
función sobreyectiva 31
función identidad 33
restricción de una función 33
relación reflexiva 40
relación simétrica 40
relación transitiva 40
relación de equivalencia 40
clase de equivalencia 41
partición 42
partición asociada a una relación de
equivalencia 42
relación asociada a una partición 42
relación antisimétrica 44
relación conexa 45
orden parcial 45
orden total 45
relación asimétrica 46
orden estricto 46
relaciones isomorfas 46
isomorfismo de orden 46
preorden 47
cota superior 48
cota inferior 48
supremo 48
ínfimo 48
elemento minimal 48
elemento maximal 48
relación bien fundada 49
buen orden 49
sucesor 57
conjunto Inductivo 58
números naturales 58
Principio de Inducción 58

Principio de Inducción Completa 61
∈–transitivo 64
ordinal 64
Principio de Inducción Transfinita 70
ordinal sucesor 70
ordinal 70
clausura transitiva 75
función no–decreciente 75
función estrictamente creciente 75
función continua 75
función normal 75
jerarquía acumulativa 101
universo de von Neumann 101
función de elección 105
equinumerosos 117
cardinal 117
cardinalidad 119
cardinal de un conjunto 119
Teorema de Cantor, Schroeder y Bernstein
119
Teorema de Cantor 122
ℵ 123
conjunto finito 125
conjunto infinito 126
conjunto enumerable 126
suma cardinal 129
Teorema de Zermelo 139
cofinal 144
cofinalidad 144
Hipótesis del Continuo 146
Hipótesis Generalizada del Continuo
147
154