El proceso de formalización de la lógica matemática - Bruno Stonek

Bruno Stonek El proceso de formalización...
De todas formas, a los pocos años (1936) Gerhard Gentzen 23 encuentra un resultado
positivo. Demuestra (usando inducción transfinita hasta ɛ0) la consistencia relativa de la
aritmética de Peano suponiendo unos axiomas mucho menos fuertes. En la introducción de
su artículo, escribió:
El objetivo de este artículo es probar la consistencia de la teoría de números
elemental, o, mejor dicho, reducir la cuestión de la consistencia a ciertos
principios fundamentales.
Al respecto de la necesidad de las pruebas de consistencia, dice:
La matemática está considerada como la ciencia más certera. Que pudiera
llevar a resultados que se contradicen unos a otros parece imposible. La fe en
la indudable certeza de las pruebas matemáticas fue sacudida con violencia
alrededor del 1900 por el descubrimiento de las antinomias o paradojas de la
teoría de conjuntos. Resultó que en esta rama de las matemáticas, las contradicciones
surgen sin que seamos capaces de reconocer ningún error específico
en nuestro razonamiento.
Llegado este punto, la pretensión de demostrar absolutamente la consistencia de una
teoría se hace a un lado. Los resultados de consistencia relativa como el de Gentzen logran
sencillamente darnos evidencia metamatemática de la consistencia de la teoría en cuestión.
Por ejemplo, para la psicología de Alfred Tarski 24 , este resultado no provee más evidencia
de la existente sobre la consistencia de la aritmética:
La demostración de Gentzen de la consistencia de la aritmética es sin duda un
resultado metamatemático muy interesante, que puede resultar muy estimulante
y fructífero. No puedo decir, sin embargo, que la consistencia de la aritmética
sea ahora mucho más evidente para mí... que antes de que se obtuviera esta
demostración.
23 Matemático y lógico alemán (1909-1945)
24 Matemático y lógico polaco (1901-1983).
11