Geometrías no euclídeas

Las otras geometrías
Pascual Lucas
Conferencia impartida el 17/02/99 en el curso
“La Historia de las Matemáticas
y su aplicación a la docencia en Enseñanza Secundaria”
Índice General
1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 EL MÉTODO AXIOMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES ......... 10
2.3 EL POSTULADO DE LAS PARALELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL QUINTO POSTULADO ....... 16
2.5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 BOLYAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 LOBACHEVSKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 ALGUNOS RESULTADOS HIPERBÓLICOS . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 LA CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: MODELOS . . . . . 34
4.1 EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1

4.2 UN MODELO DE POINCARÉ EN EL DISCO . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 UN MODELO DE POINCARÉ EN EL SEMIPLANO . . . . . . . . . . . . 39
4.4 EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2

1. INTRODUCCIÓN
Mucha gente desconoce que hace alrededor de un siglo y medio, aproximadamente,
tuvo lugar una revolución en el campo de la geometría que fue científicamente
tan profunda como la revolución de Copérnico en astronomía y, en su
impacto, tan filosóficamente importante como la teoría de la evolución de Darwin.
En palabras del gran geómetra canadiense H.S.M. Coxeter:
El efecto del descubrimiento de la geometría hiperbólica sobre nuestras ideas
de verdad y realidad ha sido tan profundo que difícilmente podemos imaginar
lo traumático que fue descubrir en 1820 que una geometría distinta de la
euclídea era posible.
Antes de esto se pensaba que había, y que de hecho realmente existía, sólo
una geometría posible, y que cualquier descripción del espacio contraria a la
exposición euclidiana debía ser necesariamente incompatible y contradictoria.
Sin embargo, en nuestros días casi todo el mundo ha oído hablar, gracias a
la teoría de la relatividad de Albert Einstein, de la geometría de los espacios
tiempo.
La geometría se liberó y, desde entonces, los postulados geométricos se convirtieron,
para los matemáticos, en simples axiomas, de cuya verdad o falsedad
físicas no había que preocuparse. Sólo había que tener cuidado de elegir los
axiomas de forma que no se obtuviera contradicción alguna, no importa lo alejados
que estuvieron estos postulados de nuestra percepción o creencia.
En consecuencia, el espacio físico era un concepto empírico deducido de experiencias
exteriores y anteriores, y los postulados o axiomas geométricos se
habían ideado con el objetivo de describir esta apariencia. Este punto de vista
contrastaba enormemente con la teoría kantiana que dominaba la filosofía de
la época, según la cual el espacio es un sistema de referencia que ya existía en
la mente humana, que los axiomas y postulados de la geometría euclidiana son
juicios a priori impuestos en la mente, sin los cuales no es posible hacer ningún
razonamiento compatible acerca del espacio.
Así pues, la invención de geometrías no euclídeas invalidaban la filosofía kantiana
imperante, una creencia tradicional y hábito de pensar durante muchos
siglos. Hasta ese momento, las matemáticas se justificaban como un intento de
modelizar y explicar el mundo que nos rodeaba; a partir de esta época, la geometría
y las matemáticas, como un todo, emergieron como una creación arbitraria
de la mente humana, y no como una imposición de nuestro mundo.
3

La geometría euclídea es la geometría que todos hemos estudiado en el colegio
y en el instituto, la geometría que la mayoría de nosotros utilizamos para visualizar
o modelizar nuestro universo físico. Su origen hay que buscarlo en una
obra escrita por el matemático griego Euclides, los Elementos, escritos alrededor
del año 300 A.C. La descripción del universo físico utilizando esta geometría fue
extensamente utilizada por Isaac Newton en el siglo XVII.
Las geometrías que difieren de la euclídea han surgido de un estudio más
profundo de la noción de paralelismo. Consideremos el siguiente diagrama que
muestra dos rayos perpendiculares a un segmento PQ:
P
Q
En geometría euclídea, la distancia perpendicular entre los rayos permanece
igual y constante a la distancia de P a Q, por mucho que nos alejemos de dichos
puntos. Sin embargo, a comienzos del siglo XVIII se “imaginaron” dos nuevas
geometrías. En la geometría hiperbólica (del griego hyperballein, “exceder”) la
distancia entre los rayos se incrementa conforme nos alejamos. Por el contrario,
en la geometría elíptica (del griego elleipen, “acortar”) la distancia decrece y eventualmente
los rayos pueden llegar a encontrarse. Estas geometrías no euclídeas
fueron posteriormente incorporadas a una teoría mucho más general iniciada
por C.F. Gauss y desarrollada por G.F.B. Riemann. Esta teoría más general fue
la que permitió a Einstein dar el soporte matemático necesario para sustentar
su teoría física. En realidad, la teoría de la relatividad especial de Einstein se
basa en la geometría del espacio-tiempo de H. Minkowski.
En esta charla me voy a centrar en la geometría euclídea y en la geometría
hiperbólica, ya que ésta puede entenderse perfectamente a partir de aquélla,
pues sólo es necesario realizar un pequeño cambio en los axiomas de Euclides.
Por el contrario, la geometría elíptica necesita del concepto topológico de
la no-orientabilidad (ya que en el plano elíptico, todos los puntos que no están
sobre una línea, están situados del mismo lado de esa línea). Así mismo, la geometría
riemanniana requiere un conocimiento profundo del cálculo diferencial
e integral, no sólo en espacios euclídeos, sino también en espacios abstractos
más generales (las llamadas variedades diferenciables) y, por tanto, exceden el
tiempo permitido de exposición y los objetivos que se persiguen.
4
-
-

2. LA GEOMETRÍA DE EUCLIDES
La palabra “geometría” proviene del griego geometrein (de geo:tierra, y metrein:
medir); originalmente pues la geometría fue la ciencia que se ocupó de medir la
tierra. El historiador griego Herodoto (alrededor del siglo V A.C.) propone a los
egipcios como los creadores de la geometría, sin embargo otras civilizaciones antiguas
(como los babilonios, los hindus o los chinos) ya poseían un conocimiento
geométrico importante.
La geometría antigua consistía en un conjunto de reglas y procedimientos obtenidos
por experimentación, observación de analogías, adivinación y momentos
de intuición. Es decir, era una geometría práctica o científica, íntimamente relacionada
con la medición práctica. Algunos ejemplos que justifican esta opinión
son los siguientes. Los babilonios de 2000 a 1600 A.C. consideraban que la
circunferencia era igual a tres veces su diámetro (lo que equivale a decir que
π =3), valor que es también encontrado en diversos escritos romanos y chinos.
Los judíos lo consideraban un número sagrado, pues aparece en la Biblia, en el
libro de los Reyes I, 7:23
Y construyó [Salomón] un mar fundido, de forma circular, que medía diez codos
de orilla a orilla y cinco codos de alto: y una línea de treinta codos lo rodeaba
por completo.
El mismo verso puede encontrarse en Crónicas II, 4:2. Aparece en un listado de
especificaciones para la construcción del gran templo de Salomón, construido
alrededor del año 950 A.C. No es un valor muy ajustado, ya que los egipcios y los
mesopotamios ya utilizaban los valores 25/8=3.125 y √ 10 = 3.162. Los egipcios
también utilizaban una aproximación adecuada ya que, según el papiro Rhind,
datado alrededor del año 1800 A.C., utilizaban la aproximación π ∼ (16/9) 2 ∼
3.1604.
Los babilonios estaban familiarizados con las reglas generales para calcular
el área de un rectángulo, las áreas de triángulos rectángulos e isósceles, el volumen
de un paralelepípedo rectangular, el volumen de un prisma recto, etc. Sin
embargo, no siempre utilizaban fórmulas adecuadas. Por ejemplo, hay evidencia
suficiente para pensar que los babilonios antiguos utilizaban la fórmula
A =
(a + c)(b + d)
4
para el área de un cuadrilátero cuyos lados consecutivos son a, b, c y d. Sin
embargo, conocían el teorema de Pitágoras alrededor del año 2000 A.C., mucho
antes de que el propio Pitágoras naciese.
5

La principal aportación de los griegos, desde Tales de Mileto, fue el interes
por demostrar deductivamente las fórmulas y resultados, rechazando los
métodos de ensayo y error. Tales conocía los cómputos realizados por egipcios
y babilonios (unos correctos y otros erróneos) y, tratando de determinar cuáles
eran correctos y cuáles no, desarrolló la primera geometría lógica conocida. Los
griegos insistieron en que debían obtenerse conclusiones geométricas a través de
demostraciones lógicas, de demostraciones, transformando la antigua geometría
empírica en una geometría axiomática o matemática.
Nuestra fuente principal de información acerca de la geometría griega es la
obra Sumario de Eudemo, de Proclo. Este libro contiene unas cuantas páginas
del libro I, Comentarios sobre Euclides, y es un esbozo muy breve del desarrollo
de la geometría griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides.
Euclides escribió numerosas obras, pero su reputación se debe a sus Elementos.
Evidentemente, este extraordinario tratado superó completamente y de
forma inmediata a todos los ‘Elementos’ anteriores, y desde la aparición de los
trece libros y durante los siglos que nos separan, su influencia se dejó sentir
a través de miles de ediciones. El tratado es una recopilación y ordenación
sistemática de los trabajos anteriores, en una sucesión lógica de 465 proposiciones,
acompañadas de axiomas, postulados y definiciones. Como prototipo del
método matemático moderno, su impacto e influencia sobre el desarrollo de las
matemáticas ha sido enorme.
El método axiomático utilizado por Euclides es, sin ninguna duda, el origen
de las “matemáticas puras”. El método es “puro” en el sentido de “pensamiento
puro”: no se necesitan experimentos físicos para verificar que los enunciados
son correctos, únicamente es necesario el razonamiento en las demostraciones.
Los Elementos de Euclides son también “puros” en el sentido de que el tratado
no incluye aplicaciones prácticas, a pesar de que la geometría de Euclides tiene
un número enorme de aplicaciones en física e ingeniería. Según la leyenda,
un estudiante que comenzaba a estudiar geometría preguntó a Euclides: “¿Qué
ganaré aprendiendo estas cosas?”, Euclides llamó a su esclavo y le dijo “Dale
una moneda, porque debe obtener un beneficio de lo que aprende”.
Sorprendentemente, como veremos más tarde, las matemáticas puras tienen
a menudo aplicaciones que sus creadores nunca imaginaron, de forma que las
inútiles matemáticas puras terminan siendo muy útiles a la sociedad. En todo
caso, las investigaciones matemáticas no aplicables siguen siendo valorables por
la sociedad, como la música o el arte o como contribuciones al desarrollo de la
conciencia y el conocimiento humanos.
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2.1. EL MÉTODO AXIOMÁTICO
Los matemáticos podemos utilizar cualquier método o técnica para encontrar
y descubrir teoremas: ensayo y error, estudio de casos especiales, adivinación,
etc. El método axiomático es el método que nos permite probar que tales resultados
son realmente correctos. Algunos de los resultados matemáticos más importantes
fueron enunciados originalmente con una demostración incompleta,
teniendo que esperar años, algunas veces, cientos de años, para poder encontrar
una prueba correcta.
Por tanto, las demostraciones nos garantizan que los resultados son correctos.
A veces, incluso, nos proporcionan resultados más generales. Por ejemplo,
los egipcios e hindúes sabían que si los lados de un triángulo tienen longitudes
3,4y5,entonces se trata de un triángulo rectángulo. Los griegos demostraron
que si las longitudes a, b y c de un triángulo satisfacen la ecuación a 2 + b 2 = c 2 ,
entonces el triángulo es rectángulo.
¿Qué eselmétodo axiomático? Si yo deseara persuadirte mediante razonamiento
de que te creas el enunciado E1, podría mostrarte que el enunciado E1 es
una consecuencia lógica de otro enunciado E2 que tu ya aceptas. Sin embargo,
si no aceptas este enunciado, entonces debería probarte que es consecuencia
lógica de otro enunciado E3 que sí aceptas como verdadero. Podría tener que
repetir el razonamiento varias veces, hasta llegar a un enunciado ya aceptado
y que no requiriese una demostración. Dicho enunciado jugaría el papel de un
axioma (o postulado). Sin embargo, si en mi razonamiento no encontrase un
enunciado que aceptases, entraría en un proceso de “regresión infinita”, proporcionando
una demostración tras otra sin un final. Por tanto, existen dos
condiciones o requerimientos que debemos aceptar para poder decidir si una
demostración es correcta:
CONDICIÓN 1. La aceptación de ciertos enunciados denominados “axiomas” o
“postulados”, que no requieren demostración.
CONDICIÓN 2. El acuerdo sobre cómo y cuándo un enunciado “es consecuencia
lógica” de otro, es decir, acuerdo sobre ciertas reglas de razonamiento.
El monumental logro de Euclides fue proponer unos pocos y simples postulados,
enunciados que fueron aceptados sin ninguna justificación, y deducir de
ellos 465 proposiciones, muchas de ellas complicadas y para nada intuitivas,
que significan todo el conocimiento geométrico de la época. Una de las razones
por la que los Elementos de Euclides es un trabajo tan bonito y maravilloso es
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la gran cantidad de resultados que han sido obtenidos a partir de unas pocas
premisas.
Antes de avanzar en nuestro planteamiento, no nos podemos olvidar de una
condición básica y principal:
CONDICIÓN 0. Entendimiento del significado que damos a las palabras yalos
símbolos, es decir, acuerdo sobre el lenguaje que utilizamos.
No hay ningún problema si todos usamos términos familiares (para todos)
y los utilizamos de manera consistente. Sin embargo, si yo utilizo un término
desconocido, o no habitual, estais en vuestro derecho (es más, en vuestra sana
obligación) de solicitar una definición de este término. Las definiciones no se
pueden proporcionar de forma arbitraria: deben estar sujetas a las reglas de
razonamiento a las que se refiere la Condición 2. Por ejemplo, no podemos
definir el ángulo recto como aquél que tiene 90o y entonces definir el ángulo
de 90o como el ángulo recto, ya que estamos violando la regla que impide el
razonamiento circular.
Por otra parte, es evidente que no podemos definir todos los términos que
utilicemos, ya que para definir un término utilizamos a su vez otros términos,
los cuales deben también ser definidos. Podemos ver que corremos el peligro de
caer en un proceso de regresión infinita.
Euclides intentó definir todos los términos geométricos que utilizó. Así, definió
una “línea (recta)” como “aquella que tiene todos sus puntos en la misma
dirección”. Esta definición no es muy acertada, ya que para entenderla hay
que tener previamente la imagen de una línea. Es más conveniente considerar
“línea” como un término indefinido. De manera similar, Euclides definió el “punto”
como “lo que no tiene parte o dimensión”, que tampoco es una definición muy
informativa o útil; como antes, parece adecuado considerar el “punto” como un
término indefinido.
En 1899, David Hilbert publicó un tratado colosal, Grundlagen der Geometrie
(Fundamentos de la Geometría), que intentaba clarificar y completar las definiciones
y conceptos de Euclides, así como solventar algunos errores detectados en
las demostraciones de Euclides. Esta obra, en sus diversas revisiones mejoradas,
es en la actualidad clásica en su campo; ha hecho más que cualquier otro
trabajo desde el descubrimiento de la geometría no euclídea para promover el
método moderno y para dar forma al carácter de gran parte de las matemáticas
actuales. Hilbert proponía cinco términos primitivos o indefinidos:
• punto
8

• línea
• sobre (como en “dos puntos distintos están sobre una única recta”)
• entre (como en “el punto C está entre los puntos A y B”)
• congruente (como en “todos los ángulos rectos son congruentes”)
Para una mejor comprensión, nos vamos a limitar a la geometría plana, de forma
que para nosotros, el plano es el conjunto de todos los puntos y líneas, los cuales
están sobre el plano.
En el lenguaje cotidiano existen los sinónimos, es decir, distintas palabras
que utilizamos para referirnos al mismo concepto. Aquí también podemos utilizarlos.
Por ejemplo, en lugar de decir que “el punto P está sobre la línea l” puede
decirse que “la línea l pasa por el punto P ”. Si un punto P está sobre dos líneas
l y m, entonces decimos que “las líneas l y m tienen el punto P en común”, o que
“las líneas l y m intersecan (o se cortan) en el punto P ”. El segundo término,
“línea”, es sinónimo de “recta” o “línea recta”.
Existen otros términos matemáticos que usaremos y que deberán ser añadidos
a la lista anterior, ya que no desearemos definirlos; ahora los he omitido
porque no son términos específicamente geométricos, sino lo que Euclides denominaba
“nociones comunes”.
La palabra “conjunto” es fundamental en todas las matemáticas actuales, se
utiliza habitualmente en las escuelas y, sin ningún género de dudas, todo el
mundo tiene una idea acerca de lo que es un conjunto. Podemos pensar en una
“colección de objetos”. En relación con los conjuntos, debemos entender lo que
significa “pertenecer a” o “ser un elemento de” un conjunto; podemos utilizarlos
como en nuestra convención de que todos los puntos y rectas pertenecen al
plano. Si todos los elementos de un conjunto S son también elementos de otro
conjunto T , diremos que S “está contenido en” o “es un subconjunto de” T .
Otro término crucial en la teoría de conjuntos es la igualdad de conjuntos.
Decimos que los conjuntos S y T son iguales si todo elemento de S es también
elemento de T y viceversa. Por ejemplo, el conjunto de todos los autores del libro
El Quijote es igual al conjunto cuyo único elemento es “Miguel de Cervantes”.
La palabra “igual” significa, o es sinónima de, idéntica. Sin embargo, Euclides
utilizaba la palabra igual en un sentido diferente, como cuando dice que “los
ángulos base de un triángulo isósceles son iguales”. Realmente, Euclides quería
decir que tenían igual número de grados, no que fueran ángulos idénticos. Para
evitar la confusión, utilizaremos el término primitivo congruente, de forma que
podemos decir que “los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes”.
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Utilizaremos el término congruente en un sentido más amplio que el habitual:
será usado tanto para ángulos como para segmentos.
2.2. LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES
Euclides basó su geometría en cinco hipótesis fundamentales, que él denominó
axiomas o postulados.
POSTULADO I. Para todo punto P y para todo punto Q distinto (no igual) de P ,
existe una única línea l que pasa por P y Q.
Informalmente, este enunciado es usualmente expresado diciendo que hay
una y sólo una línea que pasa por dos puntos distintos dados. Denotaremos
esta línea por ←→
PQ.
Para enunciar el segundo postulado necesitamos una definición.
DEFINICIÓN. Sean A y B dos puntos. El segmento AB es el conjunto formado por
los puntos A y B y por todos los puntos que están sobre la línea
←→
AB y que están entre A y B. Los dos puntos A y B se denominan
los extremos del segmento AB.
A
A
C B
C B
-
Segmento AB
Línea AB
POSTULADO II. Para todo segmento AB y para todo segmento CD, existe un
único punto E tal que B está entre A y E y el segmento CD
es congruente con el segmento BE.
C D
A B E
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Este postulado se expresa informalmente diciendo que “cualquier segmento
AB puede extenderse mediante un segmento BE congruente con un segmento
CD dado”. Como es habitual, escribiremos CD ∼ = BE para expresar el hecho que
los segmentos CD y BE son congruentes.
Para enunciar el tercer postulado necesitamos introducir otra definición.
DEFINICIÓN. Sean dos puntos O y A. El conjunto de todos los puntos P tales
que el segmento OP es congruente con el segmento OA se llama
la circunferencia con centro O, y cada uno de los segmentos OP se
llama un radio de la circunferencia.
POSTULADO III. Para todo punto O y para todo punto A distinto de O, existe una
circunferencia de centro O y radio OA.
O
P
A
Círculo con centro O y radio OA
Realmente, y puesto que estamos utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos,
este postulado es innecesario; como consecuencia de la teoría de conjuntos,
el conjunto de los puntos P tales que OP ∼ = OA existe. Sin embargo, Euclides
tenía en mente, al proponer este postulado, dibujar dicha circunferencia, por
lo que el postulado nos está diciendo que es posible construir dicha circunferencia
(por ejemplo con un compás). De manera similar, en el postulado II se
nos dice que es posible extender el segmento AB, por ejemplo utilizando una
regla. No obstante, la presentación que estamos haciendo es más “pura” que la
de Euclides, en el sentido de que se elimina toda referencia a los dibujos.
Sin embargo, es un problema matemático fascinante determinar qué construcciones
geométricas son posible utilizando únicamente regla y compás. No
fue hasta el siglo XIX en que pudo probarse que ciertas construcciones clásicas
(como la trisección de un ángulo arbitrario, la cuadratura del círculo o la duplicación
del cubo) eran imposibles utilizando sólo la regla y el compás. Pierre
Wantzel demostró lo anterior trasladando el problema geométrico a un problema
algebraico: probó que las construcciones con regla y compás correspondían con
las soluciones de ciertas ecuaciones algebraicas obtenidas únicamente median-
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te suma, diferencia, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas.
Así por ejemplo, la trisección de un ángulo arbitrario es imposible porque en su
resolución aparecen raíces cúbicas.
DEFINICIÓN. El rayo −→
AB es el siguiente conjunto de puntos sobre la línea ←→
AB:
aquellos puntos que pertenecen al segmento AB y todos los puntos
C tales que B está entre A y C. Se dice que el rayo −→
AB emana de A
y es parte de la línea ←→
AB.
A
B
Rayo −→
AB
DEFINICIÓN. Los rayos −→
AB y −→
AC son opuestos si son distintos, emanan del mismo
punto A y son parte de la misma línea ←→
AB= ←→
AC.
C
B A C
Rayos opuestos
DEFINICIÓN. Unángulo con vértice A es un punto A junto con dos rayos no
opuestos −→
AB y −→
AC (llamados las caras del ángulo) que emanan del
punto A.
A
B
C
q
Ángulo con vértice A
Este ángulo será denotado por ^A, ^BAC o ^CAB.
12
*
1
-

DEFINICIÓN. Si dos ángulo ^BAD y ^CAD tienen una cara común −→
AD, y las
otras dos caras −→
AB y −→
AC son rayos opuestos, se dice que los ángulos
son suplementarios.
D
B A C
Ángulos suplementarios
DEFINICIÓN. Unángulo ^BAD se dice que es un ángulo recto si tiene un ángulo
suplementario con el que es congruente.
6
D
B A C
Ángulos rectos
Observemos cómo ha sido posible definir el concepto de ángulo recto sin hacer
referencia a los “grados”, utilizando solamente el término primitivo de congruencia
de ángulos. Posteriormente veremos cómo se puede introducir el concepto de
grado, aunque seguramente lo consideremos innecesario, ya que todos tenemos
una idea bastante precisa.
POSTULADO IV. Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
Este postulado expresa una cierta clase de homogeneidad: por muy alejados
y separados que estén dos ángulos rectos, siempre tendrán el “mismo tamaño”.
El postulado proporciona, por tanto, un método estándar para medir ángulos.
Por el contrario, no existe una forma estándar de medir longitudes en la geometría
euclídea. Las unidades de longitud (un codo, un pie, un metro, etc.) son
elegidas arbitrariamente. Una de las propiedades mas destacables de la geometría
hiperbólica, que describiremos más adelante, es que admite una manera
estándar de medir, es decir, existe una unidad de longitud natural.
13
-
-

2.3. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS
Los primeros cuatro postulados de Euclides siempre fueron aceptados por los
matemáticos. El quinto postulado, o postulado de las paralelas, fue desde el
principio fuente de controversias, que se extendieron en el tiempo hasta el siglo
XIX. De hecho, los intentos por proponer nuevos postulados alternativos fueron
el germen del nacimiento de las nuevas geometrías.
Enunciaremos el quinto postulado en una formulación distinta de la original,
tal y como fue expuesto por Euclides en sus Elementos. La razón es que el
enunciado es mucho más simple y comprensible a primera vista, aunque es
equivalente. La versión que presentamos es quizás la más popular, y se debe al
físico y matemático escocés John Playfair (1748–1819), aunque esta alternativa
ya había sido avanzada por Proclo en el siglo V. Una de las definiciones más
importantes de nuestro acercamiento a la geometría euclídea es la siguiente.
DEFINICIÓN. Dos línea l y m son paralelas si no se cortan, es decir, si no existe
ningún punto que esté sobre las dos línea. Denotaremos este hecho
por l||m.
Observemos que no se ha dicho que las líneas son equidistantes, es decir, que
la distancia entre las líneas es siempre la misma. Seguramente, si hiciésemos
un dibujo de dos líneas paralelas obtendríamos esa impresión; por eso es conveniente
evitar en lo posible la realización de dibujos para las demostraciones
rigurosas, ya que nos pueden inducir a utilizar propiedades que no han sido
previamente deducidas, y que no están en las definiciones establecidas. Por otra
parte, y como consecuencia de este razonamiento, tampoco sería conveniente
que ahora pensase que las líneas paralelas no son equidistantes. Debemos limitarnos
a utilizar lo definido y lo demostrado, y evitar los juicios de valor.
POSTULADO V. Para toda línea l y para todo punto P que no está sobre l, existe
una única línea m a través de P que es paralela a l.
P
-
-
Las líneas l y m son paralelas
Existen otros muchos enunciados equivalentes al postulado anterior. Algu-
14
m
l

nas otras alternativas que han sido propuestas o tácitamente utilizadas durante
años son las siguientes:
(1) Existe un par de rectas en que todos los puntos de una se encuentran a la
misma distancia de la otra.
(2) Existe un par de triángulos no congruentes semejantes.
(3) Si en un cuadrilátero un par de lados opuestos son iguales y los ángulos
adyacentes al tercer lado son rectos, entonces los otros dos ángulos también
son rectos.
(4) Si en un cuadrilátero tres ángulos son rectos, entonces el cuarto también
es recto.
(5) Existe al menos un triángulo en el que la suma de sus tres ángulos es igual
a dos rectos.
(6) Por un punto situado dentro de un ángulo menor que 60o puede siempre
trazarse una recta que corte a ambos lados del ángulo.
(7) Una circunferencia puede hacerse pasar por tres puntos no colineales cualesquiera.
(8) No hay límite superior al área de un triángulo.
¿Por qué debe ser el quinto postulado tan controvertido? Puede parecer un
enunciado “obvio”, quizás porque estamos habituados a pensar en términos euclídeos.
Sin embargo, si consideramos los axiomas de la geometría como abstracciones,
podemos encontrar diferencia entre este postulado y los demás. Los
dos primeros postulados son abstracciones de nuestra experiencia dibujando
con una regla, mientras que nuestra experiencia con el compás motiva el tercer
postulado. El cuarto postulado, quizás más extraño, también surge de nuestra
experiencia con el transportador de ángulos (donde la suma de ángulos suplementarios
es 180o ).
El quinto postulado es diferente porque no puede ser comprobado empíricamente,
ya que sólo podemos dibujar segmentos (líneas finitas) y no las líneas
en su totalidad. Si prolongamos dos líneas y se cortan, podemos afirmar que no
son paralelas; sin embargo, si los segmentos no se cortan, podemos prolongarlos
másymás, pero si no encontramos un punto de corte, nunca estaremos seguros
de que dicho punto de corte no existe. El único recurso es demostrar el paralelismo
utilizando un razonamiento indirecto, por medio de criterios distintos de
la propia definición.
15

2.4. INTENTOS DE DEMOSTRACIÓN DEL QUINTO POSTULADO
Los intentos por deducir el postulado de las paralelas como un teorema a partir
de los restantes, tuvo ocupados a los geómetras por más de dos mil años, culminando,
como veremos, en algunos de los desarrollos de más largo alcance de las
matemáticas modernas. Muchas “demostraciones” del postulado fueron ofrecidas,
pero con la misma velocidad, más o menos tarde, se descubría que cada
una de ellas se basaba en una suposición tácita equivalente al propio postulado,
violando la regla lógica que impide el razonamiento circular. Veamos algunos
intentos, fallidos naturalmente.
2.4.1. PROCLO
Uno de los intentos conocidos más antiguos se debe a Proclo. Su razonamiento
fue el siguiente.
Y
P
Q
X
Z
Y
j
n
Sean dos líneas paralelas l y m y supongamos que la línea n corta a m en P .
Vamos a demostrar que n corta también a l. Sea Q el punto de corte de l con la
perpendicular que pasa por P . Si n coincide con ←→
PQ entonces n corta a l en Q.
En otro caso, existe un rayo −→
PY de n entre −→
PQ y una rayo −→
PX de m. Tomemos X
como el punto de intersección entre la recta m y su perpendicular por el punto
Y . Conforme el punto Y se va alejando de P , el segmento XY va aumentando
indefinidamente de longitud, de forma que eventualmente sería más grande que
el segmento PQ. Por tanto, Y debe quedar en la otra cara de l, y por tanto n
corta a l.
En el párrafo anterior está la clave del razonamiento de Proclo, ya que envuelve
los conceptos de movimiento y continuidad. Todos los pasos de la demostración
son correctos, pero la conclusión no es cierta. La respuesta es que
una sucesión estrictamente creciente de términos positivos puede estar acotada
superiormente. Por ejemplo, an = n/(n +1).
16
-
-
m
l

El error puede entenderse mejor si analizamos el paso previo a la conclusión.
Podemos decir que (1) los puntos X, Y y Z son colineales, y (2) los segmentos
XZ y PQ son congruentes. Por tanto, cuando XZ sea más grande que PQ,
entonces XY será también más grande que XZ, por lo que el punto Y estará en
el otro lado de l. La conclusión se sigue de (1) y (2). El gran problema es que las
afirmaciones (1) y (2) no se han justificado adecuadamente.
Este análisis de la demostración de la prueba de Proclo ilustra la necesidad
de tener sumo cuidado cuando pensamos en líneas paralelas. Probablemente,
cuando hablamos de líneas paralelas nos imaginamos los railes de una vía, con
las traviesas perpendiculares a ambos railes y todas ellas de igual longitud. Sin
embargo, sin el postulado de las paralelas sólo podemos decir, usando la definición,
que dos líneas paralelas no tienen ningún punto en común. No podemos
afirmar que son siempre equidistantes ni siquiera que tienen una perpendicular
común.
2.4.2. SACCHERI
No fue hasta 1733 cuando la primera investigación científica del postulado de las
paralelas fue publicada. En dicho año, Girolamo Saccheri (1667-1733) publicó
una pequeña obra titulada Euclides ab omni noevo vindicatus (Euclides liberado
de toda falla). Saccheri demostró fácilmente, como lo puede hacer un alumno
aventajado de secundaria, que si en un cuadrilátero ABCD, los ángulos A y
B son rectos, y los lados AD y BC son iguales, entonces los lados D y C son
iguales.
D
= =
C
A B
Cuadrilátero de Saccheri
En consecuencia tenemos tres posibilidades: los ángulos D y C son iguales y
agudos, iguales y rectos, o iguales y obtusos. Estas tres hipótesis fueron denominadas
por Saccheri la hipótesis del ángulo agudo, la hipótesis del ángulo recto
y la hipótesis del ángulo obtuso. Su objetivo era utilizar el método de reducción
17

al absurdo para descartar las hipótesis de los ángulos agudo y obtuso. Saccheri
eliminó fácilmente la hipótesis del ángulo obtuso, pero no pudo destruir la
hipótesis del ángulo agudo. Después de obtener concienzudamente muchos de
los teoremas hoy clásicos de la geometría no euclídea, Saccheri obtuvo incorrectamente
una contradicción no convincente. En palabras de Saccheri:
La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, ya que es repugnante
a la naturaleza de la línea recta.
Saccheri se comportó como el hombre que descubre un diamante extraordinario
y, incapaz de creérselo, anuncia que es cristal. Aunque él no lo reconoció,
Saccheri descubrió la geometría no euclídea.
2.4.3. LAMBERT
El matemático alemán Johann Heinrich Lambert (1728–1777) escribió, treinta
años después de la publicación de Saccheri, una investigación semejante titulada
Die Theorie der Parallellinien (La teoría de las paralelas) que, inexplicablemente,
no se publicó hasta once años después de su muerte. Lambert eligió un
cuadrilátero que contenía tres ángulos rectos (la mitad de un cuadrilátero de
Saccheri) como su figura, y consideró las tres posibles hipótesis para el cuarto
ángulo: agudo, recto u obtuso.
D
C
A B
Cuadrilátero de Lambert
Como Saccheri, Lambert dedujo numerosos resultados de geometría no euclídea
a partir de la hipótesis del ángulo agudo, pero a diferencia de Saccheri,
nunca dijo que había encontrado una contradicción. Demostró que en las
tres hipótesis, la suma de los ángulos de un triángulo es menor, igual o mayor
que dos ángulos rectos, respectivamente, y que el defecto o exceso (según la
hipótesis) es proporcional al área del triángulo. Eliminó la hipótesis del ángulo
obtuvo de la misma forma que Saccheri, pero sus conclusiones sobre la hipótesis
18

del ángulo agudo fueron indefinidas e insatisfactorias, lo que fue el motivo de
que este trabajo no fuera publicado en vida del autor.
2.4.4. LEGENDRE
El francés Adrien Marie Legendre (1752–1833) fue uno de los mejores matemáticos
de su época, contribuyendo con importantes descubrimientos en muchas
ramas de las matemáticas. Tan obsesionado estuvo intentando encontrar una
demostración, que durante 29 años estuvo publicando una demostración tras
otra en las diferentes ediciones de su libro Éléments de Géométrie (Elementos de
geometría). No obstante, Legendre es mejor conocido por el método de mínimos
cuadrados en estadística, la ley de reciprocidad en teoría de números y los polinomios
de Legendre en las ecuaciones diferenciales. El estilo simple y directo
de sus demostraciones, que se difundió mucho debido a su aparición en sus
Elementos, y su enorme prestigio en el mundo de las matemáticas, generó un
entusiasta interés popular en el problema del postulado de las paralelas. Analicemos
uno de sus intentos.
n
I
R ′
A Q
P
Sea P un punto que no está sobre la línea l. Tracemos la perpendicular PQ
de P a l, y sea m la recta perpendicular a PQ que pasa por P . Entonces m es
paralela a l, ya que tienen una perpendicular común. Sea n cualquier otra recta
que pasa por P , distinta de m ydePQ. Debemos probar que n corta a l. Sea
−→
PR un rayo de n entre −→
PQ y un rayo de m emanando de P . Existe un punto R ′
en la cara opuesta de −→
PQ donde está R tal que ^QP R ′ ∼ = ^QP R. Entonces el
punto Q está en el interior de ^RP R ′ . Como la línea l pasa a través del punto
Q, interior a ^RP R ′ , l debe cortar una de las caras del ángulo. Si l corta la cara
−→
PR, entonces l corta a n. Supongamos que l corta la cara −→
PR ′ en el punto A. Sea
B el único punto en la cara −→
PR tal que PA ∼ = PB. Entonces M PQA∼ =M PQB;en
consecuencia, ^PQB es un ángulo recto, de forma que B está enl (y en n).
19
R
B
-
-
m
l

¿Cómo comprobar que la demostración es correcta? Habría que justificar
cada paso, definiendo todos los términos con sumo cuidado. Por ejemplo, habría
que definir qué se entiende por líneas perpendiculares, pues si no, ¿cómo
se puede justificar que l y m son paralelas únicamente porque tienen una perpendicular
común? Quizás habría que demostrar esto como un resultado independiente.
Tendríamos que justificar el criterio de congruencia de triángulos
utilizado al final. Habría que definir qué se entiende por el interior de un ángulo,
y probar que una línea a través del interior de un ángulo debe cortar a una de
sus caras. En todos estos pasos habría que estar seguros, además, de que sólo
se usan los primero cuatro postulados, y no el quinto o alguna de las formulaciones
equivalentes.
2.5. CONCLUSIONES
No nos debe extrañar que no se pudiese obtener una contradicción de la hipótesis
del ángulo agudo, ya que como veremos a continuación, posteriormente se
demostró que la geometría desarrollada con esta hipótesis es tan consistente y
compatible como la euclídea; es más, si la geometría hiperbólica (que es como se
denomina a la geometría obtenida con la hipótesis mencionada) tuviese alguna
contradicción y fuese inconsistente, también lo sería la geometría euclídea. En
consecuencia, el postulado de las paralelas es independiente del resto de los
postulados y, por tanto, no puede deducirse de ellos.
Los primeros en sospechar esta posibilidad fueron los matemáticos Karl Friedrich
Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1793-1860) y Nicolai Ivanovitch Lobachevski
(1793-1856). El planteamiento del problema que hicieron estos matemáticos
iba en la línea de John Playfair, considerando tres posibilidades: por
un punto que no esté en una recta pueden trazarse más de una, oúnicamente
una, oninguna paralela a otra dada, hipótesis que son equivalentes a las hipótesis
de los ángulos agudo, recto y obtuso, respectivamente. El desarrollo de la
primera hipótesis condujo a estos matemáticos al descubrimiento de la geometría
no euclídea.
20

3. LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
¿Qué es la geometría no euclídea? Técnicamente hablando, podemos decir que
cualquier geometría distinta de la geometría de Euclides, y ciertamente pueden
ponerse muchos ejemplos de tales geometrías. Sin embargo, nosotros vamos a
restringirnos a la geometría descubierta por Gauss, Bolyai y Lobachevski, denominada
geometría hiperbólica. Ésta es, por definición, la geometría que se
obtiene al reemplazar, en la geometría euclídea, el quinto postulado por su negación,
que denominaremos el “axioma hiperbólico”.
AXIOMA HIPERBÓLICO. Existe una línea l y un punto P , que no está sobre l, tales
que hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y
son paralelas a l.
3.1. BOLYAI
Janos Bolyai (1802-1860) fue educado para el ejército, llegando a ser oficial del
cuerpo de ingenieros militares del ejército húngaro. Su padre Wolfgang pasó
una gran parte de su vida tratando de demostrar el postulado de las paralelas,
y sabiendo que su hijo Janos estaba también preocupado por ese problema,
intentó en vano disuadirle:
Por amor de Dios, te ruego que abandones. Témele más que a las pasiones
sensuales, porque él también ocupará todo tu tiempo, y te privará de la salud,
de la paz mental, y de la felicidad en la vida.
Janos continuó trabajando y en 1829 llegó a la conclusión que había llegado
Lobachevski unos pocos años antes. Cuando anunció privadamente sus descubrimientos
en geometría no euclídea, su padre le escribió:
Me parece aconsejable, si has obtenido una solución al problema, que, por dos
razones, su publicación debe ser acelerada: en primer lugar, porque las ideas
pasan fácilmente de uno a otro, que las puede publicar; en segundo lugar, porque
parece ser que muchas cosas tienen una época en la cual son descubiertas
en muchos lugares simultáneamente, igual que las violetas surgen por todas
partes en primavera.
Janos Bolyai publicó sus descubrimientos en un apéndice de 26 páginas en un
libro de su padre, Tentamen (1831). Su padre envió una copia del libro a su
amigo Gauss, indiscutiblemente el matemático más famoso de la época. Wolfgang
fue amigo íntimo de Gauss durante 35años, desde cuando ambos eran
21

estudiantes en Gotinga. Después del regreso a Hungría de Wolfgang, mantuvo
con Gauss una correspondencia íntima, y cuando el propio Wolfgang envió a
Gauss su propio intento de probar el postulado de las paralelas, Gauss le indicó
delicadamente el fatal error.
Figura 1: Retrato de Bolyai que aparece en un sello del Servicio de Correos
Húngaro en el centenario de su muerte.
Janos tenía trece años cuando ya dominaba el cálculo diferencial e integral.
Su padre le escribió a Gauss dándole cuenta de los prodigios de su hijo e intentando
que Gauss lo acogiese en su casa como aprendiz de matemáticas. Sin
embargo, Gauss nunca le contestó, quizás porque ya tenía suficientes problemas
con su propio hijo Eugene, que se había marchado de casa. Quince años
después, cuando Wolfgang le envió elTentamen, Janos esperaba que Gauss hiciera
público este descubrimiento. Por tanto, se puede imaginar la decepción
que Janos tuvo que sentir cuando leyó la siguiente carta de Gauss a su padre:
Si comienzo diciendo que nunca alabaré el trabajo, te quedarás sorprendido
de momento; pero no puedo hacer otra cosa. Alabar el trabajo sería alabarme
amí mismo, ya que el contenido del trabajo, el camino que tu hijo ha seguido,
los resultados que ha obtenido, coinciden casi exactamente con mis propias
meditaciones, que han ocupado mi mente en los últimos treinta años. Me
encuentro sorprendido en extremo.
Mi intención era, en relación con mi propio trabajo, del cual se ha publicado
muy poco, no hacerlo público durante mi vida. La mayoría no tiene la lucidez
para entender nuestras conclusiones y sólo he encontrado unos pocos que han
recibido con interés lo que les he contado. Para comprender estas cosas, uno
debe tener una percepción entusiasta de lo que es necesario, y en este punto la
mayoría están bastante confundidos. Por otra parte, tenía intención de escribir
un artículo,de forma que las ideas no se perdiesen conmigo.
De modo que estoy gratamente sorprendido de no hacer este esfuerzo, y estoy
encantado de que sea el hijo de mi viejo amigo quien me haya suplantado de
22

un modo tan sorprendente.
A pesar de la última frase de Gauss, Janos quedó totalmente decepcionado y
desilusionado con la respuesta del gran matemático; incluso imaginó que su
padre había informado secretamente a Gauss de sus resultados y que Gauss
trataba ahora de apropiarse de ellos. Como hombre de temperamento fuerte,
que había participado y vencido en trece duelos consecutivos, Janos cayó en
una profunda depresión mental y nunca más volvió a publicar sus resultados.
En 1851, escribe:
En mi opinión, y como estoy persuadido, en la opinión de los que juzguen sin
prejuicios, todas las razones esgrimidas por Gauss para explicar por qué nunca
publicó nada en su vida sobre este tema son insuficientes; porque en la
ciencia, como en la vida diaria, es necesario clarificar las cosas de interés general
que todavía están ambiguas, así como despertar, acrecentar y promover
el sentido perdido de la verdad. ¡Ay!, para gran detrimento de la humanidad,
sólo unos pocos tienen aptitudes para las matemáticas; por tal motivo Gauss,
para ser coherente, debería haber mantenido una gran parte de su gran trabajo
para sí mismo. Es un hecho que,entre los matemáticos,e incluso entre
personas célebres, existen, desafortunadamente, mucha gente superficial, pero
esto no es una razón para que un hombre sensible escriba solamente cosas
superficiales y mediocres, dejando que la ciencia entre en un estado letárgico.
Tal suposición no es natural, por lo que considero ciertamente incorrecto que
Gauss, en lugar de reconocer honesta y definitivamente el gran trabajo del
Apéndice y del Tentamen, y en lugar de expresar su gran alegría e interés
y tratar de preparar una apropiada recepción para la buena causa, evitando
todo esto, él descansa contento con piadosos deseos y quejas acerca de la
ausencia de una civilización adecuada. Ciertamente, no es esta la actitud que
llamamos vida, trabajo y mérito.
Bolyai estaba frecuentemente aquejado de fiebres, lo que le impedía trabajar,
yen1833 comenzó a recibir una pensión del ejército. Aunque nunca publicó
más que las escasas páginas del Apéndice del Tentamen de su padre, dejó escritas
más de 20.000 páginas de manuscritos de trabajos matemáticos. Estos
manuscritos se encuentran en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures.
3.2. GAUSS
Karl-Friedrich Gauss (1777-1855) nació en Gotinga el 30 de abril. Sin ayuda de
ningún tipo, Gauss aprendió a calcular antes de hablar. A los tres años corrigió
un error en la paga de los obreros de su padre, y por sí solo estudió y profundizó
la aritmética. A los ocho años mostró un genio precoz con ocasión de un
23

problema propuesto por su profesor de la escuela elemental: encontrar la suma
de los cien primeros números naturales. Gauss sumó casi instantáneamente
los enteros al darse cuenta que eran 50 parejas de números que sumaban 101.
El profesor tuvo la sabiduría de procurarle libros de aritmética para que Gauss
prosiguiera su aprendizaje.
A los once años Gauss conoció aMartin Bartels, entonces profesor ayudante
de la escuela y más tarde profesor de Lovachevski. Bartels habló deél al duque
de Brunswick, quien lo llevó a estudiar a sus expensas al Brunswick Collegium
Carolinum. En la academia Gauss descubrió la ley de Bode, el teorema del binomio
y la media aritmético-geométrica, así como la ley de reciprocidad cuadrática
y el teorema de los números primos. En 1795 Gauss dejó Brunswick y se marchó
a la Universidad de Gotinga. El profesor de Gauss era Kaestner, a quien Gauss
ridiculizaba frecuentemente. Su único amigo conocido entre los estudiantes fue
Farkas Bolyai, a quien conoció en1799 y con quien mantuvo correspondencia
durante muchos años.
En marzo de 1796 obtiene la construcción del polígono de 17 lados por medio
de la regla y el compás, y desde ese día consigna la primera anotación en
su célebre diario matemático en el que durante dieciocho años inscribirá 146
enunciados matemáticos breves de los resultados de sus trabajos. Este diario
no fue encontrado hasta 1898, y su contenido fue publicado por primera vez por
Felix Klein en 1901.
En 1798, Gauss vuelve a Brunswick para continuar allí sus trabajos en solitario.
Al año siguiente obtiene el doctorado por la Universidad de Helmsted
bajo la dirección de Johann Friedrich Pfaff. Su tesis de doctorado contiene
una demostración del teorema fundamental del álgebra, es decir, que toda ecuación
polinómica p(x) =0con coeficientes reales o imaginarios posee al menos
una raíz. En 1801, Gauss escribe y publica su gran tratado titulado Disquisitiones
aritmeticae, en el que presenta un resumen de los trabajos aislados de sus
predecesores, da soluciones a las cuestiones más difíciles, formula conceptos y
cuestiones que indicarán, al menos durante un siglo, las líneas maestras de la
investigación en teoría de números.
En junio de 1801, Zach, un astrónomo a quien Gauss había conocido dos o
tres años antes, publica las posiciones orbitales de Ceres, un nuevo “pequeño
planeta” que había sido descubierto por el observador italiano Giuseppe Piazzi
en enero. Desafortunadamente, Piazzi sólo pudo observar nueve grados de su
órbita antes de que desapareciera detrás del Sol. Zach publicó diversas predicciones
de su posición, incluyendo una de Gauss que difería bastante del resto.
Cuando Ceres fue redescubierto por Zach en diciembre, estaba exactamente
24

Figura 2: Gauss en 1803
donde Gauss había predicho. Aunque Gauss no descubrió sus métodos en esa
época, utilizó una teoría orbital de los planetas fundamentada en la elipse y
recurrió amétodos numéricos basados en el método de mínimos cuadrados. Esta
hazaño coincide con el comienzo de sus investigaciones astronómicas, que
absorverán una buena parte de sus energías durante casi veinte años.
En 1807 Gauss es nombrado profesor de astronomía y director del observatorio
de Gotinga, donde permaneció el resto de su vida. Sus trabajos de astronomía
le lleva´ron a publicar su Theoria motus corporum coelestium in sectionibus
conicis solem ambientium (1809), en el cual Gauss desarrolla sistemáticamente
su método del cálculo orbital. En 1809 nace su tercer hijo, que sobrevive corto
tiempo, y de las secuelas de este nacimiento muere su mujer, con la que se había
casado en 1805. Estos dos acontecimientos sumieron a Gauss en una profunda
soledad que nunca fue capaz de superar.
Durante los primeros años en Gotinga, Gauss realiza estudios y lleva a cabo
investigaciones en diversos frentes, a la vez que redacta numerosas memorias:
Disquisitiones generales circa seriem infinitam, un primer estudio riguroso de
las series y la introducción de las funciones hipergeométricas (1813); Methodus
nova integralium valores per approximationem inveniendi, una contribución importante
a la aproximación de las integrales y Bestimmung der Genauigkeit der
Beobachtungen, uno de los primeros análisis de los estimadores estadísticos
(1816); trabajos en astronomía, inspirados por su estudio del planeta Palas y
una memoria notable sobre la determinación de la atracción de un planeta a su
órbita, Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum
methodus nova tractata.
En 1822 Gauss ganó el Premio de la Universidad de Copenhagen con su Theo-
25

Figura 3: Gauss en 1828
ria attractionis..., junto con la idea de aplicar una superficie en otra de tal forma
que ambas sean similar localmente. Este trabajo fue publicado en 1825 y dio origen
a su publicación Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie
(1843 y 1846). El trabajo Theoria combinationis observationum erroribus minimis
obnoxiae (1823), junto con su suplemento de 1828, se dedicó a la estadística matemática,
en particular al método de los mínimos cuadrados.
La publicación, en 1827, desuDisquisitiones circa generales superficies curvas
supone una contribución definitiva de la geometría diferencial de superficies en
el espacio de tres dimensiones, constituyendo esencialmente la primera etapa
en el desarrollo de la geometría de Riemann. Gauss emprende un estudio de las
superficies, demostrando, en particular, que si dos superficies son isométricas
el producto de los dos radios de curvatura principales es el mismo en dos puntos
correspondientes (teorema egregium).
En su memoria de 1827, Gauss trata también el problema de determinar las
geodésicas sobre las superficies. Gauss consigue demostrar un célebre teorema
sobre la curvatura de un triángulo cuyos lados son geodésicas. Determina que
la curvatura total de un triángulo geodésico de lados abc viene dada por
Kds = a + b + c − π
Sus trabajos en geometría diferencial demuestran que el estudio de la geometría
de una superficie puede hacerse concentrándonos esencialmente en la superficie
misma. Así, las “líneas rectas” sobre la superficie son las geodésicas y, por
consiguiente, la geometría de la superficie es no euclídea.
Durante los primeros años Gotinga, Gauss había estudiado la posibilidad
de la existencia de una geometría no euclídea. Convencido de la ineficacia de
26

las diversas tentativas anteriores para demostrar el postulado de las paralelas,
Gauss acepta cada vez más la idea de que debe abandonar los caminos trillados y
elaborar una nueva geometría. A partir de 1813 desarrolla esta nueva geometría,
llamada sucesivamente antieuclídea, geometría astral y, por fin, geometría no
euclídea. En 1831 escribe un ensayo sobre las líneas paralelas, y en una carta
dirigida a H.K. Schumaker le dice:
Después de haber meditado durante casi cuarenta años sin escribir nada dors
me he tomado la molestia al menos de poner por escrito algunas de mis ideas,
con el fin de que no desaparezcan conmigo.
Este mismo, Gauss conoce los trabajos de Janos Bolyai, a través de un libro
que le envía su padre, y en una carta dirigida a éste, le comunica sus propios
trabajos sobre el tema y reivindica la propiedad de sus descubrimientos:
Si digo que soy incapaz de elogiar este estudio, quizás le extrañe. Pero no
puede ser de otra manera, porque ello equivaldría a alabar mis propios trabajos.
En efecto, el enfoque preconizado por vuestro hijo y los resultados que
ha obtenido coinciden casi enteramente con las ideas que han ocupado mi
espíritu desde hace 30 o 35 años. No tengo la intención de publicar estas
meditaciones durante mi vida, pero he decidido escribirlas para que puedan
conservarse. Es, en consecuencia, una sorpresa agradable para mí ahorrarme
este trabajo, y me llena de alegría el pensamiento de que es precisamente el
hijo de mi amigo de siempre el que me ha suplantado de forma tan notable. . .
En 1831, Wilhelm Weber llega a Gotinga como profesor de física, ocupando
el puesto de Tobias Mayer. Gauss había conocido a Weber en 1828 y apoyó este
nombramiento. Gauss había trabajado en física antes de 1831, publicando Uber
ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik y Principia generalia theoriae
figurae fluidorum in statu aequilibrii which discussed forces of attraction. Estos
trabajos estaban basados en la teoría del potencial de Gauss, de gran importancia
en sus investigaciones en física. Gauss pensaba que su teoría del potencial
ysumétodo de los mínimos cuadrados proporcionaban una relación vital entre
la ciencia y la naturaleza.
En 1832, Gauss y Weber comenzaron a estudiar la teoría del magtesimo terrestre,
después de que Alexander von Humboldt intentase obtener la ayuda
de Gauss para construir una red de puntos de observación magnéticos alrededor
de la Tierra. Gauss se interesó por este tema, y publicó tres importantes trabajos:
Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832),
Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (1839) yAllgemeine Lehrsätze in Beziehung
auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden
Anziehungs- und Abstossungskräfte (1840).
27

Figura 4: Gauss en 1832
En 1837, Weber fue forzado a abandonar Gontinga cuando se vio envuelto en
una disputa política, y desde entonces la actividad de Gauss decreció. Aunque
parece ser que siguió trabajando con asiduidad, no se animaba a publicar los
resultados que obtenía. Algunas veces se sintió muy complacido por los avances
realizados por otros matemáticos, especialmente por Eisenstein y Lovachevsky.
Después de 1850, el estado de su corazón se deterioró rápidamente y debió reducir
considerablemente sus actividades. En 1851 Gauss aprobó la tesis doctoral
de Riemann sobre los fundamentos del análisis complejo y en 1854 asiste feliz a
la lección inaugural de Riemann en Gotinga. Su salud se deterioró lentamente y
murió en la cama el 23 de febrero de 1855.
Figura 5: Gauss en su madurez
Dos de los últimos estudiantes de doctorado de Gauss fueron Moritz Cantor
y Dedekind, que describió a su tutor con las siguientes palabras:
28

. . . usualmente se sentaba en una actitud confortable, con la mirada baja, ligeramente
inmóvil y con las manos sobre su regazo. Hablaba bastante libremente,
con mucha claridad, de forma simple y llana: pero cuando quería destacar
un nuevo punto de vista. . . entonces levantaba su cabeza, se volvía hacia alguien
de los que estaban sentados a su lado y lo miraba fijamente, con ojos
penetrantes, mientras duraba su alocución. Si procedía a realizar una explicación
acerca de los principios de desarrollo de unas fórmulas matemáticas,
entonces se levantaba y, con una postura muy erguida, escribía en una pizarra
detrás de él con su particular y esmerada escritura: siempre procuraba
escribir ordenadamente para utilizar el menor espacio.
3.3. LOBACHEVSKI
Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856), fue hijo de un gobernador oficial
que murió cuando Lobachevski sólo tenía 7 años. Alumno de Johann Martin
Bertels (1769-1836), fue amigo y correspondiente de Gauss, y llegó a ser profesor
de la Universidad de Kazán a la edad de veintiún años. De 1827 a 1846 fue rector
de esa universidad, donde permaneció, como profesor y administrador, hasta el
final de sus días, a pesar del hecho de que la escasa apreciación de su trabajo le
entristeció en sus últimos años. Lobachevski recibió una gran formación en las
ideas geométricas, donde las fronteras y las direcciones de investigación eran
controvertidas.
Los revolucionarios puntos de vistas de Lobachevski no son fruto de una repentina
inspiración. En un esbozo de geometría que elaboró en1823, probablemente
para usar en clase, Lobachevski decía en relación con el postulado de la
paralelas que “no se había descubierto ninguna demostración rigurosas de esta
verdad”. Aparentemente, por esa época Lobachevski no excluía la posibilidad de
que una prueba pudiera todavía ser descubierta.
En 1826 sometió a juicio de sus colegas un primer resumen de su nueva
geometría, que él llamaba “geometría imaginaria”, cuyo fundamento reposaba
en el rechazo del postulado de las paralelas y en la hipótesis de que la suma
de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos. Lobachevski estableció
los principios de esta nueva geometría en dos memorias publicadas en la revista
científica de Kazán y en una tercera publicación en el Journal für Mathematik
entre 1829 y 1837. Su trabajo de 1829 atrajo poco la atención cuando apareció,
fundamentalmente porque apareció en ruso, y los rusos que lo leyeron fueron
muy críticos con él.
Lobacheski cambió abiertamente la doctrina kantiana de que el espacio es
una intuición subjetiva. En 1835 escribía:
29

Figura 6: Grabado de Lobachevski (alrededor de 1830)
El poco éxito de los intentos realizados desde Euclides me han hecho sospechar
que la verdad no está contenida sólo en los datos, y que para establecerla
es necesario la ayuda de experimentos, por ejemplo, las observaciones
astronómicas, como se realiza en otras leyes de la naturaleza.
Deseoso de dar a conocer mejor su geometría y difundirla entre los geómetras
occidentales, escribió Géométrie imaginaire (Geometría imaginaria), que apareció
en la revista de Crelle en 1837, y la otra en aleman, cuyo título es Geometrische
Untersuchungen sur Theorie der Parallelinien (Investigaciones geométricas sobre
la teoría de las paralelas), publicada en 1840. Gauss comprendió y apreció la
nueva geometría de Lobachevski pero, una vez más, no le dió públicamente su
aprobación. Estas es una de las razones por las que la nueva geometría se fue
conociendo muy lentamente. Lobachevski intentó de nuevo dar a conocer sus
investigaciones geométricas publicando una nueva exposición de su geometría
con el título Pangéométrie, o compendio de geometría fundada en un teoría general
de las paralelas (1855), cuando estaba completamente ciego.
Gauss, Bolyai y Lobachevski se dieron cuenta de que el postulado de las paralelas
no podía ser demostrado a partir de los axiomas de la geometría euclídea,
y que era pues lógicamente concebible adoptar una proposición contradictoria y
desarrollar una nueva geometría consecuente y coherente naturalmente a partir
de esos axiomas. El contenido técnico presentado por los co-inventores de esta
nueva geometría es prácticamente el mismo, y está perfectamente desarrollado
en la memoria de Lobachevski del año 1840.
Después de haber hecho una breve exposición de sus investigaciones anteriores,
Lobachevski establece una lista de 15 teoremas de geometría cuya comprensión
juzga esencial antes de abordar la hipótesis que rechaza el postulado
30

de las paralelas de Euclides. A continuación afirma que todas las rectas del
plano que salen de un mismo punto pueden dividirse, con respecto a una recta
dada BC, del mismo plano, en dos clases: las rectas que cortan a BC y las
que no la cortan. En esta segunda clase existen dos rectas que constituyen la
frontera entre las dos clases, y que se llaman “rectas paralelas”. Lobachevski
muestra que una recta conserva la característica de paralelismo para todos sus
puntos y que la suma de los tres ángulos de un triángulo no puede exceder dos
rectos. Después añade otros teoremas, entre los que se puede citar el siguiente:
“Para todo ángulo dado α existe una recta p tal que π(p) =α”.
Lobachevski pasa a continuación a la geometría esférica, demostrando diversos
teoremas relativos a los triángulos esféricos, a su superficie, e introduce en
particular la noción de línea frontera como un círculo de radio infinito.
Figura 7: Grabado de Lobachevski (alrededor de 1840)
Lobachevski ha sido denominado “el gran emancipador” por E.T. Bell, según
el cual el nombre de Lobachevski debería ser tan familiar a cualquierescolar
como lo son Miguel Angel o Napoleón. Desafortunadamente, Lobachevski no
fue muy apreciado en vida, hasta el punto que en 1846 fue expulsado de la
Universidad de Kazán.
No sería hasta la muerte de Gauss en 1855, cuando su correspondencia fue
publicada, que la comunidad matemática comenzara a considerar seriamente
las ideas no euclídeas. Incluso en 1888 Lewis Carroll hacía chistes sobre la
geometría no euclídea. Algunos de los mejores matemáticos (Beltrami, Riemann,
Klein, Poincaré) extendieron y clarificaron las ideas de Lobachevski,
aplicándolas a otras ramas de las matemáticas. En 1868, el matemático italiano
Beltrami resolvió definitivamente el problema del axioma de las paralelas,
al probar que no era posible ninguna demostración del mismo. Demostró que
la geometría no euclídea era tan consistente como la geometría euclídea, de tal
31

forma que una de ellas no podía existir sin la otra.
3.4. ALGUNOS RESULTADOS HIPERBÓLICOS
En esta sección vamos a enunciar algunos resultados que pueden probarse en
la geometría hiperbólica, aunque nosotros no vamos a proporcionar ninguna
demostración.
PROPOSICIÓN. Existe un triángulo cuyos ángulos suman menos de 180 o
TEOREMA. No existen los rectángulos y en todos los triángulos se satisface que
la suma de sus ángulos es menor que 180o .
COROLARIO. En todos los cuadriláteros se satisface que la suma de sus ángulos
es menor que 360o .
TEOREMA. Si dos triángulos son similares entonces son congruentes.
En otras palabras, el resultado anterior no dice que en la geometría hiperbólica
es imposible escalar un triángulo (haciéndolo más grande o más pequeño)
sin deformarlo. En consecuencia, no pueden existir las máquinas fotográficas
en un mundo hiperbólico.
TEOREMA. Sil y l ′ son dos líneas paralelas distintas, entonces cualquier conjun-
to de puntos de l equidistantes de l ′ tiene a lo más dos elementos.
El teorema nos dice que no puede haber más de dos puntos en l que simultáneamente
sean equidistantes de l ′ . Se puede presentar una de las dos
situaciones siguientes:
l
l ′
C
I
A
B
D
B :
A
9
- -
C ′ A ′ B ′ D ′ A ′ B ′ l ′
TEOREMA. Sily l ′ son líneas paralelas para las cuales existe un par de puntos
A y B sobre l equidistantes de l ′ , entonces l y l ′ tienen un segmento
perpendicular común, que además es el segmento más corto entre l
32
l

y l ′ .
TEOREMA. Si dos líneas l y l ′ tienen un segmento perpendicular común MM ′ ,
entonces dichas líneas son paralelas, y el segmento MM ′ es único.
Además, si A y B son puntos en l tales que M es el punto medio del
segmento AB, entonces A y B equidistan de l ′ .
TEOREMA. Para toda línea l y todo punto P que no está sobre l, sea Q el punto
sobre l tal que PQ es el segmento perpendicular a l. Entonces exis-
ten dos únicos rayos −→
PX y −→
PX ′ , situados en caras opuestas de la
línea ←→
PQ, que no cortan a l y tienen la propiedad siguiente: un rayo
emanando de P corta a l si y sólo si está entre −→
PX y −→
PX ′ . Además,
estos rayos límite están situados simétricamente alrededor de ←→
PQ,en
el sentido que ^XPQ ∼ = ^X ′ PQ.
P
X = ~ X ′
Q
Hemos visto que en la geometría hiperbólica existen dos tipos de líneas paralelas
a una línea l. El primer tipo consiste en líneas paralelas m que tienen una
perpendicular común: m diverge de l en ambas lados de la perpendicular común.
El segundo tipo consiste en paralelas m que se aproximan asintóticamente a l
según una dirección (y, por tanto, contiene un rayo paralelo límite) y que divergen
según la dirección contraria. En este segundo caso, las líneas paralelas l y
m no tienen una perpendicular común.
TEOREMA. Sea m una línea paralela a l que no contiene un rayo límite paralelo
(en ninguna de las dos direcciones). Entonces existe una perpendicular
común a m y l (que además es única).
Los resultados que acabamos de presentar no pretenden ser una colección
exhaustiva de teoremas de la geometría hiperbólica, si no sólo poner de manifiesto
el “extraño universo” que se genera con dicha geometría. No obstante, no
debemos pensar que la geometría hiperbólica está muy lejos de ser cierta o verdadera;
en la próxima sección veremos que con una adecuada definición de los
términos primitivos, la geometría hiperbólica puede ser considerada una parte
de la geometría euclídea.
33
-
l

4. LA CONSISTENCIA DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: MO-
DELOS
En la sección precedente hemos introducido la geometría hiperbólica y hemos
presentado, sin demostración, algunos de los resultados o teoremas de esta
nueva geometría, que deben sonar ‘extraños” para alguien acostumbrado a la
geometría euclídea (presumiblemente, todos nosotros). Incluso aunque las demostraciones
que pueden hacerse sean rigurosas, siempre nos quedará la duda
o la sospecha de que, en el fondo, esta geometría es falsa. Pero, pensemos
en las consecuencias que tendría la falsedad o inconsistencia de la geometría
hiperbólica.
Supongamos que supongo que cuando tiro una piedra, ésta cae “hacia arriba”.
Entonces puede tirar muchas piedras y, salvo un imposible, descubriremos
que nuestra hipótesis es falsa. Ahora bien, ¿qué tipo de experimento podemos
realizar para comprobar que la geometría hiperbólica es inconsistente? En otras
palabras, ¿hay alguna manera de probar que el postulado hiperbólico es falso?
O por el contrario, ¿puedo comprobar, de alguna forma, que es verdadero?
El primer paso que debemos dar es aclarar completamente los términos que
estamos utilizando. ¿Qué significan los “puntos”, las “líneas”, las líneas “paralelas”,
etc.? Podríamos pensar, en un primer momento, en los puntos y las
líneas rectas que todos podemos dibujar con un lápiz y una regla. Pero, ¿trata
la geometría de los puntos y las líneas que podemos pintar? La geometría
aplicada (ingeniería), posiblemente sí; pero la geometría pura trata con puntos
ylíneas ideales, es decir, con conceptos, y no con objetos. De manera que los
únicos experimentos que podemos realizar con estos conceptos, son experimentos
en nuestra pensamiento. En consecuencia, la pregunta debe plantearse en
los siguientes términos: ¿puedo imaginar una geometría no euclídea? Los metafísicos,
que así se llamaban los seguidores de Immanuel Kant, elfilósofo más
importante del siglo XVIII, decían que no, que el espacio euclídeo es inherente a
la estructura de nuestra mente, y en consecuencia cualquier geometría no euclídea
es inconcebible. En este sentido, Gauss, Bolyai y Lobachevski crearon
un “nuevo y extraño universo”.
Los matemáticos rechazamos muchas ideas por varios motivos, bien porque
conduzcan a contradicciones, bien porque no conduzcan a resultados brillantes
y de interés. ¿Conduce la geometría hiperbólica a alguna contradicción? Saccheri
pensaba que sí, y trató de probarlo, aunque sin éxito. Pero aun así nos
puede asaltar una duda, ¿es posible que Saccheri no fuera lo suficientemente
inteligente para encontrar la contradicción, y que un buen día, alguien brillante
34

y genial encuentre el fallo?
Por otro lado, ¿cómo sabemos que la geometría euclídea es consistente? Esta
pregunta nunca tuvo interés antes del descubrimiento de las geometrías no
euclídeas, ya que se pensaba que la única geometría posible era la euclídea, y
que ésta era consistente. Sorprendentemente, si nosotros hacemos explícita la
suposición de que la geometría euclídea es consistente, entonces es posible dar
una demostración de la consistencia de la geometría euclídea. Consideremos el
siguiente resultado
METATEOREMA 1. Si la geometría euclídea es consistentes, entonces también lo
es la geometría hiperbólica.
A partir del MetaTeorema anterior, es posible deducir la siguiente consecuencia.
COROLARIO. Si la geometría euclídea es consistente, entonces no se puede encontrar
una demostración ni de la verdad ni de la falsedad del postulado
de las paralelas a partir del resto de los postulados; es decir,
el postulado de las paralelas es independiente del resto de postulados.
Supongamos que existe una demostración del postulado de las paralelas. Entonces
la geometría hiperbólica sería inconsistente, ya que contradice un resultado
verdadero. Pero por el MetaTeorema 1, la geometría euclídea debe ser inconsistente.
Por tanto, no podemos encontrar una demostración. Por otra parte,
la consistencia de la geometría de Euclides garantiza que lo contrario tampoco
puede ser cierto, lo que finaliza la demostración del corolario.
Por tanto, los 2000 años que los matemáticos se pasaron intentando demostrar
el postulado de las paralelas fueron en vano. Era una tarea imposible, como
trisecar un ángulo arbitrario o cuadrar el círculo con la única ayuda de la regla
y el compás. Naturalmente, estas afirmaciones son consecuencia de nuestra
suposición de que la geometría euclídea es consistente. Saccheri, Legendre, Bolyai,
y tantos otros, intentaron demostrar el quinto postulado a partir del resto,
con el loable objetivo de fortalecer y engrandecer la geometría euclídea, y no se
dieron cuenta de que en su intento estaban destruyéndola.
Para probar el MetaTeorema 1, debemos preguntarnos qué entendemos por
“línea” en la geometría hiperbólica, o por el plano hiperbólico. Una respuesta
honrada sería reconocer que no sabemos la respuesta, ya que se trata de una
entelequia, de una abstracción. En realidad, una línea hiperbólica es un concepto
abstracto e indefinido que nos recuerda a las líneas euclídeas, excepto
35

en que no cumplen el quinto postulado. Por tanto, ¿cómo podemos visualizar
la geometría hiperbólica, cuando nuestra visión y nuestra educación (nuestros
sentidos) es euclídea?
La cuestión de “visualizar” la geometría hiperbólica debe pues entenderse
cómo encontrar objetos euclídeos que representen objetos hiperbólicos, es decir,
que debemos encontrar un modelo euclídeo que represente la geometría
euclídea.
4.1. EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN
Consideremos una circunferencia γ en el plano, de centro un punto O y de radio
OR. Entonces el interior de γ es el conjunto de puntos X tales que OX < OR.
O
γ
Los puntos del interior de γ representan, en este modelo, los puntos del plano
hiperbólico.
Una cuerda de γ es un segmento AB uniendo dos puntos A y B que están
en γ. Definimos la cuerda abierta, y la denotamos por A)(B,como la cuerda
AB sin los puntos extremos A y B. En el modelo de Beltrami-Klein, abreviadamente,
modelo de Klein, las cuerdas abiertas representan las líneas del plano
hiperbólico. La relación “está sobre” tiene la misma interpretación que en la
geometría euclídea: un punto P está enlalínea hiperbólica A)(B si, y sólo si,
está enlalínea ←→
AB y se encuentra entre A y B. La relación hiperbólica “entre”
también se interpreta como la misma relación en la geometría euclídea. La
interpretación de la “congruencia” requiere un poco más de trabajo y esfuerzo.
La siguiente figura justifica inmediatamente que el axioma hiperbólico se satisface:
P
36
X
R
m
n
l

Observamos que las dos cuerdas m y n pasan por el punto P y ambas son paralelas
a la cuerda l, pues no tienen puntos en común (recordemos que el plano
hiperbólico se circunscribe al interior de la circunferencia). El hecho de que los
segmentos, cuando se prolongan en el plano euclídeo se cortan, es irrelevante.
Una vez que todos los términos primitivos han sido rigurosamente interpretados
(a nosotros nos falta la congruencia), entonces debemos interpretar los axiomas
de la geometría. Por ejemplo, el primer axioma de incidencia de Klein:
AXIOMA I1. Dados dos puntos distintos en el interior de la circunferencia γ, existe
una única cuerda abierta l de γ tal que A y B están sobre l.
Este axioma es un teorema de la geometría euclídea. Una vez que todos
los axiomas de la geometría hiperbólica han sido interpretados como resultados
y teoremas de la geometría euclídea, cualquier prueba de contradicción en la
geometría hiperbólica se podría trasladar inmediatamente a una contradicción
en la geometría euclídea. De nuestro convencimiento en la consistencia de la
geometría euclídea, se deduce que tal prueba de contradicción no puede existir.
En consecuencia, si la geometría euclídea es consistente, entonces también lo
es la geometría hiperbólica.
4.2. UN MODELO DE POINCARÉ EN EL DISCO
El modelo de Henri Poincaré del disco también representa los puntos del plano
hiperbólico como los puntos del interior de una circunferencia γ, pero las líneas
se presentan de forma bien distinta.
Todas las cuerdas que pasan por el centro O de la circunferencia (es decir, los
diámetros abiertos de γ) representan líneas. Las otras líneas son arcos abiertos
de circunferencias que intersecan ortogonalmente a γ, en el sentido euclídeo del
término ortogonal.
l
O
m
γ
Para ser más precisos, sea δ una circunferencia ortogonal a γ. Entonces la
37
δ

intersección de δ con el interior de γ define un arco abierto m, que por definición
representa una línea en el modelo de Poincaré. En consecuencia, una línea de
Poincaré, una P-línea, es o bien un diámetro abierto o bien un arco abierto m
ortogonal a γ, como se indica en la figura anterior.
¿Cómo se interpretan las otras relaciones indefinidas de la geometría? Un
punto interior a γ “está sobre” una P-línea si está sobre ella en el sentido euclídeo.
De manera análoga, la relación “entre” tiene el mismo significado que en
el caso euclídeo.
La interpretación de la “congruencia” tiene dos partes diferenciadas: la difícil
(la relativa a la congruencia de segmentos) y la fácil (la que se refiere a la congruencia
de ángulos). Esta última tiene el mismo significado que en el caso
euclídeo, lo que supone la principal ventaja de este modelo respecto del modelo
de Klein.
De manera totalmente análoga a como se ha hecho con el modelo de Klein,
es posible trasladar, a través de este modelo, todos los axiomas de la geometría
hiperbólica a teorema de la geometría euclídea. En consecuencia, el modelo
de Poincaré nos proporciona una nueva demostración de que si la geometría
euclídea es consistente, entonces también lo es la geometría hiperbólica.
Veamos a continuación algunas figuras que ilustran algunos de los resultados
más característicos de la geometría hiperbólica, que presentamos en la sección
anterior.
P
γ
A B
O l
La figura anterior ilustra los rayos límite paralelos. Como línea l hemos escogido
el diámetro abierto A)(B; los rayos son los arcos circulares que cortan
la recta ←→
AB en A y B y son tangentes a dicha línea en esos puntos. Puede observarse
que estos rayos se aproximan asintóticamente a l conforme nos vamos
acercando a los puntos A y B.
La siguiente figura ilustra dos P-líneas con una perpendicular común. El
dibujo muestra que m diverge de l por ambos lados de la perpendicular común.
38

P m
O l
Finalmente, la siguiente figura ilustra un cuadrilátero de Lambert, donde
puede comprobarse que el cuarto ángulo es agudo.
O l
Cuadrilátero de Lambert
Añadiéndole su imagen reflejada en un espejo puede obtenerse un cuadrilátero
de Saccheri.
O
Cuadrilátero de Saccheri
4.3. UN MODELO DE POINCARÉ EN EL SEMIPLANO
Poincaré fue capaz de diseñar otro modelo para la geometría hiperbólica, donde
el plano hiperbólico se identifica con los puntos de un semiplano determinado
por una línea euclídea fija. Para fijar las ideas, y si utilizamos coordenadas
cartesianas, es usual considerar con plano hiperbólico el siguiente conjunto:
H = {(x, y) :y>0}
39

Las líneas hiperbólicas, en este modelo, pueden ser de dos tipos:
(1) rayos emanando de puntos situados sobre el eje x y perpendiculares a dicho
eje;
(2) semicircunferencias en el semiplano superior con centro un punto en el eje
x,
Las relaciones de incidencia y “entre” tienen la misma interpretación que en
la geometría euclídea. En este modelo, los ángulos se miden de la misma manera
que en el caso euclídeo, lo cual se indica diciendo que este modelo es conforme
al euclídeo, o bien que ambos modelos son conformes.
4.4. EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS
Ya hemos descrito, aunque sea muy brevemente, tres modelos distintos para la
geometría hiperbólica. Quizás estemos sorprendidos, ya que no sólo hemos sido
capaces de encontrar “mundos” donde la geometría es hiperbólica, y no euclídea,
sino que hemos propuesto tres modelos. Uno puede sentir que dichos modelos
son distintos, por las diferencias entre las definiciones de líneas, incidencia, y
demás términos y relaciones primitivas. Pero, realmente, ¿son diferentes los
modelos?
Vamos a “demostrar” (quizás sería más adecuado decir, “insinuar” o “esbozar”)
que los tres modelos son isomorfos, en el sentido matemático de que existe una
correspondencia biyectiva entre cada dos modelos que preserva los términos y
relaciones primitivas (puntos, líneas, “sobre”, “entre” y “congruente”).
4.4.1. EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE KLEIN Y EL DISCO DE POINCARÉ
Consideremos el plano como el plano XY dentro del espacio euclídeo tridimensional
y sea una esfera, del mismo radio que el disco de Klein, que sea tangente
al plano en el origen.
40

Proyectamos ortogonalmente el modelo de Klein en el hemisferio sur de la esfera.
Mediante esta proyección, las cuerdas del disco se transforman en arcos de
circunferencias ortogonales al ecuador de la esfera. A continuación proyectamos
estereográficamente desde el polo norte de la esfera en el plano original. Tras la
proyección, el ecuador de la esfera se transforma en una circunferencia de radio
mayor que la circunferencia original del modelo de Klein, y el hemisferio sur se
transforma en el interior de dicha circunferencia. Si el disco original representa
el modelo de Klein, entonces el disco resultante de las dos transformaciones
anteriores representa el modelo de Poincaré.
4.4.2. EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE POINCARÉ
Para poder visualizar una transformación de un modelo en otro, debemos identificar
el plano euclídeo con el plano complejo, de forma que un punto del plano es
un número complejo z = a+ib. Podemos definir la siguiente aplicación ϕ : D → H
dada por
z + i
ϕ(z) =−i
z − i
Entonces dicha correspondencia transforma los términos y relaciones primitivas
del modelo de Poincaré en el disco en los correspondientes del modelo del
semiplano de Poincaré.
4.4.3. CONCLUSIÓN
En realidad, puede probarse que todos los posibles modelos de la geometría hiperbólica
(es decir, los que hemos expuesto y cualquier otro que nosotros u otros
puedan concebir) son isomorfos entre sí, es decir, los axiomas de la geometría
hiperbólica son categóricos.
La afirmación anterior también es cierta para la geometría euclídea, y puede
41

probarse introduciendo coordenadas cartesianas en el plano. Del mismo modo,
la naturaleza categórica de la geometría hiperbólica puede probarse introduciendo
las coordenadas de Beltrami en el plano hiperbólico (y para ello debemos
introducir primeramente la trigonometría hiperbólica).
42

5. CONCLUSIONES
Hemos visto en la sección precedente que si la geometría euclídea es consistentes,
también lo es la geometría hiperbólica. Recíprocamente, puede probarse
que si la geometría hiperbólica es consistentes, entonces le ocurre lo mismo
a la geometría euclídea. Así pues, lógicamente hablando, o si se quiere,
matemáticamente hablando, ambas geometrías deben ser consideradas al mismo
nivel. Sin embargo, es evidente que todos “sentimos” que la geometría hiperbólica
es una creación de la mente humana, mientras que la geometría euclídea
representa acertadamente nuestro mundo. Y aquí es donde nos debemos
plantear una pregunta de implicaciones filosóficas tremendas: ¿Cuál es la geometría
del espacio físico?, ¿Qué leyes geométricas rigen nuestro mundo?
Cuando se aplican varias teorías matemáticas para explicar un fenómeno
o situación física, nos interesa la teoría que explique mejor o que concuerde
más con los hechos físicos observados, y que resista adecuadamente la clase de
pruebas que habitualmente se hacen sobre las hipótesis en cualquier campo de
la investigación científica.
No es difícil darse cuenta que las geometrías descritas se adaptan significativamente
bien a nuestro espacio físico pequeño, y en consecuencia podemos
vernos tentados a proporcionar una respuesta vaga e indeterminada. Por ejemplo,
en distancias pequeñas, como las que se utilizan en la arquitectura y en
la ingeniería, como las que usamos diariamente todos, hay evidencia más que
suficiente para considerar a la geometría euclídea como la que mejor se adapta
a nuestras necesidades. Sin embargo, cuando las distancias son enormes, como
las consideradas en astronomía, el ajuste de la geometría euclídea ya no es tan
bueno.
Consideremos las líneas como las trayectorias de los rayos de luz. ¿Cómo
podríamos verificar la clase de geometría en que vivimos? Pues parece razonable
intentar medir los ángulos de un triángulo y ver si nos encontramos con un defecto
o con un exceso de 180o . Una prueba de esta naturaleza fue imaginada y
realizada por el genial matemático Gauss, utilizando un triángulo cuyos vértices
eran los picos de tres montañas. Los resultados del experimento, sin embargo,
no fueron concluyentes. ¿Por qué? Por que cualquier experimento físico involucra
un error experimental, debido a la falta de exactitud del aparato medidor,
a la falta de condiciones para realizar el experimento, a errores de medición por
nuestra falta de pericia, etc. Gauss no encontró ninguna desviación de 180o ,
más allá del error probable de la medición.
Debido a los posibles errores experimentales de medición, no existen experi-
43

mentos físicos que nos permitan concluir si el mundo en que vivimos es euclídeo
o hiperbólico. Es decir, es imposible determinar si la geometría de nuestro espacio
físico es euclídea o no euclídea. Como todas las mediciones comprenden
suposiciones, tanto de carácter físico como de tipo geométrico, un resultado observado
puede explicarse de muchas maneras. Imaginemos una discrepancia
observada en la suma de los ángulos de un triángulo: podríamos explicarla conservando
la geometría euclídea pero cambiando alguna ley de la óptica. Imaginemos,
por el contrario, que nunca encontrásemos una discrepancia; podríamos
explicarla con una geometría no euclídea con algunos ajustes en nuestra concepción
de la materia.
Esta última afirmación es, de hecho, la actitud científica actual. Según los
“descubrimientos” de Einstein, el espacio y el tiempo son inseparables, y la geometría
del espacio-tiempo se ve afectada por la materia, de tal forma que incluso
los rayos de luz están curvados por los efectos gravitacionales. Es decir, el espacio
no es un ente absoluto que no se ve afectado por lo que contiene; el problema
es mucho más complicado que lo que Euclides o Lobachevski pudieron imaginar,
pues de hecho ninguna de sus geometrías es adecuada para describir nuestra
concepción actual del espacio.
La respuesta de Poincaré a la pregunta que nos planteábamos al principio es
la siguiente:
Si la geometría fuese una ciencia experimental, entonces no sería una ciencia
exacta y estaría sometida a una revisión continua.. . . Por tanto, los axiomas
geométricos no son ni intuiciones sintéticas a priori ni hechos experimentales.
Son, simplemente, convenciones. Nuestra elección, entre todas las posibles
convenciones, está determinada por hechos experimentales; pero permanece
libre y sólo está limitada por la necesidad de no obtener ninguna contradicción.
Por tanto, los postulados permanecen rigurosamente verdaderos incluso
cuando las leyes experimentales que los motivaron son sólo aproximaciones a
la realidad. En otras palabras, los axiomas de la geometría no sólo definiciones.
En consecuencia, qué debemos pensar ante la pregunta: ¿Es verdadera
la geometría euclídea? No tiene sentido. Podríamos pensar también si el sistema
métrico es verdadero y los viejos pesos y medidas son falsos; si las
coordenadas cartesianas son verdaderas y las coordenadas polares son falsas.
Una geometría no puede ser más verdadera que otra: sólo puede ser más
conveniente.
Para la topología terrestre, para la construcción de los edificios y puentes, para
el diseño de automóviles y aviones, en general para nuestra vida ordinaria, la
geometría euclídea es la más conveniente, porque es la más sencilla de manejar
y nos proporciona una descripción de la realidad muy acertada.
44

Sin embargo, en otras situaciones existen otras geometrías más aceptables.
Por ejemplo, Einstein encontró que para dar soporte a sus teoría física de la
relatividad ninguna de las geometrías clásicas eran adecuadas, y adoptó la geometría
riemanniana como el modelo matemático que describía acertadamente el
mundo físico que su teoría proponía.
Estudios de mediados de siglo acerca del espacio visual (el espacio psicológicamente
observado por personas de visión normal) han llegado a la conclusión
que puede ser descrito de la forma más conveniente a través de la geometría
hiperbólica.
Como resumen y conclusión, podemos afirmar que no existe una geometría
(más) verdadera, sino una geometría (más) conveniente, y esta conveniencia
depende de la aplicación en la que vaya a ser utilizada.
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