geometrias no euclidianas

Revisado por el Doctor en matemática:

1. DESCRIPCIÓN DE LA UNIDAD DIDÁTICA.
1.1. BREVE DESCRIPCIÓN.
El UNIVERSO, esta habitado por: asteroides, planetas, estrellas, galaxias,
agujeros negros, agujeros de gusano, materia y energía oscura y objetos que
aún el ser humano no conoce, como el Espacio mismo.
De acuerdo a la teoría General de la relatividad: la materia, curva el Espacio, por
lo tanto, la Gravitación de Newton fue reducida a un problema de curvatura del
Espacio. La ecuación de campo gravitacional de Einstein: Gμν = 8π Tμν expresa,
que la curvatura del espacio-tiempo en cualquier lugar del universo (Gμν), debe
ser igual a la distribución de la materia (8π Tμν ). (Ver Gráfica 1.)
Grafica 1 Grafica 2
El problema no es tan sencillo como a primera vista se ve, ya que el universo no
es homogeneo y al parecer fuera de agujeros negros (Grafica 2) que tienen una
curvatura (negativa) muy diferente a la de la Grafica 1, exixte: la materia oscura,
la energía oscura, y la Expancíon del Universo de las cuales no nos ocuparemos
en esta guia.
Por ahora, en el universo existen: curvatura positiva, negativa y cero. Éstas tres
curvaturas son las mismas que se encuentran en la geometria esferica,
geometria Hiperbólica y euclidiana respectivamente. Esta es la razón que nos

motiva e invita a estudiar geometrias no euclidianas y desarrollar la intuicion
hacia la cosmologia moderna (la nueva visión del Universo), y en el futuro,
desarrollar la matematica, tanto de las geometrias no euclidianas como de la
teoria de la relatividad y la mecànica cuantica.
La guia se desenvuelve para los integrantes del Grupo Galois de grado 8; con
una duración de 4 sesiones de 2 horas cada una. El énfasis se pondrá en
desarrollar el pensamiento espacial, usando las operaciones mentales de
observación, comparacion, análisis, razonamiento hipotético, razonamiento
lógico y síntesis, en las poderosas y asombrosas fotografias del telescopio
Hubble y las gráfica hechas por fisicos, matemáticos y las fantasticas
conclusiones de Albert Einstein.
1.2. JUSTIFICACIÒN.
Desde que el hombre pudo explorar el espacio a través del telescopio Hubble
quedo maravillado. Pero ya desde la época de las cavernas se preguntaba qué
son las estrellas. Sabemos hoy algo de las estrellas pero el nuevo misterio es el
espacio mismo. Nos preguntamos: ¿Que es el espacio? ¿Cómo se formo? ¿Que
forma tiene? ¿Que lo compone? ¿Que extensión tiene? ¿Se puede observar en
él, algún tipo de geometría?
Las geometrías no euclidianas te acercan a la verdadera forma del Espacio,
según la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Esta unidad didáctica te
invita a que construyas una nueva imagen del universo a partir del estudio de
las geometrías Lobachevski y Riemann.

Quiero romper con el paradigma de la geometría euclidiana en la escuela. Estoy
empeñado en una revolución que este más cerca de la connotación antigua de la
GEOMETRIA: medir la tierra, Pero! La tierra no es plana, es una esfera.
Invitamos y convocamos a los participantes a construir la nueva imagen del
universo que se sustenta en las geometrías de Lobachevski y Riemann que
atraviesa la métrica de Minkowski, como requisitos fundamentales para
entender la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.
Nuestra experiencia de la geometría a través de la escuela y las vivencias por
fuera de la misma nos han llevado a pensar que la única superficie que existe es
la plana. Pero no! Realmente existen otras superficies tales como: tu propia
piel, la cáscara de la naranja, la cáscara de la piña, la superficie de los planetas,
de los agujeros negros, de los agujeros de gusano entre otras. Además, dado
que el universo es una caja de sorpresas es posible que existan otras
geometrías que quizás hasta el momento no han sido imaginadas por el hombre.
Hoy queremos mostrar a ustedes lo fácil que es concebir, conocer, entender las
tres geometría básicas: euclidiana, rimanniana y lobachevskiana y los
principales resultados matemáticos que de ellas se derivan y lo mas importante
como nos ayudan a entender el ESPACIO.
Después de leer: los fines de la educación, los lineamientos curriculares de
matemática, y los estándares básicos de competencias en matemática, queda
uno convencido de que para sus autores no es importante que los colombianos
desde preescolar hasta 11, nos demos cuenta que vivimos en un planeta que no
es plano y, lo peor, que el espacio infinito tampoco lo es.
Son 2 las razones que me motivan a pensar que esto es así:
1) Arrastramos por mas de 2000 años el peso de una geometría (Euclidiana)
que solo se usa de manera local, en un área como una ciudad y que
además nada tiene que ver con la realidad: la tierra no es plana, la palma
de la mano no es plana, el sanitario no es plano ni un solidó perfecto, la
silla de montar y las mujeres presentan curvas que nada tienen que ver
con Euclides.
2) La segunda razón es que no tenemos investigación espacial. No tenemos
satélites artificiales y tampoco nos interesa la Física moderna que usa las
geometrías no Euclidianas para su perfecta comprensión.
Cambiar de paradigma, es de las cosas más duras que hay hasta para los
propios científicos.
Si Kant (el filosofo) pudiera regresar a la vida estaría arrepentido de haber
defendido tanto a Euclides.

Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES. Riemann. Hilbert y
Klein, lo dijeron primero que yo.
Estoy convencido que al niño se le debe hablar y mostrar la geometría de la
esfera, de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5)
antes de hablarle de Euclides.
El 99.999999999999999% de las superficies no son planas y, existen en ellas
triángulos y cuadriláteros con propiedades que contradicen el sentido común
provocado por la geometría Euclidiana. Para la propuesta que traigo hoy,
dejemos el sentido común en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIÓN
Grafica 4 Grafica 5

2. ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDÁCTICA.
2.1. METAS COGNITIVAS.
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA
GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIÓN
ESPACIAL DEL NIÑO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE, LAS
GRÁFICAS HECHAS POR FÍSICOS, MATEMÁTICOS Y LAS FANTASTICAS
CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN, MÁS QUE EL FORMALISMO
MATEMÁTICO.
Indicadores.
2.1.1. Identifica diferentes superficies en el Universo: Planas, esféricas,
hiperbólicas.
2.1.2. Distingue las formas de los triángulos y cuadriláteros en cada una de las
superficies.
2.1.3. Comprueba usando el programa Geogebra, que la suma de los ángulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados.
2.1.4. Observa que en el globo terráqueo existen cuadriláteros con 2 ángulos
rectos, lados iguales y que los otros 2 ángulos no son rectos.
2.1.5. Aclara, sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann: La suma de los ángulos interiores de un triangulo
es menor de 180 grados y mayor respectivamente.
2.1.6. Relaciona las curvaturas de las geometrías no euclidianas con las
conclusiones de Einstein.
2.1.7. Argumenta que la geometría del Espacio o parte de el, se soporta en las
geometrías no euclidianas como modelo.

2.2. CONTENIDOS.
2.2.1. Conceptos previos.
2.2.2. Superficies que se han encontrado en el universo y, en la naturaleza como
parte de el.
2.2.3. Triángulos y cuadriláteros en diferentes superficies.
2.2.4. Resultados de la suma de los ángulos interiores de triángulos y
cuadriláteros en diferentes superficies.
2.2.5. Relación del postulado de las paralelas de la superficie plana, con las
superficie hiperbólica y esférica.
2.2.6. Nacimiento de las geometrías no euclidianas. Lobachevski y Riemann.
2.2.7. Curvaturas.
2.2.8. Las superficies en el Espacio..
2.2.9. ¿Qué deforma el Espacio?.
2.2.10. Geometría, espacio-tiempo y cosmología moderna.
2.2.11. Métricas.
2.2.12. La duda de Einstein.
2.2.13. El tensor de Riemann.
Los tres últimos numerales son para un nivel superior.

2.2.1. CONCEPTOS PREVIOS.
2.2.1.1. Tangente a una curva en un punto.
2.2.1.2. Ángulo entre 2 curvas.
2.2.1.3. Telescopio Hubble.
2.2.1.4. Agujero Negro.
2.2.1.5. Superficie.
2.2.1.1. Tangente a una curva en un punto. Línea que toca la curva en ese punto
.
2.2.1.2. Ángulo entre 2 curvas.
Ángulo entre dos curvas que se cortan:
Es el ángulo que forman las rectas tangentes, si existen, a las curvas en el punto
de corte.
Se pude usar el programa Geogebra, para medir éste tipo de águlos.

GeoGebra.
2.2.1.3. Telescopio Hubble. La extensión del ojo humano para mirar en la
actualidad al Cosmos.

2.2.1.4. Agujero Negro
Lectura 1.
“Un agujero negro u hoyo negro es una región del espacio-tiempo provocada por una gran
concentración de masa en su interior, con enorme aumento de la densidad, lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera los fotones de luz, puede
escapar de dicha región.
La curvatura del espacio-tiempo o «gravedad de un agujero negro» provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada, llamada horizonte de sucesos. Esto es debido a la gran
cantidad de energía del objeto celeste. El horizonte de sucesos separa la región del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie límite del espacio a partir de la cual ninguna partícula
puede salir, incluyendo la luz. Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general, la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio. En los años 70, Hawking,
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometría de los
agujeros negros. 1 Previamente, en 1963, Roy Kerr había demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debían tener una geometría cuasi-esférica
determinada por tres parámetros: su masa M, su carga eléctrica total e y su momento angular L.
Se cree que en el centro de la mayoría de las galaxias, entre ellas la Vía Láctea, hay agujeros
negros supermasivos. La existencia de agujeros negros está apoyada en observaciones
astronómicas, en especial a través de la emisión de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activas.”

2.2.1.5. Superficie.
Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo, la piel o los límites del
objeto.
2.2.1. Superficies que se han encontrado en el universo y, en la naturaleza
como parte de el.
1). El profesor señala una superficie plana: El tablero. (Grupo Galois).
2). La superficie de la mano derecha del profesor.

3). La piel es la superficie del cuerpo humano.
4). La superficie de las frutas.
5). La superficie de los animales.

6). La superficie de la tierra y la luna.
7). Superficie de un agujero negro.

8). Superficie de un cometa

9). La superficie del Espacio.

2.2.2. Triángulos y cuadriláteros en diferentes superficies.
Definiremos nominalmente (como lo hace un niño con la palabra mama) algunos
conceptos.
TRIANGULOS.
i). Triángulo Plano. Objeto de tres lados. Tres ángulos y tres vértices formado
en una superficie plana:

ii). Triángulo hiperbólico. Objeto de tres lados. Tres ángulos y tres vértices
formado en una superficie hiperbólica:

iii). Triángulo esférico. Objeto de tres lados. Tres ángulos y tres vértices
formado en una superficie esférica:

CUADRILATEROS
Observe como pueden existir:
i). Un cuadrilátero con 2 ángulos rectos, lados AD = BC y ángulos D y C
agudos.
ii). Un cuadrilátero con 2 ángulos rectos, lados AD = BC y ángulos D y C
obtusos.

2.2.3. Resultados de la suma de los ángulos interiores de triángulos y
cuadriláteros en diferentes superficies.

Observe que la suma de
los ángulos interiores del
triángulo esférico (en la
esfera) es:
90° + 90° + 50° = 230°
En el plano es:
50° + 40° + 90° = 180°
89° + 89° + 60° + = 238°

La suma en el triángulo hiperbólico es la siguiente: 23° + 23° + 90° = 136°
2.2.4. Relación del postulado de las paralelas de la superficie plana, con la
superficie hiperbólica y la esférica.
i). Según Euclides, en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una.
Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano, siempre en forma
equidistante y jamás se encontraran.
ii). Para Riemann, en la esfera, no existen paralelas, ya que en los polos los
insectos se encuentran.

iii).Lobachevski plante que existe más de una paralela. Aquí toca replantear el
concepto de paralelismo. Observe simplemente que los insectos jamás se
encontraran. Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente:
Lectura 2.
“Paralelas en la geometría hiperbólica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triángulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperbólico), así como
dos rectas paralelas divergentes.
El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que «dada una recta r y un punto P externo a ella, hay una y sólo una recta que pasa por P que
no intersecta a 'r''». Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela"
a través de P.
En geometría hiperbólica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r. De hecho para la geometría hiperbólica
es posible demostrar una interesante propiedad: hay dos clases de rectas que no intersectan a la

ecta r. Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r. Considere la recta
l que pasa por P, tal que l no intersecta a r y el ángulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj, desde PB) es lo más pequeño posible (i.e. cualquier ángulo más pequeño que
theta, forzará a la recta a intersectar a r). Esta (l) , es llamada recta hiperparalela (o
simplemente, recta paralela) en la geometría hiperbólica.
En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y sí misma, pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB, también será hiperparalela, pero no pueden haber
otras. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r, forman ángulos más grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas).
Note que, al haber un número infinito de ángulos posibles entre θ y 90º, cada uno de éstos
determinará dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r, tendremos
entonces, un número infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente, tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: «En geometría hiperbólica, dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P, las cuales son
hiperparalelas a r, e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a r».
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas, también pueden ser vistas de la
siguiente forma: la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R. Sin embargo, la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r. El ángulo de paralelismo en la geometría
Euclideana es una constante, es decir, cualquier longitud BP, determinará un ángulo de
paralelismo igual a 90 grados. En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la
que es llamada la función Π(p). Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky,
produce un ángulo único de paralelismo para cada longitud dada BP. Mientras la longitud BP se
haga más pequeña, el ángulo de paralelismo se acercará a 90º. Si la longitud BP incrementa sin
límites, el ángulo de paralelismo se acercará a cero. Note que, debido a este hecho, mientras las
distancias se hagan más pequeñas, el plano hiperbólico se comportará cada vez más como la
Geometría Euclidiana. Por lo tanto, a pequeñas escalas, un observador en el plano hiperbólico
tendrá dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano. En la geometría euclídea la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre
180°. En la geometría hiperbólica esta suma es siempre menor de 180°, siendo la diferencia
proporcional al área del triángulo.”
2.2.5. Nacimiento de las geometrías no euclidianas. Lobachevski y Riemann.
Nacen al querer demostrar el quinto postulado. Saccheri al tratar de
demostrarlo por reducción al absurdo, no llego a contradicción alguna y, casi se
enloquece, ya que murió creyendo que había cometido un error.

Bolyai (hijo), no escatimo ningún esfuerzo y simplemente saco el quinto
postulado del camino. Hizo una geometría que llamo absoluta.
Lobachevski fue el más arriesgado, negó el quinto postulado, diciendo que por
un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado
a los demás axiomas de la geometría euclidiana, rompiendo el paradigma y todo
el mundo se le fue encima. Lo azotaron como a cristo. Pero! Al fin la geometría
hiperbólica triunfo.
Riemann sorprendió al mundo de 2 formas en lo que a geometría respecta:
i). Negó el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no
pasa ninguna paralela; retira también el postulado 2 de Euclides y, nace la
geometría esférica.
ii). Inventa la geometría diferencial y le pone un modelo matemático a la teoría
de la relatividad. Nace el Tensor de Riemann.
2.2.6. Curvaturas.
“La curvatura de un objeto geométrico es un número que mide cuán curvo es
este objeto. Por ejemplo, un plano tiene curvatura 0, una esfera de radio r > 0
tiene curvatura 1/r y la curvatura de una pseudoesfera es –1”:
Plano, curvatura = 0. Esfera de radio r, curvatura = > 0, 1/r. Pseudoesfera, curvatura < 0

2.2.7. Las superficies en el Espacio.
1 CURVATURA POSITIVA
2 CURVATURA NEGATIVA
3 CURVATURA CERO
Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma
esférica o no; Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o
silla de montar respectivamente; Todo tipo de GALAXIAS. En forma local existen
los planos. Por lo tanto las tres geometrías se encuentran en el espacio.

Simulación de computadora que nos muestra la colisión de dos agujeros negros así como las
ondas de choque que se espera que una colisión así produzca en la fábrica del espacio-tiempo
del Universo

Estrella Eta Carinae: Con un
brillo unas 4 millones de veces
mayor que el de nuestro Sol, y
con una masa por lo menos 100
veces mayor. Es también
extremadamente inestable,
dando variaciones súbitas en
luminosidad y cambios súbitos
de aspecto que han causado en
los astrónomos la impresión de
que se trata del equivalente de
un volcán que está listo para
explotar. Algunos la han
llamado “la estrella más
peligrosa en el cielo”. Y aunque
está situada a unos 7,500 añosluz
de la Tierra, aún a esa
distancia podría ocasionar un
daño severo a los satélites que
tenemos en órbita.

2.2.8. ¿Qué deforma el Espacio?.
El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio.
La distorsión es esférica, hiperbólica o plana, dependiendo del tipo de ente
(materia) del Universo del que estemos hablando. Se dice también entonces que
el universo presenta curvatura cero, positiva o negativa.
Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemático)
ES EL TENSOR de Riemann. El Tensor de Riemann es una medida de la
curvatura del espacio en cada punto. Tensor que es producido por la expansión
del Universo.
Podemos pensar en la expansión del universo como en una BOMBA que se esta
inflando a una velocidad que es la constante de Hubble.

2.2.9. Geometría, espacio-tiempo y cosmología moderna.
El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometría. Desaparece
entonces la gravitación Newtoniana, ya que los planetas no caen alrededor del
sol si no que se encuentran girando en la deformación del espacio que produce
el sol. La métrica que se encuentra en el seno de ésta geometría que es la de
minkowski inicialmente y, luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN: tienen
propiedades tan extrañas que contradicen la desigualdad triangular y, explican
la curvatura del espacio respectivamente, dando una explicación bastante
didáctica a la paradoja de los gemelos y a la teoría de la relatividad general.
Einstein aplicando la poderosa matemática de Riemann, logra establecer que el
UNIVERSO ES GEOMETRIA. Ésta es la razón de ser de éste trabajo, que
Einstein plantea en la siguiente ecuación:
“En esta fotografía Einstein escribió en el pizarrón lo siguiente:
Rik = 0 ?
El signo de interrogación que puso Einstein a la derecha de la expresión indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estático al
cual se había aferrado y por el cual introdujo en su ecuación tensorial la
constante cosmológica que tiempo después llamaría el error (intelectual) más
grande de su vida” (ARMANDO MARTÍ NE Z ).

2.3. Actividades:
2.3.1. Sesión 1. Tiempo dos horas
1. Diagnóstico oral y escrito sobre conocimiento de superficies, ángulos y
cuadriláteros en esas superficies.
2. Lectura introductoria. Cuento.
3. Fotografías actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble.
4. Presentación video No.1 “el espacio -tiempo”.
5. Presentación video No. 2 “agujeros negros y agujeros de gusano”.
2.3.2. Sesión 2. Tiempo dos horas. Aprenden a usar el programa.
6. Utilizar el programa geogebra para que los niños(as) puedan inferir la
conclusión de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo en una
superficie plana es igual a 180°.
7. Los niños elaboran la mostración de que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es igual a 180° Utilizando papel, regla, lápiz, colores, transportador,
pegante o cinta.
2.3.3. Sesión 3. Tiempo dos horas.
8. Utilizar el programa geogebra para que los niños(as) puedan inferir la
conclusión de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo en una
superficie hiperbólica es menor a 180°.
9. Utilizar el programa geogebra para que los niños(as) puedan inferir la
conclusión de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo en una
superficie esferica es mayor a 180°.
10. El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que
existen otros tipos de triángulos en otras superficies donde la suma de los
ángulos interiores no es igual a 180°.

2.3.4. Sesión 4. Tiempo dos horas.
11. Se plantea a los estudiantes una situación problema sobre un viaje real
sobre la superficie de la tierra. .
12. El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el
problema mostrando cómo no se debe aplicar la geometría euclidiana a ciertas
situaciones y dándole el significado etimológico a la palabra geometría: medida
de la tierra.
13. Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometrías noeuclidianas.
2.4. Materiales para la actividad
20 computadores con el programa geogebra instalado. (Se baja gratis de
Internet)
20 Tijeras, 20 transportadores, papel (cartulina), colores, pegante
Video beam
CDS con los videos: el espacio –tiempo, agujeros negros y agujeros de gusano
Un globo terráqueo.
Cinta de enmascarar
20 fotocopias par el diagnóstico
20 con el enunciado del problema

Actividad 2.
2.3.2. Sesión 2. Tiempo dos horas. Aprenden a usar el programa GeoGebra.
6. Utilizar el programa geogebra para que los niños(as) puedan inferir la
conclusión de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo en una
superficie plana es igual a 180°.
7. Los niños elaboran la mostración de que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es igual a 180° Utilizando papel, regla, lápiz, colores, transportador,
pegante o cinta.
INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSÉ BERNAL LONDOÑO S. J.
GRUPO GALOIS del grado 8. Fecha: 27 de octubre de 2009.
UNIDAD DIDÁCTICA: EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO.
Estudiante: __________________________________________________. Nota:_________
Profesor: Guillermo León Roldán Sosa.
META COGNITIVA.
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA
GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIÓN
ESPACIAL DEL NIÑO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y
LAS GRÁFICAS HECHAS POR FÍSICOS, MATEMÁTICOS Y LAS FANTASTICAS
CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN, MAS QUE EL FORMALISMO
MATEMÁTICO.
Indicador.
2.1.10.
(a). Comprueba usando el programa Geogebra, que la suma de los ángulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados.
(b). Elabora la mostración de que la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a 180°, en una superficie plana, utilizando papel, regla, lápiz,
colores, transportador, pegante o cinta.

Indicaciones para usar el programa GeoGebra:
1, De clic sobre el icono de GeoGebra. (Aparece la siguiente pantalla)
2. Despliega la ventana del botón marcado de azul, y usa NUEVO PUNTO, para
marcar los puntos A, B y C. (los puntos se generan haciendo clic donde quiera).

3. Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botón, hace clic en cada punto,
sale automáticamente el segmento, lo lleva al otro punto y lo descarga con clic.
Así hace el triangulo.
4. Para medir cada ángulo da clic en el botón 6 (ángulo). Lo despliega y usa
el primer subbotón. Recorre los vértices en el sentido de las manecillas del
reloj en cada tres vértices, para que salga la medida del vértice de la mitad. Y
así hasta terminar los tres ángulos.

5. (a). Sólo resta sumar los ángulos interiores, que además aparecen al lado
izquierdo de la pantalla. Lo puedes hacer en Word.
Para éste caso
tenemos:
57.63°
75.73°
46.64°
_______
180.00°

6. Realizar el mismo proceso con 9 triángulos más. Usar la opción VISUALIZA
para la cuadricula y, construir triángulos isósceles y equiláteros, así:
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO.

(b). Para el segundo momento de ésta sección trabajar en equipos de 2
personas.
Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina). Colorear los ángulos,
recortarlos y pegarlos sobre una recta. Concluir.
Hacer lo anterior con 4 triángulos más. Concluir (sacar conclusiones = síntesis)
2.5. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN.
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1. Comprende e interpreta la información suministrada.
2. Usa estrategias para resolver problemas.
3. Demuestra eficacia y eficiencia en la realización de las actividades.
4. Formula preguntas, plantea hipótesis, confronta argumentos y analiza la
información.
5. Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnológicos.
ASPECTOS ACTITUDINALES
1. Respeta las reglas establecidas para la actividad.
2. Muestra disposición para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo.
3. Se muestra creativo, innovador, propositivo y emprendedor en el
desarrollo de las actividades.
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1. Evidencia, tanto en forma oral como escrita, la capacidad para expresar
sus ideas y pensamientos de manera oportuna, clara y coherente.
2. Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo
instructivo y narrativo.
ESCALA.
Cada ítem, tiene un valor de 5 puntos máximo, mínimo de 1.
Puntaje máximo 50 puntos.
Se aprueba con mínimo 30 puntos.

Estudiante
INSTRUMENTO DE OBSERVACIÓN Y REGISTRO
Use una “X” para asignar la valoración .
Comprensión e interpretación de
la información
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS
COMUNICATIVOS
Estrategias para la solución de
problemas
Eficacia y eficiencia
Formulación de preguntas,
hipótesis y confrontación de
argumentos
Interacción con los medios
tecnológicos (MH, HN, MO)
Respeto de las reglas
1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1
ESTUDIANTE DESCRIPCIÓN
OBSERVACIONES
En la tabla que se muestra a continuación se escribe, alguna descripción
importante que apoye la valoración del trabajo realizado por algún
estudiante.
Disposición para las actividades
y trabajo en equipo
Creatividad e innovación
Capacidad para expresar ideas
y pensamientos (oral y escrito)
Comprensión e interpretación de

BIBLIOGRAFIA
González, A. E. (1999). Corrientes Pedagógicas Contemporáneas.
Medellín: Aula Abierta U de A Ediciones.
Schunk, D. H. (1998). Teorías del aprendizaje. (Segunda edición). México: Prentice-
Hall Hispanoamericana, S.A.
Roldán, G. L. (2003). Polinomios: Nueva metodología para la enseñanza de los
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