Braquistócrona Braquistócrona - Principia
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M E C Á N I C A<br />
<strong>Braquistócrona</strong><br />
<strong>Braquistócrona</strong>
M E C Á N I C A<br />
La línea recta es la trayectoria más corta entre dos puntos,<br />
sin embargo no es la que permite el descenso más rápido, sino<br />
que es una curva plana que se llama braquistócrona (del griego<br />
braquis, corto y cronos, tiempo)<br />
Si marcamos un punto cualquiera de un aro y lo hacemos rodar<br />
por una superficie plana, la trayectoria curva que describe se<br />
llama cicloide. El arco de esta curva, entre los puntos A y B de<br />
la figura es la braquistócrona.<br />
La cicloide es una curva plana descrita por un punto de la<br />
circunferencia cuando ésta rueda por una línea recta. Por<br />
ejemplo, sería la curva que describiría la válvula de inflado de<br />
una bicicleta cuando está en movimiento.<br />
La cicloide es una curva tan particular, que fue estudiada por<br />
todos los matemáticos importantes, en todas las épocas.<br />
Provocó tantas peleas y reyertas entre ellos, que se la conoce<br />
como la “Helena” de los geómetras.
MÁLAGA<br />
ANTES DE LA VISITA<br />
Repasa los conceptos de velocidad y aceleración.<br />
Escribe en la siguiente tabla si la<br />
velocidad y aceleración son constantes<br />
o no para el movimiento rectilíneo<br />
uniforme (MRU), movimiento rectilíneo<br />
uniformemente acelerado (MRUA)<br />
y movimiento acelerado (MA):<br />
<strong>Braquistócrona</strong><br />
Escribe ejemplos de movimientos que correspondan a un MRU, MRUA y a un MA.<br />
Deduce la expresión del espacio recorrido en un MRU y en un MRUA. A partir de<br />
ellas, deduce la expresión del tiempo en ambos tipos de movimiento.<br />
Dibuja una cicloide en tu papel.<br />
Nota: Puedes construir un círculo de cartón de unos 4<br />
cm. de diámetro y en el borde, hacer un pequeño orificio<br />
para meter el lápiz. Hazlo rodar tumbado en el papel,<br />
apoyando el círculo sobre una regla para que lleve una<br />
trayectoria rectilínea. Para que ruede bien y no resbale,<br />
coloca celo en el borde de la regla para que la rueda se<br />
adhiera a éste.<br />
Compara ahora el área que queda entre<br />
el arco de cicloide y la recta sobre la<br />
que ha rodado el círculo y el área del<br />
círculo.<br />
Nota: Lo puedes hacer utilizando papel milimetrado o<br />
como lo hizo Galileo, dibujando la cicloide y el círculo<br />
en madera o cartón, recortándolos y pesándolos.<br />
Compara la longitud de la cicloide y la<br />
del círculo.<br />
Nota: Lo puedes hacer utilizando un hilo que bordee<br />
ambas figuras.<br />
MRU<br />
MRUA<br />
MA<br />
Velocidad Aceleración<br />
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2<br />
DURANTE LA VISITA<br />
M E C Á N I C A<br />
Observa el módulo y dibuja los dos tipos de trayectorias que seguirán las bolas.<br />
A primera vista, qué bola piensas que llegaría antes al dejarlas caer desde misma<br />
altura y a la vez, ¿la que sigue la trayectoria recta o la curva?<br />
Hazlo ahora. ¿Quién llega antes?<br />
Consigue un cronómetro y mide el tiempo que tarda la bola en llegar a la canastilla<br />
por la trayectoria curvilínea cuando la lanzas desde arriba del todo y desde la mitad<br />
de la curva.<br />
Haz lo mismo para diferentes alturas.<br />
Braquistócrono de Spighi
MÁLAGA<br />
DESPUÉS DE LA VISITA<br />
Analiza los datos obtenidos durante la visita al módulo.<br />
<strong>Braquistócrona</strong><br />
El movimiento de ambas bolas en cada una de las trayectorias (recta y curva) es<br />
acelerado, ¿pero son del mismo tipo? ¿Cómo sería la aceleración en cada caso?<br />
Si repitieras la experiencia pero con una canica, ¿obtendrías los mismos<br />
resultados? ¿Y con una bola de plástico?<br />
¿Cómo explicas que el tiempo que tarda en llegar la bola al punto más bajo de la<br />
curva lanzándola desde cualquier punto sea igual?<br />
La cicloide, además de braqistócrona (tiempo más corto) es también tautócrona<br />
(mismo tiempo), ¿qué significa esto?<br />
Observa la siguiente cicloide:<br />
¿Qué bola llega antes al punto más bajo, la azul o la roja (tienen la misma masa)?<br />
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4<br />
Señala qué factores pueden influir en el tiempo de caída:<br />
[ ] Tipo de material<br />
[ ] Tamaño de la bola<br />
[ ] Forma de la trayectoria<br />
M E C Á N I C A<br />
Supón que tienes un alambre cuyos extremos son A y B y una bola que baja por el<br />
alambre ¿Qué forma hay que darle al alambre para que la bola llegue B en el menor<br />
tiempo posible?<br />
Coloca una pequeña bombilla u otro objeto luminoso en la llanta de la rueda de la<br />
bicicleta y observa la trayectoria que describe al moverse la bicicleta.<br />
¿Cómo diseñarías un tobogán para que la bajada fuera lo más rápida posible?<br />
Si has ido alguna vez a un parque acuático, habrás visto la atracción de<br />
“kamikace”. ¿Qué forma tiene? ¿Por qué?<br />
La epicicloide e hipocicloide son curvas<br />
de la familia de la cicloide. Defínelas,<br />
dibújalas y encuentra la relación de una<br />
de ellas con la astronomía.<br />
Construye un péndulo utilizando dos<br />
medias cicloides como topes, y un hilo con<br />
una masa en el extremo que oscile entre<br />
ellas según el siguiente dibujo, ¿qué curva<br />
describe este péndulo?<br />
Huygens en el siglo XVII construyó un péndulo como éste. Encontró que aunque<br />
la amplitud de oscilación cambiara, seguía marcando bien el tiempo. ¿Cómo<br />
explicarías esto?
MÁLAGA<br />
CURIOSIDADES<br />
<strong>Braquistócrona</strong><br />
El problema matemático de la braquistócrona se solucionó en el siglo XVII y conllevó<br />
polémica involucrando a los mejores matemáticos de la época.<br />
En 1696 Johann Bernoulli, uno de los hermanos y<br />
matemáticos de la saga Bernoulli, fue el que planteó a los<br />
matemáticos de la Royal Society este problema junto con<br />
un segundo (encontrar una curva tal que si se traza una<br />
línea desde un punto dado O, que corte a la curva en P y en<br />
Q, entonces OP´ + OQ´ sea una constante).<br />
Se trató más bien de un reto pues ofreció como premio un costoso<br />
libro científico de su biblioteca (aunque los miembros de la Royal<br />
Society eran grandes científicos no todos ellos eran grandes en riquezas).<br />
Además, siendo Bernoulli amigo de Leibniz, el desafío parecía ir dirigido a Newton, quién se había alejado<br />
de las actividades científicas. Y es que la solución requería del cálculo infinitesimal cuya paternidad entre<br />
Leibniz y Newton se discutía (lo desarrollaron independientemente y sin colaborar entre sí, pero Leibniz lo<br />
publicó de inmediato y Newton no lo hizo hasta mucho después),<br />
Entre los participantes del certamen se encontraban: Robert Hooke, matemático y descubridor de la<br />
célula; Sir Edmond Halley, físico, matemático y astrónomo, descubridor de la periodicidad de los cometas;<br />
Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y otros grandes científicos.<br />
Gottfried Leibniz (1646-1716)<br />
Bernoulli estableció un plazo máximo de seis meses para presentar<br />
las soluciones. Tras este tiempo, sólo Leibniz había encontrado la<br />
solución al problema de la braquistócrona pero no al otro.<br />
Pasaron seis meses más y nadie pudo mejorar la solución de<br />
Leibniz al primer problema (muy tortuosa) ni resolver el segundo.<br />
Molesto por su fracaso, Leibniz sugirió a Bernoulli que se solicitara<br />
el auxilio de Newton. Johann llamó a Halley (muy amigo de Newton)<br />
para que le entregara los dos problemas.<br />
¡Los dos problemas fueron resueltos por Newton en diez horas!<br />
Envió sus soluciones en una carta sin firma al presidente de la<br />
Royal Society. Sus desarrollos eran tan perfectos y elegantes, que<br />
fueron publicados, también anónimamente, en el número de febrero<br />
de 1697 de Philosophical Transactions.<br />
Bernoulli, impresionado por la elegancia de las soluciones, no tuvo<br />
dificultad en identificar al autor: “Es Newton”, afirmó. “¿Cómo lo<br />
sabe?”, le preguntaron. “Porque reconozco las garras del león<br />
(Ex ungue leonis).<br />
Johann Bernoulli (1667-1748)<br />
Isaac Newton (1643-1727)<br />
Además de Leibniz y Newton, tanto Johann como su hermano Jacob Bernoulli consiguieron resolver<br />
el primero de los dos problemas. La solución de Leibniz era muy trabajosa. La de Johann Bernoulli<br />
era bastante elegante pero muy particular. La de su hermano mayor Jacob era muy elaborada<br />
y aburridísima, pero más general que la de Johann. La de Newton fue la mejor, breve, simple,<br />
elegante, entretenida y general, nadie ha podido superarla.<br />
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Avda. DE LUIS BUÑUEL, 6 · 29011 · MÁLAGA