Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 99
99. Sea f : C → C continua, y holomorfa en C\[−1, 1]. Demuestre que f es
analitica en C (esto es, entera).
Ayuda: Use el teorema de Morera.
100. Calcule la integral:
|z|=2
e iz
z 2 + 1 dz.
101. Encuentre el desarrollo en serie de Laurent de la función
en 0 < |z| < R.
102. Calcule
g(z) =
|z|= π
2
103. Calcule 2π
0
1
z(z + R)
1
sen 2 (z) dz.
dθ
1 + sin 2 θ
Ayuda: Considere la integral como una integral de linea en la circunferencia
|z| = 1, aplicando luego el teorema de residuos.
104. Calcule ∞
−∞
105. Calcule ∞
Ayuda: Calcule la integral de
para obtener el valor de
el limite cuando α → 0.
∞
0
x sin(ax)
x4 dx, a > 0.
+ 4
0
z α
ln(x)
dx.
(1 + x) 3
para 0 < α < 1 en un contorno adecuado,
(1 + z) 3
xα dx. Luego, derive con respecto a α y tome
(1 + x) 3
106. Sea Ω una región acotada del plano complejo con frontera γ orientada
positivamente y suponga que f(z) es una función analitica en Ω excepto por polos
simples en a1, a2, ..., an. Sea g(z) una función analitica en Ω. Demuestre que
1
f(z)g(z)dz =
2πi γ
n
g(ak)Res(f; ak)
k=1