Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

96 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
66. Demuestre que
∞
−∞
Sugerencia: Recuerde que
e −x2
cosxdx = e 1/4√ π.
∞
−∞
e −x2
dx = √ π y considere el camino de la figura
siguiente
67. Escriba el desarrollo en serie de Laurent de la función
f(z) =
z
(z − 1)(z − 3)
en la región 0 < |z − 1| < 2.
68. Si f entera y |f(z)|
≤ M para cierto k. Entonces f es un polinomio de
1 + |z| k
grado a lo más k.
69. Encuentre el desarrollo en serie de Laurent de la función
en 0 < |z| < R.
g(z) =
1
z(z + R)
70. Determinar y clasificar todas las singularidades de la función:
dz
71. Calcule
|z|=6 1 − cosz .
e
72. Calcule Res(
z
, 0).
1 − cosz
73. Calcule la integral:
f(z) = (z2 − 1)(z − 2) 3
sen3 .
(πz)
|z|=2
e iz
z 2 + 1 dz.
sen(πz
74. Evalúe
|z|=3
2 ) + cos(πz2 )
dz.
(z − 1)(z − 2)
75. Evalúe 1
e
2πi |z|=3
zt
z2 (z2 + 2z + 2) dz.
76. Sea C una elipse con ecuación 9x2 + y2 = 9 orientada positivamente.
Calcule
(
C
zeπz
z4 − 16 + zeπ/z )dz.