Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 95
para cada z ∈ C. Demuestre que f es un polinomio.
56. Clasifique todas las singularidades de la función
f(z) = (z2 − 1)(z − 2) 2
sen3 .
(πz)
En particular, determine el dominio donde f es holomorfa.
57. Sea f analitica en D(0, 1). Suponga que |f(z)| ≤ 1 si |z| < 1. Demuestre
que |f ′ (0)| ≤ 1.
z
58. Calcule
γ
2 + 1
z(z2 + 4) dz; γ(t) = reit ; 0 ≤ t ≤ 2π para cada valor posible
de r en los siguientes casos:
a) 0 < r < 2;
b) 2 < r < ∞.
59. Halle y clasifique los puntos singulares de la función f(z) = sin( 1 1
) + .
z z2 60. Sea γ(t) = 1 + eiθ
z
; 0 ≤ θ ≤ 2π. Hallar (
γ z − 1 )ndz; n ≥ 1
z
61. Calcule
γ
2 + 1
z(z2 + 4) dz; γ(t) = reit ; 0 ≤ t ≤ 2π para cada valor posible
de r: 0 < r < 2; 2 < r < ∞.
62. (2 puntos) Sea γ el camino [1, i] y σ el camino [1, 1 + i, i]. Calcule
f y
γ
σ f con f(z) = |z|2 .
∞ z
63. Sean f(z) =
n=1
n
∞
n (z − 2)n
y g(z) = iπ + (−1) . Observe que ambas
n n
n=1
series de potencia no tienen dominio de convergencia en común. Sin embargo:
(i) Demuestre que la función g(z) es continuación analitica de la función f(z).
64. Sea f analitica en un dominio acotado por una curva cerrada simple C que
contiene al origen. Demuestre que para cualquier elección de la rama de Ln(z) se
tiene:
1
f
2πi C
′ (z)Ln(z)dz = f(z0) − f(0),
donde z0 es el punto de partida de la integración.
65. Determine el desarrollo en serie de potencias (Taylor) centrado en cero de
la función
1
f(z) = ,
(1 − z) n |z| < 1,
donde n ≥ 1 es un número natural arbitrario.