Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

94 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
46. Si f entera y |f(z)|
≤ M para cierto k. Entonces f es un polinomio de
1 + |z| k
grado a lo más k.
47. Sean Ω ⊂ C abierto, z ∈ Ω, R > 0 tal que DR(z) ⊂ Ω y f analitica.
Demuestre que para cada número natural n ≥ 0 se verifica la siguiente identidad:
f(w) 1
dw =
(w − z) n+1 n!
f (n) (w)
w − z dw.
|w−z|=R
|w−z|=R
48. Clasifique todas las singularidades de la función
f(z) = (z2 − 1)(z − 2) 3
sen3 .
(πz)
49. Sea Ω abierto conexo y f analitica no constante y sin ceros en Ω. Demuestre
que |f| no tiene minimos locales en (el interior de) Ω.
50. Calcule el número de raíces del polinomio z 8 −4z 5 +z 2 −1 en el disco |z| < 1.
51. Calcule el valor de la integral
|z|=2
e iz
z 2 + 1 dz.
52. Sea Ω un abierto conexo y f analitica en Ω tal que
f(Ω) ⊂ Ω y f(z) = f(f(z))
para cada z ∈ Ω. Demuestre que para cada z ∈ Ω se cumple
a menos que f sea constante.
f(z) = z
53. Sea Ω un subconjunto abierto del plano complejo y sea f : Ω → C una
función analitica. Suponga que existe z0 ∈ Ω tal que |f(z0)| ≤ |f(z)| para cada
z ∈ Ω. Demuestre que ya sea f(z0) = 0 o bien f es constante.
54. Sea f : C → C una función entera y no constante. Demuestre que f(C) es
denso en C .
55. Sea f : C → C una función entera. Suponga que existen constantes positivas
A, B y k tales que
|f(z)| ≤ A + B|z| k