Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

92 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
27. Sea f(z) = x 2 + iy 2 . Determine donde f ′ (z) existe y halle su valor.
28. Demuéstre que la función u(x, y) = cosh y sin x es armónica en el plano y
construya otra función armónica v(x, y) para la que
f(z) := u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy
sea analitica en C.
29. Calcule (x − y + iy 2 )dz si γ es el segmento de recta que une 0 a 1 + i.
γ
30. Justifique porque f(z) = √ z2 − 1 puede definirse de modo que sea analítica
en cualquier dominio simplemente conexo dado, que no contenga los puntos z = 1
y z = −1.
31. Calcule
y = −1 e y = 1.
32. Calcule
γ
γ
ez2 dz donde γ es el rectángulo limitado por x = 0, x = 3,
z − 1
z + 1
(z − 1) 3 dz, donde γ es el círculo de centro 0 y radio 2.
(z − 4)
33. a) Encuentre a, b, c, d ∈ R tales que el polinomio
sea una función armónica.
u(x, y) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3
b) Encuentre una función v(x, y) tal la que la función f(z) definida por
sea analitica en cada punto de C.
f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy,
34. Sea Ω un abierto simétrico con respecto del eje real. Demuestre que f es
analitica en Ω si y sólo si la función g definida como
es analitica en Ω.
g(z) = f(z),
35. Determine el conjunto de todos los puntos del plano donde cada una de las
siguientes funciones es analitica, calculando además las derivadas en esos puntos.
a) a(z) = z 2 z
b) b(z) = |z|Rez
c) c(z) = z 2 z
d) d(z) = zRez.