Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 91
18. Sea u una función armónica. Una función v tal que f = u + iv es analitica
se llama función armónica conjugada de u. Halle una función armónica conjugada
xy
de u(x, y) =
(x2 + y2 .
) 2
19. Hallar las partes real e imaginaria de zz .
20.Halle la imagen del circulo |z| = 1 bajo la transformación T (z) =
Solución:
Podemos escribir:
Así tendremos
con
T (e iθ ) =
eiθ (1 − eiθ =
) 2
|z| = 1 ⇒ z = e iθ
e iθ
(1 − 2e iθ + e 2iθ ) =
1
2(cos(θ) − 1)
∈ R
1
2(cos(θ) − 1)
< 0
21. Explique por que la serie de Taylor ∞
n=0 (−1)n x 2n de la función real
converge para |x| < 1 pero diverge para x = 1, aún cuando
mente derivable para todo valor de x.
z
.
(1 − z) 2
1
1 + x 2
1
es infinita-
1 + x2 22. Hallar la imagen de la circunferencia |z − 1| = 1 mediante la inversión.
23. Determinar la imagen de la banda Ω := {(x, y) ∈ R 2 : x > 0, 0 < y < 1}
bajo la transformación
f(z) = i
, z ∈ C\{0}, z = x + iy,
z
representando tanto la banda como la imagen.
24. Hallar una transformación de Möbius que transforme la circunferencia
|z| = 1 en la recta Im(z) = 0.
25. Demuestre que la función
no es analitica.
f(z) = ze z ,
26. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, demuestre que la función
no es analitica.
f(z) = ze z ,