Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

90 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
6. Determinar la imagen de la banda Ω := {(x, y) ∈ R 2 : x > 0, 0 < y < 1}
bajo la transformación
f(z) = i
, z ∈ C\{0}, z = x + iy,
z
representando geométricamente tanto la banda como la imagen.
7. Hallar una transformación de Möbius que transforme la circunferencia
|z| = 1 en la recta Im(z) = 0.
8. Hallar la imagen de la recta x+y = 1 mediante la transformación de Möbius
w =
z + 1
z − 1 .
9. Hallar las partes real e imaginaria de z z .
10. Demostrar que
|Im(1 − z + z 2 | < 3
si |z| < 1.
11. Demostrar que si z = 1 es una raíz n-ésima de la unidad, entonces
n−1
z k = 0.
k=0
12. Determinar la imagen del cuadrante x > 1, y > 0 por la inversión
f(z) = 1
, z ∈ C\{0}, z = x + iy.
z
13. Determínense todos los polinomios armónicos de la forma
u(x, y) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 ,
donde a, b, c, d ∈ R. Calcule una función v(x, y) para la que la función f(z)
definida por
f(z) := u(x, y) + iv(x, y)
sea analitica en C.
14. Sea Ω ⊂ C un abierto simétrico respecto del eje real. Demostrar que
f : Ω → C es analitica si y sólo si la función g : Ω → C definida por g(z) := f(z)
es analitica.
15. Expresar la función inversa w = sen −1 (z) por medio de un logaritmo.
16. Hallar la imagen del triángulo rectángulo −x < y < x; 0 < x < 1 mediante
la transformación w = z 2 .
17. Hallar una transformación de Möbius que deje 1 e i fijos y lleve 0 a −1.