Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 9
en que:
e(x − x0, y − y0)
(x − x0) 2 → 0
+ (y − y0) 2
cuando x → x0 y y → y0, esto es, el error es pequeño comparado con la norma.
Observar que L : R2 → R2 es una aplicación lineal cuya matriz, con respecto a
las bases canónicas, es:
⎛
⎜
[L] = ⎜
⎝
∂f1
∂x (x0, y0) ∂f1
∂y (x0, y0)
∂f2
∂x (x0, y0) ∂f2
∂y (x0, y0)
La prueba del siguiente resultado se ve usualmente en cursos de cálculo por
lo que no se mostrará aqui.
Teorema 14 Si ∂f ∂f
,
∂x ∂y existen y son continuas en (x0, y0) entonces f es diferenciable
en ese punto.
⎞
⎟
⎠ .
La siguiente es una de las principales caracterizaciones de funciones analiticas.
Teorema 15 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Sea f = u+v una función diferenciable
en z0 = (x0, y0). Entonces f es holomorfa en z0 si y sólo si se cumplen
las ecuaciones: ∂u
∂x
∂v ∂u
= ,
∂y ∂y
Demostración.
(⇒)Por definición, se tiene que
f(z0 + t) − f(z0)
lím
t→0 t
equivalentemente
o bien
= −∂v
∂x en el punto (x0, y0).
f(z0 + it) − f(z0)
= lím
t→0 t
u(z0 + t) + iv(z0 + t) − u(z0) − iv(z0)
lím
t→0
t
= 1
i lím
u(z0 + it) + iv(z0 + it) − u(z0) − iv(z0)
t→0
t
u(z0 + t) − u(z0)
lím
t→0 t
= lím
t→0
u(z0 + it) − u(z0)
t
+ i v(z0
+ t) − v(z0)
t
+ iv(z0 + it) − v(z0)
t
.