Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 89
69. Sea f : C → C una función entera. Suponga que existe constante positiva
M tal que
|f(z)| ≤ M|z| 1/2
para cada z ∈ C. Demuestre que f es constante.
Solución:
Sea 0 < r. Si |z| ≤ r, entonces |f(z)| ≤ Mr 1/2 .
Luego por la Desigualdad de Cauchy
con M(r) = max|z|=r|f(z)| ≤ Mr 1/2 .
Entonces
para todo n ≥ 1.
|f (n) (0)| ≤ n!
M(r)
rn |f (n) (0)| ≤ n!
→ 0
rn−1/2 Así f (n) (0) = 0 para todo n ≥ 1, por lo tanto f es constante.
6.2. Ejercicios propuestos
1. Resuelva la ecuación:
donde n = 2 es un número natural.
z = z n−1
2. Demuestre la siguiente desigualdad:
|
z
− 1 | ≤ | arg(z) | .
| z |
(ayuda: Use el hecho que: 1 − cosθ ≤ θ 2 /2)
3. Demuestre que:
| z + w | 2 + | z − w | 2 = 2(| z | 2 + | w | 2 ).
4. Hallar todas las soluciones de (z − i) 3 = −1.
5. Hallar (1 + i) 12 .