Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 87
i) γ(t) = e it con 0 ≤ t ≤ π, entonces
π
0
ii)γ(t) = e it con 0 ≤ t ≤ π, entonces
π
0
ieit π
dt = i e
eit/2 0
it/2 dt = 2(e iπ/2 − 1) = −2(1 − i)
ieit eit/2 i
dt =
eiπ eiπ π
e
0
it/2 = (−1)2(i − 1) = 2(1 − i)
e
66. Evaluar
γ
z
dz si:
z(1 − z) 3
i)El punto z = 0 está en el interior y el punto z = 1 está en el exterior de
la curva γ
ii)El punto z = 1 está en el interior y el punto z = 0 está en el exterior de
la curva γ
iii) Los puntos z = 0 y z = 1 están en el interior de la curva γ
Solución:
i)
con f(z) =
ii)
con f(z) = −ez
z
iii)
donde
y
1
2πi γ
e z
(1 − z) 3
1
2πi γ
1
2πi γ
ez
1
dz =
z(1 − z) 3 2πi γ
Res(f, 1) = − lím
z→1
1
f(z)dz = f(0) = 1
z
1
1
f(z)dz =
(z − 1) 3 2 f ′′ (1) = −e
2
−ez dz = Res(f, 0) + Res(f, 1)
z(z − 1) 3
−e
Res(f, 0) = lím
z→0
z
= 1
(z − 1) 3
1 ∂
2
2
∂z2 ((z − 1)3 e−z −e
) =
z(z − 1) 3 2