Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

84 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
ii)
pero
entonces
así
Por lo tanto
∂f
∂z
= 1(1 + |z|) − z ∂
∂z (|z|)
(1 + |z|) 2
|z| 2 = zz
2|z| ∂
(|z|) = z
∂z
∂ z
(|z|) =
∂z 2|z|
∂f
∂z
= 2 + |z|
2(1 + |z|) 2
60. Encuentre los valores de z para los cuales es convergente la serie
Solución:
Sea w = z
1 + z entonces
∞ z
(
1 + z )n
n=0
∞ z
(
1 + z )n =
n=0
∞
w n
z
que converge sólo si |w| < 1. Luego la serie pedida converge sólo si | | < 1
z + 1
n=0
az + b
61. Si |z| = 1, demuestre que | | = 1 con a, b ∈ C
bz + a
Solución
Como |z| = 1, entonces zz = 1 y z = (z) −1 . Luego
así tendremos
| az + b + b 1
| = |az |
bz + a az + b |z|
az + b
bz + a
= az + b
(b + za)z
+ b |az + b|
= |az | =
az + b |az + b|
= |az + b|
|az + b|
= 1