Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 81
Solución:
a) f(z) + g(z) = z 4 − 8z + 10 con f(z) = z 4 − 8z y g(z) = 10, entonces
|f(z)| ≤ 9 < 10 = |g(z)| en |z| = 1. Por lo tanto no tiene raíces en |z| < 1.
b) f(z) + g(z) = z 4 − 8z + 10 con f(z) = −8z + 10 y g(z) = z 4 , entonces
|f(z)| ≤ 8|z| + 10 = 34 < 3 4 = |g(z)| en |z| = 3. Por lo tanto tiene 4 raíces en
|z| < 3.
De lo anterior vemos que z 4 − 8z + 10 tiene 4 raíces en 1 < |z| < 3
56. Sea f una función analitica en el semiplano superior H + = {z ∈ C :
Im(z) > 0} y tendiente a cero cuando z → ∞ para z perteneciente a H + .
Demuestre que para cada z = x + iy ∈ H + se tiene
f(z) = y
∞
f(t)
π −∞ (t − x) 2 dt
+ y2 Ayuda:
Demuestre que
y que
Solución:
f(z) = 1
∞
f(x)
1πi −∞ (x − z) dx
0 = 1
∞
f(x)
2πi −∞ (x − z) dx
Por fórmula de Cauchy en el camino γ(t) = t con −∞ < t < ∞ se tiene que
Y notamos que
1
2πi γ
f(w)
(w − z) dw = f(z)siz ∈ H+ 0sizH +
γ
∞
f(w)
f(x)
dw =
(w − z) −∞ (x − z) dx
A fin de ver lo pedido, restamos y obtenemos
donde
1
(
(t − z)
f(z) = 1
2πi
1
− ) =
(t − z)
∞
−infty
1
(
(t − z)
z − z
t2 =
− tz − tz + |z| 2
− 1
(t − z) )f(t)dt
2iy
t 2 − 2tx + x 2 + y 2