Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

80 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
Por lo tanto
2π
1 2
dt =
a + cos t i
0
2π
0
1
z(2a + z + 1
z
2
=
)dz i |z|=1
1
z 2 + 2az + 1 dz
Como z 2 + 2az + 1 = 0 ⇔ z = −a ± √ a 2 − 1 donde a 2 − 1 > 0 observamos
que sólo −a + √ a 2 − 1 está en el interior de |z| = 1. Luego
Así
2
i
|z|=1
1
Res(
z2 + 2az + 1 , −a + √ a2 1
− 1) =
2 √ a2 − 1
1
z2 2
dz =
+ 2az + 1 i 2πiRes(
1
z2 + 2az + 1 , −a + √ a2 − 1) =
54. Evaluar
Solución:
∞
0
x 2 + 1
x 4 + 1 dx.
2π
√ a 2 − 1
Vemos que las singularidades son polos simples en z1 = e iπ/4 , z − 2 = e i3π/4 ,
z3 = ei5π/4 , z − 4 = ei7π/4 . Consideremos la curva γ = CR
tenemos
R
donde
γ
γ
f(z)dz =
CR
f(z)dz +
−R
f(x)dx
f(z)dz = 2πiRes(f, e iπ/4 ) + 2πiRes(f, e 3πi/4 ) = π √ 2
y por Lema de Jordan
Entonces ∞
−∞
CR
f(z)dz → 0
x 2 + 1
x 4 + 1 dx = π√ 2
Como el argumento es una función par entonces podemos escribir
∞
0
x2 + 1
x4 + 1 dx = π√2 2
[−R, R], entonces
55. Halle el número de raíces de la ecuación z 4 −8z +10 = 0 que se encuentran
en el anillo 1 < |z| < 3.