Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

8 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Ejemplo 10 Sea g(z) =
además:
En efecto,
g ′ (z) =
az + b
cz + d ; ad − bc = 1. g es derivable, excepto en z0 = −d
c ,
g ′ (z) =
a(cz + d) − c(az + b)
(cz + d) 2
1
.
(cz + d) 2
= ad − bc
=
(cz + d) 2
1
.
(cz + d) 2
Definición 11 Diremos que f(z) es derivable en z0 = ∞ si la función g(t) =
f
1
t
, es derivable en t0 = 0.
Observación. Lo anterior también se puede hacer para funciones continuas.
Ejemplo 12
Tenemos
g(t) = f
f(z) =
1
=
t
z + 2
3z 2 − 1
1
t
+ 2
3
t2 − 1
luego g ′ (t) = (1 + 4t)(3 − t2 ) + 2t(t + 2t 2 )
(3 − t 2 ) 2
f ′ (0) = 1
3
Teorema 13
Demostración.
f(g(z)) − f(g(z0))
z − z0
= t + 2t2
3 − t 2
(f ◦ g) ′ (z) = f ′ (g(z))g ′ (z)
= f(g(z)) − f(g(z0))
, de donde g ′ (0) = 1
. Por lo tanto
3
g(z) − g(z0)
g(z) − g(z0) z − z0
Sea f : Ω ⊆ R 2 → R 2 . Se dice que f es diferenciable en el punto (x0, y0) ∈ Ω
si existe una transformación lineal L tal que:
f(x, y) − f(x0, y0) = L(x − x0, y − y0) + e(x − x0, y − y0)