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78 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS luego . Por lo tanto 49. Evalue siempre que n ≥ −1. Solución: Res(sin 1 , 0) = 1 z 1 2πi |z|=r e w = 1 + w + w2 2! e 2/z = 1 + 2 z sin 1 dz = 1 z 1 z 2πi |z|=r n e 2/z dz + ... 22 + + ... 2!z2 zne2/z = zn + 2zn−1 + 22zn−2 2! + ...2k zn−k n! Entonces Res(z n e 2/z , 0) = 2n+1 (n + 1)! 50. Sea a ∈ R, a > 1. Calcule π Solución: Así π π −π 1 dθ = a + cos θ |z|=1 −π dθ a + cosθ . 1 (a + z+z 2 2 dz = )iz i |z|=1 + ... 1 z 2 + 2az + 1 dz Observamos que z 2 + 2az + 1 = (z + a + √ a 2 − 1)(z + a − √ a 2 − 1). −π 1 4π dθ = a + cos θ 2πi |z|=1 1 (z + a + √ a 2 − 1)(z + a − √ a 2 − 1) = 2π √ a 2 − 1
6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 79 51. Calcule ∞ Solución: −∞ xsenx x 2 + 2x + 2 dx. ze Sea f(z) = iz z2 + 2z + 2 en donde z2 + 2z + 2 = 0 si y sólo si z = −1 + i y z = −1 − i, luego consideramos γ = CR [−R, R]. Entonces Notar que Entonces CR Así ∞ γ 52. Evaluar Solución: γ f(z)dz = CR f(z)dz + R −R f(x)dx f(z)dz → 0 por Lema de Jordan. Por otra parte zeiz z2 dz = 2πiRes(f, −1 + i) = π(−1 + i)e−1−i + 2z + 2 R xe lím n→∞ −R ix x2 dx = π(−1 − i)e−1−i + 2x + 2 |z|=1 −∞ x sin x x2 π dx = (cos 1 + sin 1) + 2x + 2 e e z z 2 (z 2 − 9) dz. Vemos que z = 0 es polo de orden 2, z = ±3 son polos de orden 1 y z 2 − 9 = (z − 3)(z + 3) que no estan en el interior de |z = 1|. Luego |z|=1 53. Evaluar Solución: ez z2 (z2 dz = 2πiRes(f, 0) = 2πi lím − 9) z→0 2π 0 ∂ ∂z ( z2ez z2 (z2 −2πi ) = − 9) 9 dt a + cos t donde a > 1. Ayuda: Hacer z = eit . Sea z = e it entonces 2 cos t = e it + e −it = z + 1 z y como dz = ie it dt entonces dt = 1 iz dt. 1 1 , entonces cos t = (z + 2 z )
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