Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

76 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
Solución:
Vemos que las singularidades son z = 0, z = π, z = −π y además
Así tenemos que
|z|=5
Res(f, 0) = 0
Res(f, π) = −π
2
Res(f, −π) = π
2
z
dz = 2πi(0) = 0
sin(z)(1 − cos(z))
44. Determine el número de raíces de la función
en el interior del circulo |z| < 1.
Solución:
f(z) = z 9 − 2z 6 + z 2 − 8z − 2,
Consideremos f(z) = z 9 − 2z 6 + z 2 − 2 y g(z) = −8z.
Entonces |f(z)| ≤ 6 < 8 = |g(z)| en |z| = 1.
Por lo tanto tiene una sola raiz.
45. Supongamos que f es analitica en D(0, 2)\{0} y que para cada número
natural n ≥ 0 se cumple que
z n f(z)dz = 0.
|z|=1
Demuestre que en tal caso z = 0 es una singularidad reparable de f.
Solución:
Si
bn =
|z|=1
z n f(z)dz = 0
Por lo tanto f tiene una singularidad reparable en z = 0, pues f(z) = b0 +b1z +...
46. Halle los residuos de la función f(z) = z2 + z − 1
z2 con respecto a todos
(z − 1)
sus puntos singulares.
Solución: