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72 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS para |z| < |a| ii) En z = a tenemos 1 (z − a)(z − b) = si |z − a| < |b − a| = = = = = = 1 (a − z)(b − z) 1 (a − z)(b − a + a − z) 1 1 (a − z) (b − a)(1 + a−z b−a ) ∞ 1 (a − z)(b − a) (b − a) n 1 (a − b) ( 1 (z − a) n=0 (−1) n (a − z) n ∞ ) (z − a)n (b − a) n n=0 1 (a − b) ( 1 (z − a) (1 + (z − a) (b − a) 1 (a − b) ( 1 (z − a) + ∞ n=0 (z − a) n ) (b − a) n+a (z − a)2 + + ...)) (b − a) 2 38. Encuentre y clasifique todas las singularidades de la función Solución: f(z) = z7 (z − 2) 2 1 cos( ) = (z + 2) 2 z − 2 z 7 (z 2 − 4) 2 cos 1 z − 2 . z 7 (z − 2) 2 (z + 2) 2 (1 + 1 (z−2) + 1 2!(z−2) 2 + ...) Por lo tanto z = −2 es polo de orden 2 y z = 2 es singularidad esencial. 39. Encuentre y clasifique todas las singularidades de la función ⎛ ⎞ ⎜ f(z) = sin ⎝ 1 sin 1 ⎟ ⎠ . z
6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 73 Solución: Si sin 1 z = 0 entonces e/z − e−i/z 2i Por lo tanto zk = 1 kπ = 0 y si e 2i/z = 1 entonces z = 1 kπ . son todas las singularidades de f(z) 40. Sea f una función analitica en el circulo |z| < 1 y suponga que f(0) = 0 y |f(z)| ≤ 1. Demuestre que |f(z)| ≤ |z| para |z| < 1. (Comentario: El resultado se conoce como Lema de Schwarz). Solución: Sea g(z) = f(z) ; entonces g es analítica aún en z = 0 pues f(0) = 0. z Por el principio del módulo máximo tenemos f(z) Sup|z|
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Apuntes de Variable Compleja Dr. Ca
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Índice general 1. Preliminares 4 1
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1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 5 1.2.
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2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 7 Ejerci
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2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 9 en que
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2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 11 ⇔ f
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2.2. ALGUNAS FUNCIONES DE VARIABLE
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Capítulo 3 Series 3.1. Series de T
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3.1. SERIES DE TAYLOR 17 z n
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3.2. REPRESENTACIONES POR SERIES DE
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