Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 71
Sea f(z) = 1
. La expanción en torno a z = ∞ es por definición, la expanción
z − 2
de f( 1
) en torno de z = 0. Así
z
f( 1
z
si |z| < 1
1
. Haciendo w =
2 z
1 z
) = = = z
− 2 1 − 2z
1
z
se obtine
f(w) = 1
w
∞
n=0
si |w| > 2 que es la expresión pedida.
2 n ( 1
w )n =
∞
n=0
37. Calcule una expansión de la función f(z) =
|a| < |b|, en serie de Laurent en una vecindad de:
i) z = 0
ii) z = a
Solución:
i) En z = 0 tenemos
1
(z − a)(z − b) =
=
=
=
=
=
1
(a − z)(b − z)
∞
n=0
2 n z n
2 n
w n+1
1
(b − a) (
1
(a − z) −
1
(b − z) )
1
(b − a) (1
a (
1
(b − a) (1
a
1
(b − a) (
1
(b − a) (
∞
n=0
∞
n=0
1
1 − z
a
∞
n=0
( zn
a
1
, donde 0 <
(z − a)(z − b)
) − 1
b (
zn 1
−
an b
1
1 − z
b
∞
n=0
))
bn+1 n+1 − zn
zn )
bn z n (bn+1 − a n+1 )
(a n+1 b n+1 ) )
))