Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

70 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
34. Evalue :
Solución:
|z−a|=a
Entonces
donde f(z) =
z
z4 dz; a > 1.
− 1
z
(z) 4 − 1 =
|z−a|=a
z
z 3 + z 2 + z + 1
35. Evalue : 1
2πi C
Solución:
Tenemos que
Aquí f ′′ (a) = 1
πi
Entonces
Así
C
z
(z − 1)(z 3 + z 2 + z + 1)
f(z)
2πi
dz = 2πif(1) =
z − 1 4
es analitica en |z − a| < a
= πi
2
zez dz; si a está en el interior de la curva C.
(z − a) 3
f(z) = 1
2πi
f ′ (z) = 1
2πi
f ′′ (z) = 2
2πi
C
C
C
f(w)
(w − z) dw
f(w)
dw
(w − z) 2
f(w)
dw
(w − z) 3
f(w)
(w − a) 3 dw con f(w) = wew .
1
2πi C
f ′ (w) = e w + we w
f ′′ (w) = 2e w + we w
zez (z − a) 3 dz = 2ea + aea 2
= (1 + a/2)e a
36. Calcule una expansión de la función f(z) = 1
en serie de Laurent en
z − 2
una vecindad de z = ∞.
Solución: