Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

2.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 7
Ejercicio 7 Demuestre que f(z) = |z| 2 es derivable sólo en z0 = 0.
Teorema 8 Si f y g son derivables, entonces:
1) (f + g) ′ = f ′ + g ′
2) (fg) ′ = f ′ g + fg ′
′
1
3)
g
f
4)
g
′
= −g′
cuando g = 0
g2 = f ′ g − fg ′
g 2
Demostración.
1) Tenemos
cuando g = 0
(f + g)(z) − (f + g)(z0)
z − z0
= f(z) − f(z0)
z − z0
+ g(z) − g(z0)
z − z0
Si tomamos el límite para z → z0 obtenemos la fórmula.
2)
(fg)(z) − (fg)(z0)
=
z − z0
f(z) − f(z0)
g(z) − g(z0)
g(z) + f(z0)
z − z0
z − z0
Tomamos el límite para z → z0 y usamos el hecho de que g es continua en z0,
obteniendo
f ′ (z0)g(z0) + f(z0)g ′ (z0)
3) Usando 2)
Luego,
4)
0 =
g 1
′
′ 1
= g + g
g g
′
1
=
g
−g′
g2 ′
1
g
′
f
= f
g
1
′
′ 1 −g′
= f + f
g g g2 = f ′ g − fg ′
g2 Corolario 9 Toda función racional r(z) = anz n + ... + a0
bmz m + ... + b0
es derivable en el
abierto Ω = {z : bmzm + ... + b0} . En particular, la función 1
es derivable en
z
C\{0}.