Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...
Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ... Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...
66 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS Por hipotesis tenemos Entonces Así |ck| = |f k (0)| n! |ck| ≤ M(r) rn con n = k. Por lo tanto = Sup|w|=r|f(w)| 1 r k Sup|w|=r|f(w)| = r k | f ( k)(0) | n! = rk |cn| r n f(z) = ckz k |ck| = rn−k →r→∞ 0 27. Demuestre que si f es una función no constante, analitica en un dominio Ω y f(z) = 0 para cada z ∈ Ω, entonces |f(z)| no puede alcanzar su minimo valor en el interior del dominio Ω. Solución: Sea g(z) = 1 , g analítica y no constante en Ω. Entonces por el Principio del f(z) Módulo Máximo, |g(z)| no puede alcanzar su m’aximo valor en Ω. Pués Supz∈Ω|g(z)| = Supz∈Ω| 1 | = Infz∈Ω|f(z)| f(z) Por lo tanto |f(z)| no puede alxcanzar su mínimo valor en Ω 1 28. Halle Res( √ ; 1). 2 − z + 1 Solución: 1 √ 2 − z + 1 = √ 2 − z − 1 (2 − z) − 1 1 = z − 1 − √ 2 − z z − 1 y √ 2 − z = a0 + a1(z − 1) + a2(z − 1) 2 + ...., pues √ 2 − z es analítica en z = 1 asi tendremos 1 z − 1 − √ 2 − z z − 1 = 1 1 − z − 1 z − 1 (±1 + a1(z = − 1)) + ... 1 1 ± z − 1 z − 1 − a1 = − a2(z − 1) + ... 1 ± 1 z − 1 − a1 − a2(z − 1) + ... Por lo tanto 0 y 2 son los residuos en z = 1
6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 67 29. Evalúe Solución: Hay tres singularidaddes esenciales: z = 0, 1, 2 dentro de |z| = 3 (1 + z + z |z|=3 2 )(e 1 z + e 1 z−1 + e 1 z−2 )dz. Res(f, 0) = Res((1 + z + z 2 )e 1/z , 0) pues el resto es analítica en z = 0. Además . Entonces (1 + z + z2 )e1/z = (1 + 1 1 + z e 1/z = 1 + 1 1 + z z2 1 + 2! z3 + ... 3! z2 1 2! z3 + ...) 3! + (z + 1 + 1 1 + z2! z33! + ...) + (z2 + z + 1 1 + + ...) 2! z3! = 1 1 1 (1 + + + ...) z 2! 3! Por lo tanto Res(f, 0) = 1 + 1 1 + + ... 2 6 Por otro lado Res(f, 1) = Res((1 + z + z 2 )e 1/(z−1) , 1) pues el resto es analítica en z = 1. Además e 1/(z−1) = 1 + 1 z − 1 + 1 + 2!(z − 1) 2 y (1 + z + z 2 ) = a0 + a1(z − 1) + a2(z − 1) 2 con así: 1 + ... 3!(z − 1) 3 a0 = g(1) = 3, a1 = g′ (1) 1! = 3, a2 = g′′ (1) 2! (3 + 3(z − 1) + (z − 1) 2 )e 1/(z−1) = 3 + 3(z − 1) + 3 + Entonces Res(f, 1) = 3 + 3 2 30. Evalúe = 1 3 (z − 1) + 3 + ...+ 2!(z − 1) 2 3 2!(z − 1) + ... + (z − 1)2 1 1 + + (z − 1) 2! 1 3 = (3 + + 1) + ... (z − 1) 2 + 1 6 |z|=r z 3 2z 4 + 1 dz.
- Page 15 and 16: Capítulo 3 Series 3.1. Series de T
- Page 17 and 18: 3.1. SERIES DE TAYLOR 17 z n
- Page 19 and 20: 3.2. REPRESENTACIONES POR SERIES DE
- Page 21 and 22: 3.4. EXTENSIÓN ANALÍTICA 21 ln(1
- Page 23 and 24: 3.6. TRANSFORMACIONES CONFORMES 23
- Page 25 and 26: 4.2. FORMULA DE CAUCHY 25 Proposici
- Page 27 and 28: 4.3. TEORÍA DE INDICE Y HOMOTOPÍA
- Page 29 and 30: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 29 por
- Page 31 and 32: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 31 lueg
- Page 33 and 34: 4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 33 Teor
- Page 35 and 36: 5.1. DESARROLLO EN SERIE DE LAURENT
- Page 37 and 38: 5.2. RESIDUOS 37 Entonces f(z) = w0
- Page 39 and 40: 5.2. RESIDUOS 39 Así Luego Por lo
- Page 41 and 42: 5.2. RESIDUOS 41 luego así C 1 5
- Page 43 and 44: 5.3. CÁLCULO DE INTEGRALES 43 esto
- Page 45 and 46: 5.4. FÓRMULA DE POISSON 45 Luego
- Page 47 and 48: 5.4. FÓRMULA DE POISSON 47 donde s
- Page 49 and 50: 5.5. FÓRMULA DE JENSEN 49 es una T
- Page 51 and 52: 5.6. AUTOMORFISMOS DEL DISCO UNITAR
- Page 53 and 54: 5.6. AUTOMORFISMOS DEL DISCO UNITAR
- Page 55 and 56: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 55 Soluci
- Page 57 and 58: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 57 Por lo
- Page 59 and 60: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 59 Soluci
- Page 61 and 62: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 61 Tenemo
- Page 63 and 64: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 63 21. Se
- Page 65: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 65 si |z|
- Page 69 and 70: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 69 Entonc
- Page 71 and 72: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 71 Sea f(
- Page 73 and 74: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 73 Soluci
- Page 75 and 76: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 75 Ahora
- Page 77 and 78: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 77 Vemos
- Page 79 and 80: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 79 51. Ca
- Page 81 and 82: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 81 Soluci
- Page 83 and 84: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 83 i) n
- Page 85 and 86: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 85 62. Se
- Page 87 and 88: 6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 87 i) γ(
- Page 89 and 90: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 89 69. S
- Page 91 and 92: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 91 18. S
- Page 93 and 94: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 93 36. A
- Page 95 and 96: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 95 para
- Page 97 and 98: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 97 77. S
- Page 99 and 100: 6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 99 99. S
6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 67<br />
29. Evalúe <br />
Solución:<br />
Hay tres singularidad<strong>de</strong>s esenciales:<br />
z = 0, 1, 2 <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> |z| = 3<br />
(1 + z + z<br />
|z|=3<br />
2 )(e 1<br />
z + e 1<br />
z−1 + e 1<br />
z−2 )dz.<br />
Res(f, 0) = Res((1 + z + z 2 )e 1/z , 0) pues el resto es analítica en z = 0.<br />
A<strong>de</strong>más<br />
.<br />
Entonces<br />
(1 + z + z2 )e1/z = (1 + 1 1<br />
+<br />
z<br />
e 1/z = 1 + 1 1<br />
+<br />
z z2 1<br />
+<br />
2! z3 + ...<br />
3!<br />
z2 1<br />
2! z3 + ...)<br />
3!<br />
+ (z + 1 + 1 1<br />
+<br />
z2! z33! + ...) + (z2 + z + 1 1<br />
+ + ...)<br />
2! z3!<br />
= 1 1 1<br />
(1 + + + ...)<br />
z 2! 3!<br />
Por lo tanto Res(f, 0) = 1 + 1 1<br />
+ + ...<br />
2 6<br />
Por otro lado Res(f, 1) = Res((1 + z + z 2 )e 1/(z−1) , 1) pues el resto es analítica en<br />
z = 1.<br />
A<strong>de</strong>más<br />
e 1/(z−1) = 1 + 1<br />
z − 1 +<br />
1<br />
+<br />
2!(z − 1) 2<br />
y (1 + z + z 2 ) = a0 + a1(z − 1) + a2(z − 1) 2 con<br />
así:<br />
1<br />
+ ...<br />
3!(z − 1) 3<br />
a0 = g(1) = 3, a1 = g′ (1)<br />
1! = 3, a2 = g′′ (1)<br />
2!<br />
(3 + 3(z − 1) + (z − 1) 2 )e 1/(z−1) = 3 +<br />
3(z − 1) + 3 +<br />
Entonces Res(f, 1) = 3 + 3<br />
2<br />
30. Evalúe <br />
= 1<br />
3<br />
(z − 1) +<br />
3<br />
+ ...+<br />
2!(z − 1) 2<br />
3<br />
2!(z − 1) + ... + (z − 1)2 1 1<br />
+ +<br />
(z − 1) 2!<br />
1 3<br />
= (3 + + 1) + ...<br />
(z − 1) 2<br />
+ 1<br />
6<br />
|z|=r<br />
z 3<br />
2z 4 + 1 dz.
Change language