Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

66 CAPÍTULO 6. EJERCICIOS
Por hipotesis tenemos
Entonces
Así
|ck| = |f k (0)|
n!
|ck| ≤ M(r)
rn con n = k. Por lo tanto
= Sup|w|=r|f(w)| 1
r k
Sup|w|=r|f(w)| = r k | f ( k)(0)
|
n!
= rk |cn|
r n
f(z) = ckz k
|ck|
=
rn−k →r→∞ 0
27. Demuestre que si f es una función no constante, analitica en un dominio
Ω y f(z) = 0 para cada z ∈ Ω, entonces |f(z)| no puede alcanzar su minimo valor
en el interior del dominio Ω.
Solución:
Sea g(z) = 1 , g analítica y no constante en Ω. Entonces por el Principio del
f(z)
Módulo Máximo, |g(z)| no puede alcanzar su m’aximo valor en Ω. Pués
Supz∈Ω|g(z)| = Supz∈Ω| 1
| = Infz∈Ω|f(z)|
f(z)
Por lo tanto |f(z)| no puede alxcanzar su mínimo valor en Ω
1
28. Halle Res( √ ; 1).
2 − z + 1
Solución:
1
√ 2 − z + 1 =
√ 2 − z − 1
(2 − z) − 1
1
=
z − 1 −
√
2 − z
z − 1
y √ 2 − z = a0 + a1(z − 1) + a2(z − 1) 2 + ...., pues √ 2 − z es analítica en z = 1
asi tendremos
1
z − 1 −
√
2 − z
z − 1 =
1 1
−
z − 1 z − 1 (±1 + a1(z
=
− 1)) + ...
1 1
±
z − 1 z − 1 − a1
=
− a2(z − 1) + ...
1 ± 1
z − 1 − a1 − a2(z − 1) + ...
Por lo tanto 0 y 2 son los residuos en z = 1