Apuntes de Variable Compleja - Carlos Lizama homepage ...

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 65
si |z| < 1 entonces
Así
si |z| < 1.
Entonces
si |z| < 1.
Luego
si |z| < 1.
Por lo tanto
1
(1 − iz)
= (iz) n si |z| < 1
n≥0
1
i(1 − iz)
1
(i + z)
=
n≥0
=
n≥0
ln(i + z) =
(i)
n≥0
(i) n−1 z n
(i) n−1 z n
n−1 zn+1
n + 1
ln(w) =
n−1 (w − i)n+1
(i)
n + 1
n≥0
Si |w − i| < 1 el radio de convergencia es 1.
25. Verdadero o Falso: Existe una función analitica en z = 0 y que toma los
siguientes valores en los puntos z = 1
(n = 1, 2, ...).
n
a) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ..., 0, 1....;
b) 1 2 3 4 5 6 n
, , , , , , ..., , ...?.
2 3 4 5 6 7 n + 1
Si la respuesta es afirmativa, encuentre explicitamente la función o, si es negativa,
justifique apropiadamente.
Solución:
a) f(1) = 0, f(1/2) = 1, f(3/2) = 0, f(1/4) = 1, ... No existe pues, zn = 1/n, tal
que f(zn) = 0 para n impar y se tendra f(0) = límn→∞ f(zn) = 0. Contradicción
con el hecho de que f es analítica.
b)f(1) = 1/2, f(2) = 2/3, f(1/3) = 3/4, ...f(1/n) = n
n+1
Sea f(z) = 1
1+z
, cumple lo pedido, ya que f( 1
n
) = n
1+n
26. Suponga que al menos una de las desigualdades de Cauchy es una igualdad,
esto es: |ck| = M(r)
r k . Demuestre que la función f(z) tiene la forma f(z) = ckz k .
Solución:
Consideremos
f(z) = c0 + c1z + c − 2z 2 + ...cnz n+c
n+1z n+1 + ...